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2017-06-16 22:41:00
题目
https://www.patest.cn/contests/pat-a-practise/1029
题意:求两个排好序的数组合并后的中位数。
解题思路
担心直接sort会超时,所以拿归并排序的merge方法合并数组,即从每次都从两个数组剩余的元素中挑出最小的,若某个数组先挑完,则另一个数组原样抄回。
然而,sort也能过……(摊手)
顺便复习一下归并排序:
归并排序利用了分治的思想,将数列a[l,h]分成两半a[l,mid]和a[mid+1,h],分别进行归并排序,然后再将这两半合(merge)并起来。
利用归并排序可以求逆序对的数目。即在合并的过程中(设l<=i<=mid,mid+1<=j<=h),当a[i]<=a[j]时,并不产生逆序数;当a[i]>a[j]时,在前半部分中比a[i]大的数都比a[j]大,将a[j]放在a[i]前面时,逆序数要加上mid+1-i。因此,可以在归并排序中的合并过程中计算逆序数。
AC代码
#include <iostream> using namespace std; const int maxn = 1000005; long int a[maxn], b[maxn], res[maxn<<1]; int lena, lenb, cnt; int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin >> lena; for (int i = 0; i < lena; ++i) cin >> a[i]; cin >> lenb; for (int i = 0; i < lenb; ++i) cin >> b[i]; //归并排序的merge步骤 int p1 = 0, p2 = 0, cnt = 0; while (p1 < lena && p2 < lenb) { if (a[p1] < b[p2]) { res[cnt++] = a[p1]; p1++; } else { res[cnt++] = b[p2]; p2++; } } if (p1 < lena) //p1还有剩余 { for (int i = p1; i < lena; ++i) res[cnt++] = a[i]; } if (p2 < lenb) //p2还有剩余 { for (int i = p2; i < lenb; ++i) res[cnt++] = b[i]; } cout << res[(cnt-1)>>1] << endl; //输出中位数 return 0; }
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数据结构笔记10:求两个升序序列的中位数的三种方法(归并排序你会用了吗?)
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- 给出算法的基本设计思想。
- 根据设计思想,釆用C或C++或Java语言描述算法,关键之处给出注释。
- 说明你所设计算法的时间复杂度和空间复杂度。
该题为2011年研究生考试计算机联考真题。
第一种方法
算法思想:1.先将两个升序序列归并排序成一个升序序列,找中位数(最先想到且简单)
时间复杂度:O(n),空间复杂度:O(n)#include"head.h" bool findmid1(SeqList A, SeqList B, SeqList& C) { if (A.length + B.length > C.Maxsize) { //return false;//若两表长度之和大于新表最大长度,则返回。 //为了更有效的执行算法,此处我们不这样写,如果两表长度之和大于新表最大长度,则新表动态增加空间 IncreaseSize(C, 10);//C表自动增加10个长度 } int i = 0, j = 0, k = 0; while (i < A.length && j < B.length) { if (A.data[i] < B.data[j]) { C.data[k++] = A.data[i++]; } else { C.data[k++] = B.data[j++]; } } while (i < A.length) { C.data[k++] = A.data[i++]; } while (j < B.length) { C.data[k++] = B.data[j++]; } C.length = k; int mid = C.length / 2; printf("C表中位数为:%d\n", C.data[mid-1]);//中位数,数组长度一般下标-1 return true; }
第二种方法
算法思想:类比归并排序的思想但并不实现归并,仅按顺序进行访问
时间复杂度:O(n),空间复杂度:O(1)int findmid2 ( int* a, int* b, int len ) { int i = 0, j = 0, k = 0; for ( ; k < len-1; k++ ) { if ( a[i] < b[j] ) { i++; } else { j++; } } return (a[i] < b[j])? a[i]: b[j]; } //就是从头到尾一共数 len 个数,这个时候两个指针指向的数字较小者即为所求。
第三种方法
**王道考研参考书中给出的该题的最优方法
时间复杂度:O(log2n),空间复杂度:O(1)
分别求两个升序序列A、B的中位数,设为a和b, 求序列A、B的中位数过程如下:
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若a = b,则a或b即为所求中位数,算法结束。
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若a < b,则舍弃序列A中较小的一半,同时舍弃序列B中较大的一半,要求两次舍弃的长度相等。
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若a > b,则舍弃序列A中较大的一半,同时舍弃序列B中较小的一半,要求两次舍弃的长度相等。**
