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  • 实验一 第2关:从自然数中取3个数进行组合之递归算法任务描述
    2021-12-30 14:16:32

    任务描述
    本关任务:用递归算法找出 5 个自然数中取 3 个数的组合。

    编程要求
    请在右侧编辑器Begin-End处补充代码,完成本关任务。

    测试说明
    平台会对你编写的代码进行测试,比对你输出的数值与实际正确数值,只有所有数据全部计算正确才能通过测试:

    测试输入:5 3 (n=5,r=3;,表示从1,2,3,4,5自然数中选择 3 个数)

    预期输出:

    5 4 3
    5 4 2
    5 4 1
    5 3 2
    5 3 1
    5 2 1
    4 3 2
    4 3 1
    4 2 1
    3 2 1

    #include <stdio.h>
    int a[100];
    void combrecur(int n, int r)
    {
        /**********  Begin  **********/
        int i,j;
        for(i=n;i>=r;i--){ 
            a[r]=i;
            if(r>1){
                combrecur(i-1,r-1);
            }
            else{
                for(j=a[0];j>0;j--){
                    printf("%d",a[j]);
                    printf(" ");
                }
                printf("\n");
            }
        }
        /**********  End  **********/
    }
    void main()
    {
        /**********  Begin  **********/
        int n,r;
        scanf("%d %d",&n,&r);
        if(n>r){
            a[0]=r;
            combrecur(n,r);
        }
        /**********  End  **********/
    }
    
    
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  • 递归算法和过程的详解

    千次阅读 2021-02-07 08:37:00
    递归算法包含的两个部分 1 由其自身定义的与原始问题类似的更小规模的子问题(只有数据规模不同),它使递归过程持续进行,称为一般条件。 2 所描述问题的最简单的情况,它是一个能控制递归过程结束的条件,称为...

    看了很多博主的博文,加上看了几个视频,做了一些题目,感觉对递归有了一些认识,希望大家观看以后会对自己有所帮助。

    递归的算法详解

    • 递归的定义

    如果一个对象部分地由它自身组成或按它自己定义,则称它是递归的,所以说递归就是函数/过程/子过程在运行过程中直接或间接调用自身而产生的重入现象。

    • 递归算法包含的两个部分

    1 由其自身定义的与原始问题类似的更小规模的子问题(只有数据规模不同),它使递归过程持续进行,称为一般条件。
    2 所描述问题的最简单的情况,它是一个能控制递归过程结束的条件,称为基本条件。(递归出口)
    在这里插入图片描述

    • 递归的基本思想

    就是把一个规模大的问题分为若干个规模较小的子问题求解,而每一个子问题又可以分为几个规模更小的子问题。
    基本上,所有的递归问题都可以用递推公式来表示。
    最重要的一点就是假设子问题已经解决了,现在要基于已经解决的子问题来解决当前问题;
    或者说,必须先解决子问题,再基于子问题来解决当前问题
    或者可以这么理解:递归解决的是有依赖顺序关系的多个问题。

    • 递归的优缺点

    优点
    逻辑清楚,结构清晰,可读性好,代码简洁,效率高(拓展:DFS深度优先搜素,前中后序二叉树遍历)
    缺点
    函数调用开销大,空间复杂度高,有堆栈溢出的风险。

    • 什么样的问题可以用递归来求解?

    1.问题的解可以分解为几个子问题的解。(子问题:数据规模更小的问题)
    2.问题与子问题,除了数据规模不同,求解思路完全一样
    3.存在递归终止条件

    递归的过程详解

    • 递归的基本过程

    首先,我们要了解递归具有堆栈的结构特性:先进后出
    当我们在解决问题的过程中发现,这个问题的解,是依赖于一个规模更小的子问题的解,然后我们转向去求一个数据规模小,过程相同的子问题时,发现它的解依赖于规模更小的子问题,之后我们一步一步的求,突然发现最后的子问题的解可以直接求得(这便是递去的过程),然后用这一个子问题的解,来解决与其有关联的上一级子问题的解,最终求得目标问题的解(这便是归来的过程)。
    转化为代码中的思想
    函数执行到递归函数入口时,就扩充一段完全一样的代码,执行完扩充的代码并return后,继续执行前一次递归函数中递归函数入口后面的代码。

    • 递归中的变量的解释

    递去时:每进行一次新的调用,都将创建一批变量,他们将掩盖递归函数前一次调用所创建的变量。可以看出每一级的函数调用都有自己的局部变量,当追踪一个递归函数的执行过程时,必须把不同次调用的变量区分开来,以避免混淆。
    如果问题复杂时就有可能有堆栈溢出的风险。
    归来时:开始打印输出。然后函数返回,并开始销毁堆栈上的变量值。

