一、 集族

集族 : 除 $P(A)$ 幂集之外 , 由 集合构成的集合 , 称为集族 ;

带指标集的集族 : 集族中的集合 , 都赋予记号 , 就是带指标集的集族 ;

$\mathcal{A}$ 是一个集族 , $S$ 是一个集合

对于任意 $\alpha \in S$ , 存在 唯一的 $A_{\alpha }\in \mathcal{A}$ ($\alpha$ 是 $S$ 中的元素 , $A_{\alpha }$ 是集族 $\mathcal{A}$ 中的集合元素 )

并且 $\mathcal{A}$ 集族中的任何集合元素 , 都对应 $S$ 集合中的某一个元素

称 $\mathcal{A}$ 集族 是以 $S$ 集合 为指标集的集族

$S$ 集合 是 $\mathcal{A}$ 集族 的 指标集

记作 : A = { A α ∣ α ∈ S } \mathscr{A} = \{A_\alpha | \alpha \in S \} A={Aα​∣α∈S}

如果将 $\varnothing$ 看做集族 , $\varnothing$ 称为 空集族 ;

二、 集族示例

1. 集族示例 1 : 指标集有限 , 集族中集合元素有限

集合 A 1 = { 1 } A_1 = \{1\} A1​={1} , 集合 A 2 = { 2 } A_2 = \{ 2 \} A2​={2} , 那么 集族 A = { A 1 , A 2 } \mathscr{A} = \{ A_1 , A_2 \} A={A1​,A2​} 是以 { 1 , 2 } \{1 , 2\} {1,2} 集合为指标集的集合 ;

2. 集族示例 2 : 指标集有限 , 集族中集合元素有限

$p$ 是素数

集合 A k = { x ∣ x = k ( m o d    p ) } A_k = \{ x | x = k( mod \ \ p ) \} Ak​={x∣x=k(mod  p)} , 其中 $k=0,1,2,\cdots ,p-1$

集族 A = { A 0 , A 1 , A 2 , ⋯   , A p − 1 } \mathscr{A} = \{ A_0 , A_1 , A_2 , \cdots , A_{p-1} \} A={A0​,A1​,A2​,⋯,Ap−1​} 是以 集合 { 0 , 1 , 2 , ⋯   , p − 1 } \{0, 1 , 2 , \cdots , p-1\} {0,1,2,⋯,p−1} 为指标集的 集族 ;

记作 : A = { A k ∣ k ∈ { 0 , 1 , 2 , ⋯   , p − 1 } } \mathscr{A} = \{ A_k | k \in \{0, 1 , 2 , \cdots , p-1\} \} A={Ak​∣k∈{0,1,2,⋯,p−1}}

3. 集族示例 3 : 指标集无限 , 集族中集合元素有限

集合 A n = { x ∈ N   ∣   x = n } An = \{ x \in N \ | \ x = n \} An={x∈N ∣ x=n} 是由一个自然数元素 $n$ 组成的集合 ;

集族 A = { A n ∣ n ∈ N } \mathscr{A} = \{ A_n | n \in N \} A={An​∣n∈N} 就是以 $N$ 为指标集的集族 ;

4. 集族示例 4 : 指标集 $N_{+}$ 无限 , 集族中的每个元素集合中的元素也是无限的 ;

$N_{+}=N-0$ , $N_{+}$ 是除 $0$ 意外的自然数集合

集合 A n = { x   ∣   0 ≤ x < 1 / n ∧ n ∈ N } A_n = \{ x \ | \ 0 \leq x < 1 / n \land n \in N \} An​={x ∣ 0≤x<1/n∧n∈N} , $x$ 是 $[0,1)$ 区间的实数集合 , $n$ 表示除 $0$ 以外的自然数 ;

$A_n$ 集合中的元素是无限的 , 其取值范围是 $[0,1/n)$ , 是个区间 ;

集族 A = { A n ∣ n ∈ N + } \mathscr{A} = \{ A_n | n \in N_+ \} A={An​∣n∈N+​} 就是以 $N_{+}$ 为指标集的集族 ;

三、 多重集

多重集 : 全集 $E$ , $E$ 中的元素 , 多次在集合 $A$ 中出现 , 称 集合 $A$ 是多重集 ;

重复度 : $E$ 中的元素 $a$ 在 集合 $A$ 中 出现 $k$ 次 , 称 $a$ 元素在 $A$ 集合中重复度为 $k$ ;

多重集示例 :

全集 E = { a , b , c , d } E = \{a, b, c, d \} E={a,b,c,d}

多重集 A = { a , a , a , c , c , d } A = \{ a , a , a , c , c , d \} A={a,a,a,c,c,d} ,

$a$ 元素在 $A$ 集合的重复度为 $3$

$b$ 元素在 $A$ 集合的重复度为 $0$

$c$ 元素在 $A$ 集合的重复度为 $2$

$d$ 元素在 $A$ 集合的重复度为 $1$

集合与多重集关系 : 集合可以看做重复度小于等于 $1$ 的多重集 ;