int findmid3(int A[], int B[], int n) { int start1 = 0, end1 = n - 1, m1, start2 = 0, end2 = n - 1, m2; //分别表示序列A和B的首位数、末位数和中位数 while (start1 != end1 || start2 != end2) { m1 = (start1 + end1) / 2; m2 = (start2 + end2) / 2; if (A[m1] == B[m2]) return A[m1]; //满足条件 1) if (A[m1] < B[m2]) // 满足条件 2) { if ((start1 + end1) % 2 == 0) //若元素个数为奇数 { start1 = m1; //舍弃A中间点以前的部分且保留中间点 end2 = m2; //舍弃B中间点以后的部分且保留中间点 } else //元素个数为偶数 { start1 = m1 + 1; //舍弃A中间点及中间点以前部分 end2 = m2; //舍弃B中间点以后部分且保留中间点 } } else { //满足条件3) if ((start2 + end2) % 2 == 0) //若元素个数为奇数 { end1 = m1; //舍弃A中间点以后的部分且保留中间点 start2 = m2; //舍弃B中间点以前的部分且保留中间点 } else //元素个数为偶数 { end1 = m1; //舍弃A中间点以后部分且保留中间点 start2 = m2 + 1; //舍弃B中间点及中间点以前部分 } } } return A[start1] < B[start2] ? A[start1] : B[start2]; }
总结
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当在练习的时候可以对三种方法慢慢调试,仔细理解。
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若无法理解第三种最优解的方法建议就不要再看了,考试时第三种方法为满分答案,第二种方法减1分,第一种方法减2分。
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小编在写第一种和第二种方法时一共用了10分钟,第三种方法依然没有理解并成功运行,给诸位大佬程序员丢人了…
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} } //希尔排序求中位数 int shellsort(int array[],int arr[],int n,int m) { int h,k,j,v; for(int i=0;i<m;i++){ h=arr[i];//选取增量 for(k=h;k<n;k++){ j=array[k]; for(v=k-h;v>=0&&j<array[v];v=v-h){ array[v+h]=array[v]; array[v+h]=j; } } } if(n%2==0){ // 若数组有奇数个元素,中位数是array[(n-1)/2] result=((array[n/2-1]+array[n/2])/2); return result; } else{ //若数组有偶数个元素,中位数为array[n/2-1]和array[n/2]两个数的平均值 result=array[(n-1)/2]; return result; } } //冒泡排序求中位数 int bubblesort(int array[],int n){ int temp,change=true; //设置标志以便进入循环 for(int i=1;i<n&&change;i++){ //n-1趟 change=false;//第i趟设置交换标志false,这时没有交换记录,已经有序,结束 for(int j=0;j<n-i;j++){ if(array[j]>array[j+1]){ //若逆序交换 temp=array[j]; array[j]=array[j+1]; array[j+1]=temp; change=true; } } } if(n%2==0){ // 若数组有奇数个元素,中位数是array[(n-1)/2] result=((array[n/2-1]+array[n/2])/2); return result; } else{ //若数组有偶数个元素,中位数为array[n/2-1]和array[n/2]两个数的平均值 result=array[(n-1)/2]; return result; } } //快速排序求中位数 int quicksort(int array[],int min,int max){ int high,low; if(min<max){ low=min; high=max; int temp=array[low]; while(low!=high){ while(low<high&&array[high]>temp){ //从右向左 high--; } if(low<high) array[low++]=array[high]; //比 array[low]小,交换 while(low<high&&array[low]<=temp){ //从左向右 low++; } if(low<high){ array[high--]=array[low]; //交换 } } array[low]=temp; quicksort(array,min,low-1); quicksort(array,high+1,max); } if((max+1)%2==0){ // 若数组有奇数个元素,中位数是array[(n-1)/2] result=((array[(max+1)/2-1]+array[(max+1)/2])/2); return result; } else{ //若数组有偶数个元素,中位数为array[n/2-1]和array[n/2]两个数的平均值 result=array[(max)/2]; return result; } } //调整为堆 void shift(int array[],int s,int n){ int q,t; t=array[s]; while((q=2*s+1)<n){ //有左孩子 if(q<n-1&&array[q]<array[q+1]) q++; if(t<array[q]){ array[(q-1)/2]=array[q]; s=q; } else break; } array[(q-1)/2]=t; //t放在最后一个位置 } //堆排序求中位数 int heapsort(int array[],int n){ int s,t; s=(n-1)/2; while(s>=0){ shift(array,s,n); s--; } s=n-1; while(s>0){ //交换结点 t=array[0]; array[0]=array[s]; array[s]=t; shift(array,0,s); s--; } if(n%2==0){ // 若数组有奇数个元素,中位数是array[(n-1)/2] result=((array[n/2-1]+array[n/2])/2); return result; } else{ //若数组有偶数个元素,中位数为array[n/2-1]和array[n/2]两个数的平均值 result=array[(n-1)/2]; return result; } } //合并两个有序序列 void merge(int array[],int p,int q,int r){ int n1,n2; n1=q-p+1; n2=r-q+1; int arr1[n1+1],arr2[n2]; for(int i=0;i!=n1;++i){ arr1[i]=array[i+p]; } arr1[n1]=2000000; for(int j=0;j!=n2-1;++j){ arr2[j]=array[q+j+1]; } arr2[n2-1]=200000; int i=0,j=0; for( int k=p;k!=r+1;++k){ if(arr1[i]>arr2[j]){ array[k]=arr2[j]; ++j; } else{ array[k]=arr1[i]; ++i; } } } //归并排序求中位数 void mergesort(int array[],int p,int r){ if(p<r){ int q=(p+r)/2; mergesort(array,p,q); mergesort(array,q+1,r); merge(array,p,q,r); } } int midiumnumber(int array[],int n){ cout<<endl<<endl<<"1----------简单选择排序求中位数(O(n^2))"<<endl; cout<<"2----------直接插入排序求中位数(O(n^2))---------"<<endl; cout<<"3----------希尔排序求中位数(O(nlog2^n))---------"<<endl; cout<<"4----------冒泡排序求中位数(O(n^2))-------------"<<endl; cout<<"5----------快速排序求中位数(O(nlog2^n))---------"<<endl; cout<<"6----------堆排序求中位数(O(nlog2^n))-----------"<<endl; cout<<"7----------归并求中位数(O(nlog2^n))-----------"<<endl; cout<<"请选择1-7:"<<endl; int select; cin>>select; switch(select){ case 7: cout<<"这列无序数组的中位数为:"<<endl; mergesort(array,0,n-1); if(n%2==0){ // 若数组有奇数个元素,中位数是array[(n-1)/2] result=((array[n/2-1]+array[n/2])/2); return result; } else{ //若数组有偶数个元素,中位数为array[n/2-1]和array[n/2]两个数的平均值 result=array[(n-1)/2]; return result; } break; case 6: cout<<"这列无序数组的中位数为:"<<endl; return heapsort(array,n); break; case 5: cout<<"这列无序数组的中位数为:"<<endl; return quicksort(array,0,n-1); break; case 4: cout<<"这列无序数组的中位数为:"<<endl; return bubblesort(array,n); break; case 1: cout<<"这列无序数组的中位数为:"<<endl; return selectsort(array,n); break; case 2: cout<<"这列无序数组的中位数为:"<<endl; return insertsort(array,n); break; case 3: //初始化一个增量数组 int n1=n; int m=0; while(n1>1){ arr[m++]=n1/2; n1=n1/2; } cout<<"这列无序数组的中位数为:"<<endl; return shellsort(array,arr,n,m); break; } } int main(){ int n,i; cout<<"输入一列无序数组数的个数:"<<endl; cin>>n; cout<<"请输入一列无序数组:"<<endl; for(i=0;i<n;i++){ cin>>array[i]; } int flag=1; while(flag==1){ cout<<midiumnumber(array,n)<<endl; } // cout<<selectsort(array,n); return 0; }
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归并排序与堆排序
2022-01-22 09:51:18文章目录归并排序思想代码测试分析堆排序(Heap Sort)堆的定义思想实现测试分析 归并排序 思想 排序一个数组,我们先把... 1 是位运算中的右移运算,表示右移一位,等同于 x 除以 2 再取整,即 x >> 1 === Mat.
