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  • 一、除法概述:设关系R除以S的结果为关系T,则T包含所有在R但不在S中的属性及值,且T的元组与S的元组的所有组合都在R中。 二、关于除法的两类题型的解题方法: 注:先说明下下文讲到的除数和被除数分别代表什么:R...

    数据库系统概论之关系代数中的除法

    一、除法概述:设关系R除以S的结果为关系T,则T包含所有在R但不在S中的属性及值,且T的元组与S的元组的所有组合都在R中。
    除法举例
    二、关于除法的两类题型的解题方法:
    注:先说明下文讲到的除数和被除数分别代表什么:R÷S中,R为被除数,S为除数
    (1)给出了关系表和除法表达式,求运算结果:
    解决方法:利用除法表达式的象集定义。(这类题目比较简单,不细讲,不会的可以留言或者私信,我可以给你讲明白)
    就拿上面概述的例子来看:题目给了两张关系表R和S,要求R÷S的结果。首先分析R和S共有的属性,为B,C。R(被除数)中特有的是A,所以结果为A属性的某个或某些属性值。根据除法的象集定义,求出A中各个属性值的象集,发现:a1{(b1,c2),(b2,c3),(b2,c1)} , a2{(b3,c7),(b2,c3) }, a3{(b4,c6)} , a4{(b6,c6)} 。只有a1 的象集包含了S在(B,C)属性组上的投影,故结果{a1}。(注意:关系代数运算的结果是一个集合)

    (2)题目叙述了一个查询语句,要我们写出关系代数表达式,构造除法(这里又要分为两类,主要就是要构造出除数和被除数):
    i:除数(属性列)的值包含了某个关系表中的该属性的全部值,那么直接把该表中的该属性列当做除数,被除数的属性在除数的基础上加上所求属性。
    ii:除数(属性列)的值没有包含某个关系表中的该属性的全部值,那么可以自己构造一个关系,该关系只有该属性和其值组成。或者采用自身笛卡尔积加选择投影的方法。
    示例1:
    除法第二类例子
    分析:首先教大家怎么由题目叙述得到除数和被除数的属性组成。很显然,题目中要我们求学号,这就是所求属性。然后剩下的属性就只有课程号,所以除数的属性列只有课程号。被除数的属性由除数的属性列和所求属性组成。所以这里我们就用选修表sc投影得到被除数,即把sno,cno这两个属性投影出来得到的新关系当做被除数。当然也可以直接得出被除数,很明显由题目就可以看出被除数是选修表。由于课程号的属性值有1,2,3等等,而题目中给出的属性值只有1,3,不包含全部的属性值,属于第二类。题目中的解法是构造了一个关系,接下来我再讲一种自身笛卡尔积加选择投影的方法。
    先将sc表本身做自然连接,得到关系的属性组成:
    sno cno grade sno cno grade
    1 2 3 4 5 6
    注:下面的数字是属性在表中的下标索引,JDBC中也经常用下标来取得属性列的值。
    接下来开始选择投影:
    示例1的第二种解法
    图片中的选择部分的解释:1=4,即两个sno相等,表明这是同一个学生,2=’1’,5=’3’则表示该同学既选修了1号课程有选修了3号课程,符合题意。最后把学号投影出来即可。这也很好理解,以后这类题都是这种解法,套公式用就行了。
    下面在举一个第一类的例子:
    除法第二类例子
    分析:在上面例子的基础上,我这里就快速分析出除数和被除数的属性组成。
    除数:课程号cno
    所求属性:学号sno和姓名sname
    被除数:按理来说是有cno sno sname这3个属性,但是学生选课数据库中没有这样的表,如果自己构造一张这样的表那很麻烦,所以做除法时,我们先把sno求出来,到时候在与学生表student连接投影一下就可以得到结果。所以被除数的属性由sno cno组成。
    全部课程说明除法中的cno属性包含了该cno属性的所有属性值,为第一类题型。那么直接将该表作为除数。即从课程表course中把cno属性投影出来得到一张表,把该表作为除数。被除数依然是从sc选修表中投影出来的sno和cno属性。再解释一下后面的连接:关系代数中,有除法就先算除法,再算其他的。当然这里在除法前面加上括号就更清晰了,前面的除法得到了学号,再与学生表做自然连接即可得到结果。