    • 关于递归的理解

    阅读递归函数最容易的方法不是纠缠于它的执行过程,而是相信递归函数会顺利完成它的任务。如果你的每个步骤正确无误,你的限制条件设置正确,并且每次调用之后更接近限制条件,递归函数总是能正确的完成任务。

    返回的过程是隐秘的,但是确实存在的过程。

    关于递归的基本知识就这些,下面我们来结合一些代码更加深入的了解递归。

    • 汉诺塔问题(经典)

    Description
    汉诺塔(又称河内塔)问题是印度的一个古老的传说。

    开天辟地的神勃拉玛在一个庙里留下了三根金刚石的棒A、B和C,A上面套着n个圆的金片,最大的一个在底下,其余一个比一个小,依次叠上去,庙里的众僧不倦地把它们一个个地从A棒搬到C棒上,规定可利用中间的一根B棒作为帮助,但每次只能搬一个,而且大的不能放在小的上面。

    僧侣们搬得汗流满面,可惜当n很大时这辈子恐怕就很搬完了。

    聪明的你还有计算机帮你完成,你能写一个程序帮助僧侣们完成这辈子的夙愿吗?
    Input
    输入金片的个数n。这里的n<=10。
    Output
    输出搬动金片的全过程。格式见样例。
    Sample
    Input
    2
    Output
    Move disk 1 from A to B
    Move disk 2 from A to C
    Move disk 1 from B to C
    Hint
    可以用递归算法实现。

    第一步:将问题简化–复杂问题求解的基本方法
    现在假设A杆上,只有2个圆盘,即汉诺塔有两层,n=2;求解过程如下:

    在这里插入图片描述

    第二步:对于n(n>1)个圆盘的汉诺塔,将n个圆盘分为两部分,“上面n-1个圆盘”看成一个整体(也就是上图中画斜线的部分)
    所以就可以写出代码:

    #include <iostream>
    
    using namespace std;
    
    void carry(int n,char a/*起始柱*/,char b/*中间柱*/,char c/*目标柱*/){
    	if(n==1) printf("Move disk %d from %c to %c\n",n,a,c);  //结束条件:子问题中将起始柱上的第一个盘子移动到目标柱上 注意当前的a和c不一定代表A柱子和C柱子 
    	else{
    		carry(n-1,a,c,b);  //将起始柱上的n-1个盘子移动到中间柱子上    1
    		printf("Move disk %d from %c to %c\n",n,a,c);
    		carry(n-1,b,a,c);  //将中间柱子上的n-1个盘子移动到目标柱子上 
    	}
    }
    int main()
    {
    	int n;
    	cin>>n;
    	carry(n,'A','B','C');
    	return 0;
     } 
    

    所谓快速排序,效率很快,基本思想,两边交替向中间遍历,把大的放一边,小的放一边,再利用递归最终实现排序。

    #include <iostream>
    
    using namespace std;
    const int N=1e5+10;
    int a[N];
    
    void q_sort(int l,int r){
    	int i=l;
    	int j=r;
    	int k=a[i];
    	if(l>=r)  return ;   //如果左边界大于右边界返回空 
    	else{
    		while(i<j){
    			while(i<j&&a[j]>=k)j--;   //发现一个大于k的值就让该值放在之前k的位置 
    			a[i]=a[j];
    			while(i<j&&a[i]<=k)i++;
    			a[j]=a[i];
    		}
    		a[i]=k;         //把之前提取出来的一个值放到中间 
    		q_sort(l,i-1);   //重复这个过程 
    		q_sort(i+1,r);
    	}
    }
    
    void print(int n)
    {
    	for(int i=0;i<n;i++){
    		if(i==n-1) cout<<a[i]<<endl;
    	    else cout<<a[i]<<" ";
    	}
    }
    
    int main()
    {
    	int n;
    	cin>>n;
    	for(int i=0;i<n;i++)
    	{
    		cin>>a[i];
    	}
    	q_sort(0,n-1);
    	print(n);
    	
    	return 0;
    }
    

    二分查找和快排有一些相同的地方,二分查找把要查找的数与数列中中间值进行比较,从而每一次缩小一半。
    注意二分查找的序列一定时有序的。

    #include <iostream>
    
    using namespace std;
    const int N=1e7+10;
    int a[N];
    
    int search(int l,int r,int x){
    	int mid;
    	mid=(l+r)>>1;
    	while(l<=r){
    		if(a[mid]==x) return mid;
    		else if(a[mid]>x) return search(l,mid-1,x);
    		else if(a[mid]<x) return search(mid+1,r,x);
    	}
    	return -1;
    }
    
    int main()
    {
    	int n;
    	cin>>n;
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		cin>>a[i];
    	}
    	int q;
    	int x;
    	cin>>q;
    	while(q--){
    		cin>>x;
    		cout<<search(1,n,x)<<endl;
    	}
    	return 0;
     } 
    