归并排序
思想
排序一个数组,我们先把数组从中间分成前后两部分,然后对前后两部分分别排序,再将排好序的两部分合并在一起,这样整个数组就都有序了。
归并排序采用的是分治思想。
分治,顾名思义,就是分而治之,将一个大问题分解成小的子问题来解决。小的子问题解决了,大问题也就解决了。
注:x >> 1 是位运算中的右移运算,表示右移一位,等同于 x 除以 2 再取整,即 x >> 1 === Math.floor(x / 2) 。
代码
const mergeSort = arr => { //采用自上而下的递归方法 const len = arr.length; if (len < 2) { return arr; } // length >> 1 和 Math.floor(len / 2) 等价 let middle = Math.floor(len / 2), left = arr.slice(0, middle), right = arr.slice(middle); // 拆分为两个子数组 return merge(mergeSort(left), mergeSort(right)); }; const merge = (left, right) => { const result = []; while (left.length && right.length) { // 注意: 判断的条件是小于或等于,如果只是小于,那么排序将不稳定. if (left[0] <= right[0]) { result.push(left.shift()); } else { result.push(right.shift()); } } while (left.length) result.push(left.shift()); while (right.length) result.push(right.shift()); return result; };
测试
// 测试 const arr = [3, 44, 38, 5, 47, 15, 36, 26, 27, 2, 46, 4, 19, 50, 48]; console.time('归并排序耗时'); console.log('arr :', mergeSort(arr)); console.timeEnd('归并排序耗时'); // arr : [2, 3, 4, 5, 15, 19, 26, 27, 36, 38, 44, 46, 47, 48, 50] // 归并排序耗时: 0.739990234375ms
分析
第一,归并排序是原地排序算法吗 ?
这是因为归并排序的合并函数,在合并两个有序数组为一个有序数组时,需要借助额外的存储空间。
实际上,尽管每次合并操作都需要申请额外的内存空间,但在合并完成之后,临时开辟的内存空间就被释放掉了。在任意时刻,CPU 只会有一个函数在执行,也就只会有一个临时的内存空间在使用。临时内存空间最大也不会超过 n 个数据的大小,所以空间复杂度是 O(n)。
所以,归并排序不是原地排序算法。第二,归并排序是稳定的排序算法吗 ?
merge 方法里面的 left[0] <= right[0] ,保证了值相同的元素,在合并前后的先后顺序不变。归并排序是一种稳定的排序方法。第三,归并排序的时间复杂度是多少 ?
从效率上看,归并排序可算是排序算法中的佼佼者。假设数组长度为 n,那么拆分数组共需 logn 步, 又每步都是一个普通的合并子数组的过程,时间复杂度为 O(n),故其综合时间复杂度为 O(nlogn)。
最佳情况:T(n) = O(nlogn)。
最差情况:T(n) = O(nlogn)。
平均情况:T(n) = O(nlogn)。堆排序(Heap Sort)
堆的定义
堆其实是一种特殊的树。只要满足这两点,它就是一个堆。
堆是一个完全二叉树。
完全二叉树:除了最后一层,其他层的节点个数都是满的,最后一层的节点都靠左排列。
堆中每一个节点的值都必须大于等于(或小于等于)其子树中每个节点的值。
也可以说:堆中每个节点的值都大于等于(或者小于等于)其左右子节点的值。这两种表述是等价的。对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆,我们叫作大顶堆。
对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆,我们叫作小顶堆。
其中图 1 和 图 2 是大顶堆,图 3 是小顶堆,图 4 不是堆。除此之外,从图中还可以看出来,对于同一组数据,我们可以构建多种不同形态的堆。思想