    三、总结:
    讲到这里,关系代数中比较难理解的除法的题型也就讲完了。下面再总结一下和做些说明:
    1、 可能会有人把除法和选择混淆,拿到题目的时候不知道该用除法还是选择。大家记住这一点就行了:除法是一个属性可以有多个属性值,选择是一个属性只能有一个属性值。
    怎么理解这句话呢:通过上面的例子都可以看出,至少选修了1号和3号课程的学生学号,选修了全部课程的学生学号和姓名中课程号的属性值的个数都是一个以上,即一个学生选修了多门课。上面讲解的自身笛卡尔积加选择投影的方法虽然没有明显用到÷号,但他的本质还是除法,希望大家不要混淆。
    2、 讲解过程中用到的例子是数据库系统概论第五版 王珊 书上的例子。刚开始学数据库的时候我也很难理解,做题很艰难。我就去网上找资料,找题目练,做多了就会做了。这些方法和题型分类也是我在做题过程中总结出来的。当时做的笔记:
    学习过程中做的笔记
    3、 我为什么要写这篇博客呢:当时学习的过程中确实遇到了很多困难,在网上找资料时也没有找到自己心仪的。感觉讲的不是很清楚,我相信有很多同学也有很多这样的困惑,所以我就写了这篇博客。这也是我第一次写博客,经验不足,可能排版方面不是很美观,但都是干货。写这篇博客的目的是帮助在学习到这里遇到困惑的同学,大神就不用看了。如果大家有好的解决这类问题的解决方法欢迎大家留言讨论。
    4、 下次说说sql语句中exists的问题,这也是比较难理解的东西,个人也做了很好的总结,用来做题分析是很好理解的。上面图片中也可以看到我做了部分归纳。对于以上解题方法还没有理解的可以下方留言评论或者私信我,我看到了就会解答。
    最后:原创码字不易,第一次写博客写的很认真。请大家多多点赞,多多分享,新人求一波关注。有帮助到大家,请点赞不要白嫖哦。转载时请注明出处。

    不要白嫖哦

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  • 前言:仅个人小记。 定理内容 由 S 的置换群 <G, >

    前言:仅个人小记。这个定理就是用来计数的,用来数一数等价类的个数,而等价类本质上是一种降维表示,即把同种东西归类,进而达到简化的目的,进而更能凸现事物的本质等价类的个数类似于线性代数里面 “秩” 这个概念,而不同的等价类则类似于不同的 “基向量”

    前要知识和规定

    1.由集合 S 上的一个置换群 &lt; G , ∗ &gt; &lt;G,*&gt; <G,>诱导的二元关系 R是一个等价关系 。证明参看 https://blog.csdn.net/qq_25847123/article/details/100253596
    2. X a b X_{ab} Xab 表示所有将 a 置换成 b 的置换的集合。

    伯恩赛德(Burnside)定理内容

    由集合 S 上的一个置换群 &lt; G , ∗ &gt; &lt;G,*&gt; <G,>诱导的等价关系 R 将集合 S 划分所得到的等价类数目等于
    1 ∣ G ∣ ∑ π ∈ G ψ ( π ) \frac{1}{|G|}\sum_{\pi\in G}\psi(\pi) G1πGψ(π) ψ ( π ) \psi(\pi) ψ(π)表示 在置换 π \pi π 作用下不变元个数。不变元指的是满足 π ( a ) = a \pi(a)=a π(a)=a 的元素 a 。

    引入 η ( a ) \eta(a) η(a) 表示元素 a 在多少个作用下是保持不变的,由上图,显然有 ∑ π ∈ G ψ ( π ) = ∑ s ∈ S η ( s ) \sum_{\pi\in G}\psi(\pi)=\sum_{s\in S}\eta (s) πGψ(π)=sSη(s) 所 有 行 和 的 总 和 = 所 有 列 和 的 总 和 所有行和的总和=所有列和的总和 =

