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 数学建模常.模型及其MATLAB等软件实现
 讲师：清风

   
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 十大模型，涉及近三十种算法
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 为什么录制这门课程？ 
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 如何准备数模？

   
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 数学建模的任务分配
 数学建模三大块： 建模+ 编程+ 写作

   
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 模型讲解
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 从简单的例子开始，慢慢的引出模型。
 （体验真正的建模过程）

   
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 编程讲解
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 不需要MATLAB基础，先讲基础语法和函数，再讲模型的实现（注释详细）。

   
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 写作训练
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 每一讲结束后都会有相应的作业供你练习，例如：

   
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 写作训练
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 每个算法都会配有拓展资料
 （看看优秀论文是如何写作的吧）

   
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 第一讲:层次分析法
 (The analytic hierarchy process, 简称AHP) 
 建模比赛中最基础的模型之一，其主要用于解决
 评价类问题（例如：选择哪种方案最好、哪位运
 动员或者员工表现的更优秀）。
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 温馨提示
 （1）视频中提到的所有附件可在售后群的群文件中下载。
 包括讲义、代码、软件安装包、优秀的作业、我视频中推荐的资料等。
 （2）视频中或者有讲义中发现有错误可私戳群主清风反馈。我会将错误修改后重新上传到群文件， 
 大家留意文件名称后面的日期。在线勘误地址： 
 http://note.youdao.com/noteshare?id=66f9dd707874e0428610502b45c074d9 
 （3）讨论群的群号获取地址（讨论群是付费群，群文件也有大量资料，大家可自愿决定是否入群） 
 http://note.youdao.com/noteshare?id=4997251d8219a45d56631e412b1e9392 
 （4）更多优质数学建模资料大家可关注我的微店店铺(微信扫右边二维
 码进店)和b站网站获取。
 https://space.bilibili.com/52614961 
 （5）配套的资源和代码可发给你的朋友或者队友一起交流，请不要上传
 到公开的互联网上，版权归清风老师所有。
 （未经授权将原创资料散播到互联网的行为是违规的哦） 
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 模型介绍
 1

   
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 评价类问题可用打分解决
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 高考结束了， 
 我该选华科还是武大呢？

   
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 评价类问题可用打分解决
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 小明最关心大学里面的这四个方面： 
 学习氛围（0.4） 
 就业前景（0.3） 
 男女比例（0.2） 
 校园景色（0.1） 
 括号里面的数值表示小明认为的重要性程度（权重），其和为1。
 注：本例子仅用于学习，大家可暂时忽略真实情况下应考虑到的更多细节（例如学校中的具体专业）。

   
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 评价类问题可用打分解决
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 学习氛围
 注：本例子对涉及到的学校并无恶意，仅用于教学使用
 （请观看到此视频的华科武大同学别吐槽哦） 
 0.7 
 0.3

   
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 评价类问题可用打分解决
 16 / 94 
 就业前景
 = = 0.5

   
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 评价类问题可用打分解决
 17 / 94 
 男女比例
 0.3 0.7 
 约为1.35:1

   
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 评价类问题可用打分解决
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 校园景色
 华科玉兰
 VS 
 武大樱花
 0.25 0.75

   
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 根据权重表格计算得分
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 指标权重华科武大
 学习氛围0.4 0.7 0.3 
 就业前景0.3 0.5 0.5 
 男女比例0.2 0.3 0.7 
 校园景色0.1 0.25 0.75 
 小明整理好了这张权重表格： 
 华科最终得分：0.515 
 0.7 × 0.4 + 0.5 × 0.3 + 0.3 × 0.2 + 0.25 ×0.1 
 武大最终得分：0.485 
 0.3 × 0.4 + 0.5 × 0.3 + 0.7 × 0.2 + 0.75 ×0.1

   
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 华科最终得分：0.515 
 武大最终得分：0.485 
 由于华科分数高于武大，小明最终选择了华科。。。

   
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 一个小小的总结
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 使用打分法解决评价问题，只需要我们补充完成下面这张表格即可： 
 指标权重方案1 方案2 …… 
 指标1 
 指标2 
 指标3 
 …… 
 指标权重华科武大
 学习氛围0.4 0.7 0.3 
 就业前景0.3 0.5 0.5 
 男女比例0.2 0.3 0.7 
 校园景色0.1 0.25 0.75 
 同颜色的单元格的和为1，它们表示的针对某一因素
 所占的权重。

   
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 一道引出层次分析法的例题
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 填好志愿后，小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择
 了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。
 请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。

   
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 一道引出层次分析法的例题
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 填好志愿后，小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择
 了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。
 请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。
 评价类问题

   
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 一道引出层次分析法的例题
 24 / 94 
 填好志愿后，小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择
 了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。
 请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。
 评价类问题
 解决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题： 
 ① 我们评价的目标是什么？ 
 ② 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？ 
 ③ 评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏）

   
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 一道引出层次分析法的例题
 25 / 94 
 填好志愿后，小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择
 了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。
 请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最合适的方案。
 解决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题： 
 ① 我们评价的目标是什么？ 
 答：为小明同学选择最佳的旅游景点。
 ② 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？ 
 答：三种，分别是去苏杭、去北戴河和去桂林。
 ③ 评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏） 
 答：题目没给相关数据支撑，需要我们确定。

   
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 一道引出层次分析法的例题
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 解决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题： 
 ① 我们评价的目标是什么？ 
 答：为小明同学选择最佳的旅游景点。
 ② 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？ 
 答：三种，分别是去苏杭、去北戴河和去桂林。
 ③ 评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏） 
 答：题目没给相关数据支撑，需要我们查阅相关的资料。
 一般而言，前两个问题的答案是显而易见的，第三个问题的答案
 需要我们根据题目中的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料进
 行结合，从中筛选出最合适的指标。

   
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 优先选择知网（或者万方、百度学术、谷歌学术等平台）搜索相关的文献：

   
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 大学生啦！ 
 一定要知道知网哦。
 为什么优先在别人发表的论文中寻找指标？ 
 显得专业
 另外，别人研究使用的方法你也可以借鉴

