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  • 一、什么是超弹性模型?为什么需要它? 在结构力学有限元分析中,各向同性线弹性材料模型可以认为是描述固体材料本构关系最为简单的模型之一。换句话说,各向同性线弹性材料模型与真实材料的力学特性之间存在着最多...

    一、什么是超弹性模型?为什么需要它?

    在结构力学有限元分析中,各向同性线弹性材料 模型可以认为是描述固体材料本构关系最为简单的模型之一。换句话说,各向同性线弹性材料 模型与真实材料的力学特性之间存在着最多的简化假设,包括:假设材料处于小变形状态下、假设材料的力学性能不受温度、湿度等环境因素影响等等。
    实际上,当我们针对更为复杂的工程实际问题开展结构力学有限元分析时,各向同性线弹性 的假设即已不敷使用。例如,当结构在承载状态下发生了肉眼可见的大变形时,我们又该如何描述呢?
    对于 金属 类材料构成的结构,当其承受的载荷超过了材料的线弹性段时,产生的形变往往在载荷卸载后不可恢复。这时,我们常常在线弹性模型的基础上增加 塑性 模型对其进行描述。
    橡胶 类材料不仅能在载荷作用下产生相应的大变形后,还能够在载荷卸载后完全的恢复其初始状态。对于这类材料,由于其大变形状态下的形变往往超过其原尺寸的100%,我们会发现,过去在固体力学理论中基于固体微元原始体积定义的应力与应变均无法准确描述材料在所有变形情况下(尤其是大变形)的受力状态。此外,如 图一 所示,这类材料在变形过程中表现出来的瞬时变形模量也会随着材料的总体拉伸率变化。因此,跳出固体力学的小变形假设范畴,在更为普适的 连续介质力学 框架下,研究者们提出了超弹性模型(Hyperelastic Model)以用于描述诸如橡胶一类的非线性大变形弹性材料。
    在这里插入图片描述

    图 1 超弹性材料的典型伸长率-应力曲线

    超弹性模型的研究由Mooney以及Rivlin等人开创先河 [1] 。迄今,学界已针对超弹性材料开展了近70年的研究,并针对不同的材料、从不同的学科角度(材料力学、热力学等等)提出了超过四十种超弹性本构模型 [2] 。
    简单来说,可以从两方面理解超弹性模型的概念。从 力学理论 的角度看,超弹性 模型假设材料在形变过程中不存在能量耗散,存储的能量仅仅取决于变形的初始状态和最终状态,也即变形过程中应力所作的功全部存储于依赖 变形梯度应变能密度函数 中。换句话说,超弹性材料的本构特性完全取决于其 应变能密度函数 。而从其工程应用的角度看,超弹性模型则是最适合描述橡胶、硅胶、凝胶等大变形弹性材料的模型。原因在于,从微观上看,这类大变形弹性材料内部均有着随机取向的分子链网络结构。由于分子链间的相互作用弱、分子链间的交联点稀疏,这类材料不仅可以承受大变形,且工程实践中材料在加载循环过程中几乎没有表现出能量耗散。因此,在对包含橡胶、硅胶的结构力学问题进行有限元分析时,运用超弹性模型往往是首选项。

    二、超弹性模型的基本知识

    如前所述,超弹性材料的本构特性完全取决于其应变能密度函数。那什么是应变能密度函数?如何描述它?则是本篇博客接下来想要简单讨论的内容。

    2.1 应力与应变

    我们知道,固体力学范畴内的应力及应变,是基于小变形假设提出的。一般地,我们可以在固体内任取一个 假想的闭合曲面 来研究内力。在该闭合曲面上某一点附近取一微面积 ∆ S ∆S S,其上内力的主矢为 ∆ P ∆\mathbf{P} P,则固体内这一点处法线方向上的应力矢量(Stress vector) X ‾ \overline{X} X可表达为:
    X ‾ = lim ⁡ ∆ S → 0 ∆ P ∆ S \overline{X}= \lim_{∆S \to 0} \frac{∆\mathbf{P}}{∆S} X=S0limSP
    对于上式,我们需要指出,其内力的主矢 ∆ P ∆\mathit{P} P以及微面积 ∆ S ∆S S均没有详细指明。内力主矢 ∆ P ∆\mathit{P} P既可以在结构变形前的坐标系下表示,也可以在结构变形后的坐标系下表示, ∆ S ∆S S则既可以取结构变形前的面积,也可以取结构变形后的面积。由此,便引申出一系列具备不同描述有效性的应力,包括第一皮奥拉-基尔霍夫应力(First Piola - Kirchoff Stress,以下简称第一P-K应力)、第二皮奥拉-基尔霍夫应力(Second Piola - Kirchoff Stress,以下简称第二P-K应力)等等。应变的表述亦是如此。

    2.2 变形梯度张量

    正如我们刚刚所指明的,对于结构大变形问题,我们在进行力学分析时不能忽略结构变形后位形与变形前位形的差别。也因此,我们需要一种描述方式,联系变形体的当前构型和参考构型,这就是连续介质力学领域最基础的概念:变形梯度张量(deformation gradient tensor)。假设变形体中质点变形前对应的坐标是 X X X Y Y Y Z Z Z,变形后对应的坐标是 x x x y y y z z z,则变形梯度张量 F \mathit{F} F表示为:

