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  • 归纳二元关系复合运算的性质
    • RA×BR⊆A\times{B}
    • SB×CS⊆B\times{C}
    • T1C×DT_{1}⊆C\times{D}
    • T2B×CT_{2}⊆B\times{C}
    1. 不满足交换律,RS=SRR\circ{S}=S\circ{R}不成立
    2. 满足结合律,R(ST1)=(RS)T1R\circ{(S\circ{T_{1}})}=(R\circ{S})\circ{T_{1}}
    3. 并集满足分配律,R(ST2)=(RS)(RT2)R\circ{(S\cup{T_{2}})}=(R\circ{S})\cup{(R\circ{T_{2}})}
    4. 交集不满足分配律,R(ST2)(RS)(RT2)R\circ{(S\cap{T_{2}})}⊆(R\circ{S})\cap{(R\circ{T_{2}})}
    5. RIB=IAR=RR\circ{I_{B}}=I_{A}\circ{R}=R
    6. 由于复合运算满足结合律,所以同关系复合可以写成幂乘的形式,即:
      1. R0=IAR^{0}=I_{A}
      2. R1=R1+0=RR0=RIA=RR^{1}=R^{1+0}=R\circ{R^{0}}=R\circ{I_{A}}=R
      3. R2=RRR^{2}=R\circ{R}
      4. ……
      5. RmRn=Rm+nR^{m}\circ{R^{n}}=R^{m+n}
      6. (Rm)n=Rmn(R^{m})^{n}=R^{mn}
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  • 我尝试着编程实现了课本上集合与关系的相关内容,如集合的逆运算,复合运算,集合上关系的性质判断与闭包运算等,基本判断方法均为定义法。 代码如下: #include<iostream> #include<vector> #...

    我尝试着编程实现了课本上集合与关系的相关内容,如集合的逆运算,复合运算,集合上关系的性质判断与闭包运算等,基本判断方法均为定义法

    代码如下:

    #include<iostream>
    #include<vector>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    typedef vector<vector<int>> v_v;
    
    void PrintMatrix(const v_v& v)   //打印矩阵
    {
    	for (auto &i : v)
    	{
    		for (auto j : i)
    			cout << j << " ";
    		cout << endl;
    	}
    }
    
    void Get_Matrix(v_v& v,int num)    //得关系矩阵
    {
    	vector<int> A, B;
    	int a, b, n;
    	if (num == 1)
    	{
    		cout << "请输入前域的元素个数及各元素" << endl;
    		cin >> n;
    		v.resize(n);     //初始化v的大小
    		while (n--)
    		{
    			cin >> a;
    			A.push_back(a);
    		}
    		cout << "请输入陪域的元素个数及各元素" << endl;
    		cin >> n;
    		for (int i = 0; i != v.size(); ++i)
    			v[i].resize(n);
    		while (n--)
    		{
    			cin >> b;
    			B.push_back(b);
    		}
    	}
    	else if (num == 2)
    	{
    		cout << "请输入集合的元素个数及各元素" << endl;
    		cin >> n;
    		v.resize(n);
    		for (int i = 0; i != v.size(); ++i)
    			v[i].resize(n);
    		while (n--)
    		{
    			cin >> a;
    			A.push_back(a);
    		}
    		B = A;
    	}
    	cout << "请输入关系中元素个数及各个序偶" << endl;
    	cin >> n;
    	while (n--)
    	{
    		cin >> a >> b;
    		auto a_loc = find(A.begin(), A.end(), a);
    		auto b_loc = find(B.begin(), B.end(), b);
    		int a_index = distance(A.begin(), a_loc);      //得a,b下标 
    		int b_index = distance(B.begin(), b_loc);
    		v[a_index][b_index] = 1;
    	}
    	cout << "其关系矩阵:" << endl;
    	PrintMatrix(v);
    }
    
    v_v MatrixInver(const v_v& v)     //关系逆运算
    {
    	int row = v.size();
    	int col = v[0].size();
    	v_v v_inv(col);
    	for (int i = 0; i != col; ++i)
    		v_inv[i].resize(row);
    	for (int i = 0; i != row; ++i)
    		for (int j = 0; j != col; ++j)
    			v_inv[j][i] = v[i][j];
    	return v_inv;
    }
    