    #include <iostream>
    #include<bits/stdc++.h>
    #define ll long long
    #define INF 0x3f3f3f3f
    const int N = 1e5 + 10;
    const int M = 111;
    using namespace std;
    
    int a[11];
    
    ///右移元素
    void move_r(int l,int r){
        if(l>=r) return ;
        int t=a[r];
        for(int i=r;i>l;i--) a[i]=a[i-1];
        a[l]=t;
    }
    
    ///左移元素
    void move_l(int l,int r){
        if(l>=r) return ;
        int t=a[l];
        for(int i=l;i<r;i++) a[i]=a[i+1];
        a[r]=t;
    }
    
    ///递归全排列
    void perm(int l,int r){
        if(l==r){
            for(int i=1;i<=r;i++){
                if(i==r) cout<<a[i]<<endl;
                else cout<<a[i]<<",";
            }
        }
        else{
            for(int i=l;i<=r;i++){
                swap(a[l],a[i]);
                move_r(l+1,i);
                perm(l+1,r);
                move_l(l+1,i);
                swap(a[l],a[i]);
            }
        }
    }
    
    int main()
    {
        int n;
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            cin>>a[i];
        }
        perm(1,n);
        return 0;
    }
    
    
    

    提升:八皇后问题

    • 结语
      我意识到用书面语讲这些题非常的麻烦,而且大家可能也听不懂,所以我就详细的介绍了基本的知识,至于题目,我只是稍微讲了一点思路,加上我给出的代码,大家自己思考出来的效果肯定会更好。
    展开全文
  • 算法设计与分析之递归算法

    千次阅读 2020-11-26 22:40:27
    简单易懂的介绍了递归算法的原理和设计方法


    前言

            递归算法真的是一座大山,想跨过它需要付出许多努力,这个过程中你可能想着放弃,当你有这个念头的时候,请咬牙坚持下去,因为当你翻越它之后将会欣赏到另一番风景。

    在这里插入图片描述

    一、递归算法概念

            直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。使用递归技术往往会使代码更简洁,使算法的描述更清晰且容易理解。

    二、递归算法的设计步骤

    1、分析并划分问题
            分析问题,将问题分解成若干个规模较小相互独立,但类型相同的子问题。需要注意的是各子问题的解必须能够组合成原始问题的一个完整答案。
    2、设计递归函数
            根据步骤1问题分解的过程,设计出相应的递归函数。设计递归函数时需要注意它的两要素:边界条件和递归方程,递归函数只有具备了这两个要素,才能在有限次计算后得出结果。
    3、设计程序
            根据递归函数设计出解决问题的程序。

    三、示例

            以下只给出题目,需要具体解析请查看文章递归整理及几个经典题目

    1、求阶乘

            给定一个非负整数n,求它的阶乘n!。

    2、斐波那契数列

            斐波那契数列的排列是:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144……依次类推下去,你会发现,它后一个数等于前面两个数的和。在这个数列中的数字,就被称为斐波那契数。

    3、汉诺塔

            有三根杆子X,Y,Z。X杆上有N个(N>1)穿孔圆盘,盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至Y杆:
            1、每次只能移动一个圆盘;
            2、大盘不能叠在小盘上面。

    4、排列问题

            输入一个字符串,打印出该字符串中字符的所有排列。例如输入字符串abc,则输出由字符a、b、c所能排列出来的所有字符串abc、acb、bac、bca、cab和cba。

    四、递归算法优缺点分析

    1、优点

            结构清晰,可读性强,而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性,因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。

    2、缺点

            递归算法的运行效率较低,无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。

    解决方法
            在递归算法中消除递归调用,使其转化为非递归算法。
            1、采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。该方法通用性强,但本质上还是递归,只不过人工做了本来由编译器做的事情,优化效果不明显。
            2、用递推来实现递归函数。
            3、通过变换能将一些递归转化为尾递归, 从而迭代求出结果。后两种方法在时空复杂度上均有较大改善,但其适用范围有限。

    小结

            对递归算法的介绍就到这里啦,希望这篇文章能给予你一些帮助,感谢各位人才的:点赞、收藏和评论,我们下次见。

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 递归算法(对递归的理解,解题思路,适合新手参考)目录前言递归什么是递归怎么使用递归为什么用递归案例:青蛙爬楼梯更好的解法总结 目录 前言 本人是一个刚刚开始学习算法的新手,在我学习算法的过程中,总是对...

