1、当集合可能为空集时，需要分类讨论如果忽视了一些集合可能为空集的情况，就很容易出错。如在，中，都隐含着A可能为空集的情况。例1  已知，且，求实数a的取值范围。分析：如图1所示。①当时，适合题意。②当即a≤3时，由及图1知，解得。由①②知实数a的取值范围为。 2、当集合中元素个数不定时，需要分类讨论例2  已知，且，求实数p的取值范围。分析：x=0显然不是方程的实根。由知A中元素为负实数。①当A中方程有两个负实根或一个负实根时，，解得。②当A中方程无实根时，，解得。综上知p的取值范围是 3、当变量所在范围不定时，需要分类讨论例3  解不等式。分析：令，则，而－1，0将数轴分成三部分。当x<－1时，，解得当时，恒成立，可得。当x>0时，，解得。故原不等式的解集为。 4、当判别式正负不定时，需要分类讨论例4  解关于x的不等式。分析：由于的符号不能确定，所以必须对进行分类讨论。当=0即时，由a=4知原不等式的解集为知原不等式的解集为。当△>0即a>4或a<－4时，原不等式的解集为。当△<0即时，原不等式的解集为R。 5、当含参端点大小不定时，需要分类讨论例5  已知，且，求实数a的取值范围。分析：方程的两个实根为a和3a。显然，不能默认，应对a和3a的大小进行分类讨论。①当3a>a即a>0时，，由及图2知，解得②当即a<0时，，由及图3知，解得③当3a=a即a=0时，，适合题意。由①②③知实数a的取值范围为。 6、当出现含参系数时，需要分类讨论例6  已知，且，求实数a的取值范围。分析：易得①当即时，无解，即，不合题意。②当即时，的解为x=1，即B={x|x=1}，不合题意。③当1+a>0即a>－1时，可化为，即。再针对a进行讨论。当a>0时，其解为，即，不合题意。当a=0时，其解集为R，即B=R。当时，其解为，即。因，所以。由上面的讨论可知，只有当a=0或时，即。由①②③知a的取值范围是。 7、尽量避开分类讨论因为分类讨论是一件非常麻烦的事，稍有疏忽就会出错，所以能避开分类讨论时，应尽量避开。例7  已知关于x的不等式的解集为非空集合，求实数a和m的值。分析：由题意知关于x的不等式的解集为，所以关于的一元二次方程的两个根为2和，由根与系数的关系得，解得。
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因为分类讨论是一件非常麻烦的事，稍有疏忽就会出错，所以能避开分类讨论时，应尽量避开。
1、当集合可能为空集时，需要分类讨论
如果忽视了一些集合可能为空集的情况，就很容易出错。如在，中，都隐含着A可能为空集的情况。
例1、已知，且，求实数a的取值范围。
分析：如图1所示。①当时，适合题意。②当即a≤3时，由及图1知，解得。
由①②知实数a的取值范围为。
2、当集合中元素个数不定时，需要分类讨论
例2、已知，且，求实数p的取值范围。
分析：x=0显然不是方程的实根。由知A中元素为负实数。①当A中方程有两个负实根或一个负实根时，，解得。②当A中方程无实根时，，解得。
综上知p的取值范围是
3、当变量所在范围不定时，需要分类讨论
例3、解不等式。
分析：令，则，而－1，0将数轴分成三部分。
当x<－1时，，解得
当时，恒成立，可得。
当x>0时，，解得。
故原不等式的解集为。
4、当判别式正负不定时，需要分类讨论
例4、解关于x的不等式。
分析：由于的符号不能确定，所以必须对进行分类讨论。
当=0即时，由a=4知原不等式的解集为知原不等式的解集为。
当△>0即a>4或a<－4时，原不等式的解集为
。
当△<0即时，原不等式的解集为R。
5、当含参端点大小不定时，需要分类讨论
例5、已知，且，求实数a的取值范围。
分析：方程的两个实根为a和3a。显然，不能默认，应对a和3a的大小进行分类讨论。
①当3a>a即a>0时，，
由及图2知，解得
②当即a<0时，，
由及图3知，解得
③当3a=a即a=0时，，适合题意。
由①②③知实数a的取值范围为
。
6、当出现含参系数时，需要分类讨论
例6、已知，且，求实数a的取值范围。
分析：易得
①当即时，无解，即，不合题意。
②当即时，的解为x=1，即B={x|x=1}，不合题意。
