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  • 1、当集合可能为空集时,需要分类讨论如果忽视了一些集合可能为空集的情况,就很容易出错。如在,中,都隐含着A可能为空集的情况。例1已知,且,求实数a的取值范围。分析:如图1所示。①当时,适合题意。②当即a≤3...
    1、当集合可能为空集时,需要分类讨论如果忽视了一些集合可能为空集的情况,就很容易出错。如在89827d7f346213cea383167ce7e59245.png4ba0ccc40a05962d9c8481e4f0c73941.png中,都隐含着A可能为空集的情况。1  已知f433a486e78297e19df93eb53325127e.png,且42c7b16787b343bce7d935f9ec8b982c.png,求实数a的取值范围。b97c9523fe6e6901f23f88b368b3fb56.png分析:如图1所示。①当50755ef0fbb41e2652c0cdf3e0e62c69.png时,适合题意。②当7d41589fe44b9add95a979edd18801b0.pnga3时,由42c7b16787b343bce7d935f9ec8b982c.png及图1f4d72facb3a394f626430a84aaa8f9b5.png,解得a749f59524d74c88999033a8c55db7b6.png由①②知实数a的取值范围为83040ad2a9378545f3c3b1f0a8292fc6.png 2、当集合中元素个数不定时,需要分类讨论2  已知fdba7f4b45afa9a718921d98dcbe47f9.png,且486942bcbde2b3e600711fa80454408d.png,求实数p的取值范围。分析:x=0显然不是方程be9d20a8820f0e2b9a9f5eb4c54e3fa7.png的实根。由486942bcbde2b3e600711fa80454408d.pngA中元素为负实数。①当A中方程有两个负实根或一个负实根时,c60c57eeb2cd1b9a29c699d842f228e2.png,解得0f07af4099ea53edf505576f60df4691.png。②当A中方程无实根时,d68f01cc9ce8622dda4ba1c81670d193.png,解得b3d604eed4d0e479c892d7b20f80b2bf.png综上知p的取值范围是1bb91fcbc3cbabee6f5f74d0b2ac5ea8.png 3、当变量所在范围不定时,需要分类讨论3  解不等式e31dcc575806af64b88555516406f7ed.png分析:令320b8da597bcf5f540a0cf2c4228535b.png,则0ce15694321e816e1e21ec761cb189d4.png,而-10将数轴分成f787f2f0564d7afa844874ea55911568.png三部分。x<1时,1ba870f624549d0e33236a9971e42ea6.png,解得6b5d3a7eb4d3bc4e72f12a4600dabeeb.png56d179123fba4131f6e465d395f2572c.png时,e78a226d0d49197e7022f6d33051efc1.png恒成立,可得56d179123fba4131f6e465d395f2572c.pngx>0时,414063430dd58a0dc8e5e48b2d6c9806.png,解得6abc4bf81fa21cbf9dd29c6bdde727b3.png故原不等式的解集为a43c43694b898168fb0e4ab8399a1b2b.png 4、当判别式正负不定时,需要分类讨论4  解关于x的不等式b95ae6640649703396437e3bc12ad10d.png分析:由于6ebe695a61299cb8affcf7c80e037bbb.png的符号不能确定,所以必须对6ebe695a61299cb8affcf7c80e037bbb.png进行分类讨论。6ebe695a61299cb8affcf7c80e037bbb.png=079a67077318df145b37363b55c1643e6.png时,由a=4知原不等式的解集为c09d9cf360cd0043c1ff5c4ad43ad4cf.png知原不等式的解集为b99feba67d89852eb3a93f18d4180a4b.png当△>0a>4a<4时,原不等式的解集为782458f4b430ff435ae77d38d64900bb.png当△<086fd2d5ddc8d97eec406492541b05c0d.png时,原不等式的解集为R 5、当含参端点大小不定时,需要分类讨论5  已知b53cfec392d76c7b9a3b060cc8317b30.png,且5b3e0af1c570d302ae0996005bd60d78.png,求实数a的取值范围。