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  • 【题意】 ...有个方差的公式 V(X)=E(X2)−E(X)2 这里E(X)指的是X的期望; 显然所有树的度数的期望都是2*(n-1)/n 则问题转换成求E(X^2)了; 这里用到了树的prufer数列->关于prufer数列 ...

    【题目链接】:http://hihocoder.com/problemset/problem/1511

    【题意】

    【题解】

    有个方差的公式
    V(X)=E(X2)E(X)2
    这里E(X)指的是X的期望;
    显然所有树的度数的期望都是2*(n-1)/n
    则问题转换成求E(X^2)了;
    这里用到了树的prufer数列->关于prufer数列
    即每一个prufer数列都对应了不同的树;
    然后根据数列中的数字出现的次数和其在树中的度数的关系;
    我们可以枚举每一个节点在prufer数列中出现的次数X;
    在n-2个位置中选X个位置放这个节点->C(N-2,x)
    则剩余n-2-x个位置,每个位置都有n-1种选择即(n-1)^(n-2-x)
    然后它的度数就是X+1,因为求的是x方的期望,所以累加度数的时候加的是(x+1)^2
    然后有n个节点,每个节点都可以这样,所以再乘个n;
    这样我们就算出了;
    所有n个节点的树;
    所有节点的度数的平方的和;
    则再除个n就是E(X^2)了;
    分数的取模其实就是用乘法逆元搞;
    和能整除的分数一样;
    阶乘的乘法逆元求的时候只要求最大的那个,小的直接枚举就能得到;

    【Number Of WA

    3

    【完整代码】

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    #define lson l,m,rt<<1
    #define rson m+1,r,rt<<1|1
    #define LL long long
    #define rep1(i,a,b) for (int i = a;i <= b;i++)
    #define rep2(i,a,b) for (int i = a;i >= b;i--)
    #define mp make_pair
    #define pb push_back
    #define fi first
    #define se second
    #define ms(x,y) memset(x,y,sizeof x)
    
    typedef pair<int,int> pii;
    typedef pair<LL,LL> pll;
    
    const int dx[9] = {0,1,-1,0,0,-1,-1,1,1};
    const int dy[9] = {0,0,0,-1,1,-1,1,-1,1};
    const double pi = acos(-1.0);
    const int N = 1e6+100;
    const LL MOD = 998244353;
    
    LL fac[N],rfac[N],ans = 0,n,pre[N],ex;
    
    LL ksm(LL x,LL y)
    {
        LL t = 1;x%=MOD;
        while (y)
        {
            if (y&1) t = (t*x)%MOD;
            x = (x*x)%MOD;y>>=1;
        }
        return t;
    }
    
    LL C(LL n,LL m)
    {
        return fac[n]*rfac[n-m]%MOD*rfac[m]%MOD;
    }
    
    int main()
    {
        //freopen("F:\\rush.txt","r",stdin);
        ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0);//scanf,puts,printf not use
        fac[0] = 1;
        rep1(i,1,N-1) fac[i] = (fac[i-1]*i)%MOD;
        rfac[N-1] = ksm(fac[N-1],MOD-2);
        rep2(i,N-2,0)
            rfac[i] = 1LL*rfac[i+1]*(i+1)%MOD;
        cin >> n;
        ex = 2*(n-1)%MOD;
        ex = (ex*ex)%MOD;
        ex = (ex*ksm(n,n-2))%MOD;
        pre[0] = 1;
        rep1(i,1,n-2)
            pre[i] = pre[i-1]*(n-1)%MOD;
        rep1(i,0,n-2)
        {
            LL x = 1LL*(i+1)*(i+1)%MOD;
            ans = ans+C(n-2,i)*pre[n-2-i]%MOD*x%MOD*n%MOD;
        }
        ans = (ans+MOD-ex*ksm(n,MOD-2)%MOD)%MOD;
        ans = ans*ksm(n,MOD-2)%MOD;
        cout << ans << endl;
        return 0;
    }
    
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  • 得到结果是,对于每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近,方差为1。使用sklearn.preprocessing.scale()函数,可以直接将给定数据进行标准化。&gt;&gt;&gt; from sklearn import...

    标准化(Z-Score),或者去除均值和方差缩放

    公式为:(X-mean)/std  计算时对每个属性/每列分别进行。

    将数据按期属性(按列进行)减去其均值,并处以其方差。得到的结果是,对于每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近,方差为1。

    使用sklearn.preprocessing.scale()函数,可以直接将给定数据进行标准化。

    >>> from sklearn import preprocessing
    >>> import numpy as np
    >>> X = np.array([[ 1., -1.,  2.],
    ...               [ 2.,  0.,  0.],
    ...               [ 0.,  1., -1.]])
    >>> X_scaled = preprocessing.scale(X)
     
    >>> X_scaled                                         
    array([[ 0.  ..., -1.22...,  1.33...],
           [ 1.22...,  0.  ..., -0.26...],
           [-1.22...,  1.22..., -1.06...]])
     