    F = [ ∂ x ∂ X ∂ x ∂ Y ∂ x ∂ Z ∂ y ∂ X ∂ y ∂ Y ∂ y ∂ Z ∂ z ∂ X ∂ z ∂ Y ∂ z ∂ Z ] \begin{array}{c}F\end{array}=\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial X} & \frac{\partial x}{\partial Y} & \frac{\partial x}{\partial Z} \\ \frac{\partial y}{\partial X} & \frac{\partial y}{\partial Y} & \frac{\partial y}{\partial Z}\\ \frac{\partial z}{\partial X} & \frac{\partial z}{\partial Y} & \frac{\partial z}{\partial Z} \end{bmatrix} F=XxXyXzYxYyYzZxZyZz

    变形梯度张量 F \mathit{F} F 描述了变形体当前构型与参考构型间的位置关系。此外,它的行列式 J = det ⁡ F J=\det\mathit{F} J=detF则表示了变形体当前构型和参考构型之间的体积比。连续介质力学领域最为常用的两种变形张量描述—— 右、左Cauchy-Green变形张量(Cauchy-Green Tensor,以下简称C-G变形张量),也都是基于 变形梯度张量 表示的。

    2.3 右、左C-G变形张量

    右Cauchy-Green变形张量 C \mathit{C} C 表示为:
    C = F T F \begin{array}{c} C=F^T F \end{array} C=FTF
    左Cauchy-Green变形张量 B \mathit{B} B 表示为:
    B = F F T \begin{array}{c} B=F F^T \end{array} B=FFT
    上述两个变形张量的物理含义并非十分直观。一般地,在描述弹性体的整体变形时,我们会使用上述变形张量的 张量不变量 表述弹性体的整体变形。
    右Cauchy-Green变形张量 C \mathit{C} C 的三个张量不变量分别表示为:
    I 1 = t r C = ∂ x i ∂ x i ∂ X ∂ X + ∂ x i ∂ x i ∂ Y ∂ Y + ∂ x i ∂ x i ∂ Z ∂ Z I_1=\mathrm{tr}C= \frac{\partial x_i \partial x_i}{\partial X \partial X}+ \frac{\partial x_i \partial x_i}{\partial Y \partial Y} +\frac{\partial x_i \partial x_i}{\partial Z \partial Z} I1=trC=XXxixi+YYxixi+ZZxixi
    I 2 = 1 2 [ ( t r C ) 2 − t r ( C 2 ) ] = 1 2 [ ( I 1 ) 2 − t r ( C 2 ) ] I_2=\frac{1}{2}[(\mathrm{tr}C)^2-\mathrm{tr}(C^2)]=\frac{1}{2}[(I_1)^2-\mathrm{tr}(C^2)] I2=21[(trC)2tr(C2)]=21[(I1)2tr(C2)]
    I 3 = det ⁡ C I_3=\det C I3=detC
    左Cauchy-Green变形张量 B \mathit{B} B 的三个张量不变量和 右Cauchy-Green变形张量 C \mathit{C} C 的是完全相等的。所以,在部分论文和书籍中,往往不做区分直接用张量不变量指代上述两个变形张量的不变量。我们在这里,也直接用 I 1 I_1 I1 I 2 I_2 I2 I 3 I_3 I3对其进行表示。

    2.4 超弹性体的三轴拉伸率

    一般的,对于超弹性体,我们常常使用三轴拉伸率来描述其整体变形。假设超弹性体在初始状态下第一、二、三方向上的原始长度分别为 l 0 l_0 l0 w 0 w_0 w0 h 0 h_0 h0;拉伸后的长度分别为 l l l w w w h h h。则三轴拉伸率可以定义为:
    λ 1 = l l 0 , λ 2 = w w 0 , λ 3 = h h 0 , λ_1=\frac{l}{l_0}, λ_2=\frac{w}{w_0}, λ_3=\frac{h}{h_0}, λ1=l0l,λ2=w0w,λ3=h0h,

    上文中提到的 应变张量不变量 同样可以使用 三轴拉伸率 进行表示。由此,则将变形体的数学表示与其物理直观联系在了一起:

    { I 1 = ( λ 1 ) 2 + ( λ 2 ) 2 + ( λ 3 ) 2 I 2 = ( λ 1 ) 2 ( λ 2 ) 2 + ( λ 2 ) 2 ( λ 3 ) 2 + ( λ 3 ) 2 ( λ 1 ) 2 I 3 = ( λ 1 ) 2 ( λ 2 ) 2 ( λ 3 ) 2 \left\{\begin{matrix} I_1=(λ_1)^2+(λ_2)^2+(λ_3)^2 \\ I_2=(λ_1)^2 (λ_2)^2+(λ_2)^2 (λ_3)^2+(λ_3)^2 (λ_1)^2\\ I_3=(λ_1)^2 (λ_2)^2 (λ_3)^2 \end{matrix}\right. I1=(λ1)2+(λ2)2+(λ3)2I2=(λ1)2(λ2)2+(λ2)2(λ3)2+(λ3)2(λ1)2I3=(λ1)2(λ2)2(λ3)2

