关系代数中各个运算符所含的属性个数和元组个数

当我们书写关系代数表达式时，我们提供了产生我们的查询结果的一个过程序列。与之相比，元组关系演算（ tuple relational calculus ）是非过程化的（ nonprocedural ）查询语言。它描述了所需信息，而不给出用于获得该信息的具体过程。
在元组关系演算中的查询表达为：

{ t | P(t) }

也就是说，它是使谓词 P 为真的所有元组 t 的集合。和我们前面的记法一样，我们用 t[A] 来表示元组t在属性 A 上的取值，并且我们用 t∈r 来表示元组 t 在关系 r 中。

查询示例

请找出工资在80000美元以上的教师的 ID、name、dept_name和salary :

{ t | t∈instructor ∧ t [salary]>80000}

ヨ

假设我们只需要 ID 属性，而不是需要关系 instructor 的所有属性。为了用元组关系演算来书写这个査询，我们需要为在模式（ ID ）上的关系来写一个表达式。我们需要（ ID ）上这样的元组：使得在 instructor 中存在一个元组的属性 salary >80000。为了表述这样的要求，我们需要引入数理逻辑中的“存在”这一结构。记法：

ヨ t ∈ r(Q(t))

表示“在关系 r 中存在一个元组 t 使谓词 Q ( t ）为真”。
使用这种记法，我们可以将查询‘找出工资大于80000美元的每位教师的教师 ID”表述为：

{ t | ヨ s∈instructor (t[ID] =s[ID]∧s[salary]>80000)}

我们可以这样来读上述表达式：“它是满足如下条件的所有元组 t 的集合：在 instructor 关系中存在一个元组 s 使得 t 和 s 在 ID 属性上的取值相等，且 s 在 salary 属性上的取值大于80000美元。”
元组变量 t 是只定义在 ID 属性上的，因为这是为 t 指定的条件所涉及的唯一属性。因此，其结果是一个在（ ID ）上的关系。

∧

请考虑查询“找出位于 Watson 楼的系中的所有教师的姓名。这个查询比前一个查询稍微复杂一些，因为它涉及 instructor 和 department 两个关系。但是，正如我们将看到的那样，它所需要的只不过是在我们的元组关系演算表达式中使用两个“存在”子句，并通过 and ( ∧ ）把它们连接起来。我们将此查询表述如下：

{ t | ヨ s∈instructor (t[name]=s[name]∧ヨu∈department(u[dept_name]=s[dept_name]∧u[building]=“Waston”))}

元组变量 u 被限制在位于 Watson 楼的系，而元组变量 s 被限制在与元组变量 u 的 dept_name 相匹配的教师。

V

为了找出在2017年秋季学期、2018年春季学期或者这两个学期都开设的所有课程的集合，我们在关系代数中使用并运算。在元组关系演算中，我们将使用通过 or ( V ）连接的两个“存在”子句：

此表达式给出了我们至少满足下面两个条件之一的所有 course_id 元组的集合：

• 在 section 关系中满足 semeter = Fall 且 year =2017的某个元组包含该 course_id
• 在 section 关系中满足 semeter = Spring 且 year =2018的某个元组包含该 course_id
  如果同一门课程在2017年秋季学期和2018年春季学期都开设、那么它的 course_id 只出现一次，因为集合的数学定义并不允许重复的成员。
  如果我们现在只想要在2017年秋季学期和2018年春季学期都开设的课程的course_id 的值，我们所需做的只不过是把上述表达式中的 or ( V ）改为 and (∧)。

┓

现在请考虑查询“找出在2017年秋季学期授课而在2018年春季学期不授课的所有课程”。对于这个查询的元组关系演算表达式同我们刚刚见过的表达式类似，只不过是使用了 not (┓）符号：

这个元组关系演算表达式用ヨs∈ section (…）子句来要求特定的 course_id 是在2017年秋季学期开设的，并且它用┓ヨu∈ section (…）子句来去掉那些作为在2018年春季学期已开设过的课程出现在 section 关系的某个元组中的 course_id 的值。

＝﹥

接下来我们要考虑的查询将用到蕴含，用＝﹥来表示。公式 P＝﹥ Q 表示“ P 蕴含 Q ”，也就是说，“如果 P 为真，则 Q 必然为真”。请注意 P＝﹥Q 逻辑上等价于┓PVQ 。使用蕴含而不是 not 和 or 常常可以更直观地解释查询的含义。
请考虑这样的查询：“找出选修了生物（ Biology ）系所开设的全部课程的所有学生”。为了用元组关系演算书写这个查询，我们引入“对于所有的”结构，用∀表示。记法：