    >>>#处理后数据的均值和方差
    >>> X_scaled.mean(axis=0)
    array([ 0.,  0.,  0.])
     
    >>> X_scaled.std(axis=0)
    array([ 1.,  1.,  1.])

    使用sklearn.preprocessing.StandardScaler类,使用该类的好处在于可以保存训练集中的参数(均值、方差)直接使用其对象转换测试集数据。

    >>> scaler = preprocessing.StandardScaler().fit(X)
    >>> scaler
    StandardScaler(copy=True, with_mean=True, with_std=True)
     
    >>> scaler.mean_                                     
    array([ 1. ...,  0. ...,  0.33...])
     
    >>> scaler.std_                                      
    array([ 0.81...,  0.81...,  1.24...])
     
    >>> scaler.transform(X)                              
    array([[ 0.  ..., -1.22...,  1.33...],
           [ 1.22...,  0.  ..., -0.26...],
           [-1.22...,  1.22..., -1.06...]])
     
     
    >>>#可以直接使用训练集对测试集数据进行转换
    >>> scaler.transform([[-1.1., 0.]])               
    array([[-2.44...,  1.22..., -0.26...]])

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  • 【原】关于使用sklearn进行数据预处理 —— 归一化/标准化/正则化 【原】关于使用sklearn进行数据预处理 —— 归一化/标准化/正则化 ...得到结果是,对于每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近,方差为1...

    【原】关于使用sklearn进行数据预处理 —— 归一化/标准化/正则化

    【原】关于使用sklearn进行数据预处理 —— 归一化/标准化/正则化

    一、标准化(Z-Score),或者去除均值和方差缩放

    公式为:(X-mean)/std  计算时对每个属性/每列分别进行。

    将数据按期属性(按列进行)减去其均值,并处以其方差。得到的结果是,对于每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近,方差为1。

    实现时,有两种不同的方式:

    • 使用sklearn.preprocessing.scale()函数,可以直接将给定数据进行标准化。

    >>> from sklearn import preprocessing
    >>> import numpy as np
    >>> X = np.array([[ 1., -1.,  2.],
    ...               [ 2.,  0.,  0.],
    ...               [ 0.,  1., -1.]])
    >>> X_scaled = preprocessing.scale(X)
     
    >>> X_scaled                                          
    array([[ 0.  ..., -1.22...,  1.33...],
           [ 1.22...,  0.  ..., -0.26...],
           [-1.22...,  1.22..., -1.06...]])
     
    >>>#处理后数据的均值和方差
    >>> X_scaled.mean(axis=0)
    array([ 0.,  0.,  0.])
     
    >>> X_scaled.std(axis=0)
    array([ 1.,  1.,  1.])
    • 使用sklearn.preprocessing.StandardScaler类,使用该类的好处在于可以保存训练集中的参数(均值、方差)直接使用其对象转换测试集数据。

    >>> scaler = preprocessing.StandardScaler().fit(X)
    
    >>> scaler
    
    StandardScaler(copy=True, with_mean=True, with_std=True)
    
    
    
    >>> scaler.mean_                                     
    
    array([ 1. ...,  0. ...,  0.33...])
    
    
    
    >>> scaler.std_                                      
    
    array([ 0.81...,  0.81...,  1.24...])
    
    
    
    >>> scaler.transform(X)                              
    
    array([[ 0.  ..., -1.22...,  1.33...],
    
           [ 1.22...,  0.  ..., -0.26...],
    
           [-1.22...,  1.22..., -1.06...]])
    
    
    
    
    
    >>>#可以直接使用训练集对测试集数据进行转换
    
    >>> scaler.transform([[-1.,  1., 0.]])               
    
    array([[-2.44...,  1.22..., -0.26...]])

    二、将属性缩放到一个指定范围

    除了上述介绍的方法之外,另一种常用的方法是将属性缩放到一个指定的最大和最小值(通常是1-0)之间,这可以通过preprocessing.MinMaxScaler类实现。

    使用这种方法的目的包括:

    1、对于方差非常小的属性可以增强其稳定性。

    2、维持稀疏矩阵中为0的条目。

    >>> X_train = np.array([[ 1., -1.,  2.],
    
    ...                     [ 2.,  0.,  0.],
    
    ...                     [ 0.,  1., -1.]])
    
    ...
    