    2.5 应变能密度函数

    在本文的开头,我们提到,超弹性体的本构关系完全取决于依赖变形梯度的 应变能密度函数 中。前文中,我们简单地讨论了什么是变形梯度张量以及其引申。接下来我们也简单的聊一聊 应变能密度函数
    应变能密度函数 U U U可以理解为弹性体在变形过程中每单位体积的变形体所存储的变形能,可以写成弹性体内力造成的形变总功的形式,表示为:
    d U = σ i j d ε i j \mathrm{d}U = σ_{ij}\mathrm {d}ε_{ij} dU=σijdεij
    对于弹性材料(包括线弹性材料以及超弹性材料),弹性材料的应力 σ σ σ是应变 ε ε ε的单值齐次函数,因此应变能密度函数也是应变的单值齐次函数。
    由上我们可以发现,应力张量实际上也可以表示为应变能密度函数对应变张量的偏导数,这也是弹性体的一个基本性质。在超弹性模型的分析中,我们往往也运用这种形式求解各种应力表示。例如,第二P-K应力 即可以使用 应变能密度函数 W W W右C-G张量 进行表示:
    T = 2 ( ∂ W ∂ I 1 ∂ I 1 ∂ C + ∂ W ∂ I 2 ∂ I 2 ∂ C + ∂ W ∂ I 3 ∂ I 3 ∂ C ) T=2(\frac{\partial W}{\partial I_1}\frac{\partial I_1}{\partial C} +\frac{\partial W}{\partial I_2}\frac{\partial I_2}{\partial C} +\frac{\partial W}{\partial I_3}\frac{\partial I_3}{\partial C}) T=2(I1WCI1+I2WCI2+I3WCI3)

    经过上面的讨论,我们可以发现,对于超弹性模型,最核心的问题即在于运用合适的超弹性应变能密度函数描述其本构关系,不同的超弹性模型区别在于不同的应变能密度函数。而在COMSOL中进行超弹性材料分析时,重点也在于此。

    2.6 小结

    经过上面的讨论,我们可以发现,对于超弹性模型,最核心的问题即在于运用合适的超弹性应变能密度函数描述其本构关系,不同的超弹性模型区别在于不同的应变能密度函数。而在COMSOL中进行超弹性材料分析时,重点也在于此。

    三、在COMSOL中运用超弹性模型

    超弹性材料的有限元分析包含在COMSOL的非线性材料模块(Nonlinear Structural Materials Module) 中。用户购买并安装了该模块后,在运用COMSOL进行有限元分析时,无需添加额外的物理场,可以直接在现有的 固体力学物理场接口(Solid Mehcanics interface) 或者薄膜物理场接口(Membrane interface) 调用“超弹性材料节点”。添加方式为:右键单击“对应物理场接口”,选择“材料模型选项>>超弹性材料选项”。
    在这里插入图片描述

    图 2 如何添加“超弹性材料节点”

    我们运用一个橡胶薄膜受拉的案例来演示在COMSOL中进行超弹性材料有限元分析的过程。如下图所示,橡胶薄膜一端固支,一端受拉。我们在COMSOL中运用“固体力学物理场接口”对该问题进行分析。
    在这里插入图片描述

    图 3 薄膜受拉案例示意

    首先绘制一个长方体对薄膜的几何进行表示。

    在这里插入图片描述

    图 4 模型的几何表示

    其次,右键点击“材料节点”添加一个“空材料节点”并指定其作用域在长方体上。

    分别添加“固定约束节点”和“边界载荷节点”设置几何体的固支边界条件和受力边界条件。

    在这里插入图片描述

    图 5 为模型添加固支约束

    在这里插入图片描述

    图 6 为模型添加载荷边界条件

    其次,在“固体力学物理场接口”下添加“超弹性材料节点”,并选择作用域。此时,“超弹性材料节点”工具菜单的“超弹性材料分栏”中,用户便可以选择超弹性材料的不同模型并设置对应的模型参数。COMSOL包含了工程中常用的超过十余种超弹性模型,例如Neo-Hookean模型,Mooney-Rivlin二、五、九参数模型,Odgen模型等等,同时也支持用户自定义超弹性模型进行有限元计算。
    本例中,我们使用“Yeoh超弹性模型”作为示意。可以看到,选择“Yeoh超弹性模型”后,我们分别需要对模型的可压缩性、弹性参数与质量参数进行定义。对于可压缩性,需要指出的是,由于橡胶等材料的体积模量较大、在变形过程中总体积几乎不变化,一般地,在包含超弹性模型的有限元分析中,我们常假设超弹性体为不可压缩超弹性体以降低计算复杂度。对于弹性参数以及质量参数,我们可以采用如下的方式直接在“固体力学物理场接口”进行定义。同样,也可以选择在材料节点中定义。这样,我们可以将定义完成的材料存储于自定义材料库(参见博客《管理和构建自定义材料库》)中,以便在对其它仿真案例进行有限元分析时直接使用。
    在这里插入图片描述

    图 7 指定超弹性模型的对应参数

    进一步的,我们划分网格并进行稳态解研究,就可以观察到我们所描述的橡胶薄膜受拉问题的稳态解响应了。可以看到,与金属等线弹性材料不同,橡胶类的超弹性材料表现出更软、变形更大的响应特性。
    在这里插入图片描述

    图 8 薄膜受拉的静稳态响应

    四、 参考文献

    [1] 彭向峰, 李录贤. 超弹性材料本构关系的最新研究进展[J]. 力学学报, 2020, v.52(05): 4–15.
    [2] LI X B, WEI Y T. An improved Yeoh constitutive model for hyperelastic material[J]. Engineering Mechanics, 2016, 33(12): 38–43. DOI:10.6052/j.issn.1000-4750.2015.05.0388.