   
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 假如你没找到相关的文献怎么办？ 
 和小组成员来场头脑风暴
 + 
 在平台上搜索别人或者专家的看法呗

   
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 强烈推荐一个很腻害的网站： 
 虫部落-快搜： https://search.chongbuluo.com/ 
 优先级： 
 . 谷歌搜索（国内进不去的话就使用百度搜索吧） 
 . 微信搜索
 . 知乎搜索
 例如本题我们可以搜索关键字： 
 旅游选择因素、根据什么因素选择旅游景点、旅游景点评价指标等

   
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 假如我们查询了资料后选择了以下五个指标： 
 ①景点景色
 ②旅游花费
 ③居住环境
 ④饮食情况
 ⑤交通便利程度
 填好志愿后，小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择
 了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。
 请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。

   
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 解决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题： 
 ① 我们评价的目标是什么？ 
 答：为小明同学选择最佳的旅游景点。
 ② 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？ 
 答：三种，分别是去苏杭、去北戴河和去桂林。
 ③ 评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏） 
 答：景色、花费、居住、饮食、交通。
 脑洞：假如现在小明就在我们面前，我们要对他提
 哪些问题才能帮他合理的做决定？

   
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 还记得这张权重表格吗？ 
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 指标权重苏杭北戴河桂林
 景色
 花费
 居住
 饮食
 交通

   
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 直接问权重的弊端
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 有同学可能会想，直接叫小明填好这张表不就完事啦~ 
 这样往往比较片面和不周全
 （隔一天问他答案可能就变了） 
 在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难
 是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接
 考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此
 失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至
 有可能提出一组隐含矛盾的数据。
 ——选自司守奎[kuí]老师的《数学建模算法与应用教材》

   
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 分而治之的思想
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 指标权重苏杭北戴河桂林
 景色
 花费
 居住
 饮食
 交通
 分而治之：我们先来确定指标的权重吧~ 
 问题： 
 一次性考虑这五个指标之间的关系，往往考虑不周。
 解决方法： 
 两个两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重。

   
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 层次分析法的思想登场
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 如果用1-9表示重要程度（见下表），请你两两比较上述这五个指标对
 于选择最终的旅游景点的重要性。
 标度含义
 1 表示两个因素相比，具有同样重要性
 3 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要
 5 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要
 7 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要
 9 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
 2, 4, 6, 8 上述两相邻判断的中值
 倒数A和B相比如果标度为3，那么B和A相比就是1/3 
 （注：这里的重要性有时候解释为满意度更方便理解）

   
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 标度含义
 1 同样重要性
 3 稍微重要
 5 明显重要
 7 强烈重要
 9 极端重要
 2, 4, 6, 8 上述两相邻判断的中值
 倒数A和B相比如果标度为3， 
 那么B和A相比就是1/3 
 景色花费居住饮食交通
 景色1 
 花费1 
 居住1 
 饮食1 
 交通1 
 Q1: 根据右边这个表，请你比较景色和花费的重要程度。
 A1: 我认为花费比景色略微重要(介于同等重要1和稍微重要3之间吧) 
 1/2 
 Q2: 根据右边这个表，请你比较景色和居住的重要程度。
 A2: 我认为景色比居住要重要一点(介于稍微重要3和明显重要5之间吧) 
 4 
 2 
 1/4

   
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 景色花费居住饮食交通
 景色1 1/2 4 3 3 
 花费2 1 7 5 5 
 居住1/4 1/7 1 1/2 1/3 
 饮食1/3 1/5 2 1 1 
 交通1/3 1/5 3 1 1 
 就这样，小明回答了10次【组合数C(5,2) 】，你根据他所回
 答的填好了上面这张表。
 注：实际情况下没有小明帮我们回答，层次分析法中这张表是交给‘专家’ 
 填的，具体我们等后面再说。
 标度含义
 1 同样重要性
 3 稍微重要
 5 明显重要
 7 强烈重要
 9 极端重要
 2, 4, 6, 8 上述两相邻判断的中值
 倒数A和B相比如果标度为3， 
 那么B和A相比就是1/3

   
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 景色花费居住饮食交通
 景色1 1/2 4 3 3 
 花费2 1 7 5 5 
 居住1/4 1/7 1 1/2 1/3 
 饮食1/3 1/5 2 1 1 
 交通1/3 1/5 3 1 1 
 标度含义
 1 同样重要性
 3 稍微重要
 5 明显重要
 7 强烈重要
 9 极端重要
 2, 4, 6, 8 上述两相邻判断的中值
 倒数A和B相比如果标度为3， 
 那么B和A相比就是1/3 
 总结：上面这个表是一个5 × 5的方阵，我们记为A，对应的元素为....... 
 这个方阵有如下特点： 
 （1）......表示的意义是，与指标..相比，..的重要程度。
 （2）当.. = ..时，两个指标相同，因此同等重要记为1，这就解释了主对角线元素为1。
 （3）...... > 0且满足...... × ...... = 1 （我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵） 
 实际上，上面这个矩阵就是层次分析法中的判断矩阵。

   
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 景色花费居住饮食交通
 景色1 1/2 4 3 3 
 花费2 1 7 5 5 
 居住1/4 1/7 1 1/2 1/3 
 饮食1/3 1/5 2 1 1 
 交通1/3 1/5 3 1 1 
 得到了判断矩阵，就可以计算出权重了。
 具体方法我们稍后再讲。

   
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 指标权重苏杭北戴河桂林
 景色
 花费
 居住
 饮食
 交通
 如何计算苏杭、北戴河与桂林在景色方面所占的权重（得分）呢？

   
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 填写判断矩阵
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 景色苏杭北戴河桂林
 苏杭1 2 5 
 北戴河1/2 1 2 
 桂林1/5 1/2 1 
 标度含义
 1 同样重要性
 3 稍微重要
 5 明显重要
 7 强烈重要
 9 极端重要
 2, 4, 6, 8 上述两相邻判断的中值
 倒数
 A和B相比如果标度为3， 
 那么B和A相比就是1/3 
 Q1：你觉得苏杭的风景和北戴河相比如何？ 
 A1：稍微好一点点吧（介于1-3之间） 
 Q2：你觉得苏杭的风景和桂林相比如何？ 
 A2：要明显的好哦（5） 
 Q3：你觉得北戴河的风景和桂林相比如何？ 
 A3：稍微好一点点吧（介于1-3之间）