    故而, 想要求解等价类个数,只要数一数 G 中各个元素 π \pi π分别有多少个不变元,然后加起来,再除以置换群 G 的阶,就得到等价类的个数了。

    定理证明

    显然,证明 等 价 类 的 个 数 = 1 ∣ G ∣ ∑ π ∈ G ψ ( π ) 等价类的个数=\frac{1}{|G|}\sum_{\pi\in G}\psi(\pi) =G1πGψ(π)就等价于证明 等 价 类 的 个 数 = 1 ∣ G ∣ ∑ s ∈ S η ( s ) 等价类的个数=\frac{1}{|G|}\sum_{s\in S}\eta (s) =G1sSη(s)

    前要证明(1)

    证明: 如果 a, b 同属一个等价类,则必然有且仅有 η ( a ) \eta(a) η(a) 个作用,使得 a 置换成 b

    所有作用于 a 结果仍为 a作用为集合 X a a X_{aa} Xaa,该集合元素个数为 ∣ X a a ∣ = η ( a ) |X_{aa}|=\eta(a) Xaa=η(a)
    因为 a, b 同属一个等价类,所以必然存在 π t \pi_t πt ,有 π t ( a ) = b \pi_t(a)=b πt(a)=b。用 π t \pi_t πt和集合 X a X_a Xa中的每个元素相乘,容易证明

    π t ∗ π i = ̸ π t ∗ π j , i = ̸ j , π i , π j ∈ X a a \pi_t*\pi_i=\not\pi_t*\pi_j,i=\not j,\pi_i,\pi_j\in X_{aa} πtπi≠πtπj,i≠j,πi,πjXaa故而, π t \pi_t πt和集合 X a a X_{aa} Xaa中的每个元素相乘结果互不相同,故而可以记为集合 X a b X_{ab} Xab,显然该集合元素个数为 ∣ X a b ∣ = ∣ X a a ∣ = η ( a ) |X_{ab}|=|X_{aa}|=\eta(a) Xab=Xaa=η(a)

    X a b = { π ∣ π ( a ) = b , ∀ π ∈ X a a } X_{ab}=\{\pi|\pi(a)=b, \forall \pi \in X_{aa}\} Xab={ππ(a)=b,πXaa}显然,集合 X a b X_{ab} Xab中的每个元素都满足 π ( a ) = b , ∀ π ∈ X a b \pi(a)=b,\forall \pi\in X_{ab} π(a)=b,πXab我们认为不可能再有其他的不属于集合 X a b X_{ab} Xab的作用 π k \pi_k πk 能够 π k ( a ) = b \pi_k(a)=b πk(a)=b。反证法如下:
    假定
    ∃ π k ∈ ̸ X a b , 使 得 π k ( a ) = b \exist\pi_k\in\not X_{ab},使得\pi_k(a)=b πk̸Xab,使πk(a)=b则,因为这些元素都来自置换群 G,所以这些元素都可逆。进而取集合 X a b X_{ab} Xab中任一元素 π t \pi_t πt,则其逆元
    π t − 1 , 有 π t − 1 ( b ) = a {\pi_t}^{-1},有{\pi_t}^{-1}(b)=a πt1,πt1(b)=a进而显然 π t − 1 ∗ π k ( a ) = π t − 1 ( b ) = a {\pi_t}^{-1}*\pi_k(a)={\pi_t}^{-1}(b)=a πt1πk(a)=πt1(b)=a又因为封闭性,所以

    π t − 1 ∗ π k ∈ G {\pi_t}^{-1}*\pi_k\in G πt1πkG又因为所有能够是的 a 仍作用为 a 的作用都在集合 X a a X_{aa} Xaa中,所以必然

    π t − 1 ∗ π k ∈ X a {\pi_t}^{-1}*\pi_k\in X_a πt1πkXa进而 π k = π t ∗ ( π t − 1 ∗ π k ) ∈ X a b \pi_k=\pi_t*({\pi_t}^{-1}*\pi_k)\in X_{ab} πk=πt(πt1πk)Xab与上述 π k ∈ ̸ X a b \pi_k\in\not X_{ab} πk̸Xab矛盾。故而不存在其他的作用能够使得 a 作用成 b,所以,所有的能够使得 a 作用成 b 的作用都在集合 X a b X_{ab} Xab中,故而,当 a, b 同属一个等价类时,必然有且仅有 η ( a ) \eta(a) η(a)个作用,使得 a 作用成 b。证毕!