    以上就是本期博客的全部分享内容,欢迎关注我的专栏《COMSOL有限元仿真深度指南》,了解并一起讨论关于COMSO有限元仿真的相关问题~

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  • 文章目录什么是可解释模型线性回归逻辑回归树模型 什么是可解释模型 线性回归 逻辑回归 树模型

    上篇中我们有提到,根据可解释性方法的作用阶段,可以将其分为两类:可解释模型(训练阶段) 与 模型无关方法(预测阶段)。

    这篇我们着重介绍可解释模型

    什么是可解释模型

    进行可解释性分析最简单的方法就是:训练阶段采用具备可解释性的模型。简单一点就是:选择一个本身就容易解释的模型来作为分类器,那模型训练好后,是不是分析它的行为就相对简单一点。

    线性回归逻辑回归决策树都是比较常用的可解释模型。

    那如何判断一个模型是不是可解释模型呢?主要关注模型的如下三点:

    • 线性:模型中特征和目标之间的关联是线性的,如线性回归。
    • 单调性:具有单调性约束的模型,可确保特征和目标在整个特征范围内始终朝着相同的方向移动,如逻辑回归。
      即特征值的增加要么总是导致目标结果的增加,要么总是导致目标结果的减少。单调性对于模型的解释是有用的,因为它使理解关系变得更容易。
    • 特征交互:模型能够自动进行特征之间的交互来预测目标,如决策树模型。
      特征交互指的是学习两个或多个原始特征之间的交叉组合。交互可以提高预测性能,但太多或太复杂的交互会损害可解释性。

    找到了可解释模型之后,如何选择适合自己问题的模型呢?

    • 任务类型:有些模型只处理回归,有些只处理分类,还有一些模型两者都处理。

    下面是常用可解释模型的属性及适用任务类型汇总表:
    在这里插入图片描述
    下面我们着重介绍比较常用的三个模型:线性回归、逻辑回归、决策树。

    线性回归

    线性模型用于将目标 y 拟合为输入特征 x 的线性加权和,其假设函数如下:
    y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + . . . + β n x n + ϵ y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+...+\beta_n x_n+\epsilon y=β0+β1x1+β2x2+...+βnxn+ϵ
    其中, β j \beta_j βj为模型要学习的特征系数, β 0 \beta_0 β0为截距项, ϵ \epsilon ϵ为误差,即预测结果与真实结果之间的差。

    线性模型最大的特点是线性:它使估计过程变得简单,模型也更容易理解。

    解释性

    下面我们结合实例来解释。给定某自行车租赁公司每日的车辆租赁数量,以及每天的天气和季节信息。用线性回归模型根据历史的天气和天数来预测每天出租的自行车数量。

    线性回归模型各特征的权重、预测的标准差和 t-统计量的绝对值如下表所示:
    在这里插入图片描述
    全局层面:特征重要性

    如何解释线性回归模型中权重呢?权重的解释取决于特征的类型。

    • 数值特征 (温度特征 temp) 的解释:当所有其他特征保持不变时,将温度升高 1 摄氏度,租赁自行车的预测数量增加 110.7 。
    • 分类特征 (天气状况特征 weathersit) 的解释:与好天气相比,当下雨、下雪或暴风雨时,租赁自行车的预测数量减少了1901.5;再次假设所有其他特征不变,当天气有雾时,租赁自行车的预测数量比正常天气少了379.4。
      注意:对于分类特征,由于线性回归模型入模前会对分类特征进行编码,为了便于建立变量取值权重的联系,其解释是针对参照取值(编码时被丢弃的取值)而言的。为什么要针对参照取值呢?
      如特征天气状况weathersit,其包含三个取值:GOOD、MISTY、RAIN/SNOW/STORM。上面采用的取值为 weathersitMISTY 和 weathersitRAIN/SNOW/STORM,即编码剔除的参照取值为GOOD:好天气。
      在 GOOD 为参照取值的前提下,假设 weathersit 取值为GOOD时,模型预测的自行车租赁数量为 y y y。则天气变为MISTY时,预测数量为 y − 379.4 y-379.4 y379.4,变化量正好为特征 weathersitMISTY的权重。可以看到,基于参照变量分析可以很方便的将原始特征(weathersit)的取值变化(GOOD–>MISTY)对预测结果的影响(-379.4)跟其权重(weathersitMISTY)联系起来。因为特征取值从参照取值转变为另一取值,对预测结果的影响就是新取值对应特征的权重。
      反过来,如果基于非参照取值进行分析,如记 weathersit 取值为MISTY时,模型预测的自行车租赁数量为 y y y,见下表第二行。则天气变为 RAIN/SNOW/STORM 时,预测数量为 y − 1522.1 y-1522.1 y1522.1,1522.1这个数字虽然可以通过两个权重组合得到,但远不如第一行的数据直观。
    GOODMISTYRAIN/SNOW/STORM
    y y y y − 379.4 y-379.4 y379.4 y − 1901.5 y-1901.5 y1901.5
    y + 379.4 y+379.4 y+379.4 y y y y − 1522.1 = ( − 1901.5 − ( − 379.4 ) ) y-1522.1=(-1901.5-(-379.4)) y1522.1=(1901.5(379.4))
    y + 1901.5 y+1901.5 y+1901.5 y + 1522.1 = ( − 379.4 − ( − 1901.5 ) ) y+1522.1=(-379.4-(-1901.5)) y+1522.1=(379.4(1901.5)) y y y

    对线性模型进行解释时,总是伴随着 “所有其他特征保持不变”。这是因为线性回归模型假设特征之间不存在多重共线,即一个特征的变化不会引起另一个特征的变化。

    在线性回归模型中某个特征的重要性可以用它的 t-统计量 (t-statistic) 的绝对值来衡量。t-统计量是以标准差为尺度的估计权重。
    t β ^ = β ^ j S E ( β ^ j ) t_{\hat \beta}=\dfrac{\hat \beta_j}{SE(\hat \beta_j)} tβ^=SE(β^j)β^j

