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  • 数学建模笔记——灰色关联分析
    千次阅读 多人点赞
    2021-04-22 14:05:09

    灰色关联分析是什么

    灰色关联分析层次分析法TOPSIS法一样,可以用来进行系统分析的方法。但与其他方法不同的是灰色关联分析对样本数量要求不高,计算量较小,且不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。
    灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线集合形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近,相应序列之间的关联度就越大,反之则越小。

    灰色关联分析怎么用

    应用1 进行系统分析

    在这里插入图片描述
    第一步:画统计图
    在这里插入图片描述根据统计图可得以下结论:

    1. 四个变量均呈上升趋势
    2. 第二产业的增幅较为明显
    3. 第二产业和第三产业的差距在后三年相差更大

    第二步:确定分析序列
    将这四个序列分为一个母序列和多个子序列

    母序列(参考序列)是能反映系统行为特征的序列。类似于因变量,此处记为 x 0 x_0 x0
    子序列(比较序列)是影响系统行为的因素组成的序列。类似于自变量,此处记为 ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . x n ) (x_1,x_2,x_3,...x_n) (x1,x2,x3,...xn)

    在本例中,国内生产总值是母序列,第一二三产业是子序列。

    第三步:对变量进行预处理
    预处理有两个目的:

    1. 去量纲
    2. 缩小变量范围来简化计算

    预处理的方法:先求出每个指标的均值,再用该指标中的每个元素都除以其均值。
    在这里插入图片描述
    第四步:计算子序列中各个指标与母序列的关联系数
    在这里插入图片描述设子序列的个数为 m m m,每个序列有 n n n个样本,则我们的数据可以表示为:
    x 0 = ( x 0 ( 1 ) , x 0 ( 2 ) , . . . , x 0 ( n ) ) T x_0=(x_0(1),x_0(2),...,x_0(n))^T x0=(x0(1),x0(2),...,x0(n))T
    x 1 = ( x 1 ( 1 ) , x 1 ( 2 ) , . . . , x 1 ( n ) ) T x_1=(x_1(1),x_1(2),...,x_1(n))^T x1=(x1(1),x1(2),...,x1(n))T
    x m = ( x m ( 1 ) , x m ( 2 ) , . . . , x m ( n ) ) T x_m=(x_m(1),x_m(2),...,x_m(n))^T xm=(xm(1),xm(2),...,xm(n))T
    a a a为两极最小差, b b b为两极最大差
    a = m i n ( i ) m i n ( k ) ∣ x 0 ( k ) − x i ( k ) ∣ a=min(i)min(k)|x_0(k)-x_i(k)| a=min(i)min(k)x0(k)xi(k)
    b = m a x ( i ) m a x ( k ) ∣ x 0 ( k ) − x i ( k ) ∣ b=max(i)max(k)|x_0(k)-x_i(k)| b=max(i)max(k)x0(k)xi(k)
    如图
    在这里插入图片描述
    关联系数 y y y(Gamma值)的公式为:
    y ( x 0 ( k ) , x i ( k ) ) = a + ρ b ∣ x 0 ( k ) , x i ( k ) ∣ + ρ b y(x_0(k), x_i(k))=\frac{a+\rho b}{|x_0(k), x_i(k)|+\rho b} y(x0(k),xi(k))=x0(k),xi(k)+ρba+ρb
    其中 ρ \rho ρ为分辨系数,一般取0.5
    本例中每个样本的关联系数如图:
    在这里插入图片描述第五步:计算各个子序列的灰色关联度
    设灰色关联度为 y ( x 0 , x i ) y(x_0,x_i) y(x0,xi),则
    y ( x 0 , x i ) = 1 n ∑ k = 1 n y ( x 0 ( k ) , x i ( k ) ) y(x_0,x_i)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}y(x_0(k),x_i(k)) y(x0,xi)=n1k=1ny(x0(k),xi(k))
    (其实就是每个子序列的关联系数取平均值)
    本例:

    第一产业灰色关联度为0.5084
    第二产业灰色关联度为0.6243
    第三产业灰色关联度为0.7573

    最后得到结论:灰色关联度最大的子序列即为对系统影响最大的因素
    本例第三产业对国内生产总值影响最大

    matlab代码示例:

    %灰色关联分析
    clear;clc
    
    %加载数据,每个序列为一列,母序列在第一列
    load gdp.mat
    
    %画图
    [n ,m]= size(gdp);
    for i = 1:m
        plot(gdp(:,i), 'x-');
        hold on 
    end
    hold off
    xlabel('年份')
    ylabel('百万元')
    legend({'国内生产总值','第一产业','第二产业','第三产业'})
    
