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  • 图的关联矩阵性质

    2013-07-18 17:59:10
  • 图的代数表示: 邻接矩阵与关联矩阵

    千次阅读 2020-03-10 16:00:44
    关联矩阵 对于图G=(V,E), 点数为n,边数为m; 1. 邻接矩阵A 1.1 定义 行为顶点,列也为顶点 的n*n矩阵。矩阵元素aij=vi与vj之间关联的边数。 若vi与vj不邻接,则aij=0. 1.2 性质 A是非负的、对称的; A....

    图的代数表示方法通常有两种

    • 邻接矩阵
    • 关联矩阵

     

    对于图G=(V,E), 点数为n,边数为m;

    1. 邻接矩阵A

    1.1 定义

    行为顶点,列也为顶点n*n矩阵。矩阵元素aij=vi与vj之间关联的边数。

    若vi与vj不邻接,则aij=0.

     

    1.2 性质

    A是非负的、对称的;

    A. 同一图的不同形式的邻接矩阵是相似矩阵。

    B.若G为简单图,则A(G)是布尔型矩阵;行、列和分别等于对应顶点的度数;矩阵元素总和为图的总度数。

    C. G是连通的充要条件: A(G)不能与块对角矩阵相似,即不能与如下矩阵相似:

    \begin{bmatrix} A_{11}} & O \\ O & A_{22}} \end{bmatrix}

    证明:

    必要性:反证法。

    如果连通图G与块对角矩阵相似,设A11对应顶点{v1,v2,...,vk},A22对应顶点{vk+1,vk+2,...vn}

    显然,vi与vj不连通(i≤k<j),与G是连通图矛盾!

     

    充分性:反证法。

    A(G)不与块对角矩阵相似时,若G不联通,则设G1与G2是两个不连通的部分。

    必然可以构造出块对角矩阵的A(G),从而与A(G)不与块对角矩阵相似矛盾!

    #

     

    重要定理:

    D. 对任意图G, 若$A^{k}(G)=(a_{ij}^{(k)})$,则a_{ij}^{(k)}表示顶点vi到vj的途径长度为k的途径条数。

    意义:建立了图结构与图代数表示之间的关系。

    证明:由数学归纳法证明。

    k=1时显然成立;

    假设结论对(k-1)成立;

    则当为k时,一方面,通过A^(k)=A^(k-1)*A计算出a_{ij}^{(k)};另一方面,从图的角度计算出a_{ij}^{(k)},进而发现二者结论表达式相同,故证毕。

     

    推论:

    当G为简单图时,a_{ii}^{(2)}表示vi的度数;a_{ii}^{(3)}表示含vi的三角形个数的两倍。

     

    2. 图的关联矩阵

    2.1 定义

    G是(n,m)图,则关联矩阵M(G)为n*m的矩阵,其中每行表示一个顶点;每列表示一条边。M(G)中的元素aij取值为点vi与边ej的关联数。不关联时,取值为0;边取值为1;环取值为2.

     

    2.2 性质

    关联矩阵可以用来证明握手定理:每行和为改行对应的点的度数,故按行求和相加结果为所有顶点度数和。每列和为2,按行求和相加结果为边数的两倍。显然,二者相等,即握手定理。

     

     

     

     

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  • 关联矩阵是用结点与支路的关系描述有向图的拓扑性质。一条支路连接某两个结点,则称该支路与这两个结点相关联。支路与结点的关联性质可以用关联矩阵描述。设有向图的结点数为 n,支路数为 b,且所有结点与支路均加以...


      这题首先要明白关联矩阵是怎么一回事。关联矩阵是用结点与支路的关系描述有向图的拓扑性质。一条支路连接某两个结点,则称该支路与这两个结点相关联。支路与结点的关联性质可以用关联矩阵描述。设有向图的结点数为 n,支路数为 b,且所有结点与支路均加以编号。于是,该有向图的关联矩阵为一个(n*b)阶的矩阵,用Aij 表示。它的每一行对应一个结点,每一列对应一条支路,它的任一元素 aij定义如下:

    1. a jk=1,表示支路k与节点j关联且它的方向背离结点.
    2. a jk=-1,表示支路k与节点j关联且它的方向指向结点.
    3. a jk=0,表示支路k与节点j无关联.
      eg: 如下图的关联矩阵
          

    代码如下:

    #include<iostream>
    using namespace std;
    int main(){
    	int n,m,a[1000],b[1000];
    	cin>>n>>m;
    	for(int i=0;i<m;i++){
    		cin>>a[i]>>b[i];
    	}
    	for(int j=0;j<n;j++){
    		for(int k=0;k<m;k++){
    			if(a[k]==j+1){
    				cout<<"1"<<" ";
    			}
    			else if(b[k]==j+1){
    				cout<<"-1"<<" ";
    			}
    			else cout<<"0"<<" ";
    		}
    		cout<<endl;
    	}
    	
    	return 0;
    }
    
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  • 目录前言关联矩阵(Incidence Matrix)拉普拉斯矩阵(Laplacian)参考文献 前言       本文介绍了一些图论的基础知识,包括图的关联矩阵、拉普拉斯矩阵,本文中某些图片或者知识的参考/来源已列于...

