• 关系代数运算When working with the relational model, we have 2 groups of operations we can use. 使用关系模型时 ，我们可以使用2组操作。 The first is called relational algebra, and it’s a procedural ...

关系代数运算
When working with the relational model, we have 2 groups of operations we can use.
使用关系模型时 ，我们可以使用2组操作。
The first is called relational algebra, and it’s a procedural language.
第一种称为关系代数 ，它是一种过程语言 。
This is what SQL is based upon, and as such it is very important to learn - as SQL is the de-facto standard for working with relational databases.
这是SQL的基础，因此学习非常重要-因为SQL是使用关系数据库的实际标准。
The second is called relational calculus and instead of being procedural, it’s a declarative language. It’s a fundamental difference in how we interact with databases, because you don’t tell the database software what to do, you just tell it what you want, and let it sort out the details of how to do it.
第二种称为关系演算 ，而不是程序性的，它是一种声明性语言 。 这是我们与数据库交互的方式的根本区别，因为您没有告诉数据库软件该怎么做 ，而只是告诉您想要什么 ，然后让它整理出如何做的细节。

This is a common distinction among programming languages. In modern frontend, we say interaction with the DOM in React is declarative. Using vanilla JavaScript to modify the DOM is procedural.
这是编程语言之间的常见区别。 在现代的前端中，我们说与React中的DOM交互是声明性的。 使用原始JavaScript修改DOM是过程性的。

Languages like Datalog, QBE and QUEL have relational calculus as its base. I’m not going to talk about this because I think it’s a much more niche way of doing things compared to the more practical approach followed by SQL, but you can look at it if you want.
诸如Datalog ， QBE和QUEL之类的语言都以关系演算为基础。 我不打算讨论这个问题，因为与SQL所采用的更实际的方法相比，这是一种更利基的处理方式，但是您可以根据需要进行查看。
Given this introduction, let’s go on with relational algebra.
有了这个介绍，让我们继续关系代数 。
We have 2 types of operations:
我们有2种操作类型：
primary operations 主要操作 join operations 加盟行动
关系代数中的主要运算 (Primary operations in relational algebra)
Primary operations are:
主要操作是：
union to get data from two tables, generating a sum of the tuples, as long as the two tables have the same columns and attribute types (domain). 只要两个表具有相同的列和属性类型(域)，就可以通过并集从两个表中获取数据，并生成元组的和。 difference to get data contained in the first table but not in the second table, generating a difference of the tuples, as long as the two tables have the same columns and attribute types (domain). 差异以获取包含在第一个表中但不包含在第二个表中的数据，从而产生元组的差异，只要两个表具有相同的列和属性类型(域)即可。 cartesian product to get data from two tables into and generate one single table that combines the data of them, based on an attribute value. 笛卡尔乘积可将两个表中的数据获取并生成一个基于属性值将它们的数据组合在一起的单个表。 select to only extract some of the tuples (rows) contained in a table based on certain criteria. 选择仅基于某些条件提取表中包含的一些元组(行)。 project to generate a new table containing only one or more attributes (columns) of an existing table 项目以生成仅包含现有表的一个或多个属性(列)的新表 rename used to rename an attribute, used to prevent conflicts when multiple tables have the same name for different data 重命名用于重命名属性，用于防止多个表对不同数据使用相同名称时发生冲突
关系代数中的联接运算 (Join operations in relational algebra)
Joins are probably the most powerful operations you can perform with relational algebra. They build on top of primary operations, and they allow you to correlate data contained in different relations (tables).
连接可能是关系代数可以执行的最强大的运算。 它们建立在主要操作之上，并且使您可以关联包含在不同关系(表)中的数据。

Note: I’ll soon talk about joins in practice in a DBMS, this is mostly theory.
注意：我将很快讨论DBMS在实践中的联接，这主要是理论上的。