    >>> min_max_scaler = preprocessing.MinMaxScaler()
    
    >>> X_train_minmax = min_max_scaler.fit_transform(X_train)
    
    >>> X_train_minmax
    
    array([[ 0.5       ,  0.        ,  1.        ],
    
           [ 1.        ,  0.5       ,  0.33333333],
    
           [ 0.        ,  1.        ,  0.        ]])
    
    
    
    >>> #将相同的缩放应用到测试集数据中
    
    >>> X_test = np.array([[ -3., -1.,  4.]])
    
    >>> X_test_minmax = min_max_scaler.transform(X_test)
    
    >>> X_test_minmax
    
    array([[-1.5       ,  0.        ,  1.66666667]])
    
    
    
    
    
    >>> #缩放因子等属性
    
    >>> min_max_scaler.scale_                            
    
    array([ 0.5       ,  0.5       ,  0.33...])
    
    
    
    >>> min_max_scaler.min_                              
    
    array([ 0.        ,  0.5       ,  0.33...])
    
    


    当然,在构造类对象的时候也可以直接指定最大最小值的范围:feature_range=(min, max),此时应用的公式变为:

    X_std=(X-X.min(axis=0)) / (X.max(axis=0)-X.min(axis=0))

    X_scaled=[X_std/(max-min) ]+min

     

    三、正则化(Normalization)

    正则化的过程是将每个样本缩放到单位范数(每个样本的范数为1),如果后面要使用如二次型(点积)或者其它核方法计算两个样本之间的相似性这个方法会很有用。

    Normalization主要思想是对每个样本计算其p-范数,然后对该样本中每个元素除以该范数,这样处理的结果是使得每个处理后样本的p-范数(l1-norm,l2-norm)等于1。

                 p-范数的计算公式:||X||p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^1/p

    该方法主要应用于文本分类和聚类中。例如,对于两个TF-IDF向量的l2-norm进行点积,就可以得到这两个向量的余弦相似性。

    1、可以使用preprocessing.normalize()函数对指定数据进行转换:

    >> X = [[ 1., -1.,  2.],
    ...      [ 2.,  0.,  0.],
    ...      [ 0.,  1., -1.]]
    >>> X_normalized = preprocessing.normalize(X, norm='l2')
     
    >>> X_normalized                                      
    array([[ 0.40..., -0.40...,  0.81...],
           [ 1.  ...,  0.  ...,  0.  ...],
           [ 0.  ...,  0.70..., -0.70...]])


    2、可以使用processing.Normalizer()类实现对训练集和测试集的拟合和转换:

    >>> X = [[ 1., -1.,  2.],
    
    ...      [ 2.,  0.,  0.],
    
    ...      [ 0.,  1., -1.]]
    
    >>> X_normalized = preprocessing.normalize(X, norm='l2')
    
    
    
    >>> X_normalized                                     
    
    array([[ 0.40..., -0.40...,  0.81...],
    
           [ 1.  ...,  0.  ...,  0.  ...],
    
           [ 0.  ...,  0.70..., -0.70...]])
    >>> normalizer = preprocessing.Normalizer().fit(X)  # fit does nothing
    >>> normalizer
    Normalizer(copy=True, norm='l2')
     
    >>>
    >>> normalizer.transform(X)                            
    array([[ 0.40..., -0.40...,  0.81...],
           [ 1.  ...,  0.  ...,  0.  ...],
           [ 0.  ...,  0.70..., -0.70...]])
     
    >>> normalizer.transform([[-1.,  1., 0.]])             
    array([[-0.70...,  0.70...,  0.  ...]])

    补充:

    091414004623860.pnguploading.4e448015.gif正在上传…重新上传取消091414004623860.pnguploading.4e448015.gif正在上传…重新上传取消091414004623860.pnguploading.4e448015.gif正在上传…重新上传取消

     

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  • 一、标准化(Z-Score),或者去除...得到结果是,对于每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近,方差为1。实现时,有两种不同方式:使用sklearn.preprocessing.scale()函数,可以直接将给定数据进行标准化。 f

    一、标准化(Z-Score),或者去除均值和方差缩放
    公式为:(X-mean)/std 计算时对每个属性/每列分别进行。

    将数据按期属性(按列进行)减去其均值,并处以其方差。得到的结果是,对于每个属性/每列来说所有数据都聚集在0附近,方差为1。

    实现时,有两种不同的方式:

    使用sklearn.preprocessing.scale()函数,可以直接将给定数据进行标准化。

    from sklearn import preprocessing
    import numpy as np
    X = np.array([[ 1., -1., 2.],
    … [ 2., 0., 0.],
    … [ 0., 1., -1.]])
    X_scaled = preprocessing.scale(X)

    X_scaled
    array([[ 0. …, -1.22…, 1.33…],
    [ 1.22…, 0. …, -0.26…],
    [-1.22…, 1.22…, -1.06…]])

    处理后数据的均值和方差

    X_scaled.mean(axis=0)
    array([ 0., 0., 0.])