分析:方程8e1ace9c2131f3457b43c8ecd4b3a879.png的两个实根为a3a。显然,不能默认ce9e458acd6b9b77a27fba19e82eb676.png,应对a3a的大小进行分类讨论。①当3a>aa>0时,316c8c56702c66ee495abd0b6fcdd5c8.png5b3e0af1c570d302ae0996005bd60d78.png及图21438a6933d4ad242f5f845037b2a900a.png,解得d524ee937e61f7594efd8843fd42f47e.pnged1697a5f74b3fa1646f399f685c624e.png②当25984f2700482d4f9b95b6ca69c56ea9.pnga<0时,6f3ebd681d69501831a3e9ae0b5efc3d.png5b3e0af1c570d302ae0996005bd60d78.png及图3e729f62df55927600116e0d535df3612.png,解得a97b34a46bf785a397d7c269f8c58b8e.png408a513d955893536eb49e8cdd3a2f53.png③当3a=aa=0时,69e425ed2df7d1d60b0222bfc5a3ba1e.png,适合题意。由①②③知实数a的取值范围为75fa8a01a6906f4049f10108ee2d9664.png2d2adea232f272f30b5f9a3c97e455e0.png 6、当出现含参系数时,需要分类讨论6  已知723b1d32d98e5a2da9a84fd812fefc11.png,且42c7b16787b343bce7d935f9ec8b982c.png,求实数a的取值范围。分析:易得2dd033b0c4b8f64c5acb43b01e9aff05.png①当f89ef78a1c6c42bd117e5f7423bdafac.png49d9313e3149fee0e9792a8027a2ecfe.png时,d0730965c7dae7360382f739788f6da6.png无解,即69e425ed2df7d1d60b0222bfc5a3ba1e.png,不合题意。②当ef97094601031181a1336f80064aaf8a.pngba2285872efbbc4a3c09df1da272adc7.png时,d0730965c7dae7360382f739788f6da6.png的解为x=1,即B={x|x=1},不合题意。③当1+a>0a>1时,d0730965c7dae7360382f739788f6da6.png可化为703914662ee5d2112a8ebcf896051bec.png,即f9201c7db246cf2476a6cc6681a38f33.png。再针对a进行讨论。a>0时,其解为a1c0362b87daaa5562ccd66dd707ef87.png,即96218ebbb9f1a9e2bf6bff24d385c01e.png,不合题意。当a=0时,其解集为R,即B=R。当b6a77fa4b1e4602d766aafd7b6bc13d9.png时,其解为3d9de2edd464b4010943b28658d6f37c.png,即16c2ed273d5221624dd157ad227c8fa2.png42c7b16787b343bce7d935f9ec8b982c.png,所以bfd4aeeda81fa454f788c24e4f4bd473.png。由上面的讨论可知,只有当a=035d22f8e086dc0aca1cfa3fb16587c8a.png时,即9c36d53c2e8a001c6318b86ad5616eb7.png由①②③知a的取值范围是5eee185ca3872a10865b61796f4c1413.png 7、尽量避开分类讨论因为分类讨论是一件非常麻烦的事,稍有疏忽就会出错,所以能避开分类讨论时,应尽量避开。7  已知关于x的不等式c6c301b4c599ed0d7a13593713057035.png的解集为非空集合cca728fa5c2ebe242550bb686f3534ea.png,求实数am的值。分析:由题意知关于x的不等式11e7fa586ef7dafe183895d4b4bfecd6.png的解集为0b29ea377ff3026373ac7f0ddb3e9cb2.png,所以关于6ed51da729a2dd21ba52d618e046535e.png的一元二次方程f2d3b1a21ed41ca6db5f3cbe6858840e.png的两个根为286428ffe00c2856f1385a2b233a53fcc.png,由根与系数的关系得48d2aea8b6a7af99852a653811e588d7.png,解得4fc178d4dc119ae89b1e2773e3b4bc43.png

