一、应用

灰色关联分析法通过研究数据关联性大小（母序列与特征序列之间的关联程度），通过关联度（即关联性大小）进行度量数据之间的关联程度，从而辅助决策的一种研究方法。

二、操作

SPSSAU操作

（1）点击SPSSAU综合评价里面的‘灰色关联分析’按钮。如下图

（2）拖拽数据后选择标准化方式最后点击开始分析

PS：若有需要拖拽数据时，不要忘记下方的参考值。

三、SPSSAU分析步骤

四、案例

背景

当前公司研究国内生产总值分别与第一产业，第二产业或者第三产业之间的灰色关联性情况，以研究出国内生产总值受哪个行业的影响更大。一共为2000~2005共6年的数据，国内生产总值为‘母序列’，第一产业，第二产业或者第三产业为‘特征序列’，本例子中已经确认好母序列和特征序列，并且准备好数据，标准化方式采用‘初值化’。部分数据如图所示：

五、分析

将数据放入分析框中，SPSSAU系统自动生成分析结果，如下：

计算公式

1.关联系数

（1）求初值化结果如下图所示：

简单来说就是一组数据中每个数据要除以第一个。例：2061/1988=1.037；以此类推。

（2）求差序列

结果如下：

（PS：简单来说对于初值化后的表格第一列减第二列对应的数，第一列减第三列对应的数，以此类推，注意绝对值）

（3）求两极差

（4）求关联系数

一般取分辨系数  ，代入计算，最终得到关联系数结果。

2.关联度

例： 

六、总结

  结合上述关联系数结果进行加权处理，最终得出关联度值，使用关联度值针对6个评价对象进行评价排序；
  关联度值介于0~1之间，该值越大代表其与“参考值”（母序列）之间的相关性越强，也即意味着其评价越高。从上表可以看出：针对本次3个评价项，第三产业的综合评价最高（关联度为：0.830），其次是第二产业（关联度为：0.731）。

01 二次函数、二次方程式、二次不等式

二次函数

二次方程式

ax2+bx+c=0 这是二次方程式的一般式。“y=0”在坐标图上则代表x轴本身。即将y=0代入二次方程式所得到的两个解，就是二次函数的图像与x轴的交点（x坐标）。

二项不等式

02 点位图

• 要抓住两个变量之间的倾向特征，就必须要用到别的图表，这就是点位图（又称散布图）。
• 将双变量数据加以整理并做成点位图后，可以得出两个变量（大致的）相关关系的有无与强弱。

• 关于相关关系的注意点
  （1）得到的倾向特征，并非是其一般特征。
  （2）就算有相关关系，也不代表有因果关系。

03 相关系数

• 统计学中出现了专门表示相关关系的正负与强弱的数值，这就是相关系数。

标准差

协方差

相关系数

• 相关系数r的范围是 -1 ≤ r ≤ 1 。

• 从r的值判断相关关系的强弱时，一般按照以下的标准：
  

直观理解相关系数：解释相关系数为什么能度量变量的相关性；

• 数据大多分布于①与③象限（呈正相关）时，协方差为正；反之，数据大多分布于②与④象限（呈负相关）时，协方差为负。还有，数据在①～④象限内普遍分布（无相关性）时，正负值相互抵消，c_xy接近于0。

• “不对吧，随着c_xy 变大，分母的 s_x与s_y 也可能变大不是吗？”在这里，我们保持x与y的标准差s_x与s_y不变（即保持x与y各自的离散程度不变），来看一下是否会让c_xy的值做出变化。

x与y的离散程度在相同的情况下：

• 大家是否看出，这三个点位图中，各点到x轴与y轴垂线的垂足都没有变化过。也就是说，这三个点位图中，x与y的数据分散性都是相同的（s_x及s_y是固定的）。但是这三个点位图却完全不同。
• 即使相关系数的分母 s_x·s_y 大小不变，分子c_xy 的值也会随着x与y之间的相关性而变化。

利用灰色关联度对 10 个学生进行评价排序。

灰色关联度分析具体步骤如下：

1.  确定比较对象（评价对象）和参考数列（评价标准）

 这里评价对象的个数为 m = 10 , 评价指标变量有 8 个

比较数列为    这里  是第 i 个评价对象关于第 k 个指标变量   的取值 。

参考数列为   , 这里  = 100 ,  。参考数列是一个最好评价对象的各指标中值。

2．对指标数据进行无量纲化(归一化处理)

由于系统中各因素的物理意义不同，导致数据的量纲也不一定相同，不便于比较，或在比较时难以得到正确的结论。因此在进行灰色关联度分析时，一般都要进行无量纲化的数据处理。

3．逐个计算每个被评价对象指标序列（比较序列）与参考序列对应元素的绝对差值

 即        

 4.  计算灰色关联系数

图片是引用其他地方,  就是  。

为比较数列  对参考数列  在 第 k 个指标上的关联系数,其中   为分辨系数,  ,  分别为两级最小极差  , 两级最大极差 。

一般来讲，分辨系数  越大，分辨率越大； 越小，分辨率越小。

5.  计算灰色关联度

灰色关联度的计算公式为 

其中  为第 k 个指标变量  的权重, 这里取等权重 即 1/m = 1/8 。  为第 i 个评价对象对理想对象的灰色关联度。

6.  评价分析

根据灰色关联度的大小，对各评价对象进行排序，可建立评价对象的关联序，关联度越大其评价结果越好 。

clc, clear
 4
a=textread('data101.txt');
t=ones(size(a))*100-a; %计算参考序列与每个序列的差
mmin=min(min(t)); %计算最小差
mmax=max(max(t)); %计算最大差
rho=0.5; %分辨系数
xs=(mmin+rho*mmax)./(t+rho*mmax) %计算灰色关联系数
gd=mean(xs,2) %取等权重，计算关联度
[sgd,ind2]=sort(gd,'descend') %对关联度按照从大到小排序
xlswrite('data103.xls',[xs,gd]) %把关联系数和关联度写到 Excel 文件中，便于做表

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

a = pd.read_excel("data1.xlsx").values[:,1:]
# print(a,type(a))
m,n = a.shape
t = np.ones((m,n))*100 - a # 计算差值
print(t)
mmin = min(np.min(t,axis=0)) #计算最小差
mmax = max(np.max(t,axis=0)) #计算最大差
print(mmin ,mmax)
rho = 0.5  # 分辨系数
xs = (mmin + rho*mmax) /(t+rho*mmax)
print(xs)
gd = np.mean(xs,axis=1)
print("gd")
gd.resize((gd.shape[0],1))
# print(gd.shape)
# print(xs.shape)

result = np.hstack((xs,gd))
print(gd)
# 从 0 开始的
print(gd.argsort(axis=0)) # 从小到大
df = pd.DataFrame(result)

df.to_excel('result.xlsx',sheet_name='表1')
print("写入完成")