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  • 一、 谓词逻辑相关概念、 1、 个体词、 2、 谓词、 3、 量词、 二、 一阶谓词逻辑公式、 三、 两个基本公式、 1、 公式一、 2、 公式二、 四、 命题符号化技巧、 ...3、 当且仅当谓词逻辑、 五、 命题符号化示例、



    参考博客 :





    一、 谓词逻辑相关概念





    1、 个体词


    个体词 :

    ① 个体 来源 : 一阶谓词逻辑 中 , 将 原子命题 分成 主语 和 谓语 , 这里便有了 个体词谓词 的 概念 ;

    ② 个体 概念 :独立存在的 客体 , 具体事物 , 抽象事物 ( 概念 ) 称为 个体个体词 ;

    ③ 个体 变元 : 使用 a,b,ca,b,c 表示个体变元 ;

    ④ 个体 常元 : 使用 x,y,zx, y, z 表示个体常元 ;

    ⑤ 个体域 概念 : 个体 变元 的取值 称为 个体域 ;

    ⑥ 个体域 取值 : 个体域 可以 取值 有穷集合无穷集合 ;

    ⑦ 全总个体域 : 宇宙间一切事物 组成的 个体域 称为 全总个体域 ;


    命题是陈述句 , 其中陈述句由 主语 , 谓语 , 宾语 组成 , 主语宾语就是个体 , 谓语就是谓词 ;

    谓词逻辑 由 个体 , 谓词 , 量词 组成 ;




    2、 谓词


    谓词 :

    ① 谓词概念 : 将表示 个体性质彼此之间关系 的 词 称为 谓词 ;

    ② 谓词表示 : 使用 F,G,HF, G, H 表示谓词 常元 或 变元 ;

    ③ 个体性质谓词表示 : F(x)F(x) 表示 xx 具有 性质 FF , 如 F(x)F(x) 表示 xx 是黑的 ;

    ④ 关系性质谓词表示示例 : F(x,y)F(x, y) 表示 x,yx, y 具有 关系 F , 如 : FFG(x,y)G(x, y) 表示 xx 大于 yy ;



    存在量词 : Exist 中的 E 左右翻转后倒过来 ;

    ① 语言对应 : 对应 自然语言 中 “有一个” , “存在着” , “有的” 等 ;

    ② 表示方式 : 使用符号 \exist 表示 ;

    ③ 解读1 : x\exist x 表示个体域中 存在着的 xx ;

    ④ 解读2 : x(F(x))\exist x( F(x) ) 表示 , 个体域中 存在 xx 具有性质 FF ;



    3、 量词


    全称量词 : Any 中的 A 上下颠倒过来 ;

    ① 语言对应 : 对应 自然语言 中 “任意” , “所有的” , “每一个” 等 ;

    ② 表示方式 : 使用符号 \forall 表示 ;

    ③ 解读1 : x\forall x 表示个体域中 所有的 xx ;

    ④ 解读2 : x(F(x))\forall x( F(x) ) 表示 , 个体域中所有的 xx 都具有性质 FF ;



    参考博客 : 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 )





    二、 一阶谓词逻辑公式



    命题公式 : 基本命题 ( 命题常元/变元 ) 和 若干 联结词 形成有限长度的字符串 ;

    ① 单个 命题变元 / 命题常元 是命题公式 ;

    ② 如果 AA 是命题公式 , 则 (¬A)(\lnot A) 也是命题公式 ;

    ③ 如果 A,BA,B 是命题公式 , 则 (AB),(AB),(AB),(AB)(A \land B) , (A \lor B), (A \to B), (A \leftrightarrow B) 也是命题公式 ;

    有限次 应用 ① ② ③ 形成的符号串 是命题公式 ; ( 无限次不行 )



    一阶谓词逻辑公式 : 在 命题公式 的基础上 , 加上一条条件 :

    如果 AA 是公式 , 则 xA\forall x AxA\exist x A 也是公式



    一阶谓词逻辑公式相关概念 :xA\forall x A , xA\exist x A 公式为例 ;

    指导变元 : ,\forall , \exist 量词后面的 xx 称为 指导变元

    辖域 : AA 称为 对应量词的辖域 ;

    约束出现 : x\forall x , x\exist x 辖域 AA 中 , xx 出现都是受约束的 , 称为约束出现 ;

    自由出现 : 辖域 AA 中 , 不是约束出现的变元 , 都是自由出现 ;


    参考博客 : 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 一阶谓词逻辑公式 | 示例 )





    三、 两个基本公式





    1、 公式一


    个体域中 所有 有性质 FF 的 个体 , 都 具有 性质 GG ;


    使用谓词逻辑如下表示 :

