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3.5.3关系模型的数据结构、操纵和约束

关系是一种数学理论，运用这种理论所得到的逻辑模型称关系模型，关系模型由关系数据结构、关系操纵及关系约束三部分组成。

1 关系数据结构
(1)表结构
关系模型统一采用二维表结构。二维表由表框架（frame）及表元组（tuple）组成。表框架由n个命名的属性组成，n称为属性元数（arity），每个属性有一个取值范围（即值域）。
在表框架中可以按行存放数据，每行数据称为一个元组，或称表的实例（instance）。实际上，一个元组由n个元组分量组成，每个元组分量是表框架中每个属性的投影值。一个表框架可以存放m个元组，m称为表的基数（cardinality）。
一个n元表框架及框架内m个元组构成了一个完整的二维表。表34给出了二维表的一个例子，这是一个有关学生（S）的二维表。
表3-4二维表的一个实例

二维表一般满足下面七个性质：

二维表中元组个数是有限的——元组个数有限性。
二维表中元组均不相同——元组的唯一性。
二维表中元组的次序可以任意交换——元组的次序无关性。
二维表中元组的分量是不可分割的基本数据项——元组分量的原子性。
二维表中属性名各不相同——属性名唯一性。
二维表中属性与次序无关——属性的次序无关性（但属性次序一经确定就不能更改）。
二维表中属性列中分量具有与该属性相同值域——分量值域的同一性。

(2)关系
关系（relation）是二维表的一种抽象，它是关系模型的基本数据单位。具有n个属性的关系称n元关系，n=0时称空关系。每个关系有一个名称（即关系名），关系名及关系中的属性构成了关系框架。设关系名为R，其属性为a1, a2, …, an,则该关系的框架是：
R（a1, a2, …,an）
表34所示的关系框架可以表示成：
S（sno，sn，sd，sa）
每个关系有m个元组，设关系的框架为R(a1, a2,…, an)，则其元组必具有下面的形式：
(a11, a12, … , a1n)
(a21, a22, … , a2n)

(am1, am2, … , amn)
其中aij（i∈{1,2,…,n},j∈{1,2,…,m}）为元组分量。
按关系框架所组成的关系元组集合可构成一个关系。如表34所示的关系R可表示为：R={(98001,张曼英，CS，18)，（98002，丁一明，CS，20），（98003,王爱国，CS，18），（98004，李强，CS，21）}。
一个语义相关的关系集合构成一个关系数据库（relational database）。而语义相关的关系框架集合则构成关系数据库模式（relational database schema），简称关系模式（relational schema）。
关系模式支持子模式，关系子模式是关系数据库模式中用户所见到的那部分数据描述。关系子模式也是二维表结构，它对应着用户数据库，即视图（view）。
关系与二维表是一个概念的两种不同表示形式，一般在理论研究中用关系讨论而在实际应用中则用二维表表示，在本书中基本上按此方法但并不严格区分。
(3)键
键是关系模型中的一个重要概念，它具有标识元组、建立元组间联系等重要作用。

键（key）：二维表中凡能唯一最小标识元组的属性集称为该表的键。
候选键（candidate key）：二维表中可能有若干个键，它们称为该表的候选键。
主键（primary key）：从二维表的所有候选键中选取一个作为用户使用的键称为主键。主键一般也简称键。
外键（foreign key）：若表A中的某属性集是表B的键，则称该属性集为A的外键。

表一定有键，因为如果表中所有属性子集均不是键则至少表中属性全集必为键，因此也一定有主键。
(4)关系与ER模型
虽然关系的结构简单，但它的表示范围广，ER模型中的属性、实体（集）及联系均可用它表示，表35给出了ER模型与关系间的比较。