1.将初始待排序关键字序列 (R1, R2 … Rn) 构建成大顶堆,此堆为初始的无序区;
2.将堆顶元素 R[1] 与最后一个元素 R[n] 交换,此时得到新的无序区 (R1, R2, … Rn-1) 和新的有序区 (Rn) ,且满足 R[1, 2 … n-1] <= R[n]。
3.由于交换后新的堆顶 R[1] 可能违反堆的性质,因此需要对当前无序区 (R1, R2 … Rn-1) 调整为新堆,然后再次将 R[1] 与无序区最后一个元素交换,得到新的无序区 (R1, R2 … Rn-2) 和新的有序区 (Rn-1, Rn)。不断重复此过程,直到有序区的元素个数为 n - 1,则整个排序过程完成。
实现
// 堆排序 const heapSort = array => { console.time('堆排序耗时'); // 初始化大顶堆,从第一个非叶子结点开始 for (let i = Math.floor(array.length / 2 - 1); i >= 0; i--) { heapify(array, i, array.length); } // 排序,每一次 for 循环找出一个当前最大值,数组长度减一 for (let i = Math.floor(array.length - 1); i > 0; i--) { // 根节点与最后一个节点交换 swap(array, 0, i); // 从根节点开始调整,并且最后一个结点已经为当前最大值,不需要再参与比较,所以第三个参数为 i,即比较到最后一个结点前一个即可 heapify(array, 0, i); } console.timeEnd('堆排序耗时'); return array; }; // 交换两个节点 const swap = (array, i, j) => { let temp = array[i]; array[i] = array[j]; array[j] = temp; }; // 将 i 结点以下的堆整理为大顶堆,注意这一步实现的基础实际上是: // 假设结点 i 以下的子堆已经是一个大顶堆,heapify 函数实现的 // 功能是实际上是:找到 结点 i 在包括结点 i 的堆中的正确位置。 // 后面将写一个 for 循环,从第一个非叶子结点开始,对每一个非叶子结点 // 都执行 heapify 操作,所以就满足了结点 i 以下的子堆已经是一大顶堆 const heapify = (array, i, length) => { let temp = array[i]; // 当前父节点 // j < length 的目的是对结点 i 以下的结点全部做顺序调整 for (let j = 2 * i + 1; j < length; j = 2 * j + 1) { temp = array[i]; // 将 array[i] 取出,整个过程相当于找到 array[i] 应处于的位置 if (j + 1 < length && array[j] < array[j + 1]) { j++; // 找到两个孩子中较大的一个,再与父节点比较 } if (temp < array[j]) { swap(array, i, j); // 如果父节点小于子节点:交换;否则跳出 i = j; // 交换后,temp 的下标变为 j } else { break; } } };
测试
const array = [4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2]; console.log('原始array:', array); const newArr = heapSort(array); console.log('newArr:', newArr); // 原始 array: [4, 6, 8, 5, 9, 1, 2, 5, 3, 2] // 堆排序耗时: 0.15087890625ms // newArr: [1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9]
分析
第一,堆排序是原地排序算法吗 ?
整个堆排序的过程,都只需要极个别临时存储空间,所以堆排序是原地排序算法。第二,堆排序是稳定的排序算法吗 ?
因为在排序的过程,存在将堆的最后一个节点跟堆顶节点互换的操作,所以就有可能改变值相同数据的原始相对顺序。
所以,堆排序是不稳定的排序算法。第三,堆排序的时间复杂度是多少 ?