③当1+a>0即a>－1时，可化为，即。再针对a进行讨论。
当a>0时，其解为，即，不合题意。当a=0时，其解集为R，即B=R。当时，其解为，即。
因，所以。由上面的讨论可知，只有当a=0或时，即。
由①②③知a的取值范围是。
	

	

因为分类讨论是一件非常麻烦的事，稍有疏忽就会出错，所以能避开分类讨论时，应尽量避开。
1、当集合可能为空集时，需要分类讨论
如果忽视了一些集合可能为空集的情况，就很容易出错。如在，中，都隐含着A可能为空集的情况。
例1、已知，且，求实数a的取值范围。
分析：如图1所示。①当时，适合题意。②当即a≤3时，由及图1知，解得。
由①②知实数a的取值范围为。
2、当集合中元素个数不定时，需要分类讨论
例2、已知，且，求实数p的取值范围。
分析：x=0显然不是方程的实根。由知A中元素为负实数。①当A中方程有两个负实根或一个负实根时，，解得。②当A中方程无实根时，，解得。
综上知p的取值范围是
3、当变量所在范围不定时，需要分类讨论
例3、解不等式。
分析：令，则，而－1，0将数轴分成三部分。
当x<－1时，，解得
当时，恒成立，可得。
当x>0时，，解得。
故原不等式的解集为。
4、当判别式正负不定时，需要分类讨论
例4、解关于x的不等式。
分析：由于的符号不能确定，所以必须对进行分类讨论。
当=0即时，由a=4知原不等式的解集为知原不等式的解集为。
当△>0即a>4或a<－4时，原不等式的解集为
。
当△<0即时，原不等式的解集为R。
5、当含参端点大小不定时，需要分类讨论
例5、已知，且，求实数a的取值范围。
分析：方程的两个实根为a和3a。显然，不能默认，应对a和3a的大小进行分类讨论。
①当3a>a即a>0时，，
由及图2知，解得
②当即a<0时，，
由及图3知，解得
③当3a=a即a=0时，，适合题意。
由①②③知实数a的取值范围为
。
6、当出现含参系数时，需要分类讨论
例6、已知，且，求实数a的取值范围。
分析：易得
①当即时，无解，即，不合题意。
②当即时，的解为x=1，即B={x|x=1}，不合题意。
③当1+a>0即a>－1时，可化为，即。再针对a进行讨论。
当a>0时，其解为，即，不合题意。当a=0时，其解集为R，即B=R。当时，其解为，即。
因，所以。由上面的讨论可知，只有当a=0或时，即。
由①②③知a的取值范围是。
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我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为
，并规定，空集是任何集合的子集。空集是任何非空集合的真子集。
一、求某个集合的子集要先写空集。
学生作业常常出现这样的错误。求某个集合的子集或子集个数，容易漏写空集。避免这种错误出现的绝招是首先写空集。
二、涉及两个集合的关系时遗漏空集。
已知集合A={x|2a≤x≤a+3，a∈R}，B={x|X5}，若A∩B=
，则a的取值范围是()
〔思路探寻〕显然B≠
，A=
时A∩B=
符合要求，所以需对集合A进行讨论。
解：由已知A∩B=
，A={X|2a≤X≤a+3}，可得
①若A=
，有2a>a+3，解得a>3;
〔跟踪演练〕已知集合A={x|x^2+3X一18>0}，B={x|(X一K)(X一K一1)≤0}，若A∩B≠
，求K的取值范围。
〔思路探寻〕A∩B≠
时K的取值范围不好直接求，可考虑问题的反面：先求A∩B=
时对应的K的取值范围，然后取其补集，即得。
三、集合运算中含参数的问题。
例：若A={X∈R|x^2一aX+a^2一19=0}，B={X|X^2一5X+6=0}，C={Ⅹ|X^2+2X一8=0}。
〔思路探寻〕①先求集合B，再求集合B的子集即集合A，集合A表示一元二次方程的根，对集合A展开讨论，注意别遗漏空集。当A为空集时，方程无解，△<0;当A为单元素集时，方程有两个相等的实根，△=0;当A={2，3}时，方程有两个不相等的实根，△>0
②先求集合C，再由A与B，A与C的关系求a。
解：
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#我和头条的故亊#