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  • 传统集合运算和专门的关系运算

    千次阅读 2020-07-14 18:27:14
    关系R和关系S具有相同的目n,也就是两个关系中都有n个属性,且相应的属性取自同一个域,t是元组变量,t∈R表示t是R的一个元组。 (1)并(union) 关系R与关系S的并记作:,其结果仍为n目关系,由属于R而不属于S的...

    一、传统的集合运算
    传统的集合运算是二目运算,包括并、差、交、笛卡尔积4种运算。
    设关系R和关系S具有相同的目n,也就是两个关系中都有n个属性,且相应的属性取自同一个域,t是元组变量,t∈R表示t是R的一个元组。
    (1)并(union)
    关系R与关系S的并记作:在这里插入图片描述,其结果仍为n目关系,由属于R而不属于S的元组组成。
    (2)差(except)
    关系R与关系S的差记作:在这里插入图片描述,其结果仍为n目关系,由属于R而不属于S的所有元组组成
    (3)交(intersection)
    关系R与关系S的交记作:在这里插入图片描述,其结果仍为n目关系,由既属于R又属于S的元组组成,关系的交还可以用差来表示:R∩S=R-(R-S)
    (4)笛卡尔积
    笛卡尔积的元素是元组。两个分别为n目和m目的关系R和S的笛卡尔积是一个(n+m)列的元组的集合,若R有K1个元组,S有K2个元组,则关系R和关系S的笛卡尔积有K1×K2个元组,记作:在这里插入图片描述
    传统集合运算举例:在这里插入图片描述

    二、专门的关系运算
    专门的关系运算包括选择σ、投影π、连接∞、除运算÷等。
    1.选择(restriction)
    在关系R中选择满足给定条件的诸元组:
    σF (R ) = {t |t ∈ R∧F (t ) = ‘真’} F:选择条件,是一个逻辑表达式,其基本形式为:X1θY1,选择运算是从关系R中选取逻辑表达式F为真的元组,从行的角度进行运算。
    例如:查询信息系(IS系)全体学生: σSdept = ‘IS’ (Student)
    2.投影(Projection)
    从R中选择出若干属性列组成新的关系:
    πA® = { t [A]| t ∈ R } A:R 中的属性列
    投影操作主要是从列的角度进行运算,但投影之后不仅取消了原关系中的某些列,而且还可能取消某些元组(为了避免重复行)。
    例如:查询学生的姓名和所在系:πSname,Sdept(Student)

    3.连接(join
    连接也称为θ连接,从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组
    在这里插入图片描述
    A 和B:分别为R 和S 上度数相等且可比的属性组
    θ:比较运算符投影操作主要是从列的角度进行运算
    3.1等值连接
    定义:从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组,即等值连接为:
    在这里插入图片描述
    3.2自然连接
    自然连接:两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组,在结果中还要把重复的属性列去掉。
    在这里插入图片描述
    例如:关系R和关系S如下所示:
    在这里插入图片描述
    例如:查询选修了课程的学生学号、姓名、课程号和成绩
    在这里插入图片描述
    查询选修了课程的学生学号、姓名、课程名和成绩
    在这里插入图片描述3.3 外连接
    外连接:如果把悬浮元组也保存在结果中,而其他属性上填空值,那么这种连接就叫做外连接,记作:在这里插入图片描述
    左外连接:如果只保留左边关系R中的悬浮元组就叫做左外连接,记作:在这里插入图片描述
    右外连接:如果只保留右边关系S中的悬浮元组就叫做右外连接,记作:在这里插入图片描述
    外连接运算举例:
    在这里插入图片描述

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  • 传统的集合运算包括并,差,交,笛卡儿积运算 1.并 关系R和关系S的所有元组合并,再...关系R和关系S的交是由既属于R又属于S的元组组成的集合,即在两个关系R和S中取相同的元组,组成一个新关系 4.笛卡儿积运算 在这里指

    传统的集合运算包括并,差,交,笛卡儿积运算

    1.并

    关系R和关系S的所有元组合并,再删去重复的元组,组成一个新的关系,即不允许有重复的行

    2.差

    关系R和关系S的差是由属于R但不属于S的所有元组组成的集合,即关系R中删去与关系S中相同的元组

    3.交

    关系R和关系S的交是由既属于R又属于S的元组组成的集合,即在两个关系R和S中取相同的元组,组成一个新关系

    4.笛卡儿积运算

    在这里指广义笛卡尔积,因为笛卡尔积的元素是元组。设m目和n目的关系R和S,他们的笛卡尔积是一个(n+m)目的元组集合。元组的前n列是关系R的一个元组,后m列是关系S的一个元组。若R有r个元组,S有s个元组,则关系R和关系S的笛卡尔积应当有r*s个元组

    --------------------------------------------------------------------------------------------------------