    F(x)F(x) : xx 具有性质 FF ;
    G(x)G(x) : xx 具有性质 GG ;
    ③ 命题符号化为 :
    x(F(x)G(x))\forall x ( F(x) \rightarrow G(x) )



    2、 公式二


    个体域 中 存在有性质 FF 同时有性质 GG 的个体 ;


    使用谓词逻辑如下表示 :

    F(x)F(x) : xx 具有性质 FF ;
    G(x)G(x) : xx 具有性质 GG ;
    ③ 命题符号化为 :
    x(F(x)G(x))\exist x ( F(x) \land G(x) )





    四、 命题符号化技巧





    1、 命题符号化方法


    命题符号化方法 :

    ① 写出个体域 : 先把 个体域 写明白 , 即 表明 x\forall x , 代表 所有的什么事物 , 如果是一切事物 , 那么必须注明是全总个体域 ;

    ② 写出性质个关系谓词 : 使用 F,G,HF , G , H 表明 个体的 性质 或 关系 ;

    ③ 命题符号 : 将 命题符号化 结果 注明 , 最好带上详细的解释 ;




    2、 谓词逻辑组合


    全称量词 或 存在量词 个体词 谓词 组合成的 谓词逻辑 , 也可以当做 一个 谓词逻辑 F(x)F(x)G(x,y)G(x, y) 部件 再次进行组合 ;

    如下 谓词逻辑 :

    x(F(x)y(G(y)H(x,y)))\forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))

    其中 y(G(y)H(x,y))\forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ) 是已经组合过的 谓词逻辑 , 现在将其当做一个 性质 , 或者 谓词逻辑部件 AA , 再次组合成 更加 复杂 和 庞大的 谓词逻辑 , 得到如下 :

    x(F(x)A)\forall x (F(x) \rightarrow A)

    因此 , 上述 谓词逻辑 展开后 , 就得到了最开始的

    x(F(x)y(G(y)H(x,y)))\forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))




    3、 当且仅当谓词逻辑


    当且仅当 谓词逻辑 符号化 :

    ( 1 ) 第三变量 : 一定要引入 第三方 的变量 ;


    ( 2 ) 性质 或 关系 正向 推演 : 一般模式是

    ① 对于所有的 xx 与 存在的一个 yy 有 某种性质或关系 ,
    ② 对于所有的 xx 和 所有的 zz 存在某种性质或关系 ;
    yyzz 具有相等的属性 ;


    ( 3 ) 性质 或 关系 反向推演 : 一般模式是

    ① 对于所有的 xx 与 存在的一个 yy 有 某种性质或关系 ,
    yy 与 所有的 zz 有另一种性质 或 关系 , 一般是相等 或 不等 关系 ,
    ③ 可以推出 xxzz 有 或者 没有 某种 性质 或 关系 ;





    五、 命题符号化示例



    参考 : 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) 三. 命题符号化 习题

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  • DFA的最小

    2019-09-30 10:53:31
    假设如果有p,q两个状态,对于任意的串w,$\delta(p,w)是接受状态, 当且仅当\delta(q,w)$,则称状态p和状态q是等价状态。 与等价状态相反的状态是可区分状态 判定可区分状态的算法 基础:如果p是接受状态,而q...

    等价状态

    DFA上的等价状态,即两个状态的效果是等过的。假设如果有p,q两个状态,对于任意的串w,$\delta(p,w)是接受状态, 当且仅当\delta(q,w)$,则称状态p和状态q是等价状态。

    与等价状态相反的状态是可区分状态

    判定可区分状态的算法

    基础:如果p是接受状态,而q是非接受状态,则状态p和q是可区分的。

    归纳:设p和q是满足下列条件的状态:对于某个输入符号$a \in \sum$,$r = \delta(p,a) 和 s = \delta(q,a)$是已知的可区分状态。则p和q也是可区分的状态对。

    这是因为r和s是可区分状态,所以存在某个串w使得$\delta(r,w) 和\delta(s,w)$恰有一个是接受状态。 于是串aw一定区分p和q,因为$\delta(p,aw) 和 \delta(q,aw) 与 \delta(r,w)和\delta(s,w)$是相同的状态对。

     

    所以初始时知道接受状态和非接受状态是可区分的状态,然后对于所有的$a \in \sum$,不断去测试状态集合中的状态,如果状态是可区分的,则分裂状态集合。

    直到状态集合不再分裂为止。

    转载于:https://www.cnblogs.com/beMaster/p/5072318.html

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  • 一. 谓词逻辑相关概念 1. 个体词 ( 1 ) 个体词 2. 谓词 ( 1 ) 谓词 ...二. 命题符号化 技巧 ...2. 命题符号化技巧 ...( 1 ) 命题符号化方法 ...( 3 ) 当且仅当 谓词逻辑方法 3. 谓词公式定义 ( 1 ) 谓词公式定义