    目录

    前言

    本人是一个刚刚开始学习算法的新手,在我学习算法的过程中,总是对递归这一个抽象的概念不是很清晰,终于在这几天自己思考了三四个小时后独立写出了一道关于经典递归的算法题,在没有看解答和提示的情况下通过思考推理写出来了,本人还是非常有成就感的,我认为这对我学习算法有里程碑式的意义,所以趁现在还有印象的时候写下我的思考过程,并将其作为我的第一篇博客,留给正在学习递归算法的人以作参考。

    递归

    什么是递归

    关于递归的概念,想必大家都在书本上有所了解,理解起来非常简单,不就是函数自己调用自己吗,如果给你一段递归的代码,你能很容易看出这是用的是递归

    public Node ReverseNode(Node node){
    		if(node==null||node.next==null)
    		return node;
    		Node nextNode=node.next;
    		Node newNode=ReverseNode(nextNode);
    		nextNode.next=node;
    		node.next=null;
    		return newNode;
    		
    	}
    

    比如这个,你不用知道这段代码代表什么意思,你也能看出这用的是递归,因为在方法里边又调用了本身这个方法,事实上这是反转链表的方法,等你看完后面的话,再来分析以下这段代码的特点吧

    怎么使用递归

    来理解递归这两个字 ,递归包括递(递去)归(归来),那么,递去是什么意思,要怎么递去,递去之后又要怎么归来?
    所谓递去,即是递进,怎么递进,将大的问题变成一个小的问题,再将小的问题变成更小的问题,怎么将大的问题变成更小的问题呢,需要提取重复的逻辑,就能缩小问题的规模。
    就像我们在影视或者文学作品中所了解的一个名叫轮回的概念一样,比如你想推开门,到门里边拿一样东西然后关上门,当你推开了一扇门,门里面还有一扇门,门里面还有一扇门,这就是递进的概念,当你第一次做推开门这个动作时,实际上你需要推开门里边的里边的门这个事件就已经确定了,如果门里边一直有门,那么你就需要一直做推开门这个动作,一直递进,那么该怎么结束这个递进呢,即怎么归来(回溯)呢,你需要找到递进的边界条件,即你需要推开那扇门后面再没有门的门,然后你终于可以拿到门后面的东西了,然后关掉那扇门,在关掉那扇门之前的那扇门,直到关掉你所打开的第一扇门,这就是回溯,最后你的行为的目的终于达到了,即返回你所拿到的东西。

    使用递归的方法这么多,我们尝试这归纳以下递归的特点:

    1. 边界条件
      明确递归终止的条件
    2. 递归前进段
      提取重复的逻辑,缩小问题的规模
    3. 递归返回段
      给出递归终止时的处理办法

    再打个比方,假如你拥有回到过去的能力,在假设中的某一次某一次事件中,你的女(男)朋友不行离世了,于是你要有你的能力回到过去,就会你的女(男朋友),你要找到一个你们都活下来的世界,第一次穿越,你失败了,于是穿越后的你再悔恨中再次穿越,再次穿越后的你还是失败了,于是你不断的穿越,终于,有一个穿越后的你救下了你的女(男)朋友,于是所有穿越的你在现实中回溯,现实的时间线开始向未来延申,于是你和你女(男)朋友都活下来的世界完成了,可喜可贺,可喜可贺
    看到这里,你应该知道什么是边界条件,什么是递归前进段,什么是递归返回段了吧

    为什么用递归

    曾经看到过一句话:To Iterate is Human,to Recurse,Divine,意思是人用迭代,神用递归,所以说递归是一种神奇的思维方法,它完全不像人的常规思维,一一列举,理论上用递归能实现的方法,用迭代也能实现,递归和迭代都是循环结构的一种,都是用有限的语句定义对象的无限集合,它们两个不同的地方是:迭代需要有一个确定的数量,而在很难确定循环次数的时候,递归只需要一个判定回归的边界条件就行了

    案例:青蛙爬楼梯(跳台阶)

    题目描述

    一只青蛙一次可以跳上1级台阶,也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法(先后次序不同算不同的结果)。