We have 2 main join versions: natural join and theta join. All the other versions are extracted from those 2.
我们有2个主要的join版本： 自然联接和theta联接 。 所有其他版本均摘自那些2。
自然加入 (Natural Join)
Natural join correlates two relations (tables), and creates a new table based on the same values of an attribute.
自然联接将两个关系(表)相关联，并基于属性的相同值创建一个新表。
We need two relations with the same attribute name (column), first. Then if values in the attributes in relation A are unmatched in the attributes in relation B, the row is not part of the result, it’s ignored.
首先，我们需要两个具有相同属性名称(列)的关系。 然后，如果关系A中的属性值与关系B中的属性不匹配，则该行不是结果的一部分，将忽略该行。
Example:
例：
Relation A
关系A
Employee IDName1Mark2Tony3Rick
员工ID  名称  1个  标记  2  托尼  3  里克
Relation B
关系B
Manager NameEmployee IDTodd1Albert2
经理姓名  员工ID  托德  1个  阿尔伯特  2
We can perform a natural join to get the boss name for each employee:
我们可以进行自然加入以获得每个员工的老板姓名：
Employee IDNameManager Name1MarkTodd2TonyAlbert
员工ID  名称  经理姓名  1个  标记  托德  2  托尼  阿尔伯特
Since the relations have the Employee ID attribute name in common, it is only present once in the result, not 2 times.
由于这些关系具有共同的Employee ID属性名称，因此在结果中仅出现一次，而不是2次。
The employee #3 present in relation A, Rick, is not included in this table, because there’s no corresponding entry in relation B.
由于在关系B中没有相应的条目，因此关系A中存在的＃3雇员Rick不包括在此表中。
θ联接 (Theta-join)
A theta-join allows to perform a join based on any criteria to compare two columns in two different relations, not just equality like the natural join does.
Theta-join允许根据任何条件执行连接以比较两个不同关系中的两个列，而不仅仅是自然连接那样的相等性。
It performs a cartesian product of two tables, and filters the results based on the selection we want to make.
它执行两个表的笛卡尔积，并根据我们要选择的内容过滤结果。
等值联接 (Equi-join)
The equi-join is a theta join, where the selection is based on equality between attribute values in the two different tables.
等值联接是theta联接，其中选择基于两个不同表中属性值之间的相等性。
The difference with the natural join is that we can choose which attributes names (columns) we want to compare.
自然连接的区别在于我们可以选择要比较的属性名称(列)。
We’ll talk much more about joins later when SQL is introduced, so we can use them in practice.
稍后在引入SQL时，我们将详细讨论联接，因此我们可以在实践中使用它们。

翻译自: https://flaviocopes.com/relational-algebra/

关系代数运算

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• 小插曲：小编在学习计算机二级的时候，苦于关系代数关系运算理解，在网上百度很多的资源，大都是概念，而且是文本形式呈现的。个人喜好图文形式的理解，因此将做的比较好的ppt做成帖子供大家参考，如有错误，请...
小插曲：小编在学习计算机二级的时候，苦于关系代数的关系运算理解，在网上百度很多的资源，大都是概念，而且是文本形式呈现的。个人喜好图文形式的理解，因此将做的比较好的ppt做成帖子供大家参考，如有错误，请批评指正。
声明：
一、集合运算
关系R和S 是元组的集合(不存在重复元组) 前提：R和S的模式具有相同的属性集(属性域匹配) 且属性顺序相同 属性名不同，可以改名。
 集合运算主要讲：并、交和差。因为传统集合运算很好理解，所以就简要解释。

1.并
A∪B: A和B的并 由A或B中的元组组成

2.交
R∩S: R和S的交 由R和S中都存在的元组组成

3.差
B-A: B和A的差 由在B中而不在A中的元组组成

二、关系运算
关系运算主要详讲：投影、选择、笛卡尔积和自然连接。
1.投影
关系R上的投影是从R中选择若干属性A1,A2,A3…An组成的新的关系(去掉重复元组)。
 记 丌A1,A2,A3..An (R)    A1,A2,A3…An是R中的属性
习惯上按所列出的顺序显示