    一. 谓词逻辑相关概念




    1. 个体词



    个体 简介 :

    • 1.个体 来源 : 一阶谓词逻辑 中 , 将 原子命题 分成 主语 和 谓语 , 这里便有了 个体词谓词 的 概念 ;
    • 2.个体 概念 :独立存在的 客体 , 具体事物 , 抽象事物 ( 概念 ) 称为 个体个体词 ;
    • 3.个体 变元 : 使用 a,b,ca,b,c 表示个体变元 ;
    • 4.个体 常元 : 使用 x,y,zx, y, z 表示个体常元 ;
    • 5.个体域 概念 : 个体 变元 的取值 称为 个体域 ;
    • 6.个体域 取值 : 个体域 可以 取值 有穷集合无穷集合 ;
    • 7.全总个体域 : 宇宙间一切事物 组成的 个体域 称为 全总个体域 ;

    命题是陈述句 , 其中陈述句由 主语 , 谓语 , 宾语 组成 , 主语宾语就是个体 , 谓语就是谓词 ;

    谓词逻辑 由 个体 , 谓词 , 量词 组成 ;






    2. 谓词



    谓词 简介 :

    • 1.谓词概念 : 将表示 个体性质彼此之间关系 的 词 称为 谓词 ;
    • 2.谓词表示 : 使用 F,G,HF, G, H 表示谓词 常元 或 变元 ;
    • 3.个体性质谓词表示 : F(x)F(x) 表示 xx 具有 性质 FF , 如 F(x)F(x) 表示 xx 是黑的 ;
    • 4.关系性质谓词表示示例 : F(x,y)F(x, y) 表示 x,yx, y 具有 关系 F , 如 : FFG(x,y)G(x, y) 表示 xx 大于 yy ;




    3. 量词



    ( 1 ) 全称量词


    全称量词 : Any 中的 A 上下颠倒过来 ;

    • 1.语言对应 : 对应 自然语言 中 任意 , 所有的 , 每一个 等 ;
    • 2.表示方式 : 使用符号 \forall 表示 ;
    • 3.解读1 : x\forall x 表示个体域中 所有的 xx ;
    • 4.解读2 : x(F(x))\forall x( F(x) ) 表示 , 个体域中所有的 xx 都具有性质 FF ;



    ( 2 ) 存在量词


    存在量词 : Exist 中的 E 左右翻转后倒过来 ;

    • 1.语言对应 : 对应 自然语言 中 有一个 , 存在着 , 有的 等 ;
    • 2.表示方式 : 使用符号 \exist 表示 ;
    • 3.解读1 : x\exist x 表示个体域中 存在着的 xx ;
    • 4.解读2 : x(F(x))\exist x( F(x) ) 表示 , 个体域中 存在 xx 具有性质 FF ;





    二. 命题符号化 技巧




    1. 两个基本公式 ( 重要 )



    ( 1 ) 有性质 F 的个体 都有性质 G


    个体域中 所有 有性质 FF 的 个体 , 都 具有 性质 GG ;


    使用谓词逻辑如下表示 :


    F(x)F(x) : xx 具有性质 FF ;
    G(x)G(x) : xx 具有性质 GG ;
    ③ 命题符号化为 :
    x(F(x)G(x))\forall x ( F(x) \rightarrow G(x) )




    ( 2 ) 存在既有性质 F 又有性质 G 的个体


    个体域 中 存在有性质 FF 同时有性质 GG 的个体 ;


    使用谓词逻辑如下表示 :


    F(x)F(x) : xx 具有性质 FF ;
    G(x)G(x) : xx 具有性质 GG ;
    ③ 命题符号化为 :
    x(F(x)G(x))\exist x ( F(x) \land G(x) )





    2. 命题符号化技巧



    ( 1 ) 命题符号化方法


    命题符号化方法 :

    • 1.写出个体域 : 先把 个体域 写明白 , 即 表明 x\forall x , 代表 所有的什么事物 , 如果是一切事物 , 那么必须注明是全总个体域 ;
    • 2.写出性质个关系 谓词 : 使用 F,G,HF , G , H 表明 个体的 性质 或 关系 ;
    • 3.命题符号 : 将 命题符号化 结果 注明 , 最好带上详细的解释 ;



    ( 2 ) 解题技巧


    全称量词 或 存在量词 个体词 谓词 组合成的 谓词逻辑 , 也可以当做 一个 谓词逻辑 F(x)F(x)G(x,y)G(x, y) 部件 再次进行组合 ;