    v_v MatrixMul(const v_v& v1, const v_v& v2)   //关系复合运算
    {
    	v_v v_mul;
    	int m = v1.size(), n = v2.size(), p = v2[0].size();
    	v_mul.resize(m);
    	for (int i = 0; i != m; ++i)
    		v_mul[i].resize(p);
    	for (int i = 0; i != m; ++i)
    		for (int j = 0; j != p; ++j)
    			for (int k = 0; k != n; ++k)
    				v_mul[i][j] |= v1[i][k] * v2[k][j];
    	return v_mul;
    }
    
    void Reflex(const v_v& v)
    {
    	int count = 0;
    	v_v v1(v);
    	for (int i = 0; i != v.size(); ++i)
    		if (v[i][i] == 1)
    			++count;
    	if (count == v.size())
    		cout << "该关系具有自反性" << endl;
    	if (count == 0)
    		cout << "该关系具有反自反性" << endl;
    	cout << "其自反闭包的关系矩阵为" << endl;
    	for (int i = 0; i != v.size(); ++i)
    		v1[i][i] = 1;
    	PrintMatrix(v1);
    }
    
    void Symmetry(const v_v& v)
    {
    	v_v v1(v);
    	bool flag1 = true, flag2 = true;
    	for (int i = 0; i != v.size(); ++i)
    	{
    		for (int j = 0; j != v.size(); ++j)
    		{
    			if (i != j)
    			{
    				if (v[i][j] != v[j][i])
    					flag1 = false;
    				else
    					flag2 = false;
    			}
    		}
    	}
    	if (flag1)
    		cout << "该关系具有对称性" << endl;
    	if(flag2)
    		cout << "该关系具有反对称性" << endl;
    	cout << "其对称闭包的关系矩阵为" << endl;
    	auto inver = MatrixInver(v);
    	for (int i = 0; i != v.size(); ++i)
    	{
    		for (int j = 0; j != v.size(); ++j)
    		{
    			v1[i][j] |= inver[i][j];
    		}
    	}
    	PrintMatrix(v1);
    }
    
    void Trans(const v_v& v)
    {
    	v_v v1(v);
    	bool flag = true;
    	for (int i = 0; i != v.size(); ++i)              //Warshall算法求传递闭包
    	{
    		for (int j = 0; j != v.size(); ++j)
    		{
    			if (v[i][j])
    			{
    				for (int k = 0; k != v.size(); ++k)
    				{
    					if (v[j][k])
    						if (v[i][k] == 0)
    							flag = false;
    				}
    			}
    		}
    	}
    	if (flag)
    		cout << "该关系具有传递性" << endl;
    	cout << "其传递闭包的关系矩阵为" << endl;
    	for (int i = 0; i != v.size(); ++i)
    	{
    		for (int j = 0; j != v.size(); ++j)
    		{
    			if (v[j][i])
    				for (int k = 0; k != v.size(); ++k)
    					v1[j][k] |= v[i][k];
    		}
    	}
    	PrintMatrix(v1);
    }
    
    int main()
    {
    	int next;
    	v_v v1, v2, v_mul;
    	cout << "1、集合间的关系运算\t2、集合上的关系性质判断及闭包运算" << endl;
    	cin >> next;
    	if (next == 1)
    	{
    		Get_Matrix(v1,1);
    		cout << "关系运算:1、逆运算\t2、复合运算" << endl;
    		cin >> next;
    		if (next == 1)
    		{
    			cout << "其结果为" << endl;
    			PrintMatrix(MatrixInver(v1));
    		}
    		else if (next == 2)
    		{
    			cout << "现请输入另一矩阵相关数据" << endl;
    			Get_Matrix(v2,1);
    			cout << "其结果为" << endl;
    			PrintMatrix(MatrixMul(v1, v2));
    		}
    	}
    	else if (next == 2)
    	{
    		Get_Matrix(v1,2);
    		cout << endl;
    		Reflex(v1);
    		cout << endl;
    		Symmetry(v1);
    		cout << endl;
    		Trans(v1);
    		cout << endl;
    	}
    	system("pause");
    }

     

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  • 离散数学关系的运算

    2020-12-29 16:53:10
    关系的运算 集合的运算 逆运算 例 R和R-1的关系关系的性质 复合运算 例 结合律 分配律 逆运算性质 ’R的n次幂 性质

    关系的运算

    集合的运算
    在这里插入图片描述

    逆运算
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述R和R-1的关系
    在这里插入图片描述
    逆关系的性质

    在这里插入图片描述
    复合运算
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    结合律
    在这里插入图片描述
    分配律

    在这里插入图片描述
    逆运算性质
    在这里插入图片描述
    ’R的n次幂
    在这里插入图片描述
    性质

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

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