    优缺点

    优点

    • 将预测建模为一个加权和,使预测的生成变得透明。结合正则,如Lasso,可以确保使用的特征数量仍然很小。

    缺点

    • 只能表示线性关系 ,非线性或交互都必须是人工构成
    • 从预测性能角度来说,线性模型通常效果不是那么好

    逻辑回归

    逻辑回归模型使用逻辑斯特函数将线性方程的输出挤压到 0 和 1 之间,作为分类概率。
    P ( y = 1 ) = 1 1 + exp ⁡ ( − ( β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + . . . + β n x n ) ) P(y=1)=\dfrac{1}{1+\exp(-(\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+...+\beta_n x_n))} P(y=1)=1+exp((β0+β1x1+β2x2+...+βnxn))1
    其中, β j \beta_j βj为模型要学习的特征系数, β 0 \beta_0 β0为截距项, P ( y = 1 ) P(y=1) P(y=1)为样本属于正例的概率。

    解释性

    下面我们结合实例来解释。使用逻辑回归模型基于一些风险因素来预测女性是否会患上宫颈癌 。

    逻辑回归模型各特征的权重、相关的几率比和预测的标准差如下表所示:
    在这里插入图片描述
    全局层面:特征重要性

    由于逻辑回归的结果是 0 到 1 之间的概率,权重不再线性地影响概率,因此逻辑回归中权重的解释不同于线性回归中权重的解释。

    对上面的方程进行变形,转换为对数几率表达式(log odd):
    log ⁡ ( P ( y = 1 ) 1 − P ( y = 1 ) ) = log ⁡ ( o d d s ) = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + . . . + β n x n ) \log(\dfrac{P(y=1)}{1-P(y=1)}) =\log(odds) = \beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+...+\beta_n x_n) log(1P(y=1)P(y=1))=log(odds)=β0+β1x1+β2x2+...+βnxn)

    log ⁡ ( ) \log() log() 函数中的项称为几率 (odds) (事件发生概率除以事件不发生概率),对数几率函数由此得名。

    o d d s x j + 1 o d d s x = exp ⁡ ( β 0 + β 1 x 1 + . . . + β j ( x j + 1 ) + . . . + β n x n ) ) exp ⁡ ( β 0 + β 1 x 1 + . . . + β j x j + . . . + β n x n ) ) = exp ⁡ ( β j ) \dfrac{odds_{x_j+1}}{odds_{x}} =\dfrac{\exp(\beta_0+\beta_1 x_1+...+\beta_j (x_j+1)+...+\beta_n x_n))}{\exp(\beta_0+\beta_1 x_1+...+\beta_j x_j+...+\beta_n x_n))} =\exp(\beta_j) oddsxoddsxj+1=exp(β0+β1x1+...+βjxj+...+βnxn))exp(β0+β1x1+...+βj(xj+1)+...+βnxn))=exp(βj)

    最后,得到了一个简单的特征权重 exp ⁡ ( ) \exp() exp()。一个特征改变 1 个单位将会使几率比 (odds ratio) 改变 exp ⁡ ( β j ) \exp(\beta_j) exp(βj)

    同样的,区分变量类型进行权重的解释:

    • 数值特征的解释 (性病诊断次数/Num. of diagnosed STDs):当所有其他特征保持不变时,诊断的性传播疾病 (STDs) 数量的增加改变 (增加) 了癌症对非癌症的几率 2.26 倍。
    • 分类特征的解释 (是否服用激素避孕药/Hormonal contraceptives y/n):当所有其他特征保持不变时,对于使用激素避孕药的女性,与没有激素避孕药的女性相比,癌症与没有癌症的几率低 0.89 倍。

    优缺点

    优点

    • 逻辑回归模型不仅是一个分类模型,而且还给出概率。
    • 逻辑回归也可以从二分类扩展到多分类。

    缺点

    • 必须手动添加交互。
    • 解释更困难,因为权重的解释是乘法而不是加法。

    树模型

    基于树的模型根据特征中的某些截断值多次分割 (Split,或称分裂、拆分) 数据。通过分割,可以创建数据集的不同子集,每个实例都属于一个子集。

    下面的公式描述了结果 y 和特征 x 之间的关系:

    y = ∑ m = 1 M c m I { x ∈ R m } y=\sum_{m=1} ^M c_m I\{x \in R_m\} y=m=1McmI{xRm}

    其中,每个实例正好属于一个叶节点 (= 子集 R m R_m Rm)。 I { x ∈ R m } I\{x \in R_m\} I{xRm} 为指示函数,如果 x x x 在叶节点 R m R_m Rm 中则返回 1, 否则返回 0。即如果一个实例属于叶节点 R l R_l Rl,则预测结果为 y = c l y = c_l y=cl ,其中 c l c_l cl 是叶节点 R l R_l Rl 中所有训练实例的平均值。

    解释性

    下面我们结合实例来解释。用决策树模型根据历史的天气和天数来预测每天出租的自行车数量。

    在这里插入图片描述

    全局层面:特征重要性

    特征 days_since_2011 表示数据收集开始的天数,可以看到:随着时间的推移自行车租赁服务变得越来越流行的趋势。

    • 在第 105 天之前的天数中,自行车的预测数量大约是 1800;
    • 在第 106 天和第 430 天之间,大约是 3900;
    • 对于第 430 天之后的天数, 预测值为 4600 (如果温度低于 12 摄氏度) 或 6600 (如果温度高于 12 摄氏度);