在关系模型中，关系既能表示实体集又能表示联系。表36给出了某公司职工间上下级联系的关系表示。

2关系操纵
关系模型的数据操纵就是建立在关系上的一些操作，一般有查询、删除、插入及修改四种操作。
(1)数据查询
用户可以查询关系数据库中的数据，它包括一个关系内的查询以及多个关系间的查询。
1）一个关系内查询的基本单位是元组分量，其基本过程是先定位后操作。所谓定位，包括纵向定位与横向定位，纵向定位就是指定关系中的一些属性（称列指定），横向定位就是选择满足某些逻辑条件的元组（称行选择）。通过纵向与横向定位后就可确定一个关系中的元组分量了。在定位后即可进行查询操作，即将定位的数据从关系数据库中取出并放入至指定内存。
2）多个关系间的数据查询可分为3步进行。第1步将多个关系合并成一个关系，第2步对合并后的一个关系进行定位，最后进行查询操作。其中，第2步与第3步可看作一个关系内的查询，故我们只介绍第1步。多个关系的合并可分解成两个关系的逐步合并，如果有3个关系R1、R2与R3，那么合并过程是先将R1与R2合并成R4，然后再将R4与R3合并成最终结果R5。
因此，对关系数据库的查询可以分解成三个基本定位操作与一个查询操作：

一个关系内的属性指定。
一个关系内的元组选择。
两个关系的合并。
查询操作。

(2)数据删除
数据删除的基本单位是元组，用于将指定关系内的指定元组删除。它也分为定位与操作两部分，其中定位部分只需要横向定位而无需纵向定位，定位后即是执行删除操作。因此，数据删除可以分解为两个基本操作：

一个关系内的元组选择。
关系中元组的删除操作。

(3)数据插入
数据插入仅用于一个关系，即在指定关系中插入一个或多个元组。插入数据时不需定位，只需将元组插入关系。因此，数据插入只有一个基本操作：
关系中的元组插入操作。
(4)数据修改
数据修改是在一个关系中修改指定的元组与属性值。数据修改不是一个基本操作，它可以分解为两个更基本的操作：先删除需修改的元组，然后插入修改后的元组。
(5)关系操作小结
以上四种操作的对象都是关系，而操作结果也是关系，因此它们都是建立在关系上的操作。这四种操作可以分解成6种基本操作。这样，关系模型的数据操纵可以总结如下：
1）关系模型数据操纵的对象是关系，而操纵结果也是关系。
2）关系模型基本操作有如下六种（其中三种为定位操作，三种为查询、插入及删除操作）：

关系属性的指定。
关系元组的选择。
两个关系合并。
关系的查询操作。
关系中元组的插入操作。
关系中元组的删除操作。

(6)空值处理
在关系元组的分量中允许出现空值（null value）以表示信息的空缺，空值的含义如下：

未知的值。
不可能出现的值。

在出现空值的元组分量中一般可用NULL表示。目前的关系数据库系统都支持空值，但是它们都具有如下两个限制：
1）关系的主键中不允许出现空值。因为主键是关系元组的标识，如主键为空值则失去了其标识的作用。
2）需要定义有关空值的运算。在算术运算中如果出现空值则其结果为空值，在比较运算中如果出现空值则其结果为F（假）。此外，在统计时，如果SUM、AVG、MAX、MIN中有空值输入，其结果也为空值，而在作COUNT时如有空值输入则其值为0。
3 关系中的数据约束
关系模型允许定义三类数据约束，分别是实体完整性约束、参照完整性约束以及用户定义的完整性约束。此外，关系的安全性约束、故障恢复与多用户的并发控制实际上也是数据约束，其具体说明可见第5章。

关系数据模型

关系模型由关系模型的数据结构、关系模型的操作集合和关系模型的完整性约束三部分组成，这三部分也称为关系模型的三要素。

数据结构

关系数据模型源于数学，它用二维表来组织数据，而这个二维表在关系数据库中称为关系。关系数据库就是表或者说是关系的集合。

数据操作

关系数据模型给出了关系操作的能力，包括。

传统的运算关系：并（union）、交（intersection）、差（difference）、广义迪卡尔积（extended cartesian product）。
专门的关系运算：选择（select）、投影（project）、连接（join）、除（divide）。
有关的数据操作：查询（query）、插入（insert）、删除（delete）、更改（update）。