∀ t∈r (Q(t))

表示“对于关系 r 中的所有元组 t , Q 均为真”。
对于我们的查询，我们书写如下的表达式：

我们可以把这个表达式理解为：“它是所有这样的学生（即（ ID ）上的元组t）的集合：对于在 course 关系中的所有元组 u ，如果 u 在 dept_name 属性上的值是‘ Biology ’，那么在 takes 关系中一定存在一个包含该学生 ID 以及该 course_id 的元组。”
请注意在上述查询中有一点很微妙：如果生物系没有开设任何课程，则所有的学生 ID 都满足条件。在这种情况下，上述查询表达式的第一行非常关键——如果没有条件：

ヨr ∈ student (r[ID]=t[ID])

那么若生物系没有开设任何课程，则任何一个 t 值（包括不是在 student 关系里的学生 ID 的值）都会符合要求。

形式化定义

我们现在可以给出形式化定义了。元组关系演算表达式具有如下形式：

{ t | P(t) }

其中P是一个公式（formua）。公式中可以出现多个元组变量。如果元组变量不被ヨ或∀量化，则称自由变量。因此，在

t∈instructor ∧ ヨs∈department（t[dept_name]=s[dept_name]）

中，t是自由变量。元组变量s称为受限变量。

表达式的安全性

最后还要讨论一个问题。元组关系演算表达式可能产生一个无限的关系。假设我们书写表达式：

{ t | ┓(t∈ instructor)}

不在 instructor 中的元组有无限多个，大多数这样的元组所包含的值甚至根本不在数据库中！我们并不希望允许这样的表达式。
为了帮助我们定义对元组关系演算的限制，我们引入了元组关系公式 P 的域（ domain )这一概念。直观地说， P 的域用 dom (P）来表示，它是 P 所引用的所有值的集合。它们既包括在 P 自身中用到的值，又包括在 P 中涉及到的关系的元组中所出现的值。因此， P 的域是在 P 中显式出现的所有值、或者其名称出现在 P 中的一个或多个关系中出现的所有值的集合。例如， dom ( t∈ instructor∧t[salary] >80000）是包括80000以及出现在 instructor 关系的任意元组的任意属性中的所有值的集合。类似地， dom (┓( t∈ instructor )）也是在instructor 中出现的所有值的集合，因为 instructor 关系在表达式中涉及了。
如果出现在表达式{ t | P ( t )}结果中的所有值均来自于 dom ( P )，则我们说表达式{ t | P ( t )}是安全的。表达式{ t | ┓(t∈ instructor)}是不安全的。请注意 dom (┓(t∈ instructor)）是出现在 instructor 中的所有值的集合。但是，可能有一个不在 instructor 中的元组t、它包含的值并没有在 instructor 中出现。我们在这一节中所书写的元组关系演算表达式的其他示例都是安全的。
满足诸如{ t | ┓(t∈ instructor)}这样的不安全表达式的元组数量可以是无限的，而安全的表达式保证具有有限的结果。因此所允许的元组关系演算表达式的类別被限定为那些安全的表达式。

写了半天，不知道这些有什么用，好繁琐，不知道从这些东西可以用在什么地方，有哪些场景。

1. 关系运算

关系代数的基本运算主要有并、交、差、笛卡尔积、选择、投影、连接和除法运算。
（1）并。计算两个关系在集合理论上的并集，即给出关系R和S（两者有相同元/列数），R∪S的元组包括R和S所有元组的集合，形式定义如下：

式中 t是元组变量（下同）。显然，R∪S=S∪R。

（2）差。计算两个关系的区别的集合，即给出关系R和S（两者有相同元/列数），R-S的元组包
括R中有而S中没有的元组的集合，形式定义如下：

通俗点说，就是属于R但是属于S的元素。

针对这种差运算的应用场景，举个例子来说，就两只股票组合，一个组合包含“东阿阿胶”，“涪陵榨菜”，“同仁堂”。
而另一个组合只包括“东阿阿胶”，“涪陵榨菜”。那这两个的差就是“同仁堂”