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  • 1、当集合可能为空集时,需要分类讨论如果忽视了一些集合可能为空集的情况,就很容易出错。如在,中,都隐含着A可能为空集的情况。例1、已知,且,求实数a的取值范围。分析:如图1所示。①当时,适合题意。②当即a≤...

    因为分类讨论是一件非常麻烦的事,稍有疏忽就会出错,所以能避开分类讨论时,应尽量避开。

    1、当集合可能为空集时,需要分类讨论

    如果忽视了一些集合可能为空集的情况,就很容易出错。如在69374baed18ef2587e4dd6dcb9381e1e.png776915f4f089a2929a75e6f99b14ec55.png中,都隐含着A可能为空集的情况。

    1、已知d66329cdd661bfcc4a35ae6f76ccde45.png,且7caa39547b7c1b9a01e93c66808c9209.png,求实数a的取值范围。

    a1d78e5f9523a4bfaa4676fc62f7d40f.png

    分析:如图1所示。①当da308085fc219fbf7a5de490f5bbe0ef.png时,适合题意。②当d8b1a1daaedc15846843fd89198942b8.pnga3时,由7caa39547b7c1b9a01e93c66808c9209.png及图142d9a9a16d84080a128259f0b04243aa.png,解得e04aec1415de44183940bbd5d09bb738.png

    由①②知实数a的取值范围为d0ff9b27eee19126a8b2c1464ed5ab1c.png

    2、当集合中元素个数不定时,需要分类讨论

    2、已知beb183022715d74b86d103e289953561.png,且7c094b60255910b8feef939eda291ea5.png,求实数p的取值范围。

    分析:x=0显然不是方程7e0f59700e81c2186b29e1a664eceeed.png的实根。由7c094b60255910b8feef939eda291ea5.pngA中元素为负实数。①当A中方程有两个负实根或一个负实根时,7299d509b74205ead34bd333283a6020.png,解得3ff872e8691bae045d5786d10452c6fe.png。②当A中方程无实根时,1db770ff3460af9a0ef1f17a4bc822b8.png,解得daa16cef24c3345bda7d6ec3e2dbe8b7.png

    综上知p的取值范围是baee8ca40d8048f409d18fb2f01a3f51.png

    3、当变量所在范围不定时,需要分类讨论

    3、解不等式c6643a12e8d60f0483a0e8094162c955.png

    分析:令41752e3a4f29262a176cbabe46408c58.png,则0abf9ea6cf3936863f9fb80b65755ed2.png,而-10将数轴分成8af199159c26aff63cb23895379c6f1c.png三部分。

    x<1时,7facf83691288ed4436579a1f06c5e5f.png,解得c3bb3fb85d63f97fac4247eb0ef38e30.png

    3191439016cc400d0f258baeb8e4d2b2.png时,37c971fa79022210f2dc2f3ffa58f353.png恒成立,可得3191439016cc400d0f258baeb8e4d2b2.png

    x>0时,d6c6f989a991bf163e10abb894087194.png,解得be53da60950453404fa483c744483197.png

    故原不等式的解集为15a6e1614c95e4842da1a73a236c2fdf.png

    4、当判别式正负不定时,需要分类讨论

    4、解关于x的不等式baaecb4558b8626357edf6f51d4a0d83.png

    分析:由于d58cb33aa1015118799b5fe5a061e5a6.png的符号不能确定,所以必须对d58cb33aa1015118799b5fe5a061e5a6.png进行分类讨论。

    d58cb33aa1015118799b5fe5a061e5a6.png=074fab760405b4ed00b060a3effe44913.png时,由a=4知原不等式的解集为f517638e8f2efb07c714e3737c21f27d.png知原不等式的解集为6c7ce4633efbd04249a9edde0a1645e6.png

    当△>0a>4a<4时,原不等式的解集为

    3497009fd115bb7049c990e97d8760bf.png

    当△<05c4d1fd17e6a7572b55e312f02c3fba1.png时,原不等式的解集为R

    5、当含参端点大小不定时,需要分类讨论

    5、已知d64762cdd46c4d814dd81f424668e178.png,且99df153e8d516570ea93b0da12a27e28.png,求实数a的取值范围。

    分析:方程c3201283ecf71908d7f00ede654d4a1b.png的两个实根为a3a。显然,不能默认fe9beac37ab8a2bb825115481fe338d8.png,应对a3a的大小进行分类讨论。

    ①当3a>aa>0时,21cd2031963c46e5a6a4fa74d6c595ed.png

    99df153e8d516570ea93b0da12a27e28.png及图218af78ddfc1d6ad21ee27443ebad35e2.png,解得c476cca42f03ed690807d288d0dfb960.png

