1.定义

给定关系R(X,Y)和S(Y,Z),其中X,Y,Z为属性组。R中Y与S中的Y可以有不同的属性名,但必须出自相同的域集。R与S的除运算可以得到一个新的关系P(X),P是R中满足下列条件的元组在X 属性列上的投影: 元组在X上的分量值x的像集Y(x)包含S在Y上的投影的集合。
定义过于抽象其实就是保存被除关系中含有全部除关系中相同列的全部取值的元组（不包含相同的列）
所以很适合解决查询那些全部参与了某某的元组
什么还是听不懂那还是看例子吧：

2.例子

1）

2）


3）

数据库-——关系代数的除法运算及易错示例

除法运算

大概数据库中关系运算复杂点的也就是除法运算了，这也可能是很多入门新手数据库学习中遇到的第一个障碍。
接着我们来理清一下。

除法//话不多说，直接开莽

我们先创建两个表格，一个学生表，一个S1表。

学生表：
**
S1:

R÷S1=学生表中年龄为19的学生信息的新表格，但这个新表格中的字段不包括年龄。

答案如下：

懂了没?是不是很清晰！
不懂？没事我们再来举例！

依旧是这个学生表，但我们S1换成一个具有两个字段的S2

S2:

那结果就是在学生表中，/同时/满足S2所有条件的学生信息，但没有S2中的字段的新表。如下图：

学生÷S2

现在让我们来理解一下书中的定义。

书中的定义

这个式子我一开始看的时候也是脑壳一懵，不要慌！我们来慢慢解析。

首先tr为求象集。

于是我们引入象集的概念：

在学生表中，每个分量值都会有它的象集。

如学生表：

001的象集：{（张三，19，计算机）}
计算机的象集：{（001，张三，19），（002，李冰，21），（004，王华，21）}

所以，象集的本质是一次选择运算和一次投影运算。

S2:

所以学生表上学号和姓名的分量的象集为：
（001，张三）象集为（19，计算机）
（002，李四）象集为（20，管理）
（003，李冰）象集为（21，计算机）
（004，王华）象集为（21，计算机）

年龄和系名在S2上的投影为：
（21，计算机）
显然只有（003，李冰）和（004，王华）的象集包含投影（21，计算机）

所以学生÷S2：

再结合到公式上看，应该可以理解公式了。

这应该够清楚了吧，希望对你们有所帮助！

一、全序关系 ( 线序关系 )

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$A$ 集合与该集合之上的 偏序关系 $\preccurlyeq$ 组成的有序对是 : $<A,\preccurlyeq >$ 偏序集 ;

$A$ 集合中 任意元素 $x,y$ 都 可比 ;

则称 $\preccurlyeq$ 关系是 $A$ 集合上的 全序关系, 又称为 线序关系 ;

称 $<A,\preccurlyeq >$ 为全序集 ( 线序集 ) ;

$<A,\preccurlyeq >$ 偏序集 是全序集

当且仅当

$<A,\preccurlyeq >$ 偏序集的哈斯图是一条直线

二、全序关系示例

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非空集合 $A$ 包含于 实数集 $R$ , $\varnothing \ne A\subseteq R$ ,

$A$ 集合上的 大于等于 $\ge$ , 小于等于 $\le$ 都是 $A$ 集合上的 全序关系 ,

$<A,\le >$ , $<A,\ge >$ 是 全序集 ;

哈斯图是一条直线 ;

三、拟序关系

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非空集合 $A$ , 二元关系 $R$ 是 $A$ 集合上的二元关系 ;

符号化表示 : $A\ne \varnothing$ , $R\subseteq A\times A$ ;

如果 二元关系 $R$ 是 反自反 , 传递 的 ,

则称 $R$ 关系是 $A$ 集合上的拟序关系 ,

使用 $\prec$ 表示拟序关系 ,

称 $<A,\prec >$ 是拟序集 ;

偏序关系 $\preccurlyeq$ 是 小于等于 关系 , 拟序关系 $\prec$ 就是 严格小于 关系 ;

拟序关系示例 : 大于 , 小于 , 真包含 , 都是拟序关系 ;

拟序关系 完整的性质是 反自反 , 反对称 , 传递 ,
之所以概念中没有提 反对称 性质 , 是因为 根据 反自反 , 传递性质 , 可以推导出 反对称 性质 ;

数学中倾向于使用最小的条件进行定义 , 因此这里将反对称性去掉 ;

四、拟序关系定理 1

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非空集合 $A$ , $A\ne \varnothing$ ,

$\preccurlyeq$ 是非空集合 $A$ 上的偏序关系 ,

$\prec$ 是非空集合 $A$ 上的拟序关系 ;

① 偏序关系性质 : $\preccurlyeq$ 是 自反 , 反对称 , 传递的

② 拟序关系性质 : $\prec$ 是 反自反 , 反对称 , 传递的

③ 偏序关系 -> 拟序关系 : 偏序关系 减去 恒等关系 就是 拟序关系 , $\preccurlyeq -I_A=\prec$

④ 拟序关系 -> 偏序关系 : 拟序关系 与 恒等关系 的并集就是 偏序关系 , $\prec \cup I_A=\preccurlyeq$ ;

四、拟序关系定理 2

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非空集合 $A$ , $A\ne \varnothing$ ,

$\prec$ 是非空集合 $A$ 上的拟序关系 ;

① $x\prec y$ , $x=y$ , $y\prec x$ 中最多有一个成立 ;

使用反证法 , 任意两个成立都会导致 $x\prec x$ ;

② $(x\prec y\wedge x=y)\wedge (y\prec x\wedge x=y)\Rightarrow x=y$

五、三歧性、拟线序

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非空集合 $A$ , $A\ne \varnothing$ ,

$\prec$ 是非空集合 $A$ 上的拟序关系 ;

如果 $x\prec y$ , $x=y$ , $y\prec x$ 中仅有一个城里 , 那么称 $\prec$ 拟序关系 具有 三歧性 ;

有三歧性的 逆序关系 $\prec$ 称为 $A$ 集合上的 拟线序关系 , 又称为拟全序关系 ;

$<A\prec >$ 被称为 拟线序集 ;