   
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 花费苏杭北戴河桂林
 苏杭1 1/3 1/8 
 北戴河3 1 1/3 
 桂林8 3 1 
 居住苏杭北戴河桂林
 苏杭1 1 3 
 北戴河1 1 3 
 桂林1/3 1/3 1 
 饮食苏杭北戴河桂林
 苏杭1 3 4 
 北戴河1/3 1 1 
 桂林1/4 1 1 
 交通苏杭北戴河桂林
 苏杭1 1 1/4 
 北戴河1 1 1/4 
 桂林4 4 1

   
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 一个有可能出问题的地方： 
 44 / 94 
 景色苏杭北戴河桂林
 苏杭1 2 5 
 北戴河1/2 1 2 
 桂林1/5 1/2 1 
 标度含义
 1 同样重要性
 3 稍微重要
 5 明显重要
 7 强烈重要
 9 极端重要
 2, 4, 6, 8 上述两相邻判断的中值
 倒数A和B相比如果标度为3， 
 那么B和A相比就是1/3 
 景色苏杭北戴河桂林
 苏杭1 2 1 
 北戴河1/2 1 2 
 桂林1 1/2 1 
 苏杭= A 北戴河= B 桂林= C 
 苏杭比北戴河景色好一点A > B 
 苏杭和桂林景色一样好A = C 
 北戴河比桂林景色好一点B > C 
 出现了矛盾之处（不一致的现象） 
 （要是把左表中的2换成更大的数，那
 么不一致会更加严重）

   
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 一致矩阵
 45 / 94 
 景色苏杭北戴河桂林
 苏杭1 2 4 
 北戴河1/2 1 2 
 桂林1/4 1/2 1 
 标度含义
 1 同样重要性
 3 稍微重要
 5 明显重要
 7 强烈重要
 9 极端重要
 2, 4, 6, 8 上述两相邻判断的中值
 倒数A和B相比如果标度为3， 
 那么B和A相比就是1/3

   
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 一致矩阵的例子
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 景色花费居住饮食交通
 景色1 1/2 4 3 3 
 花费2 1 8 6 6 
 居住1/4 1/8 1 3/4 3/4 
 饮食1/3 1/6 4/3 1 1 
 交通1/3 1/6 4/3 1 1 
 景色苏杭北戴河桂林
 苏杭1 2 4 
 北戴河1/2 1 2 
 桂林1/4 1/2 1
 观察上面这两个矩阵的特点： 
 各行（各列）之间成倍数关系

   
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 一致矩阵
 47 / 94 
 景色苏杭北戴河桂林
 苏杭1 2 5 
 北戴河1/2 1 2 
 桂林1/5 1/2 1 
 景色苏杭北戴河桂林
 苏杭1 2 4 
 北戴河1/2 1 2 
 桂林1/4 1/2 1 
 若矩阵中每个元素...... > 0且满足...... × ...... = 1 ，则我们称该矩阵为正互反矩阵。
 在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。
 若正互反矩阵满足...... × ...... = ......，则我们称其为一致矩阵。
 注意：在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验。

   
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 一致性检验
 48 / 94 
 原理：检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别。
 下面的知识需要用到线性代数
 的知识，没学过的同学可以忽
 略掉证明过程，只需要了解如
 何计算即可。

   
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 景色苏杭北戴河桂林
 苏杭1 2 4 
 北戴河1/2 1 2 
 桂林1/4 1/2 1 
 景色花费居住饮食交通
 景色1 1/2 4 3 3 
 花费2 1 8 6 6 
 居住1/4 1/8 1 3/4 3/4 
 饮食1/3 1/6 4/3 1 1 
 交通1/3 1/6 4/3 1 1 
 计算可看：EIG_consistent_matrix.m

   
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 若正互反矩阵（判断矩阵）满足...... × ...... = ......，则我们称其为一致矩阵。
 景色苏杭北戴河桂林
 苏杭1 2 a 
 北戴河1/2 1 2 
 桂林1/a 1/2 1 
 a = [1:1:8] 
 b = [] 
 for i = 1:size(a,2) 
 A = 
 [1,2,a(i);1/2,1,2;1/a(i),1/2,1] 
 b = [b,max(eig(A))] 
 end 
 plot(a,b) 
 判断矩阵越不一致时，最大特征值与n相差就越大。
 代码文件名称：PPT_1.m

   
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 一致性检验的步骤
 51 / 94 
 第一步：计算一致性指标CI 
 第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI 
 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
 RI 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 
 注：在实际运用中，n很少超过10，如果指标的个数大于10，则可考虑建立二级指标体系
 第三步：计算一致性比例CR 
 如果CR < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对
 判断矩阵进行修正。

   
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 两个小问题
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 （1）平均随机一致性指标RI怎么计算来的？ 
 （2）为什么要这样构造CI，为什么要以0.1为划分依据？ 
 大家有兴趣的话可以去查看作者的原论文， 
 作者是通过多次蒙特卡罗模拟得到的最佳的方案。

   
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 一致矩阵怎么计算权重？ 
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 景色苏杭北戴河桂林
 苏杭1 2 4 
 北戴河1/2 1 2 
 桂林1/4 1/2 1 
 从简单的开始入手，先来看一致矩阵： 
 对于景色这点而言：（注：这里的重要性有时候解释为满意度更方便理解） 
 苏杭的重要性如果是1，那么北戴河的重要性就是1/2，桂林的重要性就是1/4. 
 注意，权重一定要进行归一化处理： 
 苏杭= 1 /（1+0.5+0.25） 
 北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.25） 
 桂林= 0.25 /（1+0.5+0.25） 
 标度含义
 1 同样重要性
 3 稍微重要
 5 明显重要
 7 强烈重要
 9 极端重要
 2, 4, 6, 8 上述两相邻判断的中值
 倒数A和B相比如果标度为3， 
 那么B和A相比就是1/3