2.选择
关系R上的选择运算，即从指定关系中选择满足一定条件C的元组, 得到新的关系。结果集的模式与R相同。
记： σC（R）
C是一个条件，取值为“true”或“false”。
C由逻辑运算符OR AND NOT 连接各条件表达式组成。


3.笛卡尔积
R和S的笛卡尔积(即乘积)是有序对的集合。
 由R的元组和S的元组构成更长的元组。有序对的
第1个元素是关系R的任何一个元组
第2个元素是 关系S的任何一个元组.
记作  :  R×S


4.自然连接
由R和S在公共属性上相同的元组成对连接构成(去掉重复的列)
假设A1,A2,…An为R和S的公共属性,当且仅当R的元组r和S的元组s在A1,A2,…An每一个属性
上都一致时,r和s才能成功地组成一对。

例图1： 例图2： 
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• 关系代数-SQL的基础 元组关系演算 域关系演算 关系代数 在某种程度上是过程化语言 六个基本运算 select 选择 project 投影 union 并 set difference 差（合集差） cartesian product 笛卡尔积 rename ...
查询语言
用户用来从数据库中请求获取信息的语言
“纯”查询语言（奠定了人民使用查询语言的基础）
关系代数-SQL的基础元组关系演算域关系演算

关系代数
在某种程度上是过程化语言
六个基本运算
select 选择project 投影union 并set difference 差（合集差）cartesian product 笛卡尔积rename 更名（重命名）
用户输入一个或两个关系，并得到新的关系
附加运算
set intersection 交natural join 自然连接division 除assignment 赋值

选择运算
关系-表，元组-行，属性-列
选择运算就是在表（关系）中，选择出条件（元组中属性）满足的行（元组）。
定义：σp（r）={t|t∈r and p（t）}
p是由逻辑连词与、或、非连接起来的公式。逻辑连词的运算对象可以是比较运算符的表达式。
例：(a<4)&&(b>3)

投影运算
目的：将表中重复的元组删除。

并运算
目的：将两个有相同属性（且排列顺序相同）的表合并，将重复的元组取出，将不同的变成一个表。

差运算
目的：将两个有相同属性（且排列顺序相同）的表中出现相同的元组删除，使两个表中都没有这些元组

广义笛卡尔积
定义：rxs={{t q}|t∈r and q∈s}
假设r（R）的属性和s（S）的属性没有交集
如果属性有交集，那么必须重命名这些有交集的属性
例：r和s中都有B，可以重命名为r.B和s.B

复合运算
可以使用多种运算符构建表达式

更名运算
允许我们使用其他名字指代关系

表达：（）内的是查找条件，下标是查找目标

附加运算
虽不能增加关系代数的表达能力，但却可以简化一些常用的查询。

交运算
目的：从两个有相同属性（且排列顺序相同）的表中找出相同的元组。
r∩s=r-（r-s）

自然连接
将两表中相同属性的元组进行笛卡尔积，在得到的新元组进行投影，删除多余的相同的属性。
注意：
1.r，s必须含有同名属性
2.连接两个关系中同名属性值相等的元组
3.消去重名属性
theta连接
由用户来指定，是自然连接的扩展

除运算
使用于“对所有的”此类短语的查询
多项选择：满足一个属性的多个值的另一个属性。

赋值运算（<-）
赋值运算可以把查询表达为一个顺序程序，该程序包括：
一系列赋值一个其值被作为查询结果显示的表达式
赋值必须是赋给一个临时关系变量。

总结：
并、差、交为双目、等元运算
笛卡尔积、自然连接、除为双目运算
投影、选择为单运算对象
优先级（由高到低）
投影选择笛卡尔积连接、除交并、差
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• 上一节讲了关系代数的一些基本运算，本节继续讲解其余的基本运算：笛卡尔积和更名运算。 笛卡尔积（x）笛卡尔积运算使得我们可以将任意两个关系的信息组合在一起。形式的说，R×S被定义为: RS= {rs|rR,sS} ...