    1dc7af13c6d12a46fb8c4f4497e93694.png

    ②当195d74d1db7c79d8bc6978aa86e242ed.pnga<0时,e80172accbbaa095b0e9f09363fae527.png

    99df153e8d516570ea93b0da12a27e28.png及图3f5a1a4f022b68795dfca13a62cdd7a14.png,解得7247c9df3004458ba1bd9baf5f0b1d6a.png

    a1259703ef808047784af9a0100ace7f.png

    ③当3a=aa=0时,0dbb42c54e8f70e879bd1ba557f3858f.png,适合题意。

    由①②③知实数a的取值范围为

    cd1ae82ac62a5e8cdcb592b2be0dc5b3.png0bb23891b41be645446fdff222f29737.png

    6、当出现含参系数时,需要分类讨论

    6、已知1cbe0306988ae163926b7daac4091ec8.png,且7caa39547b7c1b9a01e93c66808c9209.png,求实数a的取值范围。

    分析:易得72a347755bf365f994e25d176af2f424.png

    ①当6419c0b740d4a31a94097ca46fabb0cf.pngc7bfb534e0ac72ffc679716b95a64470.png时,bf367d0a98bc0d4771daf8a834ea22d6.png无解,即0dbb42c54e8f70e879bd1ba557f3858f.png,不合题意。

    ②当b2828efdcdb3bb6680e809091b9aa504.png2b244743a3760c966a34ae6747c0331d.png时,bf367d0a98bc0d4771daf8a834ea22d6.png的解为x=1,即B={x|x=1},不合题意。

    ③当1+a>0a>1时,bf367d0a98bc0d4771daf8a834ea22d6.png可化为be6d0987bb4d2cfd93c7cec77dfdf010.png,即bb94012c5e49807636fdb383bc71ba5c.png。再针对a进行讨论。

    a>0时,其解为c72e70ba26bf6ca2c66c2ca38d18ffa1.png,即20561dded80997a03345bacc34d59711.png,不合题意。当a=0时,其解集为R,即B=R。当1bb188913e10ad296395026ef405a8c4.png时,其解为4fb6d5f86dacef1c8c5a586e894090f2.png,即25836e5327d14b88503762d43bc8eca9.png

    7caa39547b7c1b9a01e93c66808c9209.png,所以1ac3c35cfe7e4826c41233f314186622.png。由上面的讨论可知,只有当a=0e0cdf97ad21a96e03b709cad85fe3342.png时,即2f46ad07257eb238cc133294e4b33920.png

    由①②③知a的取值范围是f4180e796e4d1862f02fc765726f9ccc.png

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  • 1、当集合可能为空集时,需要分类讨论如果忽视了一些集合可能为空集的情况,就很容易出错。如在,中,都隐含着A可能为空集的情况。例1、已知,且,求实数a的取值范围。分析:如图1所示。①当时,适合题意。②当即a≤...

    b050b4ad171c143f31ebec0fe08a8b5a.gif

    因为分类讨论是一件非常麻烦的事,稍有疏忽就会出错,所以能避开分类讨论时,应尽量避开。

    1、当集合可能为空集时,需要分类讨论

    如果忽视了一些集合可能为空集的情况,就很容易出错。如在92b37f545b155ef64cff34da9881f056.png4d4e48d3a05658527692a1e270e8b5b2.png中,都隐含着A可能为空集的情况。

    1、已知ed37653a0642ec002f285d5b4bca95bb.png,且f9aa8a06fa413e7125bd510b61b06d6e.png,求实数a的取值范围。

    88fb8bff314b7f26a854f7dca539939f.png

    分析:如图1所示。①当77fa6244856b28c4ab548b9105bf43bc.png时,适合题意。②当9d17a22d9ce77026b0b1d6e421aaae0f.pnga3时,由f9aa8a06fa413e7125bd510b61b06d6e.png及图180388a58a92ed213c24cbc8ee568c396.png,解得7a43f031b626255dc5f91abcd43cb8d9.png