   
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 判断矩阵计算权重
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 景色苏杭北戴河桂林
 苏杭1 2 5 
 北戴河1/2 1 2 
 桂林1/5 1/2 1 
 仅使用第一列的数据，计算出来的权重： 
 苏杭= 1 /（1+0.5+0.2）= 0.5882 
 北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.2）= 0.2941 
 桂林= 0.2 /（1+0.5+0.2）= 0.1177

   
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 判断矩阵计算权重
 55 / 94 
 景色苏杭北戴河桂林
 苏杭1 2 5 
 北戴河1/2 1 2 
 桂林1/5 1/2 1 
 仅使用第一列的数据，计算出来的权重： 
 苏杭= 1 /（1+0.5+0.2）= 0.5882 
 北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.2）= 0.2941 
 桂林= 0.2 /（1+0.5+0.2）= 0.1177 
 使用第二列的数据，计算出来的权重： 
 苏杭= 2 /（2+1+0.5）= 0.5714 
 北戴河= 1 /（2+1+0.5）= 0.2857 
 桂林= 0.5 /（2+1+0.5）= 0.1429 
 使用第三列的数据，计算出来的权重： 
 苏杭= 5 /（5+2+1）= 0.625 
 北戴河= 2 /（5+2+1）= 0.25 
 桂林= 1 /（5+2+1）= 0.125

   
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 方法1：算术平均法求权重
 56 / 94 
 仅使用第一列的数据，计算出来的权重： 
 苏杭= 1 /（1+0.5+0.2）= 0.5882 
 北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.2）= 0.2941 
 桂林= 0.2 /（1+0.5+0.2）= 0.1177 
 使用第二列的数据，计算出来的权重： 
 苏杭= 2 /（2+1+0.5）= 0.5714 
 北戴河= 1 /（2+1+0.5）= 0.2857 
 桂林= 0.5 /（2+1+0.5）= 0.1429 
 使用第三列的数据，计算出来的权重： 
 苏杭= 5 /（5+2+1）= 0.625 
 北戴河= 2 /（5+2+1）= 0.25 
 桂林= 1 /（5+2+1）= 0.125 
 综合上述三列，我们求平均权重： 
 苏杭= (0.5882+0.5714+0.625)/3=0.5949 
 北戴河= (0.2941+0.2857+0.25)/3=0.2766 
 桂林= (0.1177+0.1429+0.125)/3=0.1285

   
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 方法1：算术平均法求权重
 57 / 94 
 第一步：将判断矩阵按照列归一化
 （每一个元素除以其所在列的和） 
 第二步：将归一化的各列相加(按行求和) 
 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
 景色苏杭北戴河桂林
 苏杭1 2 5 
 北戴河1/2 1 2 
 桂林1/5 1/2 1 
 景色苏杭北戴河桂林
 苏杭0.5882 0.5714 0.625 
 北戴河0.2941 0.2857 0.25 
 桂林0.1177 0.1429 0.125 
 未归一化的权重
 苏杭0.5882+0.5714+0.625 = 1.7846 
 北戴河0.2941+0.2857+0.25=0.8298 
 桂林0.1177+0.1429+0.125=0.3856 
 权重
 苏杭1.7846 / 3 = 0.5949 
 北戴河0.8298 / 3 = 0.2766 
 桂林0.3856 / 3 = 0.1285

   
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 方法1：算术平均法求权重
 58 / 94 
 第一步：将判断矩阵按照列归一化
 （每一个元素除以其所在列的和） 
 第二步：将归一化的各列相加(按行求和) 
 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量

   
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 方法2：几何平均法求权重
 59 / 94 
 几何平均法求权重也有三步： 
 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
 算术平均法权重几何平均法权重
 苏杭0.5949 0.5954 
 北戴河0.2766 0.2764 
 桂林0.1285 0.1283 
 注： 权重和应为1，这里由于四舍五入所以会有可以忽略的差距。

   
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 方法3：特征值法求权重
 60 / 94 
 景色苏杭北戴河桂林
 苏杭1 2 4 
 北戴河1/2 1 2 
 桂林1/4 1/2 1 
 注意，权重一定要进行归一化处理： 
 苏杭= 1 /（1+0.5+0.25） 
 北戴河= 0.5 /（1+0.5+0.25） 
 桂林= 0.25 /（1+0.5+0.25）

   
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 方法3：特征值法求权重
 61 / 94 
 假如我们的判断矩阵一致性可以接受，那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。
 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
 景色苏杭北戴河桂林
 苏杭1 2 5 
 北戴河1/2 1 2 
 桂林1/5 1/2 1 
 最大特征值为3.0055 , 一致性比例CR = 0.0053 
 对应的特征向量：[-0.8902,-0.4132,-0.1918] 
 对其归一化：[0.5954,0.2764,0.1283] 
 算术平均法几何平均法特征值法
 苏杭0.5949 0.5954 0.5954 
 北戴河0.2766 0.2764 0.2764 
 桂林0.1285 0.1283 0.1283

   
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 将计算结果填入权重表
 62 / 94 
 指标权重苏杭北戴河桂林
 景色0.5954 0.2764 0.1283 
 花费
 居住
 饮食
 交通
 算术平均法几何平均法特征值法
 苏杭0.5949 0.5954 0.5954 
 北戴河0.2766 0.2764 0.2764 
 桂林0.1285 0.1283 0.1283

   
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 代码演示（具体代码详讲在视频后半段） 
 63 / 94 
 景色花费居住饮食交通
 景色1 1/2 4 3 3 
 花费2 1 7 5 5 
 居住1/4 1/7 1 1/2 1/3 
 饮食1/3 1/5 2 1 1 
 交通1/3 1/5 3 1 1 
 算术平均法几何平均法特征值法
 景色0.2623 0.2636 0.2636 
 花费0.4744 0.4773 0.4758 
 居住0.0545 0.0531 0.0538 
 饮食0.0985 0.0988 0.0981 
 交通0.1103 0.1072 0.1087 
 求左边这个判断矩阵的权重
 代码文件名称：ccfx.m