    X_scaled.std(axis=0)
    array([ 1., 1., 1.])
    使用sklearn.preprocessing.StandardScaler类,使用该类的好处在于可以保存训练集中的参数(均值、方差)直接使用其对象转换测试集数据。

    scaler = preprocessing.StandardScaler().fit(X)
    scaler
    StandardScaler(copy=True, with_mean=True, with_std=True)

    scaler.mean_
    array([ 1. …, 0. …, 0.33…])

    scaler.std_
    array([ 0.81…, 0.81…, 1.24…])

    scaler.transform(X)
    array([[ 0. …, -1.22…, 1.33…],
    [ 1.22…, 0. …, -0.26…],
    [-1.22…, 1.22…, -1.06…]])

    可以直接使用训练集对测试集数据进行转换

    scaler.transform([[-1., 1., 0.]])
    array([[-2.44…, 1.22…, -0.26…]])

    二、将属性缩放到一个指定范围
    除了上述介绍的方法之外,另一种常用的方法是将属性缩放到一个指定的最大和最小值(通常是1-0)之间,这可以通过preprocessing.MinMaxScaler类实现。

    使用这种方法的目的包括:

    1、对于方差非常小的属性可以增强其稳定性。

    2、维持稀疏矩阵中为0的条目。

    X_train = np.array([[ 1., -1., 2.],
    … [ 2., 0., 0.],
    … [ 0., 1., -1.]])

    min_max_scaler = preprocessing.MinMaxScaler()
    X_train_minmax = min_max_scaler.fit_transform(X_train)
    X_train_minmax
    array([[ 0.5 , 0. , 1. ],
    [ 1. , 0.5 , 0.33333333],
    [ 0. , 1. , 0. ]])

    将相同的缩放应用到测试集数据中

    X_test = np.array([[ -3., -1., 4.]])
    X_test_minmax = min_max_scaler.transform(X_test)
    X_test_minmax
    array([[-1.5 , 0. , 1.66666667]])

    缩放因子等属性

    min_max_scaler.scale_
    array([ 0.5 , 0.5 , 0.33…])

    min_max_scaler.min_
    array([ 0. , 0.5 , 0.33…])
    当然,在构造类对象的时候也可以直接指定最大最小值的范围:feature_range=(min, max),此时应用的公式变为:

    X_std=(X-X.min(axis=0))/(X.max(axis=0)-X.min(axis=0))

    X_scaled=X_std/(max-min)+min

    三、正则化(Normalization)
    正则化的过程是将每个样本缩放到单位范数(每个样本的范数为1),如果后面要使用如二次型(点积)或者其它核方法计算两个样本之间的相似性这个方法会很有用。

    Normalization主要思想是对每个样本计算其p-范数,然后对该样本中每个元素除以该范数,这样处理的结果是使得每个处理后样本的p-范数(l1-norm,l2-norm)等于1。

             p-范数的计算公式:||X||p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^1/p
    

    该方法主要应用于文本分类和聚类中。例如,对于两个TF-IDF向量的l2-norm进行点积,就可以得到这两个向量的余弦相似性。

    1、可以使用preprocessing.normalize()函数对指定数据进行转换:

    X = [[ 1., -1., 2.],
    … [ 2., 0., 0.],
    … [ 0., 1., -1.]]
    X_normalized = preprocessing.normalize(X, norm=’l2’)

    X_normalized
    array([[ 0.40…, -0.40…, 0.81…],
    [ 1. …, 0. …, 0. …],
    [ 0. …, 0.70…, -0.70…]])

    2、可以使用processing.Normalizer()类实现对训练集和测试集的拟合和转换:

    normalizer = preprocessing.Normalizer().fit(X) # fit does nothing
    normalizer
    Normalizer(copy=True, norm=’l2’)

    >

    normalizer.transform(X)
    array([[ 0.40…, -0.40…, 0.81…],
    [ 1. …, 0. …, 0. …],
    [ 0. …, 0.70…, -0.70…]])

    normalizer.transform([[-1., 1., 0.]])
    array([[-0.70…, 0.70…, 0. …]])

    展开全文
  • Andrew在他机器学习课程里强调,在进行学习之前要进行特征缩放,目的是保证这些特征都具有相近尺度,这将帮助梯度下降算法更快地收敛。...得到结果是,对于每个属性/每列来说所有数据都聚集...

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