关系模型中的操作对象是集合（或表），而不是单个数据行，也就是说，关系模型中操作的数据以及操作的结果都是完整的集合（或表），这些集合可以只包含一行数据，也可以不包含任何数据。

完整性约束

在数据库中数据的完整性是指保证数据正确的特征，数据完整性是一种语义概念，它包括两个方面：

与现实世界中应用需求的数据的相容性和正确性。
数据库内数据之间的相容性和正确性。

完整性约束在关系型数据库中一般分为三类，实体完整性（主键）、参照完整性（外建）、用户定义完整性。

关系型数据库的基本术语

基本术语

关系（表）

通俗地讲，**关系（relation）**就是二维表，二维表的名字就是关系的名字。
属性（列）

二维表中的每一个称为属性（attribute），没一个属性有一个名字，称为属性名。n列就是n元。
值域（取值范围）

二维表中属性的范围称为值域（domain）。如性别只能‘男’或‘女’。
元组（行）

二维表中的一行数据称为一个元组（tuple）。
分量（元组中每个属性的值）

元组中的没一个属性值称为元组的一个分量（component），n元关系的每个元组有n个分量。
关系模式（表结构、表头）

二维表的结构称为关系模式（relation schema），或者说关系模式就是二维表的表框架或表头结构。设有关系名R，属性分别是a、b、c、d，则关系模式可以表示为：R(a,b,c,d)。如果将关系模式理解为数据类型，则关系就是该数据类型的一个具体值。
关系数据库

对应于一个关系模型的所有关系的集合称为关系数据库（relation database）。
候选键

如果一个属性或属性集（可以有多个候选键）的值能够唯一标识一个关系的一个元组而又不包含多余的属性，则称该属性或属性集为候选键（candidate key），如学号、身份证。候选键又称为候选关键字或候选码。
主键

当一个关系中有多个候选键时，可以从中选择一个作为主键（primary key）。每个关系只能有一个主键。主键也称为主码或关键字，是表中的属性或属性组，用于唯一地确定一个元组。
主属性与非主属性

包含在任意候选键中的属性称为主属性（primary attribute）；不包含任一候选键的属性为非主属性（nonprimary attribute）。

术语对比表：

关系术语	一般的表格属于
关系名	表名
关系模式	表头（表中所含列的描述）
关系	（一张）二维表
元组	记录或行
属性	列
分量	一条记录中的某个列的值

对关系的限定

关系可以看成二维表，但并不是所有二维表都是关系。关系数据库对关系有一些限定，如：

关系中的每个分量都必须是不可再分的最小数据。
表中列的数据类型是固定的，即列中的内一个分量都是相同类型的数据，来自相同的值域。
不同列的数据可以取自相同的值域，每个列称为一个属性，每个属性有不同的属性名。
关系表中列的顺序不重要，即列的次序可以任意交换，不影响其表达的语义。
行的顺序也不重要，交换行数据的顺序也不影响其内容。
同一个关系中的元组不能重复，即在一个关系中，不能有两个元组的值完全相同相同。

关系代数

关系代数是关系操作语言的一种传统的表示方式，它是一种抽象的查询语言，是一种单次关系（或者说是集合）语言。包括运算对象、运算符和运算结果。

关系代数可分为两大类：

传统集合运算：这类运算完全把关系看作元组的集合，包括广义迪卡尔积运算、并运算、交运算、差运算。
专门的关系运算：这类关系除了把关系看作元组的集合以外，还通过运算表达了查询的要求，包括选择、投影、连接、除运算。