   
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 指标权重苏杭北戴河桂林
 景色0.2636 0.5954 0.2764 0.1283 
 花费0.4758 
 居住0.0538 
 饮食0.0981 
 交通0.1087 
 算术平均法几何平均法特征值法
 景色0.2623 0.2636 0.2636 
 花费0.4744 0.4773 0.4758 
 居住0.0545 0.0531 0.0538 
 饮食0.0985 0.0988 0.0981 
 交通0.1103 0.1072 0.1087

   
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 花费苏杭北戴河桂林
 苏杭1 1/3 1/8 
 北戴河3 1 1/3 
 桂林8 3 1 
 居住苏杭北戴河桂林
 苏杭1 1 3 
 北戴河1 1 3 
 桂林1/3 1/3 1 
 饮食苏杭北戴河桂林
 苏杭1 3 4 
 北戴河1/3 1 1 
 桂林1/4 1 1 
 交通苏杭北戴河桂林
 苏杭1 1 1/4 
 北戴河1 1 1/4 
 桂林4 4 1

   
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 汇总结果得到权重矩阵
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 指标权重苏杭北戴河桂林
 景色0.2636 0.5954 0.2764 0.1283 
 花费0.4758 0.0819 0.2363 0.6817 
 居住0.0538 0.4286 0.4286 0.1429 
 饮食0.0981 0.6337 0.1919 0.1744 
 交通0.1087 0.1667 0.1667 0.6667 
 我们可以得到使用特征值法求得的权重矩阵，根据此矩阵， 
 我们可以计算出每个旅游景点的得分。

   
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 计算各方案的得分
 67 / 94 
 指标权重苏杭北戴河桂林
 景色0.2636 0.5954 0.2764 0.1283 
 花费0.4758 0.0819 0.2363 0.6817 
 居住0.0538 0.4286 0.4286 0.1429 
 饮食0.0981 0.6337 0.1919 0.1744 
 交通0.1087 0.1667 0.1667 0.6667 
 苏杭得分：

   
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 类似的，我们可以得到北戴河得分为0.245， 
 桂林得分为0.455. 
 因此最佳的旅游景点是桂林。
 这里用EXCEL计算可大大减轻工作量哦。
 文件：根据权重矩阵计算得分.xlsx 
 要点： F4可以锁定单元格

   
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 层次分析法
 69 / 94 
 层次分析法（The Analytic Hierarchy Process即AHP)是由美国运筹学家、
 匹兹堡大学教授T . L. Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合
 评价方法，是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的，它较合理地解
 决了定性问题定量化的处理过程。
 AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因
 素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重
 要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决策，极大
 地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把
 复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次
 结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体
 现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避
 决策者主观判断的缺点。

   
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 三个问题对我们的启发
 70 / 94 
 填好志愿后，小明同学想出去旅游。在查阅了网上的攻略后，他初步选择
 了苏杭、北戴河和桂林三地之一作为目标景点。
 请你确定评价指标、形成评价体系来为小明同学选择最佳的方案。
 解决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题： 
 ① 我们评价的目标是什么？ 
 答：为小明同学选择最佳的旅游景点。
 ② 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？ 
 答：三种，分别是去苏杭、去北戴河和去桂林。
 ③ 评价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏） 
 答：景色、花费、居住、饮食、交通。

   
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 层次分析法第一步
 71 / 94 
 1.分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构. 
 选择旅游地
 (O) 
 景色（C1） 花费（C2) 居住（C3) 饮食（C4) 交通（C5) 
 苏杭（P1） 北戴河（P2） 桂林（P3） 
 目标层
 Objective 
 准则层
 Criterion 
 方案层
 Plan 
 图1.1.旅游地选择层次结构图
 注意：如果你用到了层次分析法，那么这个层次结构图要放在你的建模论文中哦。

   
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 使用SmartArt生成
 72 / 94 
 选择最佳旅游地(O) 
 景色（C1） 
 花费（C2) 
 居住（C3) 
 饮食（C4) 
 交通（C5) 
 苏杭（P1） 
 北戴河（P2） 
 去桂林（P3）

   
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 使用专业软件：亿图图示
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 简单演示： 
 （1）新建组织结构图——自定义组织结构图
 （2）1个长方形方格，并复制出8个和它同大小的长方形
 （3）将这9个长方形排成3行（1+5+3） 
 （4）使用对齐和分布这两个功能让它们排列的有序
 （5）选择文本工具，在这些长方形里面输入文字
 （6）使用箭头连接线工具中的直线连接上这些长方形
 （7）保存后选择文件——导出&发送——Word 
 （8）将Word中的图像复制到你的论文中即可，别忘了加上标题。

   
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 层次分析法第二步
 74 / 94 
 2. 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要
 性进行两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）。
 选择旅游地
 (O) 
 景色（C1） 花费（C2) 居住（C3) 饮食（C4) 交通（C5) 
 苏杭（P1） 北戴河（P2） 桂林（P3） 
 目标层
 Objective 
 准则层
 Criterion 
 方案层
 Plan

   
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 构造判断矩阵
 75 / 94 
 O C1 C2 C3 C4 C5 
 C1 1 1/2 4 3 3 
 C2 2 1 7 5 5 
 C3 1/4 1/7 1 1/2 1/3 
 C4 1/3 1/5 2 1 1 
 C5 1/3 1/5 3 1 1 
 左边这个矩阵的名称是： 
 判断矩阵O — C 
 任何评价类模型都具有主观性： 
 理想：采用专家群体判断
 现实：几乎都是自己填的

   
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 看看优秀论文的做法吧
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 【2008年国赛B题一等奖】关于高等教育学费标准的评价及建议

   
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 看看优秀论文的做法吧
 77 / 94 
 [2016年国赛MATLAB创新奖B题]中国人民大学-小区开放道路通行影响