（3）交。计算两个关系集合理论上的交集，即给出关系R和S（两者有相同元/列数），R∩S的元组包括R和S相同元组的集合，形式定义如下：

显然，R∩S=R-(R-S)和R∩S=S-(S-R)成立。

（4）笛卡尔积。计算两个关系的笛卡尔乘积，令R为有m元的关系，S为有n元的关系，则R×S是m+n元的元组的集合，其前m个元素来自R的一个元组，而后n个元素来自S的一个元组。形成定义如下：

若R有u个元组，S有v个元组，则R×S有u×v个元组。

要记住笛卡尔积的数量是两者的乘积即可，相当于两者排列组合。

（5）投影。从一个关系中抽取指明的属性（列）。令R为一个包含属性A的关系，则

（6）θ连接。θ连接从两个关系的笛卡儿积中选取属性之间满足一定条件的元组，记作：

其中A和B分别为R和S上元数相等且可比的属性组。θ为“=”的连接，称为等值连接，记作：

如果两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且在结果中将重复的属性去掉，则称为自然连接，记作：

θ连接是对笛卡尔积进行处理，虽然现在我还不知道这个到底是干什么用的。

二、元祖演算

在元组演算中，元组演算表达式简称为元组表达式，其一般形式为{t|P(t)}，其中，t是元组变
量，表示一个元数固定的元组；P是公式，在数理逻辑中也称为谓词，也就是计算机语言中的条件表
达式。{t|P(t)}表示满足公式P的所有元组t的集合。

在元组表达式中，公式由原子公式组成，原子公式有下列两种形式：
（1）R(s)，其中R是关系名，s是元组变量。其含义是“s是关系R的一个元组”。
（2）s[i]θu[j]，其中s和u是元组变量，θ是算术比较运算符，s[i]和u[j]分别是s的第i个分量和u的第j个分量。原子公式s[i]θu[j]表示“元组s的第i个分量与元组u的第j个分量之间满足θ运算”。例如，“t[2]<u[3]”表示元组t的第2个分量小于元组u的第3个分量。这个原子公式的一种简化形式是s[i]θa或aθu[j]，其中a为常量。例如，“t[4]=3”表示t的第4个分量等于3。

在一个公式中，如果元组变量未用存在量词“ ”或全称量词“ ”等符号定义，那么称为自由元组变量，否则称为约束元组变量。公式的递归定义如下。

（1）每个原子是一个公式，其中的元组变量是自由变量。
（2）如果P1和P2是公式，那么， P1、P1∨P2、P1∧P2和P1→P2也是公式。
（3）如果P1是公式，那么( s)(P1)和( s)(P1)也都是公式。
（4）公式中各种运算符的优先级从高到低依次为θ、 和 、 、∧和∨、→。在公式外还可以加括号，以改变上述优先顺序。
（5）公式只能由上述四种形式构成，除此之外构成的都不是公式。

在元组演算的公式中，有下列四个等价的转换规则：
（1）P1∧P2等价于 ( P1∨ P2)。
（2）P1∨P2等价于 ( P1∧ P2)。
（3）( s)(P1(s))等价于 ( s)( P1(s))；( s)(P1(s))等价于 ( s)( P1(s))。
（4）P1→P2等价于 P1∨P2。
关系代数表达式可以转换为元组表达式，例如，R∪S可用{t|R(t)∨S(t)}表示，R-S可用{t|R(t)∧S(t)}表示

看了上面的这么一段话，完全不懂元祖演算是什么玩意，哈哈哈。

测试习题

试题1
若对关系R（A，B，C，D）进行π1．3（R）运算，则该关系运算与__B__等价，表示__B__。
A．πA=1,C=3（R） B．πA=1∧C=3（R） C．πA,C（R） D．πA=1∨C=3（R）

A．属性A和C的值分别等于1和3的元组为结果集
B．属性A和C的值分别等于1和3的两列为结果集
C．对R关系进行A=1、C=3的投影运算
D．对R关系进行属性A和C的投影运算

试题2
若关系R、S如图5-3所示，则R与S自然连接后的属性列数和元组个数分别为__B__；
π1,4(σ3=6(R×S))B。
图5-3关系R与S
（3）A．4和3 B．4和6 C．6和3 D．6和6
（4）A．πA,D(σC=D(R×S))B．πA,R.D(σS.C=R.D(R×S))
C．πA,R.D(σR.C=S.D(R×S))D．πR.A,R.D(σS.C=S.D(R×S))