    %对变量进行预处理
    y = gdp(:,1);
    x = gdp(:,2:end);
    
    x_norm = zeros(n ,m);
    x_sum = 0;
    for i = 1:m
        x_sum = sum(gdp(:,i));
        for j = 1:n
            x_norm(j, i) = gdp(j, i) / x_sum * n;
        end
        x_sum = 0;
    end
    
    %计算子序列中各个指标与母序列的关联系数
    x_concect = zeros(size(x));
    for i = 1: length(x_concect(1,:))
        x_concect(:,i) = abs(x_norm(:, 1) - x_norm(:,i+1));
    end
    a = min(min(x_concect));
    b = max(max(x_concect));
    
    %计算灰色关联度(gamma)
    rho = 0.5;
    gamma = zeros(n, m-1);
    for i = 1:m-1
        for j = 1:n
            gamma(j, i) = (a + rho * b)/(x_concect(j,i) + rho * b);
        end
    end
    ans = mean(gamma);
    disp('最终得到的灰色关联度分别是:')
    disp(ans)
    
    % % 注意:代码文件仅供参考,一定不要直接用于自己的数模论文中
    % % 国赛对于论文的查重要求非常严格,代码雷同也算作抄袭
    

    学习资源和部分图片来自“清风数学建模”

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    曲线越接近,相应序列之间的关联度就越大,反之就越小。 比较少用 步骤 例:下表某地区国内生产总值的统计数据(以百万元计),问该地区从2000年到2005年之间哪一种产业对GDP总量影响最大 年份 国内生产总值...

    灰色关联分析法简介

    • 灰色关联分析是一种系统分析
      在这里插入图片描述

    • 灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近,相应序列之间的关联度就越大,反之就越小。

    • 比较少用

    步骤

    例:下表某地区国内生产总值的统计数据(以百万元计),问该地区从2000年到2005年之间哪一种产业对GDP总量影响最大

    年份国内生产总值第一产业第二产业第三产业
    20001988386839763
    20012061408846808
    20022335422960953
    2003275048212581010
    2004335651115771268
    2005380656118931352

    画统计图,进行简单分析

    在这里插入图片描述

    • 四个季度都呈上升趋势
    • 第二产业增幅较为明显
    • 第二产业与第三产业的差距慢慢变小后又逐渐增大
    • ……

    确定分析数列

    • 母序列(又称参考序列,母指标):能反应系统行为特征的数据序列(类似于因变量Y,此处记为 X 0 X_0 X0​)
    • 子序列(又称比较序列,子指标):影响系统行为的因素组成的数据序列(类似于自变量X,此处记为 ( x 1 , x 2 , … , x n ) (x_1,x_2,…,x_n) (x1,x2,,xn)
    • 在本例中国内生产总值就是母序列,第一、第二、第三产业就是子序列

    对变量进行预处理

    • 目的:去量纲、缩小变量范围从而简化计算
    • 做法:先求出每个指标的均值,再用该指标中的每个元素除以该均值
      在这里插入图片描述

    计算子序列中各个指标与对应母指标的关联系数

    在这里插入图片描述

    母序列: X 0 = ( X 0 ( 1 ) , X 0 ( 2 ) , … X 0 ( n ) ) ) T X_0=(X_0(1),X_0(2),…X_0(n)))^T X0=(X0(1),X0(2),X0(n)))T

    子序列: { X 1 = ( x 1 ( 1 ) , x 1 ( 2 ) , … x 1 ( n ) ) T X 2 = ( x 2 ( 1 ) , x 2 ( 2 ) , … , x 2 ( n ) ) T … … X m = ( x m ( 1 ) , x m ( 2 ) , … , x m ( n ) ) T \begin{cases}{X_1=(x_1(1),x_1(2),…x_1(n))^T}\\{X_2=(x_2(1),x_2(2),…,x_2(n))^T}\\……\\X_m=(x_m(1),x_m(2),…,x_m(n))^T \end{cases} X1=(x1(1),x1(2),x1(n))TX2=(x2(1),x2(2),,x2(n))TXm=(xm(1),xm(2),,xm(n))T

    计算:
    在这里插入图片描述

    a = m i n i m i n k ∣ X 0 ( k ) − x i ( k ) ∣ a=min_imin_k|X_0(k)-x_i(k)| a=miniminkX0(k)xi(k)为两极最小差,记 b = m a x i m a x k ∣ X 0 ( k ) − x i ( k ) ∣ b=max_imax_k|X_0(k)-x_i(k)| b=maximaxkX0(k)xi(k)为两极最大差