    正式证明

    对于任意一个置换,必然将元素 a 置换成 a 所在等价类中的某个元素,假设 a 的等价类为 [a]={a,b,…,k},则

    ∣ X a a ∣ + ∣ X a b ∣ + . . . + ∣ X a k ∣ = ∣ G ∣ |X_{aa}|+|X_{ab}|+...+|X_{ak}|=|G| Xaa+Xab+...+Xak=G又根据前要证明(1),知

    η ( a ) = ∣ X a a ∣ = ∣ X a b ∣ = . . . = ∣ X a k ∣ \eta(a)=|X_{aa}|=|X_{ab}|=...=|X_{ak}| η(a)=Xaa=Xab=...=Xak进而

    η ( a ) = η ( b ) = . . . = η ( k ) = ∣ G ∣ k \eta(a)=\eta(b)=...=\eta(k)=\frac{|G|}{k} η(a)=η(b)=...=η(k)=kG由于 a 是从 S 中任意选取的,根据上面知道, ∀ 等 价 类 [ a ] , ∑ s ∈ [ a ] η ( s ) = ∣ G ∣ \forall 等价类[a],\sum_{s\in[a]}\eta(s)=|G| [a],s[a]η(s)=G进而,如果有 p 个等价类,则

    ∑ s ∈ S η ( s ) = p ∣ G ∣ \sum_{s\in S}\eta(s)=p|G| sSη(s)=pG故而等价类数目为

    p = 1 ∣ G ∣ ∑ s ∈ S η ( s ) = 1 ∣ G ∣ ∑ π ∈ G ψ ( π ) p=\frac{1}{|G|}\sum_{s\in S}\eta(s)=\frac{1}{|G|}\sum_{\pi\in G}\psi(\pi) p=G1sSη(s)=G1πGψ(π)证毕!

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  • 数据库关系运算——除运算

    万次阅读 多人点赞 2018-07-02 22:29:05
    书上给“除运算”的定义是: ... 设关系R除以关系S的结果为关系T,则T包含所有在R但不在S中的属性及其值,且T的元组与S的元组的所有组合都在R中。 我对此不是很理解。 直到看到这样的解读,方才恍然大悟: ...

    书上给“除运算”的定义是:

    设关系R除以关系S的结果为关系T,则T包含所有在R但不在S中的属性及其值,且T的元组与S的元组的所有组合都在R中。

    我对此不是很理解。
    直到看到这样的解读,方才恍然大悟:
    这里写图片描述

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  • C/H/S与LBA的转换关系

    千次阅读 2011-10-26 10:56:05
    而且目前大多数的资料、磁盘工具类软件采用的硬盘参数介绍和计算方法,以及数据恢复技术中一般还是使用相对比较简单的C/H/S寻址模式进行定位,因此,应掌握C/H/S与LBA的转换关系。 1.C/H/S与LBA的转换规则 硬盘...
           为了与C/H/S寻址模式相兼容,大容量的硬盘一般也支持模拟的C/H/S寻址,此时的C/H/S参数都是模拟出来的,而不是实际的物理值。而且目前大多数的资料、磁盘工具类软件采用的硬盘参数介绍和计算方法,以及数据恢复技术中一般还是使用相对比较简单的C/H/S寻址模式进行定位,因此,应掌握C/H/SLBA的转换关系
    
    1C/H/SLBA的转换规则
    硬盘系统在写入数据时,是按照从柱面到柱面的方式进行的,即在上一个柱面写满数据后才移动磁头到下一个柱面,并从柱面的第一个磁头的第一个扇区开始写入,从而使硬盘性能最优。所以,在对物理扇区进行线性编址时,也会按照这种方式进行。
    这里假设一个硬盘按物理扇区划分为1024个柱面、4个磁头、每磁道63个扇区,则C/H/SLBA的转换关系如表1-1所示。
    1-1
    C/H/S
    LBA的转换关系