    在决策树中,一个特征的总体重要性可以用以下方法计算:遍历使用该特征的所有分割,并测量它相对于父节点减少了多少方差或基尼指数。最后将所有重要性的总和缩放至 0 ~ 100,使得每个重要性可以解释为总体模型重要性的一部分。

    可视化树表明温度特征和天数特征都被用于分割,但没有量化哪个特征更重要。特征的重要性告诉我们特征在多大程度上有助于提高所有节点的纯度。由于预测自行车租赁是一个回归任务,这里使用的方差,特征重要性表明天数特征远比温度特征重要。

    优缺点

    优点

    • 能够捕获数据中特征之间的交互:这是由树这种特殊结构决定的。
    • 解释相当简单:树结构可以自然的可视化,对单个实例的预测结果可以表示为:如果某个特征大于/小于分割点,则预测值将是 y1 而不是 y2”。

    缺点

    • 不能处理线性关系:任何线性关系都必须通过分割来近似 (用阶跃函数 近似曲线)。
    • 缺乏平滑度:输入特征的微小变化会对预测结果产生很大影响。
    • 不稳定 :因为每个分割都依赖于父分割,一旦父分割发生变化,整棵树的结构将发生变化。

    模块层面:特征如何影响模型预测

    模型给出的特征权重是一个相对描述量,取决于特征的度量。 比如有一个身高特征,如果测量单位从米转换到厘米,那么该特征的权重也会有所不同,就会对模型的分析带来干扰。

    特征的权重会改变,但特征效应不会随着度量的改变而改变。特征效应定量描述了权重和特征的组合对预测结果的贡献程度。对于线性回归模型,特征效应为每个特征的权重与实例特征值的乘积:

    E f f e c t j = β j x j Effect_j=\beta_j x_j Effectj=βjxj

    但并非所有模型的特征效应都有如此简洁的形式。在后面的 模型无关方法 中会介绍 部分依赖图(PDP),其适用于任何模型。

    • 注意:为了方便解释,后面均以线性回归模型为例。

    全局
    还是上面线性回归模型中的自行车租赁问题,左侧是上面给出的特征权重表。右侧是该模型在训练样本上的效应分布图,展示了每个特征的效应分布。
    在这里插入图片描述
    那么右侧的特征效应分布图是如何得到的呢?

    前面提到过,对于线性回归模型,特征的效应可以表示为特征值与特征权重的乘积。对于单个实例,每个特征的取值分别乘以特征的权重即可得到一组特征效应值(可以参考下方局部:单个实例解释中的表格,即为一组特征效应值)。

    对于包含 m m m 个实例的训练集,就可以得到 m m m 组特征效应。即对于每个特征而言,都有 m 个效应值,即可使用箱型图展示其分布。

    • 箱形图中的框表示一半数据的特征效应范围 (效应值的 1/4 到 3/4 分位数)。
    • 框中的垂直线代表中位数 ,即 50% 的实例对预测的影响小于此值。
    • 水平线延伸到 ± 1.5 I Q R / ( n ) ±1.5IQR/\sqrt(n) ±1.5IQR/( n),其中 I Q R IQR IQR 是四分位数之间的范围 (3/4 分位数减去 1/4 分位数)。
    • 剩余点为离群点。

    如何分析特征效应分布图?

    特征效应定量描述了权重和特征的组合对预测结果的贡献程度。 从上面的箱形图可以看出,

    • 特征温度 temp 和天数 days_since_2011 对预测结果的贡献最大,且都为正向贡献。
    • 温度在很大程度上有助于预测。
    • 特征天数的贡献随着天数的增加而变大,该特征效应每天都在增加。因为该特征的估计权重为正 (4.93)。这意味着,并且在数据集中的最后一天最高 (2012 年 12 月 31 日)。
    • 注意:负权重的特征效应。对于负权重,具有负特征值的实例表现出来的是正的效应。例如,风速有高负效应的时候就是风速高的日子。

    局部:单个实例

    为了方便理,结合一个具体的实例进行解释。左侧是训练集中的一个实例,右侧是该实例的预测结果以及各特征对最终预测结果的贡献,即特征效应。

    在这里插入图片描述

    先分析一下右侧的效应图,从上方可以看到,训练数据实例的预测平均值是 4504。相比之下,第 6 个实例的预测值很小,只有 1571 辆自行车租用。为什么该实例的预测值相比平均值如此小呢?

    • 注意,后面的分析都是以平均值作为参照标准。

    右侧下方的效应图揭示了原因。箱线图显示训练集所有实例的效应分布图,“叉号” 代表第 6 个实例的特征效应。对比可以发现:

    • 该实例的温度特征(temp)的特征效应(蓝色椭圆对应部分)相较小,因为这一天的温度为1.6 摄氏度,与大多数日期相比较低 。而该特征的权重为正,导致该实例的预测值偏小。
    • 此外,与其他实例相比,天数特征(days_since_2011)的特征效应也偏小,该特征取值仅为5,而这个特征也是正向的权重。

    那么每个特征的特征效应是如何计算得到的呢?