    则上表中 a = 0.0628 , b = 0.186163024 a=0.0628,b=0.186163024 a=0.0628,b=0.186163024

    定义 γ ( x 0 ( k ) , x i ( k ) ) = a + ρ b ∣ x 0 ( k ) − x i ( k ) ∣ + ρ b , ρ \gamma(x_0(k),x_i(k))=\Large \frac {a+\rho b}{|x_0(k)-x_i(k)|+\rho b},\rho γ(x0(k),xi(k))=x0(k)xi(k)+ρba+ρb,ρ​一般取0.5

    结果:
    在这里插入图片描述

    例如: γ ( x 0 ( 1 ) , x 1 ( 1 ) ) = 0.0628 + 0.5 ∗ 0.18613024 0.10414232 + 0.5 ∗ 0.18613024 \gamma(x_0(1),x_1(1))=\Large \frac {0.0628+0.5*0.18613024}{0.10414232+0.5*0.18613024} γ(x0(1),x1(1))=0.10414232+0.50.186130240.0628+0.50.18613024 = 0.4751452 =0.4751452 =0.4751452

    计算灰色关联度

    定义 γ ( X 0 , X i ) = 1 n ∑ k = 1 n γ ( X 0 ( k ) , X i ( k ) ) \gamma(X_0,X_i)=\frac 1n\sum_{k=1}^{n}\gamma(X_0(k),X_i(k)) γ(X0,Xi)=n1k=1nγ(X0(k),Xi(k)) X 0 X_0 X0 X i X_i Xi的灰色关联度

    即求平均值

    γ ( X 0 , X 1 ) = 0.5084 , γ ( X 0 , X 2 ) = 0.6242 , γ ( X 0 , X 3 ) = 0.7573 \gamma(X_0,X_1)=0.5084,\gamma(X_0,X_2)=0.6242,\gamma(X_0,X_3)=0.7573 γ(X0,X1)=0.5084,γ(X0,X2)=0.6242,γ(X0,X3)=0.7573
    在这里插入图片描述

    得到结论

    通过比较三个子序列和母序列的灰色关联度可以得到结论:

    • 该地区在2000年到2005年间的国内生产总值受到第三产业影响最大。

    讨论

    1、什么时候用标准化回归,什么时候用灰色关联分析?

    • 当样本个数n较大时,一般使用标准化回归;当样本个数n较少时,才使用灰色关联分析

    2、如果母序列有多个指标,应该怎么分析

    • 例如 Y 1 , Y 2 Y_1,Y_2 Y1,Y2都是母指标,那么我们先计算 Y 1 Y_1 Y1​与子序列的灰色关联度,再计算 Y 2 Y_2 Y2与子序列的灰色关联度

    评价类问题完整分析步骤(该方法)

    对指标进行正向化

    预处理

    • 如前面的步骤进行预处理(先求出每个指标的均值,再用该指标中的每个元素除以该均值)
    • 得到矩阵 Z n x m = ( Z i j ) n x m Z_{nxm}=(Z_{ij})_{nxm} Znxm=(Zij)nxm

    得到母序列

    (若无实质母序列)将预处理后的矩阵的每一行取出最大值构成母序列(虚构的)

    计算灰色关联度

    得到 γ 1 , γ 2 , … , γ m \gamma_1,\gamma_2,…,\gamma_m γ1,γ2,γm

    计算各个指标的权重

    ω 1 = γ 1 ( γ 1 + γ 2 + … + γ m ) , ω 2 = γ 2 ( γ 1 + γ 2 + … + γ m ) , … , ω m = = γ m ( γ 1 + γ 2 + … + γ m ) \omega_1=\frac {\gamma_1}{(\gamma_1+\gamma_2+…+\gamma_m)},\omega_2=\frac {\gamma_2}{(\gamma_1+\gamma_2+…+\gamma_m)},…,\omega_m==\frac {\gamma_m}{(\gamma_1+\gamma_2+…+\gamma_m)} ω1=(γ1+γ2++γm)γ1,ω2=(γ1+γ2++γm)γ2,,ωm==(γ1+γ2++γm)γm

    计算得分

    第k个评价对象得分: S k = ∑ i = 1 m Z k i ∗ ω i ( k = 1 , 2 , 3 , … , n ) S_k=\sum_{i=1}^mZ_{ki}*\omega_i (k=1,2,3,…,n) Sk=i=1mZkiωi(k=1,2,3,,n)