传统关系运算

并运算

设关系R与S均是n目关系，关系R与S的并记为：

$R \cup S = \{t|t \in R \lor t\in S\}$

其结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。
交运算

设关系R与S均为n目关系，关系R与S的交记为：

$R \cap S = \{ t| t\in R \land t \in S \}$

其结果仍是n目关系，由属于R也属于S的元组组成。
差运算

设关系R与S均为n目关系，关系R与S的差运算记为：

$R-S = \{t| t\in R \land t \notin S\}$

其结果仍是n目关系，由属于R且不属于S的元组组成。
广义迪卡尔积

广义迪卡尔积不要求参加运算的两个关系具有相同的目数。

两个分别为m目和n目的关系R和S的广义迪卡尔积是一个有 m+n 个列的元组的集合。元组的前m列是关系R的一个元组，后n个是关系S的一个元组。若R有K1个元组，S有K2个元组，则R和S的广义迪卡尔积有 K1*K2个元组，记为：

$R \times S = \{ \hat{t_r t_s} | t_r \in R \land t_s \in S \}$

其中， $\hat{t_r t_s}$ 表示有两个元组前后有序连接成的一个元组。

专门的关系运算

选择

选择是指从指定的关系中选出满足给定条件的元组而组成的一个新的关系。表示为：

$KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 28: …= \{t | t\in R \̲a̲n̲d̲ ̲F(t)= true\}$

其中 $\sigma$ 是选择运算符，R是关系名，t是元组，F是逻辑表达式。

如： $\sigma_{Sdept='计算机'}(Student)$
投影

投影运算是从关系R中选取若干列，并用这些属性组成一个新的关系。表示为：

$\prod_A(R) = {t.A | t\in R}$

其中， $\prod$ 是投影运算符，R是关系名，A是被投影的属性或属性组。t.A 表示t这个元组中相应于属性A的分量，也可以表示为t[A]。

投影运算一般由两步完成：
1. 选出指定的属性，形成一个可能含有重复行的新关系。
2. 删除重复行，形成结果关系。
如： $\prod_{Sname,Sdept}(Student)$
连接

连接运算用来连接相互之间有联系的两个关系，从而产生一个新关系。这个过程通过连接属性来实现。连接运算主要有一下几种：
1. $\theta$ 连接（ $\theta$ 是比较运算符）
  
  表示为 $\{\hat{t_r t_s}|t_r \in R \land t_r \in S \land t_r[A] \theta t_s[B]\}$
  
  其中A和B分别是关系R和S上语义相同的属性或属性组，$\theta $是比较运算符
2. 等值连接（ $\theta$ 连接的特例）
  
  与 $\theta$ 连接一致，是当 $\theta$ 为=时的情况
3. 自然连接
  
  自然连接是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性或属性组，并且在连接结果中去掉重复的列，使公共属性列只保留一个。
  
  自然连接与等值连接的区别：
  1. 自然连接要求相等的分量必须有共同的属性名，等值连接则不要求
  2. 自然连接要求吧重复的属性名去掉，等值连接不要求
4. 外部连接
  
  如果希望不满足连接条件的元组也出现在连接结果中，则可以通过外连接（outer join）操作实现。外连接有三种形式：左外连接、右外连接、全外连接。含义是将指定一边（如左连接就是左边的关系）中不满足的元组也保留到连接后的结果中，并在结果中将另一关系各属性置为空（NULL）值。
5. 半连接
除
1. 除法的描述：
  
  设关系S的属性是关系R的属性的一部分，则 $R \div S$ 为这样一个关系：
  
  此关系的属性是由属于R但不属于S的所有属性组成$R \div S $ 的任一元组都是R中某元组的一部分。但必须符合下列要求，即任取属于 $R \div S $ 的一个元组 t，则t与S任一元组连接后，都为 R 中原有的元组。
2. 除法的一般形式
  
  设关系R(X,Y)和S(Y,Z)，其中X、Y、Z为关系的属性组，则：
  
  $R(X,Y) \div S(Y, Z) = R(X, Y) \div \prod_Y(S)$

收起

关系模型-数据结构、完整性约束、关系代数

《数据库技术原理与应用教程》一3.5.3关系模型的数据结构、操纵和约束

3.5.3关系模型的数据结构、操纵和约束