    如下 谓词逻辑 :

    x(F(x)y(G(y)H(x,y)))\forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))

    其中 y(G(y)H(x,y))\forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ) 是已经组合过的 谓词逻辑 , 现在将其当做一个 性质 , 或者 谓词逻辑部件 AA , 再次组合成 更加 复杂 和 庞大的 谓词逻辑 , 得到如下 :

    x(F(x)A)\forall x (F(x) \rightarrow A)

    因此 , 上述 谓词逻辑 展开后 , 就得到了最开始的

    x(F(x)y(G(y)H(x,y)))\forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))




    ( 3 ) 当且仅当 谓词逻辑方法


    当且仅当 谓词逻辑 符号化方法 :


    当且仅当 谓词逻辑 符号化 :
    1> 第三变量 : 一定要引入 第三方 的变量 ;


    2> 性质 或 关系 正向 推演 : 一般模式是
    ① 对于所有的 xx 与 存在的一个 yy 有 某种性质或关系 ,
    ② 对于所有的 xx 和 所有的 zz 存在某种性质或关系 ;
    yyzz 具有相等的属性 ;


    3> 性质 或 关系 反向推演 : 一般模式是 :
    ① 对于所有的 xx 与 存在的一个 yy 有 某种性质或关系 ,
    yy 与 所有的 zz 有另一种性质 或 关系 , 一般是相等 或 不等 关系 ,
    ③ 可以推出 xxzz 有 或者 没有 某种 性质 或 关系 ;





    3. 谓词公式定义



    谓词公式定义 :

    • 1.原始谓词公式 : nn 元 谓词 是一个 谓词公式 ;
    • 2.否定式 : 如果 AA 是谓词公式 , 那么 (¬A)(\lnot A) 也是谓词公式 ;
    • 3.两个谓词公式 组合 : 如果 A,BA, B 是谓词公式 , 那么 (AB),(AB),(AB),(AB)(A \land B) , (A \lor B), (A \rightarrow B), (A \leftrightarrow B) 四种联结词 组合成的符号, 也是谓词公式 ;
    • 4.谓词公式 与 量词 组合 : 如果 AA 是谓词公式 , 且含有 个体变元xx , xx 没有被量词限制 , 那么 xA(x)\forall x A(x) , 或 xA(x)\exist x A(x) 也是谓词公式 ;
    • 5.有限次重复 : 有限次 对 谓词公式 使用 1. ~ 4. 方法进行处理 得到的 也是 谓词公式 ;

    谓词公式拼装 :
    1> 经过若干次 拼装 组合好 的谓词公式 , 或者 刚写出的 单个 谓词公式 , 可以 作为原始 谓词公式 SS ;
    2> 在 原始谓词公式 SS 前 加上 ¬\lnot 也是谓词公式 , 注意外部带上括号 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式 SS 使用 )
    3> 使用 联结词 将 两个 原始谓词公式 SS 连接起来 , 整个 组合 也是 谓词公式 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式 SS 使用 )
    4> 在 原始谓词公式 SS 前 加上 量词约束 xA(x)\forall x A(x) , 或 xA(x)\exist x A(x) , 组合后 也是 谓词公式 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式 SS 使用 ) ( 注意 前提 : 加入量词约束的 个体词 不能被 已有量词约束 )


    4> 步骤 的 注意点 :
    ① 前提 : 该谓词中的个体 , 没有被量词约束 , 如果有 不能重复约束 ;






    三. 命题符号化 习题




    1. 简单量词 示例



    ( 1 ) 全称量词示例


    题目 :

    • 1.要求 : 命题符号化 :
    • 2.命题内容 : 人都吃饭 ;

    ① 个体域 : 全总个体域 ;

    ② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

    • 1> F(x)F(x) : xx 是人 ;
    • 2> G(x)G(x) : xx 吃饭 ;

    ③ 命题符号化 :
    x(F(x)G(x))\forall x (F(x) \rightarrow G(x))




    ( 2 ) 全称量词 示例 2


    题目 :

    • 1.要求 : 命题符号化 :
    • 2.命题内容 : 某班级所有学生都学过微积分 ;

    ① 个体域 : 全总个体域 ;

    ② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

    • 1> F(x)F(x) : xx 是某班级的学生 ;
    • 2> G(x)G(x) : xx 学过微积分 ;

    ③ 命题符号化 :
    x(F(x)G(x))\forall x (F(x) \rightarrow G(x))




    ( 3 ) 存在 量词 示例


    题目 :

    • 1.要求 : 命题符号化 :
    • 2.命题内容 : 有人喜欢吃糖 ;

    解答 :

    ① 个体域 : 全总个体域 ;

    ② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

    • 1> F(x)F(x) : xx 是人 ;
    • 2> G(x)G(x) : xx 喜欢吃糖 ;

    ③ 命题符号化 :
    x(F(x)G(x))\exist x (F(x) \land G(x))



    另外一种符号化方法 : 将糖也堪称一个个体 :

    ① 个体域 : 全总个体域

    ② 谓词 : 性质/关系 定义 :

    • F(x)F(x) 表示 xx 是人
    • G(y)G(y) 表示 yy 是糖
    • H(x,y)H(x, y) 表示 xx 喜欢吃 yy

    ③ 命题符号化 :

    x(F(x)G(x)H(x,y))\exist x (F(x) \land G(x) \land H(x, y))






    2. 量词位置不同 导致的符号化 结果不同



    题目 :

    • 1.要求 : 命题符号化 :
    • 2.命题内容 : 男人都比女人跑得快 ;

    1> 方式 一 :


    ① 个体域 : 全总个体域 ;

    ② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

    • 1> F(x)F(x) : xx 是男人 ;
    • 2> G(y)G(y) : yy 是女人 ;
    • 3> H(x,y)H(x,y) : xxyy 跑得快 ;

    ③ 命题符号化 : x(F(x)y(G(y)H(x,y)))\forall x (F(x) \rightarrow \forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ))

    该命题符号有等价形式 :

    xy(F(x)G(y)H(x,y)))\forall x \forall y (F(x) \land G(y) \rightarrow H(x,y) ))


    这个命题是假命题 , 但是不妨碍我们将其符号化 ;


    符号化分析 :
    ① 将 y(G(y)H(x,y))\forall y ( G(y) \rightarrow H(x,y) ) 独立分析 , 首先 整个 命题都处于 x\forall x 作用域中 , 这里 有如下属性 , 所有的女人 , 所有的男人比女人跑的快 ; 将其看做一个独立的命题 AA ;
    ② 下面分析 x(F(x)A)∀x(F(x)→ A) , 对于所有的男人 来说 , 只要是男人 , 都有 命题 AA 的性质 ;



    2> 方式 二 :


    ① 个体域 : 全总个体域 ;

    ② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

    • 1> F(x)F(x) : xx 是男人 ;
    • 2> G(x)G(x) : xx 是女人 ;
    • 3> H(x,y)H(x,y) : xxyy 跑得快 ;

    ③ 命题符号化 : xy(F(x)G(x)H(x,y))\forall x \forall y (F(x) \land G(x) \rightarrow H(x,y))


    这个命题是假命题 , 但是不妨碍我们将其符号化 ;


    符号化分析 :
    F(x)G(x)F(x) \land G(x) 看做一个整体 AA , xx 是男人 , yy 是女人 , 针对所有的 x,yx, y 有性质 AA , 那么 x,yx, y 同时又有性质 或 关系 H(x,y)H(x,y) ;





    3. 带 或者 的 命题符号化



    ( 1 ) 带 或者 的 命题符号化


    题目 :

    • 1.要求 : 命题符号化 :
    • 2.命题内容 : 某班级中的每个学生都有一台电脑 或者 他有一个拥有电脑的朋友;

    解答 :

    ① 个体域 : 某班级的所有学生

    ② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

    • 1> F(x)F(x) : xx 有一台电脑 ;
    • 2> G(x,y)G(x, y) : xxyy 是朋友 ;

    ③ 命题符号 :
    x(F(x)y(F(y)G(x,y)))\forall x ( F(x) \lor \exist y ( F(y) \land G(x , y) ) )


    解析 :
    1> 个体域定义 : 个体域 定为 “某班级中的所有学生” ;


    2> 最外层量词确定 : 其都具有性质 “某班级中的每个学生都有一台电脑 或者 他有一个拥有电脑的朋友” , 因此 最外层必须是 全称量词 x(A(x))\forall x (A(x)) , 下面开始分析其中的 A(x)A(x) ;


    3> 两个性质之间是 或者 的关系 : 两个性质使用 \lor 进行连接 , 分别是 B(x)B(x) ( “有一台电脑” ) 和 C(x)C(x) ( “有一个拥有电脑的朋友” ) , 当前符号 : x(B(x)C(x))\forall x (B(x) \land C(x)) ;


    4> “有一台电脑” : 表示成 F(x)F(x) ; 当前符号 : x(F(x)C(x))\forall x (F(x) \land C(x)) ;