    需求认识

    输入:台阶数
    输出:跳法的数量

    台阶数跳法数
    00
    11
    22(一次跳一阶,跳两次+一次跳两阶)
    33(2+1)
    45(3+2)
    58(3+5)

    设计规划

    数据结构:数组,链表,栈,堆,树,图;(依靠算法决定)

    算法:分治法(可行),递归法(理论上可行),迭代法(理论上可行),贪心法(不是求最优),动态规划(理论上可行),穷举法(台阶数大的话太过复杂)

    需要注意的点

    1. 计数器(怎么统计跳法的数量)
    2. 跳法(有一次跳一阶和跳两阶之分,可以用数字1和2表示)
    3. 台阶数与跳法之间的关系(跳法每次跳的台阶总数要等于台阶数)

    决定用递归实现;

    分析:
    问题:得出跳法的数量
    分解为小问题:离最后跳完台阶的时候,还剩多少台阶(如果还剩一阶),则只剩唯一一种跳法,如果还剩两阶,则有两种跳法)

    **边界条件:**当所跳方法的步数总数恰好等于台阶总数时
    **递归前进段:**所跳总步数没有达到台阶数,计算离总阶数还剩一阶和两阶的跳法数量
    递归返回段: 跳法的总数

    编写程序

     public int JumpFloor(int target) {
            if(target==0)
                return 0;
            if(target==1)
                return 1;
             
             
            if((target-1)==0)
                return JumpFloor(target-1)+1;
     
            return JumpFloor(target-2)+2;
    

    这是我最初编的代码,当你输入的台阶数是1或者2的时候输出的结果是正确的,大家看出来不对的地方在哪里吗,其实我这里已经得出了递归的边界条件,即当target==0时,递归终止,递归的前进段是JumpFloor(target-1)和JumpFloor(target-2)代表跳一阶和跳两阶的次数,但是我这段代码最大的问题,是没有弄明白递归的返回段,即我这个方法要实现什么,是跳完这个台阶的所有的跳法,所以我这里因该返回的是JumpFloor(target-1)加上Jumpfloor(target-2),即是从一次跳一阶和跳两阶的次数相加

    测试检验

    能实现的代码如下:

    public static int JumpFloor(int target){
    		if(target==0)
    			return 0;
    		
    		if((target-1)==0)
    			return JumpFloor(target-1)+1;
    		if((target-2==0))
    			return JumpFloor(target-2)+2;
    		
    		return JumpFloor(target-1)+JumpFloor(target-2);
    		
    	}
    

    这样就能比较直观的看出递归的实现了,当所有的台阶数跳完之后,剩下的次数只能是0次,若刚开始跳一阶则只有一种跳法,如果跳两阶则有两种跳法,至于剩下的步骤方法次数就由递归来实现了
    这里代码的直观逻辑是由大见小,由上转下的,你直接看上去好像是从反着跳一样,但是代码真正执行的时候是由小见大的,即是从0开始跳,这也是分治法(由大转小,由小见大)的思想
    然后我返回的是两种路线所得出的方法之和。

    精简版本

    public static int JumpFloor(int target){
    					
    		if((target==1)
    			return 1;
    		if((target==2))
    			return 2;
    					
    		return JumpFloor(target-1)+JumpFloor(target-2);
    		
    	}
    

    更好的解法

    迭代法:

    之前说了,能用递归解决的东西,你用迭代基本上也能完成;什么是迭代呢,迭代就是规定一个次数,然后重复做一个事件多少次,然后返回结果

    首先我们得找出这个重复的事件是什么呢
    从我之前的表格中我们可以看出每个台阶数的出的跳法的次数从三阶台阶开始就是前两种台阶的跳法次数之和;
    得出这个规律之后
    我们就可以轻易的写出思路

    public int JumpFloor(int target) {
            int a = 1, b = 1;
            for (int i = 1; i < target; i++) {
                a = a + b;
                b = a - b;
            }
            return a;
        }
    

    这种方法是不是更符合人的直接思维,更好理解一些

    动态规划法:

    由于目前学的还不够深刻,留作以后补充

    总结

    这篇文章这要介绍的递归的概念(自己调用自己),特点(终止条件,递进方法,递归终止后的处理办法),以及和迭代的不同之处,最后用案例来展示了递归实现的思路以及实现,并且展示了该问题的迭代的实现方法
    最后相信知道斐波那契数列的人很快就发现了跳台阶的实现是不是很想斐波那契数列,实际上这就是变相的斐波那契数列,没有了解的人建议取百度上了解一下,那个是递归算法的经典应用

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空空如也

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关于递归算法的描述正确的是

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