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  • 离散数学仅当当且仅当

    千次阅读 多人点赞 2019-03-17 03:30:14
    每次看到有仅当就觉得很别扭,综合了一些博主的看法,自己推了推,把它写下来记住。 首先是蕴含式 p->q,意思是如果有p成立,那么q也成立,也就是说p的范围比较大,连p都成立了,q一定会成立。比如说...

    每次看到有当,仅当就觉得很别扭,综合了一些博主的看法,自己推了推,把它写下来记住。

    首先是蕴含式 p->q,意思是如果有p成立,那么q也成立,也就是说p的条件更强,连p都成立了,q一定会成立。比如说如果一个三角形是等边三角形,那么这个三角形是一个等腰三角形。这个容易理解,我们把(如果,那么)换成(当,)也是成立的:当一个三角形是等边三角形,这个三角形是一个等腰三角形。

    然后来看等价的变换就清楚了:

    p当q:

    (当p,q )我们知道可以写成(p->q),换个顺序就是(q当p),所以说(p当q)应该写成(q->p),q是p的充分条件

    p仅当q:

    同样的思路,(p仅当q)换个顺序就是(仅当q,p),仅当q成立的时候,p才成立,也就是说如果q不成立,那么p也不成立,(如果,那么)我们很熟悉可以写成(非q-> 非p),逆否命题就是(p->q),q是p的必要条件

    p当且仅当q:

    这个就不用说了吧,既然又是充分条件,又是必要条件,那就变成充要条件了。

    一个小点:

    之所以会有困难,是因为这里用了倒装,我们看到这种句子的时候,应该先看后面的东西,再看前面的东西,举个例子,是什么东西吖离散数学,翻译过来应该是:离散数学是什么东西吖 才对,所以p当q 翻译过来应该是 当q,p,所以在写的时候可以直接写成(q->p),而(p仅当q)可以直接写成(p->q)。

    参考了知乎的一篇文章,深受启发,加上了自己的一点理解: https://www.zhihu.com/question/28594040

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  • 离散数学-各种关联词的符号化

    千次阅读 2017-02-28 23:14:00
    离散数学--关联词的符号化问题 ①如果p那么q p->q; ②只有p才q q->p;(p是q的必要条件) 仔细想一下,只有p->q和q->p两种情况,p成立不一定q成立,而q成立,那么p就一定成立,所以后者正确; ③只要p就q ...

    离散数学--关联词符号化问题

    ①如果p那么q           p->q;

    ②只有p才q          q->p;(p是q的必要条件)

    仔细想一下,只有p->q和q->p两种情况,p成立不一定q成立,而q成立,那么p就一定成立,所以后者正确;

    ③只要p就q               p->q;(p是q的充分条件)  同①

    ④仅当p, q                 q->p(仅当不就是只有吗?)

    ⑤当且仅当p,q           q<->p(充要条件,与==等价)

    ⑥除非p 否则 q         非q->p

    (例:除非世界末日,否则我活着 》》 我死 -> 世界末日)

    只要 就-------充分条件

    只有 才-------必要条件

    暂时没有例子 

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  • 改研究的意义在于去实现概念的逻辑表达,以便可以用逻辑符号去描述知识世界,是早期人工智能的主要研究方向。 1、认识逻辑运算符 在形式逻辑中,逻辑运算符或逻辑联结词把语句连接成更复杂的复杂语句。例如,假设...

    今天所讲的是如何使用逻辑运算的方式去表示一个命题。改研究的意义在于去实现概念的逻辑化表达,以便可以用逻辑符号去描述知识世界,是早期人工智能的主要研究方向。

    1、认识逻辑运算符

    在形式逻辑中,逻辑运算符或逻辑联结词把语句连接成更复杂的复杂语句。例如,假设有两个逻辑命题,分别是“正在下雨”和“我在屋里”,我们可以将它们组成复杂命题“正在下雨,并且我在屋里”或“没有正在下雨”或“如果正在下雨,那么我在屋里”。一个将两个语句组成的新的语句或命题叫做复合语句或复合命题。(来源百度)
    基本的操作符有:

    名称(符号)符号类型作用
    “非”(¬)一元操作符¬ P 表示 与P要表达的意义相反,在自然语言中,常用“不是”、“非”来表示
    “与”(∧)二元操作符P ∧ Q, 表示P和Q同时成立,在自然语言中,常用“一边…一边…”、“不仅…而且…”、“同时…”、“既…又…”来表示
    “或”(∨)二元操作符P ∨ Q 表示P和Q至少发生一个,在自然语言中,常用“或者”来表示
    “条件”(→)二元操作符P → Q表示P是Q的必要条件
    “双条件”(↔)二元操作符P ↔ Q表示P与Q互为充要条件

    2、符号化套路

    名词处理
    名词可以分为两类,一类是常量名词,一类是变量名词

    举例欧拉常数是无理数
    解析

    • 欧拉常数就是常量名词,表达时常用 a, b, c…等字母
    • 无理数则是变量名词, 往往表示一类实物,可以用x,y,z… 字母表示

    答案
       令 a:欧拉常数, F(x):x是无理数
       则原命题可以符号化为:F(a)