    5> “有一个有电脑的朋友” ( 这个比较复杂 ) :
    ① 首先 要虚构 一个 学生 yy , 这个 yy 代表那个有电脑的朋友 ;
    ② 再确定量词 : "有一个" 显然是存在量词 y\exist y ( 如果用全称量词的话 , 那班级所有人都是他的朋友 ) ;
    ③ 对这个 虚构的 yy 的要求是 , yy 同时满足两个条件 , “a. 有电脑” “b. x,yx,y 是朋友” , 因此使用 \land 将其连接起来 , 最终表示成 F(y)G(x,y)F(y) \land G(x , y) ;
    ④ 本句的符号为 : y(F(y)G(x,y))\exist y ( F(y) \land G(x , y) ) ;


    6> 最终符号为 : x(F(x)y(F(y)G(x,y)))\forall x ( F(x) \lor \exist y ( F(y) \land G(x , y) ) ) ;




    ( 2 ) 带 或者的 命题 示例 2


    命题符号化 :
    某班级中 每个 学生 或者 去过 北京 , 或者去过 上海


    解答 :


    命题符号化 结果 :

    ① 个体域 : 某班级全体学生

    ② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

    • 1> F(x)F(x) : xx 去过北京;
    • 2> G(x)G(x) : xx 去过上海;

    ③ 命题符号 :
    x(F(x)G(x))\forall x ( F(x) \lor G(x))


    解析 :


    1> 个体域 量词 分析 : x\forall x 指的是 某班级全体 学生 中的 每一个 , 所有的 学生 ;


    2> F(x)G(x)F(x) \lor G(x) 解读 : 表示 xx 去过 北京 或者 去过 上海 ;


    3> x(F(x)G(x))\forall x ( F(x) \lor G(x)) 解读 : 所有的学生 , 要么去过北京 , 要么去过上海 , 二者必选其一 , 且 只能选其一 ;





    4. 复杂命题 示例



    ( 1 ) 复杂命题的符号化


    题目 :

    • 1.要求 : 命题符号化 :
    • 2.命题内容 : 存在一个学生 xx, 对所有不同的两个学生 yyzz 来说 , 如果 xxyy 是好朋友 , 并且 xxzz 也是好朋友 , 那么 yyzz 不是好朋友;


    题目分析 :

    • 1.个体域分析 : 命题中涉及到的个体都是 学生 , 那么 将 个体域 设置为 全体学生 ;
    • 2.性质和关系分析 :
      • ① “对所有不同的两个学生” : 涉及到了 两个不同的学生 , 因此需要 定义一个 谓词 , 表示 两个学生是 不同的 或 相同的 ;
      • ② "xxyy 是好朋友" : 涉及到 两个 学生 是 或者 不是 好朋友 , 因此 这里需要定义一个谓词 , 表示 两个学生 是 或者 不是 好朋友 ;
    • 3.主题框架分析 :
      • ① 量词约束 : " 存在一个学生 xx, 对所有不同的两个学生 yyzz 来说 " 可以写出 最外围 的 量词约束 , xyz\exist x \forall y \forall z , 然后在对 x,y,zx, y , z 之间的关系进行描述 ;
      • ② "如果 xxyy 是好朋友 , 并且 xxzz 也是好朋友 , 那么 yyzz 不是好朋友; " : 这个命题 可以用 蕴涵 联结词 进行表示 ;
        • a> 命题 AA : "如果 xxyy 是好朋友 , 并且 xxzz 也是好朋友" ,
        • b> 命题 BB : "那么 yyzz 不是好朋友" ;
        • c> 命题 A,BA,B 的关系 : ABA \rightarrow B ;


    解答 :


    命题符号化 结果 :

    ① 个体域 : 全体学生

    ② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

    • 1> F(x,y)F(x, y) : xxyy 是好朋友;
    • 2> G(x,y)G(x, y) : xxyy 是相同的 ;

    ③ 命题符号 :
    xyz((¬G(y,z)F(x,y)F(x,z))¬F(y,z))\exist x \forall y \forall z ( ( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z) )


    解析 :


    1> 量词分析 : xyz\exist x \forall y \forall z 对应了 题目中的 "存在一个学生 xx, 对所有不同的两个学生 yyzz 来说"


    2> (¬G(y,z)F(x,y)F(x,z))( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) 分析 : 该句对应了 不同的两个学生 yyzz 来说 , 如果 xxyy 是好朋友 , 并且 xxzz 也是好朋友” 同时满足 这 三个条件 ;


    3> ¬F(y,z)\lnot F(y, z) 分析 : 对应了结果 “那么 yyzz 不是好朋友” ;


    4> 同时满足 3 条件 然后退出结果 : (¬G(y,z)F(x,y)F(x,z))¬F(y,z)( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z) ;


    5> 加上量词约束 得到最终结果 : xyz((¬G(y,z)F(x,y)F(x,z))¬F(y,z))\exist x \forall y \forall z ( ( \lnot G(y, z) \land F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow \lnot F(y, z) ) ;