    得分归一化

    S 1 ′ = S 1 S 1 + S 2 + … + S n , S 2 ′ = S 2 S 1 + S 2 + … + S n , … S n ′ = S n S 1 + S 2 + … + S n S'_1=\frac {S_1}{S_1+S_2+…+S_n},S'_2=\frac {S_2}{S_1+S_2+…+S_n},…S'_n=\frac {S_n}{S_1+S_2+…+S_n} S1=S1+S2++SnS1,S2=S1+S2++SnS2,Sn=S1+S2++SnSn

    展开全文
  • 灰色关联分析概述 当样本个数n较大时使用标准化回归;当样本个数n较少时,才使用灰色关联分析 系统分析,综合评价 ...第六步比较三个子序列与母序列的关联度得出结论 应用二用于综合评价 ...

    目录

    灰色关联分析概述

    应用一:进行系统分析

    什么是系统分析

    步骤

     代码

     应用二用于综合评价

    步骤:


    灰色关联分析概述

    当样本个数n较大时使用标准化回归;当样本个数n较少时,才使用灰色关联分析

    系统分析的方法:回归分析、方差分析、主成分分析等

    灰色关联分析对样本量的多少和样本有误规律都同样适用,而且计算量小,十分方便,更不会出现量化结果与定性分析结果不相符的情况

    灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近,相应序列之间的关联程度就越大,犯组织就越小

    综合评价的方法:层次分析法,优劣解距离法等

    应用一:进行系统分析

    什么是系统分析

    一般的抽象系统,如社会系统、经济系统、农业系统、生态系统、教育系统等都是多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态势。在这些众多因素中,哪些是主要因素,哪些是次要因素;哪些因素对系统发展影响大,哪些影响小;哪些因素对系统发展起推动作用需强化发展,哪些因素对系统发展起阻碍作用需加以抑制

    步骤

    例题:

    下表为某地区国内生产总值的统计数据(以百万元计),问该地区从2000年到2005年之间哪一种产业对GDP总量影响最大。

    年份

    国内生产总值

    第一产业

    第二产业

    第三产业

    2000

    1988

    386

    839

    763

    2001

    2061

    408

    846

    808

    2002

    2335

    422

    960

    953

    2003

    2750

    482

    1258

    1010

    2004

    3356

    511

    1577

    1268

    2005

    3806

    561

    1893

    1352

    第一步画统计图

    画图分析

    第二步确定分析序列

    第三步对变量进行预处理

    先求出每个指标的均值,再用该指标中的每个元素都除以其均值

     目的:去量纲、缩小变量范围简化计算

    第四步计算序列中各个指标与母序列的关联系数

     第五步计算灰色关联度

    本例中n=6,m=3

    两极最小差:每一个子序列与母序列作差后求绝对值

     灰色关联度:对第四步求出的关联度表格求算术平均值,该值为该子序列与母序列的灰色关联度

    第六步比较三个子序列与母序列的关联度得出结论

    美赛不推荐用 

     代码

    load gdp.mat  % 导入数据 一个6*4的矩阵
    % 不会导入数据的同学可以看看第二讲topsis模型,我们也可以自己在工作区新建变量,并把Excel的数据粘贴过来
    % 注意Matlab的当前文件夹一定要切换到有数据文件的这个文件夹内
    Mean = mean(gdp);  % 求出每一列的均值以供后续的数据预处理
    gdp = gdp ./ repmat(Mean,size(gdp,1),1);  %size(gdp,1)=6, repmat(Mean,6,1)可以将矩阵进行复制,复制为和gdp同等大小,然后使用点除(对应元素相除),这些在第一讲层次分析法都讲过
    disp('预处理后的矩阵为:'); disp(gdp)
    Y = gdp(:,1);  % 母序列
    X = gdp(:,2:end); % 子序列
    absX0_Xi = abs(X - repmat(Y,1,size(X,2)))  % 计算|X0-Xi|矩阵(在这里我们把X0定义为了Y)
    a = min(min(absX0_Xi))    % 计算两级最小差a
    b = max(max(absX0_Xi))  % 计算两级最大差b
    rho = 0.5; % 分辨系数取0.5
    gamma = (a+rho*b) ./ (absX0_Xi  + rho*b)  % 计算子序列中各个指标与母序列的关联系数
    disp('子序列中各个指标的灰色关联度分别为:')
    disp(mean(gamma))
    

     应用二用于综合评价

    例题:

    步骤:

