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  • 论文研究-不完备信息系统中的特征关系进一步研究 .pdf,
  • 以同时具有丢失型和遗漏型未知属性值的广义不完备系统为研究对象,根据特征关系,讨论了广义不完备信息系统中的知识约简方法。在广义不完备目标信息系统中,引入了下、上近似分布约简的概念,并给出了相应的判定定理...
  • 针对多准则决策问题的意义以及经典粗糙集方法在不完备系统方案排序问题中的不足,在前人基于概率优势关系(PDR)排序方法的基础上,结合云理论提出了基于云概率优势关系的不完备系统多准则决策方法,即云PDR排序法。...
  • 针对扩充粗糙集模型所处理的不完备信息系统之间存在的差异,提出了信息系统完备度的概念;在此基础上,提出了基于完备容差关系的扩充粗糙集模型.与基于容差关系,相似关系,限制容差关系等扩充粗糙集模型相比,该模型既...
  • 量子基础型耦合关系与超越完备力学量和算子,李宗诚,,本文深入探讨超越类完备量子物理学的动力学基础,建立量子系统-环境(场或物理真空)总体系的超越完备力学量和算子以及量子系统
  • 针对多标记粒度结构,先给出了完备信息系统中粒度信息变换函数,接着在多标记不完备信息系统中重新定义了粒度信息变换函数.由粒度信息变换函数,可以在多标记不完备信息系统中得到信息粒度的一个层次结构.在每一个层次...
  • 针对现有集中有序关系模型对不完备信息处理的局限性,利用先验概率对属性取值进行估计,重新定义了对象间的优势度,对集中有序关系...研究结果表明:建立了不完备信息系统中趋于某个标准值的一种偏好关系,约简算法切实可行.
  • 二级超越完备量子系统的外部均衡交流分析物理,李宗诚,,对于超越完备量子的本原作用系统(正能级量子本原作用与负能级量子本原作用的交叠联结和统一),本文探讨进一步确立基础平衡关系
  • 本文介绍了一阶谓词逻辑系统的演绎定理、可证等价关系完备性定理的基本定义

    一阶形式系统KLK_\mathcal{L}

    • 一阶形式系统KLK_\mathcal{L}是指由一阶语言L\mathcal{L}以及下面的公理和推理规则组成:

      • 公理集:
        • (K1):A(BA)(K_1) : A \to (B \to A)
        • (K2):(A(BC))((AB)(AC))(K_2) : (A \to (B \to C)) \to ((A \to B) \to (A \to C))
        • (K3):(¬B¬A)(AB)(K_3) : (\neg B \to \neg A) \to (A \to B)
        • (K4)():(xi)AA(K_4)(量词消去公理): (\forall x_i)A \to A
        • (K5)():(xi)A(xi)A(t)(K_5) (项代入公理) : (\forall x_i)A(xi) \to A(t) (xix_iA(xi)A(x_i)的自由变元,,tt关于A(xi)A(x_i)中的xix_i自 由)
        • (K6)():(xi)(AB)(A(xi)B)(K_6) (量词换位 公理) : (\forall x_i)(A \to B) \to (A \to (\forall x_i)B),(xix_i不在 A 中自由出现)

      K5K5K6K6约束条件的必要性, 否则它们都不是逻辑有效的

      • 推理机制:
        • MP规则A,ABB\frac{A,A \to B}{B}
        • Gen规则(量词引入规则):A(xi)A\frac{A}{(\forall x_i)A}

        MP规则解释:从ABA \to BAA可以得到BB
        Gen规则解释:从AA可以得到(xi)A(\forall x_i)A

    • 例题一:

      • 设论域DI={a,b,c}D_I=\{a,b,c\},消去公式x(F(x)G(x))\forall x(F(x)\to G(x))中的量词
      • 答案:
        x(F(x)G(x))(F(a)G(a))(F(b)G(b))(F(c)G(c))\forall x(F(x)\to G(x))\Leftrightarrow (F(a)\to G(a)) \wedge(F(b)\to G(b)) \wedge(F(c)\to G(c))
    • 证明与定理KK中的证明是指一个有限公式序列A1,A2,,AnA_1, A_2,\cdot\cdot\cdot, A_n使得in\forall i ≤ nAiA_i或是公理,或是通过前面两个公式使用MP规则或对前面某个公式使用Gen规则而得到的公式。AnA_n称为KK的定理,记作KAn\vdash_K A_n,或An\vdash A_nnn称为证明的长度。

      • 每个公理都是定理
      • KA\vdash_K A,则K(xi)A\vdash_K (\forall x_i)A
    • 可靠性定理KK中的每个定理都是逻辑有效的,即
      KAA若\vdash_K A,则\models A

    一阶形式系统KK的演绎定理

    • Γ\Gamma -推论:设ΓF(L)\Gamma \subseteq \mathcal{F(L)}AF(L)A \in \mathcal{F(L)}。从Γ\GammaAA的一个推演是一个有限公式序列A1,A2,,An(AnA_1,A_2,\cdot\cdot\cdot,A_n(A_n就是推演出的公式A)A)使得 in,Ai\forall i \leq n, A_i或是公理,或是Γ\Gamma中的成员,或是通过前面两个公式使用MP规则或对前面某个公式使用Gen规则而得到的公式。此时AA叫做Γ\Gamma -推论,记作ΓKA\Gamma \vdash_K A,或ΓA\Gamma \vdash A,而nn叫做推演的长度。
    • KK的演绎定理
      ΓF(L)\Gamma \subseteq \mathcal{F(L)}A,BF(L)A, B \in \mathcal{F(L)}
      • Γ{A}B\Gamma \cup \{A\} \vdash B且对每个在AA中的自由出现的变元xx,从Γ{A}\Gamma \cup \{A\}BB的推演中没有使用过关于(x)(\forall x)的推广规则,则Γ(AB)\Gamma \vdash (A \to B)
      • Γ(AB)\Gamma \vdash (A \to B),则Γ{A}B\Gamma \cup \{A\} \vdash B
    • HS规则
      {AB,BC}AC\{A \to B, B \to C\} \vdash A \to C