    由①②知实数a的取值范围为ea1000a72e9853bca63a2cd1cdffadae.png

    2、当集合中元素个数不定时,需要分类讨论

    2、已知a6b6db2159da07a8daafb6674f13cce6.png,且5d8b6c76f32f251b7eb4217f27c93f28.png,求实数p的取值范围。

    分析:x=0显然不是方程b5eadccf769f31134ac32aae40668135.png的实根。由5d8b6c76f32f251b7eb4217f27c93f28.pngA中元素为负实数。①当A中方程有两个负实根或一个负实根时,88b9a139c020350e06bcbb7f9754d74f.png,解得8b3b2aa9abcc54090d8e670fd49f445c.png。②当A中方程无实根时,6a73e47ad1f08fc1bc2f597dc65a21e2.png,解得9cbebf37260a6c491022bcf85732667e.png

    综上知p的取值范围是2bf14997cb96c6b8c967e36bb3975f2b.png

    3、当变量所在范围不定时,需要分类讨论

    3、解不等式3666f04d0aff91290f53507ccf67e321.png

    分析:令55acc57194ab03ecf20549ac5c3bf432.png,则0e6baf525f6d9fcc49095c6b504f7999.png,而-10将数轴分成fb433c786deb35276b89be5c588ec52b.png三部分。

    x<1时,2d7844040cd7e1e493da0975b934e25a.png,解得154084235b0f26943c8a08ed83fb79ef.png

    b33f474568cbf75908122104bd4d4b29.png时,3557ca4225f95eab29f7f0748faa85f2.png恒成立,可得b33f474568cbf75908122104bd4d4b29.png

    x>0时,5c74b8a982700a6151b27f4d2506fae9.png,解得2c4783c0cabca8c39be98b87ee5c5b23.png

    故原不等式的解集为6fb56b1e3c0001d55e48040793b0ea5d.png

    4、当判别式正负不定时,需要分类讨论

    4、解关于x的不等式437b7146f058779bdc536200775aeec3.png

    分析:由于714dc99a695abe01495203769c243a3e.png的符号不能确定,所以必须对714dc99a695abe01495203769c243a3e.png进行分类讨论。

    714dc99a695abe01495203769c243a3e.png=0bd6b7fb80c674a98fedc645a91e701d1.png时,由a=4知原不等式的解集为ba85051e8f895796ffe6635c36086266.png知原不等式的解集为968366697a177cb75ae3ded78781e2b5.png

    当△>0a>4a<4时,原不等式的解集为

    c27adf40c02b1affb7606373d4a4be68.png

    当△<003bfafaad7d6c7bb40087c15c1876260.png时,原不等式的解集为R

    5、当含参端点大小不定时,需要分类讨论

    5、已知686c423208717fc68d43c1a6d9d48ef8.png,且3c79ebbc7a254170022ec23865c01a83.png,求实数a的取值范围。

    分析:方程760e06047a0920d96ed816530f33f7d7.png的两个实根为a3a。显然,不能默认f7f2591cc9d9ada10f5a6ec65dc5c7ff.png,应对a3a的大小进行分类讨论。

    ①当3a>aa>0时,750cf3d06eeabe3fb9d3cce8c0c5abd6.png

    3c79ebbc7a254170022ec23865c01a83.png及图259165674a88b38d4bf4e733bde74a711.png,解得70fce063707041ff22455f3f67b0b5ad.png

    4097446d4a964f028c12101bc0411f2b.png

    ②当9f107f5f285f716d9bdd635353ddd8d2.pnga<0时,ee8c5929b9fd62e4667069730b2aea53.png

    3c79ebbc7a254170022ec23865c01a83.png及图32a7e9081c34a5ee60a900d15b70eeffa.png,解得1070b50f3a4b187027d6983897958eca.png

    e0d63625872f8d46d1bad679c461cd51.png

    ③当3a=aa=0时,fa4ec8a04906a7a419db4a4936f028ae.png,适合题意。

    由①②③知实数a的取值范围为

    5fdbf831ba36401100b6cc297ec9ba13.png7a0d0ec56ff4f60196f58030f8e15870.png

    6、当出现含参系数时,需要分类讨论

    6、已知55caebd0b0aebd7f50be8467a17f65e1.png,且f9aa8a06fa413e7125bd510b61b06d6e.png,求实数a的取值范围。