    针对上面实例的取值以及特征的权重,可以得到如下汇总表:

    特征workingdaywindspeedweathersittempseasonhumholidaydays_since_2011
    权重WORKING DAY:124.9
    NO WORKING DAY:0
    -42.5MINSTY: -379.4
    RAIN/SNOW/STORM:-1901.5
    GOOD:0
    110.7SPRING:0
    SUMMER:899.3
    FALL:138.2
    WINTER: 425.6
    -17.4holiday:-686.1
    no holiday: 0
    4.9
    取值WORKING DAY6.000868GOOD1.604356SPRING51.8261NO HOLIDAY5
    效应124.96.000868*(-42.5)01.604356 * 110.7051.8261*(-17.4)05*4.9


    前面介绍过,特征效应为权重与特征取值的某种组合。但对于离散特征,权重是针对编码后的特征,而效应是相对原始特征而言。此时,以实例取值相对应的特征权重作为该离散特征的权重。

    • 例如,该实例的是否工作日特征 workingday 取值为WORKING DAY,其对应的权重为 124.9,则该实例的workingday特征权重为124.9.

    按照该逻辑,可以得到每个特征的效应(详见上表最后一行)。将上述特征的效应加和为-828.4,分预测值 1571 相去甚远。别忘了,模型还有一个截距项 2399.4,加上该部分即可得到模型的预测值:
    1571 = 124.9 + 6.000868 ∗ ( − 42.5 ) + 0 + 1.604356 ∗ 110.7 + 0 + 51.8261 ∗ ( − 17.4 ) + 0 + 5 ∗ 4.9 + 2399.4 1571 = 124.9+6.000868*(-42.5)+0+1.604356 * 110.7+0+51.8261*(-17.4)+0+5*4.9+2399.4 1571=124.9+6.000868(42.5)+0+1.604356110.7+0+51.8261(17.4)+0+54.9+2399.4

    由此,即可定性的衡量每个特征对于最终预测结果的影响程度。

    总结

    该部分介绍了三个常用的解释性较好的模型,并结合这三个模型介绍了如何结合数据从结果出发解释模型的行为。后续,会介绍对于其他的复杂模型,如何结合模型无关方法去解释模型行为。

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  • 深度神经网络的解释方法有很多,每种解释方法都有各自的优缺点。在大多数情况下,我们感兴趣的是局部解释方法,即对特定输入的网络输出的解释,因为DNNs往往过于...归因方法将模型输出的权重分配给给定输入的每个维度

    深度神经网络的解释方法有很多,每种解释方法都有各自的优缺点。在大多数情况下,我们感兴趣的是局部解释方法,即对特定输入的网络输出的解释,因为DNNs往往过于复杂,无法进行全局解释(独立于输入)。

    一般而言,所有局部解释方法都有一个共同的目标:可靠地(即准确地)表示要解释的函数f(例如DNN),至少可以部分的解释他们的输入和输褚的关系。

    当然,这样的解释也必须是人类可以理解的才能有用。实现这一目标的最简单方法是为每个输入维度添加一个重要分数,也就是创建一个归属图。归因方法将模型输出的权重分配给给定输入的每个维度。

    在这篇短文中,我将介绍一种基本的归因技术:遮挡分析。其基本概念非常简单:对于输入x的每个输入维度,我们在缺失该维度的情况下评估模型,并观察输出如何变化。
    特别是,如果||f(x) - f(x_without_i)||很大,那么维数一定很重要,因为删除它会改变输出。

    遮挡分析通过观察去除patch后模型输出y的变化来计算每个patch的重要性。单个的结果可以组合成一张归因图。

    遮挡分析的优点

    如果维度是独立的,那么遮挡分析是完全可靠的,因为您准确地测量了每个维度的边际效应。

    不幸的是,在大多数情况下,例如图像数据,情况并非如此。在这里,建议您删除整个色块而不是单个像素。这个想法是通常单个像素的信息可以从其相邻像素重建。因此,如果您具有猫的图像,则删除一个猫像素永远不会对输出产生太大影响,而删除覆盖耳朵的面片可能会导致模型对“猫”的预测显着下降。

    关于遮挡分析的另一个优点是它是一种post-hoc 方法。这意味着它可以用来解释任何(已经训练过的)模型。没有必要再训练。这个模型甚至可以是一个不可微的黑盒。只要您能够输入输入并接收输出,就可以使用遮挡分析。

    与基于梯度的解释方法相比,遮挡分析的另一个优势是,它甚至可以处理局部平坦的函数,没有或只有很小的梯度。

    一些问题

    但是,删除尺寸实际上意味着什么?毕竟,我们的模型始终采用相同大小的输入。删除尺寸意味着将其设置为具有“ 0信息”的值。该值取决于数据集。对于图像数据,我们通常使用平均RGB值。对于其他数据类型,通常将维设置为0即可。我们将在以后看到其他注意事项。

    您可能已经猜到了,遮挡分析有一个很大的警告:我们必须将每一个遮挡输入到模型中并进行评估。如果您输入的内容有很多尺寸,例如如果图像为256x256像素,则必须运行256x256 = 65.536(!)模型才能获得完整的分析。在大多数情况下,这是非常昂贵的,特别是如果您要对整个数据集运行分析时,尤其如此。

    一种减轻采用多个特征并将其一起删除的计算成本的方法(例如,图片中的8x8正方形)。这仅对于某些维度之间相互依存性强,以至于它们在语义上属于在一起的数据类型才有意义。

    分布位移(Distribution Shift)

    遮挡分析还有另一个问题,它讨论不多:分布位移。如果我们仔细考虑一下,我们在分析中观察到的输出变化除了信息被删除之外还有另一个原因:受干扰的输入不再位于我们训练模型所依据的数据分布中。