    ( 2 ) 个体域变化 情况 的 两种分析


    题目 :

    • 1.要求 : 命题符号化 :
    • 2.命题内容 : 某班级中 有些学生去过 北京

    解答 :


    ( 1 ) 方法 一 ( 个体域 为 某班级全体学生 ) :


    命题符号化 结果 :

    ① 个体域 : 某班级全体学生

    ② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

    • 1> F(x)F(x) : xx 去过北京;

    ③ 命题符号 :
    x(F(x))\exist x ( F(x) )

    解析 : 直接写出即可 , 有些学生 , 使用 存在量词 x\exist x 表示 , x(F(x))\exist x( F(x) ) 表示 有些学生去过 北京 ;



    ( 1 ) 方法 二 ( 个体域 为 全总个体域 ) :


    命题符号化 结果 :

    ① 个体域 : 全总个体域

    ② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

    • 1> F(x)F(x) : xx 去过北京;
    • 2> G(x)G(x) : xx 是某班级的学生;

    ③ 命题符号 :
    x(F(x)G(x))\exist x ( F(x) \land G(x))

    解析 : x(F(x)G(x))\exist x ( F(x) \land G(x))


    1> 个体域分析 : 个体域 为 全总个体域 , 那么 x\exist x 就是 存在某个事物 , 这个事物属性是宇宙间的一些事物 ;


    2> F(x)G(x)F(x) \land G(x) : 可以 解读 为 存在某个事物 , 即是某班级的学生 , 有去过 北京 ;


    3> 完整解读 : x(F(x)G(x))\exist x ( F(x) \land G(x)) , 可以 解读 为 存在某个事物 , 即是某班级的学生 , 有去过 北京 ;




    ( 3 ) 当且仅当 转化问题


    题目 :

    • 1.要求 : 命题符号化 :
    • 2.命题内容 : 每个人有且只有一个好朋友

    解答 :


    命题符号化 结果 :

    ① 个体域 : 所有的人

    ② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

    • 1> F(x,y)F(x , y) : x,yx , y 是好朋友;
    • 2> G(x,y)G(x, y) : x,yx , y 相等;

    ③ 命题符号 一 :
    xyz((F(x,y)¬G(y,z))¬F(x,z))\forall x \exist y \forall z ( ( F(x,y) \land \lnot G(y, z) ) \rightarrow \lnot F(x,z) )

    解析 : 每个人仅有一个好朋友 , 此处 x,yx ,y 已经是好朋友了 , 如果出现一个 zzyy 不相等 , 那么 x,zx,z 一定不是好朋友 ;
    量词分析 :
    对于所有的 xx , 存在一个 yy 是他的朋友 , 所有的 zzxx 是好朋友 , 那么 这个 zz 就是 yy ;

    ④ 命题符号二 :
    xyz((F(x,y)F(x,z))G(y,z))\forall x \exist y \forall z ( ( F(x,y) \land F(x, z) ) \rightarrow G(y,z) )

    解析 : 每个人仅有一个好朋友 , 如果 x,yx,y 是好朋友 , x,zx,z 是好朋友 , 那么 y,zy,z 肯定相等 ;
    量词分析 :
    对于所有的 xx , 存在一个 yy 是他的朋友 , 所有的 zzxx 是好朋友 , 那么 这个 zz 就是 yy ;



    当且仅当 谓词逻辑 符号化方法 :


    当且仅当 谓词逻辑 符号化 :
    1> 第三变量 : 一定要引入 第三方 的变量 ;


    2> 性质 或 关系 正向 推演 : 一般模式是
    ① 对于所有的 xx 与 存在的一个 yy 有 某种性质或关系 ,
    ② 对于所有的 xx 和 所有的 zz 存在某种性质或关系 ;
    yyzz 具有相等的属性 ;


    3> 性质 或 关系 反向推演 : 一般模式是 :
    ① 对于所有的 xx 与 存在的一个 yy 有 某种性质或关系 ,
    yy 与 所有的 zz 有另一种性质 或 关系 , 一般是相等 或 不等 关系 ,
    ③ 可以推出 xxzz 有 或者 没有 某种 性质 或 关系 ;




    ( 4 ) 使用 全称量词 和 存在量词 两种形式 进行命题符号化


    题目 :

    • 1.要求 : 命题符号化 :
    • 2.命题内容 : 并非所有的动物都是猫

    解答 :


    命题符号化 结果 ( 全程量词 ) : 该方式 属于 正面解答 ;

    ① 个体域 : 全总个体域 宇宙间一切事物

    ② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

    • 1> F(x)F(x) : xx 是 动物;
    • 2> G(x)G(x) : xx 是 猫;