    专门的关系运算包括选择,投影,连接,除

    1.选择

    从一个关系中选出满足给定条件的记录的操作,是从行的角度进行的运算

    2投影

    从关系中挑选若干属性组成新的关系,是从列的角度进行的运算

    3.连接

    将两个关系的属性名拼接成一个更宽的关系,生成的新关系中包含满足连接条件的元组

    4.除

    R与S的除法运算得到一个新的关系P,P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影,元组在X上的分量值x的象集Yx包含S在Y上的投影

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  • 定义: 关系R和S的并集结果,由属于R或属于S的所有元组组成,其结果是一个新关系。记为: Q = R ∪ S = {t | t ∈ R 或 t ∈ S } 例子: 注意! 这个并集求出来是不含重复元组的!例如虽然R和S都含有(a1,b2,c2),...

    关系的布尔运算主要包括:并,交,差,广义笛卡尔积,补,有效补

    并集

    定义: 关系R和S的并集结果,由属于R或属于S的所有元组组成,其结果是一个新关系。记为:

    Q = R ∪ S = {t | t ∈ R 或 t ∈ S }

    例子: 注意! 这个并集求出来是不含重复元组的!例如虽然R和S都含有(a1,b2,c2),但是合并的结果中,只出现一次(a1,b2,c2)
    并集

    差集

    定义: 关系R和S的差由属于R但不属于S的所有元组组成。记为:
    Q = R - S = {t | t ∈ R 但 t ∉ S }
    例子
    差集

    交集

    定义: 关系R和S的交集结果由既属于R又属于S的所有元组组成。记为:
    Q = R ⌒ S = {t | t ∈ R 且 t ∈ S }
    交集

    广义笛卡尔积

    关系R和关系S的笛卡尔积为R中所有元组和S中所有元组的串接。
    结果关系的属性个数:k1+k2 (k1和k2分别为关系S的属性数)
    结果关系的元组数: m x n (m和n分别为R和S的元组数)
    例子:
    广义笛卡尔积

    补集和有效补集

    1.首先看看补集定义:

    关系模式R(A1,A2,…,An), R上的关系r。
    补运算:设dom( R )表示模式R上的所有元组的集合,则关系r的补为:
    r的补集 = dom( R )-r
    我们可以按照数学里的补集来理解,其实就是 (集合r + r的补集 = 全集) ,只不过这里的全集是关系R上的所有元组的集合
    例题:
    补集
    这道题,我们首先要知道关系R上的全集(全部元组)是什么,然后用全集减去r,就可以得到r的补集了
    R上的全集是A和B的广义笛卡尔积,即:
    R=(A,B)={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)}
    所以用R中的元组减去r 即可得到r补集

    2.有效补集

    定义

    有效补集的定义看上去太麻烦,我们这里直接以一道题来讲怎么求有效补

    例题
    第一步 求出R: R=(A,B)={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2)}

    第二步 理解有效值域。关系r的有效值域是指,关系r中各个属性的取值范围。比如说我们这道题里面的r ,它的属性A的属性取值范围是(a1,a2),属性B的取值范围是(b1,b2),所以r元组的有效值域就是(A,B)={A ∈ (a1,a2) 且 B ∈ (b1,b2)}。 因此我们求有效补集的全集就不再是R,而是R*R* 中属性的值域就是r的有效值域。

    第三步 根据r的有效值域和R*求r的有效补集。首先根据r的值域范围,得到R*,即,将R中只含有(a1,a2)和(b1,b2)的元组取出来(注意:不取含属性a3的元组,因为属性a3不在r的范围中),R*={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2)}
    于是,r的有效补集= R*-r ={(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2)} - {(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1)}={(a2,b2)}

    有效补的应用:当关系元组数比其有效补元组数多得多时,有效补可作为数据压缩手段。
    例如:学生选课,一个班有50个学生选数据库课,3个学生不选, 则存储选修了数据库课的学生可用存储其有效补实现。

    最后再来做一道例题吧

    例题
    (1)求补集
    首先计算R,即A,B,C的笛卡尔积,R= A x B x C = {(a1,b1,c1),(a1,b1,c2),(a1,b2,c1),(a1,b2,c2),(a1,b3,c1),(a1,b3,c2),(a2,b1,c1),(a2,b1,c2),(a2,b2,c1),(a2,b2,c2),(a2,b3,c1),(a2,b3,c2)}
    所以r的补集=R-r = {(a1,b1,c2),(a1,b2,c1),(a1,b2,c2),(a1,b3,c1),(a1,b3,c2),(a2,b1,c2),(a2,b2,c2),(a2,b3,c2)}
    (2)求有效补
    首先确定r的有效值域: r中属性A的范围是(a1,a2),属性B的范围是(b1,b2,b3),属性C的范围是(c1)
    所以可以得到R*={(a1,b1,c1),(a1,b2,c1),(a1,b3,c1),(a2,b1,c1),(a2,b2,c1),(a2,b3,c1)}
    因此r的有效补集=R*-r = {(a1,b2,c1),(a1,b3,c1)}

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  • 在进行关系并、、差运算时,参与运算的关系R和S必须具有相同属性,相应属性取自同一个域,并且两个关系属性排列次序一样,即R和S具有相同结构,这是对关系进行并、、差运算的前提条件,于是可定义以下...

