关系数据库
 
关系数据模型
 
关系是一个数学概念。 
 当把关系的概念引入到数据库系统作为数据模型的数据结构时，既有所限定和也有所扩充。 
 
关系的数学定义
 
例： 
 
课程={离散,C语言…..}，学生={张三,李四…..}
 
笛卡儿积(cartesian product)：设D1、…、Dn是n个域。D1、…、Dn上的笛卡尔乘积定义为集合 
 D1×…×Dn ={ (d1 , …, dn ) | di ∈Di，1≤i≤n }。
 
解：
 
D1={离散,C语言…}，D2={张三,李四…}
D1×D2={(离散,张三),(离散,李四),……
       (C语言,张三),(C语言,李四),……
       …….}
 
关系(relation)：笛卡尔乘积D1×…×Dn的任意一个子集合称为一个定义在域D1、…、Dn上的关系。
 
对数学定义的限定和扩充
 
限定：无限关系在数据库系统中是无意义的。因此限定关系数据模型中的关系必须是有限集合。
 
数学上，(离散,张三)≠(张三,离散) 
 扩充：通过为关系的每个域附加一个属性名的方法取消关系元组的有序性 
 数据库上：(离散,张三)=(张三,离散)
 
基本关系具有以下六条性质：
 
列是同质的，即每一列中的分量是同一类型的数据；
不同的列可出自同一个域，称其中的每一列为一个属性，不同的属性必须给不同的属性名；
列的顺序可任意交换；
任意两个元组不能完全相同；
行的顺序可任意交换；
分量必须取原子值，即每一个分量都必须是不可分的数据项。
 
 
完整性约束规则
 
几个基本概念
 
候选键：给定关系模式R(U)，K属于U，如果 
 (1) R(U)的任何关系实例中的任意两个元组在属性集合K上的值都不相同－－－－唯一性 
 (2) K的任何真子集都不满足条件(1)－－－－极小性 
 称K是候选键。 
 例：Student(姓名, 学生编号, 年级, 专业, 系) 
 显然，学生编号是候选键。 
 如果姓名不重复，姓名也是候选键。
主键：一个关系模式可能具有多个候选键。 
 当一个关系中具有多个候选键时，我们选择一个作为该关系模式的主键。 
 候选键中的属性称为键(主)属性，其他属性称为非键(主)属性
外部键：设X是关系模式R(U)的一个属性集合。如果X是另一个关系模式R’(U’)的主键，则称X是R(U)关于R’(U’)的外部键。 
 例：外部键 
 
 
关联完整性约束说明，任何关系的一个元组只能通过外部键与另一个关系中存在的元组相关联.
 
 
关系运算
 
基于代数的定义：关系代数 
 
基于逻辑的定义：关系演算 
 由于使用变量的不同，关系演算又分为元组关系演算和域关系演算。 
 
关系代数
 
例: 两个关系实例 
 
 
(1.) 并运算
 
设R和S是n元关系，而且两者各对应属性的数据类型也相同。R和S的并操作定义为 R∪S = { t | t∈R∨t∈S }。 
 白话: R和S关系合一起, 相同的不写
 
 
(2.) 差操作
 
设R和S是n元关系，而且两者各对应属性的数据类型也相同。R和S的差定义为 R-S ={ t | t∈R∧tS}。 
 白话: 因为是R-S, 找R在S关系中没有的
 
 
(3.) 笛卡尔乘积
 
设R是n元关系，S是m元关系，R和S的的笛卡尔积定义为 
 R×S={(r1,…,rn,s1,…,sm)|(r1,…, rn )∈R∧(s1, …,sm )∈S}。 
 白话: 和普通的笛卡尔乘机差不多, 自己看看, 规律很好找.
 
 
(4. ) 投影操作
 
设R是一个n元关系，R的投影操作定义为 
 ∏i1,i2,…,im(R) = {(ri1, …,rim)|(r1 ,…,ri1,…,rim,…,rn)∈R}。 
 白话: 看横行, 如果有两个横行相同, 只写一个. 因此若是S关系投影操作的话, 也就是有b和a
 
 
(5. ) 选择操作
 
设R是一个n元关系，F是一个形如riθc的公式，其中θ∈{=，≠，>，<，≤，≥}，R的选择操作定义为F(R)={(r1,…,ri ,…,rn )|(r1,…,ri ,…,rn )∈R∧riθc }。 
 白话: 把符合条件的拿出来
 
 
(6. ) 交操作
 
设R和S是n元关系，而且两者各对应属性的数据类型也相同。R和S的交操作定义为 R  S = { t | t∈R∧t∈S }= R-(R-S)。 
 白话: 相同的拿出来
 
 
(7. ) 连接操作
 
设R是n元关系，S是m元关系，A是R的属性，B是S的属性，A和B的值域具有相同的数据类型，θ∈{=, ≠, >, <, ≤, ≥}。R和S的连接操作定义为 
  
 其中，r[A]表示元组r在属性A上的值，s[B]表示元组s在属性B上的值。我们称A和B是连接属性。 
 
白话: 两个关系先做笛卡尔积运算, 然后再根据条件进行比对. 留下符合条件的 
 例子: 
 
 
(7. 1) 几个特殊的连接操作
 
①自然连接 设Att(R)和Att(S)分别是R和S的属性集合。连接条件为R.B=S.B，连接的结果关系的属性集合为Att(R)∪(Att(S)-{B})，即B在结果关系中只出现一次。称这样的连接操作为自然连接操作，
 
白话: 找相同的然后拼在一起, 例如B属性, 看看下面的例子;
 