堆排序包括建堆和排序两个操作,建堆过程的时间复杂度是 O(n),排序过程的时间复杂度是 O(nlogn),所以,堆排序整体的时间复杂度是 O(nlogn)。
最佳情况:T(n) = O(nlogn)。
最差情况:T(n) = O(nlogn)。
平均情况:T(n) = O(nlogn)。 -
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2017-08-14 12:07:44求无序数组中位数,数组排序时间复杂度O(N)算法 排序知识回顾 -
排序算法——归并排序与快速排序
2018-07-27 20:50:08今天总结一下两种性能优秀的排序算法,归并排序与快速排序。 首先,二者都运用了递归和分治的两种重要思想。在这里递归就不做详细介绍。 分治:顾名思义,分而治之,这是在排序中我们非常常见的一种思想,同时也是... -
二分归并排序算法
2021-03-29 15:29:39二分归并排序算法原理(假设数组A中共有n个元素): 将数组A中n个元素看成n个独立的子序列,因此每个子序列的长度为1,然后两两合并,得到[n/2]个长度为2或1(注意如果n为奇数时,就会出现多出一个元素无法与其他元素... -
归并排序(C++实现)言简意赅版
2022-03-25 01:05:12将n个子数列两两排序,得到n/2个有序的分别有两个元素的数列 将n/2个子数列再两两排序,得到n/4个有序的子数列。 重复上述步骤,最终得到一个有序数列 算法实现(递归实现) #include<iostream> #include<... -
排序算法-归并排序的实现与时间复杂度分析
2020-09-15 08:25:30归并排序 归并排序是分而治之的排序算法。 划分步骤很简单:将当前数组分成两半(如果N是偶数,则将其完全平等,或者如果N是奇数,则一边稍大于一个元素),然后递归地对这两半进行排序。 递归写法 归并排序递归写法... -
归并排序思路整理
2020-06-14 23:29:02首先介绍一下归并排序: 归并排序是采用归并的思路进行排序,该算法采用经典的分治策略(把一个大问题分解为若干个小的问题进而求解的过程)。字面上看起来还是很抽象的,接下来给出归并排序的整个示意图: 解释:... -
C语言 归并排序
2015-04-22 23:27:56c语言 归并排序算法,相邻两个有序子序列的归并。 -
常见的几种排序(插入排序、希尔排序、选择排序、冒泡排序、快速排序、归并排序)
2021-01-27 17:37:40//三数取中 int GetMidIndex(int* a, int begin, int end) { int mid = (begin + end) / 2; if (a[begin] < a[mid]) { if (a[mid] < a[end]) return mid; else if (a[begin] > a[end]) -
外排序(归并排序算法)
2020-06-22 19:39:30说到排序,大家第一反应基本上是内排序,是的,算法嘛,玩的就是内存,然而内存...一:N路归并排序 1.概序 我们知道算法中有一种叫做分治思想,一个大问题我们可以采取分而治之,各个突破,当子问题解决了,大问... -
八大排序:冒泡排序、插入排序、希尔排序、选择排序、堆排序、归并排序、快速排序、基数排序
2019-02-28 20:58:05目录 【前言】 【冒泡排序(Bubble Sort)】(稳定) 【快速排序(Quick Sort)】(不稳定) 【插入排序(Insert Sort)】(稳定) ...【归并排序(Merge Sort)】(稳定) 【基数排序(Radix So... -
作业24-归并排序与基数排序(防止题目重复)
2020-12-12 19:43:54对N个记录进行归并排序,归并趟数的数量级是O(NlogN)。() [解析]归并的数量级在O(logN)? 每上下相邻的两层之间,从上层到下层的过程就是一趟归并 满二叉树深度为k的二叉树的最后一层结点个数为2^k - 1 所以叶子数为N... -
内部排序(四)归并排序的递归与循环实现
2018-11-19 18:14:21上一篇日志讲到了自己对堆排序的学习,堆排序时间复杂度能达到O(NlogN),且不需要额外的...那就是归并排序。 归并操作其实更多用在外部排序中- -、,是外部存储器最常用的排序方法,用分而治之的思想,下面会说。... -
分治算法解决归并排序
2020-03-20 21:44:43分治算法 问题引入: 前文说到,叶天帝集结天庭... 这一日,叶天帝与众位黑暗至尊展开了白热化的战斗,叶天帝虽强,但终归是双拳难敌四手,战况岌岌可危,叶天帝险象环生。在这千钧一发之际,只见大黑狗施展“行... -
归并排序算法(C语言版本)
2020-03-23 22:28:29归并排序(Merge Sort)是利用归并的思想实现的排序方法,该算法采用经典的分治(divide-and-conquer)策略(分治法将问题分成一些小的问题然后进行递归求解,而治的阶段则将分的阶段得到的各答案“修补”在一起,即... -
九大内部排序算法(快速排序、归并排序、堆排序、希尔排序、基数排序)
2017-01-13 10:04:12排序(Sorting)是计算机程序设计中的一种重要操作,它的功能是将一个数据元素(或记录)的任意序列,重新排列成一个按关键字有序的序列。由于待排序的记录数量不同,使得排序过程中涉及的存储器不同,可将排序方法... -
LeetCode 4. 两个排序数组的中位数 (归并思想)
2018-04-20 20:33:59题目:给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2 。请找出这两个有序数组的中位数。要求算法的时间复杂度为 O(log (m+n)) ...中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5解析:很基本的归并排序合并数组的思想,因为两个...