    分析:易得3addf0b8b407b308f8fb32681d6f7ae9.png

    ①当7923388542044ff6745c8f38dc97f63f.png459efea431d6617ddbd3db0a05e691d0.png时,678ef39244638e046f871b1fdd9377fd.png无解,即fa4ec8a04906a7a419db4a4936f028ae.png,不合题意。

    ②当704fe71aac74319753f7f6d267ead52b.png237c5e05dbd88117e7ceda8ac17715fb.png时,678ef39244638e046f871b1fdd9377fd.png的解为x=1,即B={x|x=1},不合题意。

    ③当1+a>0a>1时,678ef39244638e046f871b1fdd9377fd.png可化为fdeac5c48996b36106842e7783d68e12.png,即966e9ea48243847ab740c258d936f401.png。再针对a进行讨论。

    a>0时,其解为7afb6d2a46aeaa4318702b7cf4b2e328.png,即8cf40559f6d45356ce4dff7a6812b4ce.png,不合题意。当a=0时,其解集为R,即B=R。当e249c577646ad915f89aaa8a0b98a641.png时,其解为cfba7b1f2b35eb56695fb1812d62fa4a.png,即f9b437d240059b468df77f996e0553b4.png

    f9aa8a06fa413e7125bd510b61b06d6e.png,所以4c19535e9931eb8ddc4e7e6c10513cc6.png。由上面的讨论可知,只有当a=0d8f38dfc019935dd67622bf868ded25b.png时,即71fd1d1644c8bad8cb4720acb102a371.png

    由①②③知a的取值范围是521931cba571218cd1c1b37eb6291f00.png

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    dfa81c643244694c0511b95314f455ca.png

    我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为

    b42e0e2ebf8da072c3e1c21aede57a6f.png

    ,并规定,空集是任何集合的子集。空集是任何非空集合的真子集。

    一、求某个集合的子集要先写空集。

    学生作业常常出现这样的错误。求某个集合的子集或子集个数,容易漏写空集。避免这种错误出现的绝招是首先写空集。

    二、涉及两个集合的关系时遗漏空集。

    已知集合A={x|2a≤x≤a+3,a∈R},B={x|X5},若A∩B=

    af5038508638e7cb4a1b0a34afcd43a3.png

    ,则a的取值范围是()

    〔思路探寻〕显然B≠

    30d04467cced57729dd366598b280085.png

    ,A=

    24443854fc95441711f600c02b222bad.png

    时A∩B=

    30da051d6afc0287bd0ad22ee9ce4dbd.png

    符合要求,所以需对集合A进行讨论。

    解:由已知A∩B=

    30da051d6afc0287bd0ad22ee9ce4dbd.png

    ,A={X|2a≤X≤a+3},可得

    ①若A=

    dddb371238c6cd60e8d8db6f7fa816eb.png

    ,有2a>a+3,解得a>3;

    645391e648c49d0db4e6f724730915a3.png

    〔跟踪演练〕已知集合A={x|x^2+3X一18>0},B={x|(X一K)(X一K一1)≤0},若A∩B≠

    8b074096b2c54e7df0d23004d2d57a24.png

    ,求K的取值范围。

    〔思路探寻〕A∩B≠

    8a3a420b526b89ad632a272db0425ae5.png

    时K的取值范围不好直接求,可考虑问题的反面:先求A∩B=

    8a3a420b526b89ad632a272db0425ae5.png

    时对应的K的取值范围,然后取其补集,即得。

    三、集合运算中含参数的问题。

    例:若A={X∈R|x^2一aX+a^2一19=0},B={X|X^2一5X+6=0},C={Ⅹ|X^2+2X一8=0}。

    b21eefbf06b0560fffb4f87e91c97cbd.png

    〔思路探寻〕①先求集合B,再求集合B的子集即集合A,集合A表示一元二次方程的根,对集合A展开讨论,注意别遗漏空集。当A为空集时,方程无解,△<0;当A为单元素集时,方程有两个相等的实根,△=0;当A={2,3}时,方程有两个不相等的实根,△>0

    ②先求集合C,再由A与B,A与C的关系求a。

    解:

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空空如也

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当集合a为空集时a的取值范围