 
②复合连接 类似于自然连接，只是连接结果不包含连接属性。 
 
 
③半连接 
 
 
白话: 下面的例子由于是R半链接S, 则因此拿R去和S所比较
 
 
(8. ) 商操作
 
设R和S是两个关系，Z是R的属性集合，X是S的属性集合，XZ，Y=Z-X。R除以S的商定义为R÷S={t|t∏Y(R)且sS, tsR}，其中，ts表示由t和s的各属性值构成的一个R关系元组。 
 
白话: 看下面的例子, 因为C, D是关系S中的两个属性, 因此在R集合对除了C, D的属性, 即A, B两属性进行投影, 得到a, b; b, c; e, d;这三组, 然后用这个结果与关系S进行笛卡尔积运算, 发现b c c d这组在关系R中没有, 其余a, b; e, d; 做的运算在R中存在. 因此最后结果为a, b; e, d;
 
 
 
关系代数运算例题
 
一个COMPANY数据库
 
 
下面介绍了一些需要用到的属性解释
 
NAME--员工名字
SSN--员工编号
SUPERSSN--上司编号
DNO--部门编号

DNUMBER--部门编号
MGRSSN--负责人编号

PNAME--项目名称
PNUMBER--项目编号

ESSN--员工编号
PNO--项目编号
 
问1: 参加了p2项目的员工号(由于符号不太好打, 我手写的)
 
 
语言解释: 在WORKS_ON表中选择PNO=P2的元组, 再对员工号即ESSN进行投影.
 
问2. 在“研发部”工作的所有工作人员名字
 
 
语言解释: 1. EMPLOYEE表与DEPARTMENT表在部门编号相等的条件下, 进行连接, 然后再新表中选择DNAME=”研发部”, 最后对NAME进行投影. 
 2 . 先在DEPARTMENT中选择”研发部”, 然后与EMPLOYEE进行连接, 然后投影
 
问3. 没有参加项目p1的工作人员名字
 
 
语言解释: 在WORKS_ON中选择P1项目, 与EMPLOYEE进行连接, 然后对NAME进行投影得到参加p1工作人员的名字, 最后用所有的名字减去它.

关系数据库关系运算
 
选择
投影
链接
除运算
 
 
 
选择运算
 
 
选择运算是从关系R中选取使逻辑表达式F为 真的元组，是从行的角度进行的运算
 
 
投影运算
 
 
投影操作主要是从列的角度进行运算，但投影之后不仅取消可原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）
 
 连接运算
 
 
 
连接运算又有等值连接，自然连接，半连接，左外连接，右外连接，全外连接。
 
 
 
等值连接
 
自然连接
 
半连接
 
 R和S自然连接后，保留R属性的投影
左外连接
 
右外连接
 
全连接
 
 一般连接操作是从行的角度进行运算，自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。
 
 
除运算
 

 
 除运算是同时从行和列的角度进行的
 
 
关系代数表达式
 
 
 
 

书上给“除运算”的定义是：
 
 
 
设关系R除以关系S的结果为关系T，则T包含所有在R但不在S中的属性及其值，且T的元组与S的元组的所有组合都在R中。
 
 
我对此不是很理解。 
 直到看到这样的解读，方才恍然大悟： 
 
 

数据库本质上就是一些数据的集合，所以对一个数据库的操作就是十分类似于对一些集合的操作。这篇博客对我们会遇到的数据库的关系作一个小小的总结。
 
传统的集合运算
 
在这里，共有并，差，交和笛卡尔积四种运算。 
 1. 并集 
 
 $$R \cup S= $\{ t|t \in R \land t \in S $\}$$  

 2. 交集 

 

 $$R \cap S = $\{t|t \in R \lor t \in S $\}$$  

 3. 差集 

 

 $$R-S = $\{t|t \in R \land t \notin S $\}$$  

 4. 笛卡尔积 

 即分别将两个集合中的元素组合
 
专门的关系运算
 
一些记号： 
 1. 设一个关系模式为R($A_1,A_2,....A_n$), 其一个分量为R。$t \in R$表示t是R的一个元组，t[$A_i$]表示的是相对于属性$A_i$的一个分量。 
 2. t[A]=(t[$A_1$],t[$A_2$]….t[$A_n$])表示属性列A在各个分量上的集合。我们也可以选取一些等价类作为子类。 
 3. R为一个n目的关系，S为m目的关系，那么其连接则会得到一个(n+m)目的关系。我们需要注意这一点。 
 4. 象集：给定了一个关系R(X,Z),X,Z为属性组。当t[X]=x时，x在R中的象集可以定义为$Z_x=${t[Z]|t $\in R, t[X]=x$}$
 
选择操作：感觉是数据库当中最简单的一种操作了，其定义如下： 
 $\sigma_F(R)={t|t \in R \land F(t)=true }$ 
 F是我们的选择条件，就是选出符合条件的元素。
 
投影操作： 
 就是从R中选择出若干属性组成新的关系。 
 $\pi_A(R)=${t[A]|t $\in R$}$
 
连接操作：从两个关系的笛卡尔积当中选择出满足条件的元组 
 就是笛卡尔积的一个加强版，没什么好说的。 
 等值连接：即将两个集合选中的属性的值相同的元素存入我们的结果当中去。 
 自然连接：连接两个关系当中同名且相同类型的属性 
 外连接：在结果中保存悬浮元组，即保存了没有得到匹配的属性的值 
 左外连接：只保存了左边的联系当中没有得到匹配的属性的值 
 类似的，我们有右外连接的定义。
 
除运算：其实很好理解，但是书说的太奇怪了。 
 就是取的就是含有给定对应属性的象集是另一个关系在其上的投影的集合。