    前言

          本文介绍了一些图论的基础知识,包括图的关联矩阵、拉普拉斯矩阵,其中只考虑无自环的情况,本文中某些图片或者知识的参考/来源已列于本文最后。图、邻居、度矩阵、邻接矩阵参考另一篇博客https://blog.csdn.net/luzaijiaoxia0618/article/details/104718146

    关联矩阵(Incidence Matrix)

          关联矩阵是n×m的矩阵,n为顶点数量,m为边数量。
          对于有向图,关联矩阵如下,其中若顶点在边的起点,则 dij=1;若顶点在边的终点,则 dij=-1;其他 dij=0。
    在这里插入图片描述
          对于无向图,关联矩阵中,顶点只要在边上,则dij=1;其他 dij=0。

    有向图举例

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
         有向图关联矩阵特点:

    • 每一列只有两个非零元素,一个是+1,一个是-1,关联矩阵每一列元素之和为零。
    • 矩阵中任一行可以从其他 n-1 行中导出,即只有 n-1 行是独立的。

    无向图举例

    在这里插入图片描述
          无向图关联矩阵特点:

    • 因为每条边关联于两个顶点,所以关联矩阵每一列有且只有两个1
    • 关联矩阵的每一行种的所有元素之和对应于此行顶点的度
    • 若某一行所有的元素都为0,则此行对应的顶点为孤立点
    • 重边所对应的列元素完全相同

    拉普拉斯矩阵(Laplacian)

          拉普拉斯矩阵 = 度矩阵 - 邻接矩阵,其中有向图度矩阵根据应用情况使用出度矩阵或者入度矩阵。
    在这里插入图片描述

    举例说明

    在这里插入图片描述
    该无向图的度矩阵&邻接矩阵:
    在这里插入图片描述
    该无向图的拉普拉斯矩阵:
    在这里插入图片描述
          拉普拉斯矩阵性质:

    • 拉普拉斯矩阵是半正定矩阵;
    • 特征值中0出现的次数就是图连通区域的个数;
    • 最小特征值是0,对应的特征向量为全1列向量,因为拉普拉斯矩阵每一行的和均为0;
    • 每一行的行和为0;

    参考文献

    [1] Mesbahi M, Egerstedt M. Graph theoretic methods in multiagent networks[M]. Princeton University Press, 2010.
    [2] https://wenku.baidu.com/view/88172a8f09a1284ac850ad02de80d4d8d05a0158.html
    [3] https://wenku.baidu.com/view/9476691f2e60ddccda38376baf1ffc4ffe47e232.html

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  • 图论(4)邻接矩阵,关联矩阵

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  • 邻接矩阵与关联矩阵

    万次阅读 多人点赞 2017-02-18 19:53:03
    【邻接矩阵】 定义: 设无向图G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E),其中顶点集V=v1,v2,...,vnV=v1,v2,...,vnV={v_1,v_2,...,v_n},边集E=e1,e2,...,eεE=e1,e2,...,eεE={e_1,e_2,...,e_\varepsilon}。用aijaija_{ij}表示顶点...
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  • 此论文分析了伴随矩阵性质,有利于对伴随矩阵的总结学习。
  • 组合数学(2)——组合矩阵

    千次阅读 2019-10-20 14:48:32
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  • 矩阵 

    千次阅读 2009-06-02 09:30:00
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    千次阅读 2014-04-11 22:24:06
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  • 图论学习笔记——图的矩阵

    千次阅读 2020-05-06 15:26:58
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  • 矩阵树定理整理及总结

    千次阅读 2018-03-01 11:05:32
    注:本文章内容主要摘取自周冬的PPT。 解决问题:生成树计数。 图的关联矩阵 对于无向图G,我们定义它的关联矩阵B是一个n*m的矩阵,并且...图的关联矩阵有什么特殊的性质呢?我们不妨来考察一下B和它的转置矩阵B...
  • 数学-ML&DL中遇到的各种矩阵

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  • 正交矩阵

    千次阅读 2019-02-23 15:37:23
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  • 矩阵专题

    千次阅读 2015-03-13 14:18:12
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空空如也

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关联矩阵的性质