    谓词处理
    谓词一般会结合变量名词,一起出现,在符号化时会被表示为一个函数,常见的表达有“是…”,“能够…”,“发生了…”

    举例我会死
    答案
       令 a:我, F(x):x会死
       则原命题可以符号化为:F(a)

    举例他打了张三
    答案
       令 a:他, F(x):x打了张三
       则原命题可以符号化为:F(a)
        -------或者-------
       令 a:他,b:张三, F(x,y):x 打了y
       则原命题可以符号化为:F(a, b)

    条件类

    凡是类:看到 “凡是… 都”,“一切…都”等表示所有的,要使用
    ∀x:个体域里的所有个体,个体域是事先确定的。
    ∀xH(x):个体域里所有的x都有关系都有性质H,
    ∀x∀yG(x,y):个体域里所有的x和y都有关系G。

    举例所有动物都是碳基的
    答案
        令 a:动物, F(x):x是碳基的
        则原命题可以符号化为: ∀ a F ( a ) ∀_{a}F(a) aF(a)

    举例尖子班的每一个学生都比普通班的学生强
    解析对于每一个尖子班和每一个普通班的学生,都有尖子班的学生比普通的学生强
    答案
        令 F(x):x是学生, J(x):x在尖子班, N(x):x在普通班, Strong(x,y): x比y强
        则原命题可以符号化为: ∀ x ∀ y ( F ( x ) ∧ F ( y ) ∧ J ( x ) ∧ N ( y ) → S t r o n g ( x , y ) ) ∀_{x}∀_{y}(F(x)∧F(y)∧J(x)∧N(y) → Strong(x,y)) xy(F(x)F(y)J(x)N(y)Strong(x,y))

    存在类:看到 “有的…”,“存在… 使得… ”等,要使用
    ∃x:个体域里的某个个体,个体域是事先确定的。
    ∃xH(x):个体域里某个x具有性质H,
    ∃x∃yG(x,y):个体域里某个x和某个y有关系G。

    举例有的数是无理数,有的数是有理数
    答案
        令 F(x): x是数. Q(x):x是有理数, N(x):x是无理数,
        则原命题可以符号化为: ( ∃ x ( Q ( x ) ∧ F ( x ) ) ) ∧ ( ∃ y ( N ( y ) ∧ F ( y ) ) ) (∃x(Q(x)∧F(x)))∧(∃y(N(y)∧F(y))) (x(Q(x)F(x)))(y(N(y)F(y)))

    3、更多练习

    例 1:如果下雨,则我打伞。
    答案
        令 F(x): x下雨, G(x): x打伞, a: 天, b: 我
        则原命题可以符号化为:F(a) → G(b)

    例 2: 三角形的三个内角之和是180°,当且仅当过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。
    解析

    • 前半句话和后半句话都是定理,定理的真正都为1,关系上呈现出等价
    • 有且仅有一条可以理解为,存在x1 使得结论成立,并且不存了x2(x2 ≠ x1)使得结论成立
      答案
          令 F(x): x是三角形的三个内角之和, G(x): x是180度, L(x): x是直线, P(x): x是点, Parallel(x,y): x 和 y 平行, H(x, y, z): x 过 y 外 z, Eq(x, y): x 和 y 相同。
          则原命题可以符号化为:
      ∀ x ( F ( x ) → G ( x ) ) ↔ ∀ x ∀ y ( L ( x ) ∧ P ( y ) → ( ∃ z 1 ( L ( z 1 ) ∧ H ( z 1 , x , y ) ∧ P a r a l l e l ( z 1 , x ) ) ∧ ¬ ∃ z 2 ( L ( z 2 ) ∧ ¬ E q ( z 1 , z 2 ) ∧ H ( z 2 , x , y ) ∧ P a r a l l e l ( z 2 , x ) ) ) ) ∀_{x}(F(x) → G(x)) ↔ ∀_{x}∀_{y}( L(x)∧P(y) → ( ∃z_{1}( L(z_{1})∧H(z_{1}, x, y)∧Parallel(z_{1},x)) ∧ ¬∃z_{2}( L(z_{2})∧ ¬Eq(z_{1}, z_{2}) ∧ H(z_{2}, x, y) ∧ Parallel(z_{2},x) ) ) ) x(F(x)G(x))xy(L(x)P(y)(z1(L(z1)H(z1,x,y)Parallel(z1,x))¬z2(L(z2)¬Eq(z1,z2)H(z2,x,y)Parallel(z2,x))))

    例 3:李白要么擅长写诗,要么擅长喝酒。
    答案
        令 a: 李白, F(x): x喝酒, G(x): x写诗
        则原命题可以符号化为:(F(x)∧ ¬G(x))∨( ¬F(x)∧ G(x))

    例 4:李白既不擅长写诗,也不擅长喝酒。
    答案
        令 a: 李白, F(x): x喝酒, G(x): x写诗
        则原命题可以符号化为:¬F(x)∧ ¬G(x)

    文章参考由李德毅编写的《人工智能导论》,有差别的地方,请自行斟酌,取之精华。

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  • 【离散数学】命题逻辑符号化例题

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    简单说几个命题逻辑符号化例题
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空空如也

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