   
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 C1 P1 P2 P3 
 P1 1 2 4 
 P2 1/2 1 2 
 P3 1/4 1/2 1 
 C2 P1 P2 P3 
 P1 1 1/3 1/8 
 P2 3 1 1/3 
 P3 8 3 1 
 C3 P1 P2 P3 
 P1 1 1 3 
 P2 1 1 3 
 P3 1/3 1/3 1 
 C4 P1 P2 P3 
 P1 1 3 4 
 P2 1/3 1 1 
 P3 1/4 1 1 
 C5 P1 P2 P3 
 P1 1 1 1/4 
 P2 1 1 1/4 
 P3 4 4 1 
 判断矩阵C1-P 判断矩阵C2-P 判断矩阵C3-P 判断矩阵C4-P 判断矩阵C5-P 
 准则层—方案层的判断矩阵的数值要结合实际来填写，如果题目中有其他数据， 
 可以考虑利用这些数据进行计算。
 例如：有一个指标是交通安全程度，现在要比较开放小区、半开放小区和封闭小区，而且
 你收集到了这些小区车流量的数据，那么就可以根据这个数据进行换算作为你的判断矩阵。

   
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 层次分析法第三步
 79 / 94 
 3. 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重， 
 并进行一致性检验（检验通过权重才能用）. 
 三种方法计算权重： 
 （1）算术平均法（2）几何平均法（3）特征值法
 强烈建议大家在比赛时三种方法都使用： 
 以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法
 求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的
 稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重，再根据得到的权重矩阵
 计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了采用单一方法
 所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。

   
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 一致性检验的步骤
 80 / 94 
 第一步：计算一致性指标CI 
 第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI 
 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
 RI 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 
 注：在实际运用中，n很少超过10，如果指标的个数大于10，则可考虑建立二级指标体系
 第三步：计算一致性比例CR 
 如果CR < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对
 判断矩阵进行修正。

   
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 CR > 0.1 如何修正？ 
 81 / 94 
 景色苏杭A 北戴河B 桂林C 
 苏杭A 1 2 1 
 北戴河B 1/2 1 2 
 桂林C 1 1/2 1 
 往一致矩阵上调整~~~ 
 一致矩阵各行成倍数关系

   
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 层次分析法第四步
 82 / 94 
 4 . 计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。
 指标权重方案1 方案2 …… 
 指标1 
 指标2 
 指标3 
 …… 
 权重矩阵
 指标权重苏杭北戴河桂林
 景色0.2636 0.5954 0.2764 0.1283 
 花费0.4758 0.0819 0.2363 0.6817 
 居住0.0538 0.4286 0.4286 0.1429 
 饮食0.0981 0.6337 0.1919 0.1744 
 交通0.1087 0.1667 0.1667 0.6667

   
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 层次分析法的一些局限性
 83 / 94 
 （1）评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异
 可能会很大。
 平均随机一致性指标RI的表格中n最多是15。
 （2）如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得
 评价的更加准确呢？ 
 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
 RI 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 
 学生加权成绩工时数课外竞赛得分
 蒋虹89.7 32 5 
 时迎春86.5 20 4 
 …… …… …… …… 
 陶访枫87.9 12 9 
 梁冷安90.1 10 6 
 姜秀芳82.6 12 3

   
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 代码详解
 2

   
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 温馨提示
 代码讲解部分针对的是Matlab新手哦~ 
 如果你Matlab已经学的很不错，可以跳
 过这部分哦，直接看代码即可。
 文件：ccfx_base.m和ccfx_Learn

   
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 本节代码部分知识点索引
 86 / 94 
 1. Matlab基本的小常识
 分号的作用、注释的快捷键、clc和clear、disp和input 
 2. sum函数
 3. Matlab中如何提取矩阵中指定位置的元素？ 
 4. size函数
 5. repmat函数
 6. Matlab中矩阵的运算(加点和不加点) 
 7. Matlab中求特征值和特征向量
 8. find函数的基本用法
 9. 矩阵与常数的大小判断运算
 10. 判断和循环语句

   
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 模型拓展
 3

   
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 企业资金分配问题.pdf

   
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 层次分析法在太阳镜产品质量评价中的应用.pdf

   
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 课后练习
 4

   
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 课后训练
 92 / 94 
 代码优化： 
 （1）请对代码进行优化，例如输入判断矩阵A时，是否能自动检查
 矩阵A是否为正互反矩阵？ 
 （2）如果我们输入的是一个二阶的判断矩阵，请观察结果有什么问
 题？怎么改进代码来修正这个问题。
 论文写作训练： 
 题目来源：姜启元《数学建模》第四版
 也可以自选题目，你感兴趣的评价类问题都行。

   
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 注意事项
 93 / 94 
 注意：论文的格式可参考：全国大学生数学建模竞赛论文模板.doc 
 层次分析法模型交流群：821245457 
 加群需要正确回答问题，层次分析法的英文缩写：AHP 
 课件、代码以及拓展的文档等全部会发到群文件， 
 请大家自己下载学习。
 作业大家打包后私发给群主（清风）即可。
 （交了作业的同学我有时间会帮你们看的哦
 会给你们相应的评价和建议）

   
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 下一讲预告：TOPSIS法
 94 / 94 
 题目：评价下表中20条河流的水质情况。
 注：含氧量越高越好；PH值越接近7越好；细菌总数越少越好；植物性营养物量介于10-20之间最佳，超
 过20或低于10均不好。
 注：数据是我随手编的，仅用于讲解相应的算法，可能有不合理之处，请见谅。
 河流含氧量（ppm) PH值细菌总数(个/mL) 植物性营养物量（ppm) 
 A 4.69 6.59 51 11.94 
 B 2.03 7.86 19 6.46 
 C 9.11 6.31 46 8.91 
 D 8.61 7.05 46 26.43 
 E 7.13 6.5 50 23.57 
 F 2.39 6.77 38 24.62 
 G 7.69 6.79 38 6.01 
 H 9.3 6.81 27 31.57 
 I 5.45 7.62 5 18.46 
 J 6.19 7.27 17 7.51 
 K 7.93 7.53 9 6.52 
 L 4.4 7.28 17 25.3 
 M 7.46 8.24 23 14.42 
 N 2.01 5.55 47 26.31 
 O 2.04 6.4 23 17.91 
 P 7.73 6.14 52 15.72 
 Q 6.35 7.58 25 29.46 
 R 8.29 8.41 39 12.02 
 S 3.54 7.27 54 3.16 
 T 7.44 6.26 8 28.41