    第五步相当于归一化,归一化后更方便分析

    %% 灰色关联分析用于综合评价模型例题的讲解
    clear;clc
    load data_water_quality.mat
    % 不会导入数据的同学可以看看第二讲topsis模型,我们也可以自己在工作区新建变量,并把Excel的数据粘贴过来
    % 注意Matlab的当前文件夹一定要切换到有数据文件的这个文件夹内
    
    %%  判断是否需要正向化
    [n,m] = size(X);
    disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) 
    Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理,需要请输入1 ,不需要输入0:  ']);   %1
    
    if Judge == 1
        Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列,例如第2、3、6三列需要处理,那么你需要输入[2,3,6]: '); %[2,3,4]
        disp('请输入需要处理的这些列的指  标类型(1:极小型, 2:中间型, 3:区间型) ')
        Type = input('例如:第2列是极小型,第3列是区间型,第6列是中间型,就输入[1,3,2]:  '); %[2,1,3]
        % 注意,Position和Type是两个同维度的行向量
        for i = 1 : size(Position,2)  %这里需要对这些列分别处理,因此我们需要知道一共要处理的次数,即循环的次数
            X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));
        % Positivization是我们自己定义的函数,其作用是进行正向化,其一共接收三个参数
        % 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i))   回顾上一讲的知识,X(:,n)表示取第n列的全部元素
        % 第二个参数是对应的这一列的指标类型(1:极小型, 2:中间型, 3:区间型)
        % 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列
        % 该函数有一个返回值,它返回正向化之后的指标,我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量
        end
        disp('正向化后的矩阵 X =  ')
        disp(X)
    end
    
    %% 对正向化后的矩阵进行预处理
    Mean = mean(X);  % 求出每一列的均值以供后续的数据预处理
    Z = X ./ repmat(Mean,size(X,1),1);  
    disp('预处理后的矩阵为:'); disp(Z)
    
    %% 构造母序列和子序列
    Y = max(Z,[],2);  % 母序列为虚拟的,用每一行的最大值构成的列向量表示母序列【max()函数用法自己搜吧】
    X = Z; % 子序列就是预处理后的数据矩阵
    
    %% 计算得分
    absX0_Xi = abs(X - repmat(Y,1,size(X,2)))  % 计算|X0-Xi|矩阵
    a = min(min(absX0_Xi))    % 计算两级最小差a
    b = max(max(absX0_Xi))  % 计算两级最大差b
    rho = 0.5; % 分辨系数取0.5
    gamma = (a+rho*b) ./ (absX0_Xi  + rho*b)  % 计算子序列中各个指标与母序列的关联系数
    weight = mean(gamma) / sum(mean(gamma));  % 利用子序列中各个指标的灰色关联度计算权重
    score = sum(X .* repmat(weight,size(X,1),1),2);   % 未归一化的得分
    stand_S = score / sum(score);   % 归一化后的得分
    [sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend') % 进行排序
    

    展开全文
  • 数学建模资料共享,全国研究生数学建模竞赛辅导资料文档
  • 主要用于 系统分析 和 综合评价 ...标准回归和灰色关联分析的选择: n很大时候使用标准回归 n很小时候使用灰色关联分析 案例二:进行综合评价 第一步:指标正向化(topsis),得矩阵 Zij 第二步:预处理

    写在前面:
    笔记为自行整理,内容出自课程《数学建模学习交流》,主讲人:清风

    主要用于 系统分析综合评价

    非主流

    主成分分析不可以综合评价 是用来降维
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    案例一:进行系统分析

    在这里插入图片描述

    第一步:画统计图并且分析

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Xhbap6sU-1643606801956)(https://www.hualigs.cn/image/61dc38dc7b7bd.jpg)]

    第二步:确定分析数列

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-D7AsN6UM-1643606801968)(https://www.hualigs.cn/image/61dc39756418a.jpg)]

    第三步:对变量进行预处理

    • 去量纲
    • 缩小变量范围,简化计算

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    第四步:计算子序列中的各个指标和母序列的关联系数

    此处的 x0是母序列 x1 …是子序列
    在这里插入图片描述

    标准回归和灰色关联分析的选择:

    • n很大时候使用标准回归

    • n很小时候使用灰色关联分析

    案例二:进行综合评价

    在这里插入图片描述

    第一步:指标正向化(topsis),得矩阵 Zij

    第二步:预处理(系统分析中)

    第三步:每行取最大值作为母序列(虚拟构造母序列)

    第四步:计算灰色关联度(上面第四步)

    第五步:计算各个指标的权重

    自己/总和

    第六步:计算得分

    值×权重
    在这里插入图片描述

    第七步:得分归一化

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空空如也

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关联度分析 数学建模