上一节讲了关系代数的一些基本运算，本节继续讲解其余的基本运算：笛卡尔积和更名运算。

笛卡尔积（x）
笛卡尔积运算使得我们可以将任意两个关系的信息组合在一起。
形式的说，R × S 被定义为:

R
$\times$
S = {
r
$\cup$
s|
r
$\in$
R,
s
$\in$
S}

假设我们希望找出所有在Perryridge支行有贷款的客户姓名。

为了实现这一要求，我们同时需要关系loan和关系borrower中的信息。

σbranch_name="Perryridge"(borrower $\times$ loan)
然而，customer_name列却可能包含在Perryridge支行没有贷款的客户。

因为笛卡尔积中保留了所有可能的由一个来自borrower的元组和一个来自loan的元组构成的元组对。

由于笛卡尔积运算将loan中的每个元组同borrower中的每个元组进行联系，而我们又知道如果客户在Perryridge支行有贷款，则borrower $\times$ loan中必定存在某个元组，其中包含了该客户的姓名，并且borrwoer.loan_number=loan.loan_number。

因此如果我们用下面的表达式就可以得到borrower $\times$ loan中与在Perryridge支行有贷款的客户相关的所有元组。

σborrwoer.loan_number=loan.loan_number

(σbranch_name="Perryridge"(borrower $\times$ loan) )

最后，由于我们只需要customer_name，我们进行投影：

πcustomer_name(σborrower.loan_number=loan.loan_number

(σbranch_name="Perryridge"(borrower $\times$ loan) ) )

这就是我们要查询的结果。

其相应的查询语句为：

mysql> select customer_name from borrower, loan     -> where borrower.loan_number=loan.loan_number     -> and branch_name="Perryridge"; +---------------+ | customer_name | +---------------+ | Hayes         | | Admas         | +---------------+ 2 rows in set (0.00 sec)

更名运算 (ρ)
更名运算的表达式是：ρx (E)

假设关系代数表达式E是n元的，则表达式

ρx(A1,A2……An) (E)

返回表达式E的结果，并赋给它名字x，同时将各属性更名为A1,A2……An。

例1：查询“找出银行中最大的账户余额”。

我们的策略是：

（1）    首先计算出一个由非最大的余额构成的临时关系；

（2）    计算关系πbalance (account)和刚才算出的临时关系之间的集合差。

步骤一：为了计算该临时关系，我们需要比较所有账户余额的值。要做这样的比较，我们可以通过笛卡尔积account ×account并构造一个选择来比较任意两个出现在同一元组中的余额。

πaccount.balance (σacount.balance<d.balance (account×ρd (account) ) )

其相应的查询语句为：

步骤二：查找银行中最大余额的查询：

πbalance(account) -
πaccount.balance(σacount.balance<d.balance (account×ρd (account)))

其相应的查询语句为：

mysql> select balance from account     ->  where balance not in     -> (select distinct account.balance from account, account d     -> where account.balance<d.balance); +---------+ | balance | +---------+ |     900 | +---------+ 1 row in set (0.00 sec)
例2：查询“找出所有与Smith居住在同一城市同一街道的客户”

首先得到Smith居住的城市和街道：

πcustomer_street, customer_city(σcustomer_name= "Smith " (customer) )

其相应的查询语句为：

mysql> select customer_street, customer_city     -> from customer     -> where customer_name="Smith"; +-----------------+---------------+ | customer_street | customer_city | +-----------------+---------------+ | North           | Rye           | +-----------------+---------------+ 1 row in set (0.00 sec)

πcustomer.customer_name

πcustomer_street, customer_city(σcustomer_name= "Smith " (customer)))))

其相应的查询语句为：

mysql> select customer.customer_name from customer,     -> (select customer_street street, customer_city city     ->   from customer     ->   where customer_name="Smith") smith_addr     -> where customer.customer_street=smith_addr.street and     -> customer_city=smith_addr.city; +---------------+ | customer_name | +---------------+ | Curry         | | Smith         | +---------------+ 2 rows in set (0.00 sec)

转载于:https://blog.51cto.com/leander/1093796
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