   
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 第一节层次分析法为试听课程
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清风老师数学建模视频课程第1讲层次分析法

本文作者：vxbomath
 高中数学集合与常用逻辑用语命题及其关系、充分条件与必要条件专项练习,通过试题学习更好的掌握考点重点,全面把握考点做题技巧。
 
一、选择题
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 二、填空题
 
 
 
 
 好了，今天分享就到这里了，本文章有电子版或者需要视频教程复习都可以私信老师。

三个老师问题：已知 A,B,C 3 人是小学老师，各教两门课，互不重复，共有
 如下六门课。语文、数学、政治、地理、音乐和美术，已经知道：
 –政治老师和数学老师是邻居
 –地理老师比语文老师年龄大
 –B 最年轻
 –A 经常给地理老师和数学老师讲他看过的文学作品
 –B 经常和音乐老师、语文老师一起游泳
 要求：编程判断 A,B,C 各教哪门课
 
离散数学布置的上机题，网上大多是6个for循环，这里提供我的思路仅供参考。
 
package 离散数学;
//0语文 1数学 2政治 3地理 4音乐 5美术

import java.util.ArrayList;

public class 老师任课问题 {
	static String str[] = {"语文课","数学课","政治课","地理课","音乐课","美术课"};
	static char tc[] = {'A','B','C'};//便于输出结果
	
	static int lesson[] = new int [6];//六门课
	static int teacher[] = new int [3];//标记老师是否教了两门课
	static ArrayList<Integer> arr = new ArrayList<>();//存储结果
	
	static void dfs(int index) {
		if( index == 6) {//六门课搜索完毕，截止条件
			if(lesson[2] != lesson[1] && lesson[3] != lesson[0] && lesson[3] != lesson[1] && lesson[3] != 0 && lesson[1] != 0 && lesson[4] != lesson[0] && lesson[4] != 1 && lesson[0] != 1 && lesson[3] != 1) {//根据题目得到的判断式
				for ( int i : lesson) {
					arr.add(i);
				}
			}
			return;
		}
		//搜索
		else {
			for (int j = 0; j < 3; j ++ ) {
				if(teacher[j] <= 1) {//如果该老师上的课数小于等于1节课
					teacher[j] ++;
					lesson[index] = j;
					dfs(index + 1);
					teacher[j] --;//回溯
				}
			}
		}
	}
	
	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		dfs(0);
		int k = 0;
		for( int i : arr) {
			System.out.println(tc[i] + "老师教" + str[k]);
			k ++;
		}
	}

}

 
输出结果：

 
 

 
文末有彩蛋

 
号称史上最折腾的 2020 年开学季已经过去一个多月了，现在万事落定，大家是不是又过上了天天为数学头秃的幸福生活呢？
 

 
作为理科生的传统基础技艺，数学实在是一门绕不过去的大科目。每年都有学生变着花样调侃自己“挂在高树（数）上”，过完了嘴瘾还是得连夜死磕，学到学明白为止。
 
如果说学数学是一次修行，同行的老师就像是高深莫测的神仙，永远淡定，永远严谨，永远言简意赅。从小到大，神仙范儿的数学老师遇多了，多少人忍不住琢磨——我学不好数学，大概是因为我不是神仙？
 
我们也碰到过类似的困扰，直到遇到了某位格外接地气的数学老师——一个正宗的话痨。
 
01
 
没错，这位数学老师是个话痨，他说起数学没完没了，但他不会一板一眼地讲公式，也不会像念紧箍咒似的唠叨推导。
 
他一会儿一个笑话，一会儿一个典故，好像不是来上课的，而是来聊天的。路过的人听到教室里这么热闹，都不敢相信我们在学高数。
 
讲函数的时候，老师说，函数函数是个宝，输入输出不能少。
 
老师又说，光是这样还不够，有个规则不能漏。
 
老师眉毛一抬，两眼放光——
 
“假设你养了只小狗，小狗吃什么都吐，设 j(x)= 小狗吃x时吐出的东西的颜色，j 的定义域是小狗能吃的所有食物的集合，上域是所有颜色的集合，为了让这个函数有意义，我们必须假设小狗吃了玉米面卷总会吐出红色的东西，因为一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出——有意思吧？这个函数呀……”
 

 
（听了老师的讲解，这幅图在我们脑中循环播放。）
 
讲导数的时候，老师说，导数导数特别好，大家都要会求导。
 
老师又说，光会求导还不够，导数的意义要想透，就当函数是座山，山势有陡也有缓。
 
老师大手一挥，以磅礴的气势画了一个——
 

 
（看看这独一无二的画风，这抽象的气质）
 
“小登山者在从左到右爬上爬下。在每一个点上，登山者都会大声喊出他认为攀登有多困难。如果地形平坦，登山者就大声喊 0，如果地形向上陡峭，他就会大声喊出一个正数，地形越陡数字越大，如果地形向下陡峭，他就会大声喊出一个负数……把这些数字整理出来，就是这个函数的导数！来，我们看一看这个山……”
 