    K 的可证等价关系

    • 定义:设A,BA, B是一阶语言L\mathcal{L}中的两个公式, 若ABA \to BBAB \to A都是KK的定理,则称AABB是可证等价的, 记作ABA \sim B

      \simF(L)\mathcal{F(L)}上的同余关系

    • 可证等价与逻辑等价的一致性:设A,BA, B是一阶语言L\mathcal{L}中的两个公式. 则ABA \sim B当且仅当ABA \simeq B

    • 变元代换定理:设A(xi)FA(x_i) \in FxixiA(xi)A(x_i)中的自由变元, 且A(xi)A(x_i)不含变元xjx_j,则(xi)A(xi)(\forall x_i)A(x_i)(xj)A(xj)(∀x_j )A(x_j )可证等价

    • 例题二:

      • 问题:设xix_i不在AA中自由出现,证明
        (A(xi)B)(xi)(AB)\vdash (A \to (\forall x_i)B) \to (\forall x_i)(A \to B)
      • 答案:
        • 证明:
          (1)A(xi)BΓ(2)(xi)BBK4(3)ABHS(1,2)(4)(xi)(AB)Gen3\begin{aligned} &(1) A \to (\forall x_i) B && \Gamma\\ &(2) (\forall x_i)B \to B &&K_4\\ &(3) A \to B &&HS(1,2)\\ &(4) (\forall x_i)(A \to B) &&Gen3\\ \end{aligned}
          (A(xi)B)(xi)(AB)(A \to (\forall x_i)B) \vdash (\forall x_i)(A \to B),那么将Γ\Gamma{A(xi)B)}\{A \to (\forall x_i)B)\}合并后,依然可以推出(xi)(AB)(\forall x_i)(A \to B),也就是Γ{(A(xi)B)}(xi)(AB)\Gamma \cup \{(A \to (\forall x_i)B) \} \vdash (\forall x_i)(A \to B)。上述推演虽然用到了Gen规则,但xix_i不在AA中自由出现,从而也不在A(xi)BA \to (\forall x_i)B中自由出现,所以由演绎定理得到(A(xi)B)(xi)(AB)\vdash (A \to (\forall x_i)B) \to (\forall x_i)(A \to B)
    • 例题三:

      • 证明 A(xi)A\vdash A \to(\exist x_i)A成立
      • 答案:
        • 证明:
          (1)¬¬(xi)¬A(xi)¬A(2)(xi)¬A¬AK4(3)¬¬(xi)¬A¬AHS(1,2)(4)(¬¬(xi)¬A¬A)(A¬(xi)¬A)K3(5)A¬(xi)¬AMP(3,4)(6)A(xi)A\begin{aligned} &(1) \neg\neg(\forall x_i)\neg A \to (\forall x_i)\neg A && 已证定理 \\ &(2)(\forall x_i)\neg A\to \neg A &&K_4\\ &(3)\neg\neg (\forall x_i)\neg A \to \neg A &&HS(1,2)\\ &(4) (\neg\neg(\forall x_i)\neg A \to \neg A) \to (A \to \neg(\forall x_i)\neg A) &&K_3\\ &(5) A \to \neg(\forall x_i)\neg A &&MP(3,4)\\ &(6) A \to (\exist x_i)A&&存在量词的解释\\ \end{aligned}
    • 命题:AA是定理当且仅当AA的闭包cl(A)cl(A)是定理

    K 的完备性

    • 相容:设SSKLK_\mathcal{L}的一个扩张,若不存在公式AA使得AA¬A\neg A都是SS的定理,则称SS是相容的
      • KK的相容性:一阶逻辑系统KLK_\mathcal{L}是相容的
    • 扩张:设SS是一阶系统,若SS是由添加或改变KLK_\mathcal{L}的公理而得,且KLK_\mathcal{L}中的定理都是SS中的定理,则称SSKLK_\mathcal{L}的扩张
    • 完全:设SSKLK_\mathcal{L}的一个扩张,若对于每个闭公式AASA\vdash_S AS¬A\vdash_S \neg A至少有一个成立,则称SS是完全的
      • 相容扩张性:设SS是相容的一阶系统,AA是一个闭公式,若AA不是SS中的定理,把¬A\neg A作为一条新公理添加到SS的公理集中,而得的SS的一个扩张 SS^∗,则SS^∗是相容的一阶系统
    • 完全性:设SS是相容的一阶系统,则存在SS的相容的完全扩张
      • 解释与相容性定理:设一阶系统SSKLK_\mathcal{L}的相容扩张, 则一阶语言 L\mathcal{L}有解释II使对L\mathcal{L}中的任一公式AA,满足
        SA,IA若\vdash_S A, 则I \models A
    • 完备性定理KK的每个逻辑有效公式都是KK的定理, 即
      AKA若\models A,则\vdash_K A
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空空如也

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关系完备系统