    C/H/S地址

    LBA编号

    柱面

    磁头

    扇区

    0010
    0021
    00363262
    01163
    0126364125
    02163126188
    03163189251
    101252
    10263253314
    111315

    知识提示:物理扇区是指某个扇区在硬盘上的绝对位置,可以由柱面、磁头与扇区来唯一定位,即柱面、磁头、扇区与硬盘上每一个扇区有一一对应关系。
    2C/H/SLBA的转换公式
    掌握了C/H/SLBA的转换规则,就可以通过公式对两种寻址模式进行相互转换。这里首先讲解从C/H/SLBA的转换公式。
    CHS分别表示当前硬盘的柱面号、磁头号、扇区号,CSHSSS分别表示起始柱面号、磁头号、扇区号,PS表示每磁道扇区数,PH表示每柱面总的磁道数。则C/H/SLBA的转换公式为:
    LBA=C–CS)×PH×PS+H–HS)×PS+S–SS
    一般情况下,CS=0HS=0SS=1PS=63PH=255,则根据上面公式,可知C/H/S=0/0/63时,LBA=62;当C/H/S=0/1/1时,LBA=63;当C/H/S=185/20/50时,LBA=2 973 334
    3LBAC/H/S的转换公式
    在介绍从LBAC/H/S的转换公式前,先来了解DIVMOD两种运算符(这里指对正整数的操作)。DIV是做整除运算,即被除数除以除数所得商的整数部分,如3 DIV 2=18 DIV 3=2MOD运算则是取余数,如5 MOD 3=210 MOD 3=1DIVMOD一般都结合使用,它们一个取整数部分,一个取余数部分。
    各参数仍按照上述假设值,则从LBAC/H/S的转换公式为:
    C=LBA DIVPH×PS+CS
    H=LBA DIV PSMOD PH+HS
    S=LBA MOD PS+SS
    LBA=0时,根据上面公式可得C/H/S=0/0/1;当LBA=63时,得C/H/S=0/1/1,当LBA=2 973 334时,代入公式得C/H/S=185/20/50
    若不想使用MOD运算符,只使用DIV运算符,则转换公式可改为:
    C= LBA DIVPH×PS+ Cs
    H=LBA DIV PSC-Cs)× PH + Hs
    S=LBA–C–Cs)× PH
    × PSH–Hs)×Ps + Ss

    ;------------------------------------------------------------------

    实现LBA转C/H/S (这种转换好如给一个十进制整数,要你取得每一个十进制位,只不过进位有些不同1024 255 63):

    逻辑扇区LBA=0        => C/H/S=0/0/1
    逻辑扇区LBA=63       => C/H/S=0/1/1
    逻辑扇区LBA=2973334  => C/H/S=185/20/50

    绝对扇区=(逻辑扇区 mod 每个柱面的总扇区数) +1
    绝对磁头=(逻辑扇区/每个柱面的总扇区数) mod 总磁头数
    绝对柱面= 逻辑扇区/(每个柱面的总扇区数 * 总磁头数)

    小技巧:

    对于1.44软盘可以用下面的汇编段转换

    DIV r/m16            DX:AX by r/m16, with result stored in
                                   AX ← Quotient, DX ←Remainder

    Lbachs:
    xor  dx, dx
    div  WORD [SectorsPerTrack]
    inc  dl
    mov  BYTE [absoluteSector], dl
    xor  dx, dx
    div  WORD [NumHeads]
    mov  BYTE [absoluteHead], dl
    mov  BYTE [absoluteTrack], al
    ret

     

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  • 图中阴影部分为关系R与关系S重叠的部分,即某些属性的值发生了重合,这些属性是某些元组的子属性,将R÷S,得到的结果是,元组中除了这些重叠的属性外剩下的属性。 需要注意的是,R和S中的每一行都代表一个元组...
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空空如也

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