 
（这个例子老师讲了好几分钟，从此以后我们看什么函数曲线都觉得上面有小人在爬）
 
老师还说，夹逼定理就是三明治定理，上面一片函数，下面一片函数……
 
（啊，老师别说了，我们都饿了！）
 
老师还说，没事多想加速度，数学物理掺着学，两个全都不耽误……
 
（然后我们就在数学课上学起了全套简谐运动。）
 
老师还说，cos 和 cot 的 co 是 complementary，不过不是互相恭维的意思……
 
（后来老师又说，这个笑话太冷了，但是这“咕嘟”不能掐，还是得播。）
 
老师一说话，知识点就要摇摆。那画面虽然滑稽，但摇摆起来的知识点还真的比岿然不动的知识点容易理解。先看热闹，再看门道，什么也没耽误。
 
函数定义虽然基础，但也有容易被忽略的细节，导数的概念至关重要，需要足够形象的理解，难啃的理论不是空中楼阁，多考虑实际场景，可以让知识落地。
 
实在学累了也不要紧，想想老师讲的冷笑话，还能续一波力！
 
02
 
当然，老师有搞笑的时候，也有认真的时候，不过他认真的时候更话痨。
 
他会眉飞色舞地讲数学段子，也会不厌其烦地解释解题思路。
 
他会和大家聊「微积分有什么用」、「泰勒级数是怎么回事」，也会画画三角函数，说说极限概念，倾注耐心，细致地讲解基础中的基础。
 
为了讲透指数函数和对数函数的极限和求导，他可以从 e 讲到伯努利，从伯努利讲到银行账户利滚利，再讲到大兔子生小兔子兔口爆炸，再讲到放射性物质的指数衰变，最后再说两句双曲线。
 
等我们学到复平面，一瞧见 e 就觉得，它可是个有故事的同学。
 

 
（让数学的小宇宙在你的头脑中运转起来）
 
为了让我们更顺畅地理解积分，他选择打破原来的教学思路，先花大量时间把一道应用题讲透，让我们看懂如何用定积分算路程 / 面积，然后再让积分上下限动起来，慢慢引出不定积分、反常积分，还有更复杂的定理和规则。
 
老师觉得，教材喜欢把不定积分安排在定积分之前，是因为这样在理论脉络上看起来更顺畅，但是到了教学中，学生理解起来更顺畅才是真的顺畅。
 
果然，我们跟着老师的思路，先看明白了具体的问题，再一琢磨就明白了抽象的概念。
 

 
（讲到积分上限活动，老师又犯贫了——“你们瞧，这三幅图连起来看多像拉窗帘！”）
 
老师还喜欢在讲题的时候念念叨叨，就像在对着题目发弹幕。
 
“这题太难？那就把这部分改简单 …… 哎，这个问题不就变成刚讲过的例题了？从这里到那里，这个函数到底经历了什么 …… 好吧，它被我给简化了，但我的意思是从求导的定义上看，这个简化让问题产生了什么样的变化……”
 
我们好像在和老师一起寻找迷宫的出口。遇到了复杂的式子，他和我们一起吐槽——“太折腾了吧！”发现了解题的关键，他和我们一起欢呼——“终于快搞定了！”
 
总结完了所有的题型和应对法则，他好像比我们还开心——
 
“万变不离其宗！以后碰到多复杂的情况都不用慌了！”
 
不管是洛必达法则求极限，还是隐函数求导，还是换元法求积分；不管是判别级数收敛，还是计算旋转体体积，还是解微分方程，老师说，知识点总是越说越明白，解题思路会越聊越清晰。
 
没有什么问题，是一顿唠嗑不能解决的，如果有，那就唠两顿！
 
03
 
别的老师爱说，时间宝贵，我不讲和课堂没关系的东西。
 
这位老师爱说，时间宝贵，我们多讲一些有意思的东西。
 
别的老师爱说，没听懂的同学自己回去想想。
 
这位老师爱说，什么没听懂？哪里没听懂？为什么没听懂？我可以再说一遍。
 
我们第一次坐在大学的课堂里，第一次正式学习微积分，第一次试着弄明白高等数学的思维方式，看上去不着调的话痨老师，为我们带来了很多快乐，也帮助我们树立起了持久学习的信心。
 
数学的世界那么大，我们还有那么多知识要学，如果每一门数学课都能遇到这样的老师，那该多好！
 
没想到老师一拍大腿——“我不是一个人！”
 
老师说，他有个朋友专教概率论。他能从投篮讲到几何级数，从超级碗赌注讲到对冲价值，他还会在课堂上对着一副扑克牌又讲故事又讲题。
 
什么伯努利分布、泊松分布、卡方分布，什么贝叶斯定理、蒙提霍尔问题、贝塔函数，一定给你聊得明明白白，让你算得清清楚楚！
 
老师还说，他还有个朋友专讲数学分析。高冷的数学符号，不明觉厉的证明语言，都能被他翻译成聊天常用句。
 
他喜欢像讲笑话一样，和学生一起吐槽证明题难做，也喜欢像塞糖果一样，把解题技巧一点一点教给学生。
 
欧几里得空间、海涅-博雷尔定理、柯西序列与单调序列，这些让人好奇又让人头疼的知识点，他都能带着你慢慢学会。
 
说着说着，老师拿出了他们三个的合照：
 

 
下面就把这三位老师一起介绍给大家！
 
话痨微积分老师
 
《微积分读本》
 

 
本书阐述了求解微积分的技巧，详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，旨在教会读者如何思考问题从而找到解题所需的知识点，着重训练大家自己解答问题的能力。
 
本书适用于大学低年级学生、高中高年级学生、想学习微积分的数学爱好者以及广大数学教师。本书既可作为教材、习题集，也可作为学习指南，同时还有利于教师备课。
 

 
爱玩牌的概率论老师
 
《概率论读本》
 

 
本书讲解概率论的基础内容，包括组合分析、概率论公理、条件概率、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的联合分布、期望的性质、极限定理和模拟等，内容丰富, 通俗易懂，并配有丰富的例子和大量习题，涉及物理学、生物学、化学、遗传学、博弈论、经济学等多方面的应用，极具启发性。
 

 
慢性子实分析老师
 
《数学分析读本》
 

 
本书通过作者与读者之间的互动对话和相关示例非常清晰地阐明了数学概念，提供了命题和定量逻辑方面的知识，可以使读者精通自己的数学思路。
 
本书讲解了学习实分析的基础内容，包括基本的数学与逻辑、实数、集合、拓扑、序列等．作者以通俗易懂且略带幽默的口吻讲述了两步式求解方法：首先展示如何回溯到求解问题的关键，之后说明如何严谨规范地写下解题过程。书中还给出了丰富的示例，帮助学生巩固所学知识。
 

 
以上就是最能唠嗑的数学老师天团——同学，不考虑领一套回家吗？
 
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