    传统的集合运算

    包括关系的并、交、差和笛卡尔积,它们都是二目运算。在进行关系的并、交、差运算时,参与运算的关系R和S必须具有相同的属性,相应的属性取自同一个域,并且两个关系的属性排列次序一样,即R和S具有相同的结构,这是对关系进行并、交、差运算的前提条件,于是可定义以下四种运算。

    1. 并(Union)

    两个关系的并运算是将两个关系中的所有元组构成一个新的关系,并运算要求两个关系属性的值必须一致,且运算的结果要消除重复的元组。

    设关系R和S具有相同的关系模式,R和S的并是由属于R或属于S的元组构成的集合,记为R∪S。形式定义如下:R∪S≡ {t | t∈R ∨ t∈S},t是元组变量,R和S的元数相同,∨或。

    集合和关系模式 数据库的基础知识
    2. 差(Difference)

    设关系R和S具有相同的关系模式,R和S的差是由于属于R但不属于S的元组构成的集合,即为R-S。其形式定义如下:R-S ≡ {t | t∈R ∧ t∈S},R和S的元数相同,∧并。
    在这里插入图片描述

    1. 交(intersection)

    关系R和S的交是由属于R又属于S的元组构成的集合,记为:R ∩ S,这里要求R和S定义在相同的关系模式上。形式定义如下:R ∩ S ≡ {t |t∈R ∧ t∈S },R和S的元数相同。由于R∩S=R-(R-S),或R∩S=S-(S-R),因此交操作不是一个独立的操作。
    在这里插入图片描述

    4.笛卡尔积(Cartesian Product)

    在这里的笛卡尔积严格的讲应该是广义的笛卡尔积,因为这里笛卡尔积的元素是元组。在进行关系R与S的笛卡尔积实际运算时,可以从R的第一个元组开始,依次与S的每一个元组组合,生成R×S的一个新元组,然后对R的下一个元组进行同样的运算,直到R的最后一个元组也进行完全相同的运算位置,即可得到R×S的全部元祖。

    设关系R和S的元数分别为r和s,定义R和S的一个(r+s)的元组集合,每个元祖的前r个分量来自R的一个元组,后s个分量来自S的一个元组,记为R×S。定义形式如下:R×S ≡ {t| t= ∧ tr∈R ∧ ts∈S},∧并

    集合和关系模式 数据库的基础知识

    专门的关系运算

    专门的关系运算包括选择(Selection)投影连接(join),我们先来看选择:

    选择是在关系R中选择满足给定条件的所有元组构成的新关系。选择运算实际上是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的全部元组,这是从行角度进行运算,即水平方向抽取元组。进过选择运算得到的新关系其模式不变,但其中的元组的数目小于等于原关系中元组的个数,它是原关系的一个子集。

    集合和关系模式 数据库的基础知识

    关系R上的投影是从R中选择出若干属性列组成新的关系。投影操作是从列角度进行运算。列子:在学生关系S中,查询学生的姓名和所在系,即求S关系上学生姓名和所在系两个属性上的投影。
    在这里插入图片描述

    连接(join)运算是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组。形式定义为R ⋈(连接条件) S=σ(连接条件)(R×S),其中连接条件是关系R和S上可比属性的比较运算表达式或可比属性组的逻辑运算表达式。

    当连接条件为等式时,称连接为等值连接(equal join)。如果两个关系所有相同的属性作为等值连接,而且又取消了重复属性,则称为自然连接(natural join)。关系R和S的自然连接记为:R⋈S
    在这里插入图片描述

    两个关系R和S在做自然连接时,选择两个关系在公共属性上值相等的元组构成新的关系。此时,关系R汇总某些元组有可能在S中不存在公共属性上值相等的元组,从而造成R中这些元祖造操作时被舍弃了,同样,S中某些元组也可能被舍弃。

    如果把舍弃的元组也保存在结果关系中,而在其它属性上填空值(Null),那么这种连接就叫做外连接(Outer join)。如果只把左边关系R中要舍弃的元组保留就叫做左外连接(Left outer join或Left join),如果只把右边关系S中要舍弃的元组保留就叫做右外连接(Right outer join或Right join)。

    在这里插入图片描述

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关系r和关系s的交运算