    在机器学习中,我们通常假设模型将根据来自与训练样本相同分布的数据进行评估。如果不是这样(即如果我们移除像素),那么模型输出可能是错误的。虽然去除单个像素的效果通常可以忽略不计,但是去除整块的数据块与训练数据流形之间的距离更大,因此对输出的影响也更大。

    但是有一些方法可以缓解该问题。基本思想是在仍然保持靠近数据分布的同时删除信息。这意味着要使用更复杂的信息删除技术,使图像仍然看起来像自然图像。

    一种方法是模糊要“删除”的补丁。它不是最有效的方法,但它至少应该删除细粒度的纹理信息,并且它很容易实现。

    一个更好的方法是使用修复算法:只是使用另一个模型来猜测(即inpaint)缺失部分的内容。实际上并没有添加任何信息,因为修复仅依赖于图像的剩余像素,但结果看起来仍然接近于正常图像,因此更接近于训练数据。您可以使用Yu等人设计的复杂算法,也可以使用容易访问的库,如openCV。

    使用修复算法的问题是:1)它使该过程在计算上更加昂贵; 2)您必须首先运行它; 3)如果您不使用标准基准数据集,则可能必须对其进行重新训练。

    最后总结

    由于它的计算成本,遮挡分析当然不是一个适用于任何场合的工具,但肯定有一些用途。特别是如果你的数据很小,或者你只是想要一些容易实现和可靠的东西(只是要注意补丁的大小),遮挡分析可以很出色。与之密切相关且更为复杂的方法是Shapley值。不幸的是,它们的计算成本更高。如果你使用的是可微模型,那么仅次于它的简单方法就是基于梯度的解释方法。

    引用

    https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-319-10590-1_53

    https://en.wikipedia.org/wiki/Domain_adaptation#Domain_shift

    https://github.com/JiahuiYu/generative_inpainting

    作者:Eugen Lindwurm

    deephub翻译组

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  • 1引言主题模型是文本分析中的重要研究问题之一。...不同的主题模型建模的角度各有不同,如关联主题模型(correlated topic model,CTM)[1]就从主题之间可能存在相互关联的角度用一个逻辑高斯分布进行建模...

    1引言主题模型是文本分析中的重要研究问题之一。在2010年前,不同的主题模型层出不穷,2010年后由于神经网络概念的火爆,文本的研究中心逐渐转移。不过主题模型由于其较好的效果以及较为简易的实现在文本分类等领域依旧具有很强的生命力。不同的主题模型建模的角度各有不同,如关联主题模型(correlated topic model,CTM)[1]就从主题之间可能存在相互关联的角度用一个逻辑高斯分布进行建模,动态主题模型(dynamic topic model)[2]用高斯分布建模主题的演化过程。不过这些模型依旧是从单篇文档的角度进行建模,而未考虑文本主题分布之间的关联性。同时,对于模型推断方式的研究也层出不穷。以LDA(latent Dirichlet allocation)为例,先后就有变分贝叶斯推断法、Gibbs采样法、收缩Gibbs采样法、EP(expectation propagation[3])法以及收缩变分贝叶斯推断等方法被提出。各种推断方法各有利弊,整体来看,可以分为随机的采样法和确定性的变分推断法两类。变分推断法效率高,但存在偏差;采样法理论上可以收敛到真实的后验分布,但收敛速度慢且难以判断收敛性。因此在考虑推断方法时还要权衡不同方法的利弊和模型的实际情况进行选择。将LDA应用于分布式的环境,以处理更加庞大的文本数据规模也是针对主题模型的研究热点之一,2008年提出了分布式模型推断[4],之后各类分布式实现不断涌现,例如PLDA(parallel latent Dirichletallocation)[5]分别设计并实现了利用Map Reduce API以及MPI的分布式LDA,Spark-LDA[6]则将LDA的Gibbs采样算法应用于Spark框架中,这些研究成果丰富了LDA的应用情景。同时,对主题模型应用的研究也有许多成果,例如2D-LDA将LDA应用于图像矩阵,进行图像的特征提取[7],用LDA分类卫星图像[8],以及在医疗、生物等领域也可以利用主题模型的特征提取能力对大量的数据进行挖掘。因此主题模型的意义已经远远超过了一个贝叶斯模型的范畴,主题也不再局限为文本的主题,而成为一个抽象的概念。文本数据库中的文本可以由一些结构化的属性划分为一些子集,每个子集之中的文本存在共性,而这些共性是被如LDA这类假设文本间独立的主题模型所忽略的。因此,本文针对文本数据库的特定划分,在主题模型中加入了子集的概念,并依据子集之中的共性对文本进行建模。本文将这个全新的主题模型命名为Db LDA(LDA over text database)。由于是全新的主题模型,对Db LDA的模型推断也是本文的主要工作之一。模型近似推断的方法有很多,本文将对几种不同的推断方法进行分析,并选取一种比较合适的且较优的方法对本文提出的模型进行近似推断。同时,Db LDA模型基于划分引入了子集的概念,因此模型中也会引入更多的随机变量,这些随机变量在数据挖掘的角度上存在一定的意义,本文也将对此进行分析。本文的实验部分选取了一种语言模型评估方式,对Db LDA相比于LDA的模型效果进行了测试,实验还包含对模型运行速度的测试,同时最后也对一些模型参数以及相关的模型性质进行了详细的讨论。本文组织结构如下:第1章介绍研究背景,如当今主题模型研究成果、模型推断方式等;第2章介绍相关工作;第3章介绍Db LDA模型,即本文提出的新的主题模型,包括相关随机变量的意义及模型的物理意义;第4章阐述了近似推断算法,包括现有近似

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空空如也

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