    ③ 命题符号 一 :
    ¬(x(F(x)G(x)))\lnot ( \forall x ( F(x) \rightarrow G(x) ) )

    解析 : 命题是 “并非所有的动物都是猫” , 这里我们开始拆解命题 :
    1> 提取否定 : 把并非提取出来 为 ¬\lnot , 否定的命题是 “并非所有的动物都是猫” ;
    2> 写出 “并非所有的动物都是猫” 命题 : 即 凡是具有动物性质的事物 , 都具有 是 猫 的性质 , 这里符号化为 x(F(x)G(x))\forall x ( F(x) \rightarrow G(x) ) ;
    3> 最终结果 : ¬(x(F(x)G(x)))\lnot ( \forall x ( F(x) \rightarrow G(x) ) ) ;



    命题符号化 结果 ( 存在量词 ) : 该方式 属于 侧面回答 ;

    转化命题 : 存在有的动物 不是猫 ;

    ① 个体域 : 全总个体域 宇宙间一切事物

    ② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

    • 1> F(x)F(x) : xx 是 动物;
    • 2> G(x)G(x) : xx 是 猫;

    ③ 命题符号 一 :
    x(F(x)¬G(x))\exist x ( F(x) \land \lnot G(x) )

    x(F(x)¬G(x))\exist x ( F(x) \land \lnot G(x) ) 解析 : 存在某个事物 , 其满足是动物的性质 , 同时满足 其不是猫 的性质 ;


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  • 命题逻辑--联结词

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    简单命题 又称原子命题,指不能再分解为更简单的陈述句的命题。 复合命题 由两个或几个简单句加上连词复合而成的命题。...当且仅当p的 真值为假的时,┐p的真值为真。 ┐p的真值表 p ┐p T...

    简单命题
    又称原子命题,指不能再分解为更简单的陈述句的命题。
    复合命题
    由两个或几个简单句加上连词复合而成的命题。
    命题的符号化
    用英文字母或英文字母和联结词的组合表示命题,称为命题的符号化。
    联结词就对应自然语言的连词。
    联结词
    1、否定 ┐
    设p是一个命题,┐p表示一个新命题“非p”。命题┐p称为p的否定。当且仅当p的
    真值为假的时,┐p的真值为真。
    ┐p的真值表

    p ┐p
    T F
    F T

    “非”、“不”、“无”、“没有”、“并非”等可以用┐来表示。
    2、合取∧
    设p、q为任意两个命题,p∧q可表示复合命题 “p且q”。当且仅当p和q同时为真,p∧q的真值为真。
    p∧q的真值表

    p q p∧q
    F F F
    F T F
    T F F
    T T T

    “和”、“与”、“也”、“并且”、“既…又”、“不仅…而且”、“虽然…但是”等这样的表连接或转折的词语。
    3、析取∨
    设p、q为任意两个命题,p∨q表示复合命题“p或q”。当且仅当p和q的真值同时为假的时候,p∨q的真值为假。
    p∨q的真值表

    p q p∨q
    F F F
    F T T
    T F T
    T T T

    “或”、“可能…可能”、“或者…或者”等可用v表示。
    或的二义性
    自然语言中或具有二义性:“兼容性或”和“不兼容性或”。
    兼容性或:电灯不亮是灯泡或线路有问题所致。
    不兼容性或(排斥或):派小王或小李中的一个人去开会。
    v表示兼容性或。
    例如:
    p:电灯不亮是因为灯泡有问题 q:电灯不亮是因为线路有问题
    pvq:电灯不亮是灯泡或线路有问题
    又例如:
    p:派小王去开会 q:派小李去开会
    (┐p∧q)v(┐q∧p):派小王或小李中的一个去开会
    4、蕴含→
    设p、q表示任意两个命题,p→q可表示复合命题“如果p,则q”。
    当且仅当p的真值为真,q的真值为假的时候,p→q的真值为假。
    p→q的真值表

    p q p→q
    F F T
    F T T
    T F F
    T T T

    蕴含式p→q
    p为蕴含前件,q为蕴含后件
    p是q的充分条件,q是p的必要条件
    表示:“如果p,则q” ,“如果p,那么q”,“当p则q”
    5、等价 ↔
    设p、q为任意两个命题,p↔q表示复合命题“p当且仅当q”
    当且仅当p和q同时为真或者同时为假的时候,p↔q为真
    p↔q的真值表

    p q p↔q
    F F T
    F T F
    T F F
    T T T

    等值式p↔q
    表示p与q互为充分必要条件的逻辑关系
    表示形如“p当且仅当q”,“如果p,那么q,反之亦然”等的命题

    五种表达式加上括号的优先级
    () ┐ ∧ ∨ → ↔
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