关系数据模型
 
关系数据模型
 
关系模型由关系模型的数据结构、关系模型的操作集合和关系模型的完整性约束三部分组成，这三部分也称为关系模型的三要素。
 
数据结构
 
关系数据模型源于数学，它用二维表来组织数据，而这个二维表在关系数据库中称为关系。关系数据库就是表或者说是关系的集合。
 
数据操作
 
关系数据模型给出了关系操作的能力，包括。
 
传统的运算关系：并（union）、交（intersection）、差（difference）、广义迪卡尔积（extended cartesian product）。
专门的关系运算：选择（select）、投影（project）、连接（join）、除（divide）。
有关的数据操作：查询（query）、插入（insert）、删除（delete）、更改（update）。
 
关系模型中的操作对象是集合（或表），而不是单个数据行，也就是说，关系模型中操作的数据以及操作的结果都是完整的集合（或表），这些集合可以只包含一行数据，也可以不包含任何数据。
 
完整性约束
 
在数据库中数据的完整性是指保证数据正确的特征，数据完整性是一种语义概念，它包括两个方面：
 
与现实世界中应用需求的数据的相容性和正确性。
数据库内数据之间的相容性和正确性。
 
完整性约束在关系型数据库中一般分为三类，实体完整性（主键）、参照完整性（外建）、用户定义完整性。
 
关系型数据库的基本术语
 
基本术语
 
 
关系（表）
 
通俗地讲，**关系（relation）**就是二维表，二维表的名字就是关系的名字。
 
 
属性（列）
 
二维表中的每一个称为属性（attribute），没一个属性有一个名字，称为属性名。n列就是n元。
 
 
值域（取值范围）
 
二维表中属性的范围称为值域（domain）。如性别只能‘男’或‘女’。
 
 
元组（行）
 
二维表中的一行数据称为一个元组（tuple）。
 
 
分量（元组中每个属性的值）
 
元组中的没一个属性值称为元组的一个分量（component），n元关系的每个元组有n个分量。
 
 
关系模式（表结构、表头）
 
二维表的结构称为关系模式（relation schema），或者说关系模式就是二维表的表框架或表头结构。设有关系名R，属性分别是a、b、c、d，则关系模式可以表示为：R(a,b,c,d)。如果将关系模式理解为数据类型，则关系就是该数据类型的一个具体值。
 
 
关系数据库
 
对应于一个关系模型的所有关系的集合称为关系数据库（relation database）。
 
 
候选键
 
如果一个属性或属性集（可以有多个候选键）的值能够唯一标识一个关系的一个元组而又不包含多余的属性，则称该属性或属性集为候选键（candidate key），如学号、身份证。候选键又称为候选关键字或候选码。
 
 
主键
 
当一个关系中有多个候选键时，可以从中选择一个作为主键（primary key）。每个关系只能有一个主键。主键也称为主码或关键字，是表中的属性或属性组，用于唯一地确定一个元组。
 
 
主属性与非主属性
 
包含在任意候选键中的属性称为主属性（primary attribute）；不包含任一候选键的属性为非主属性（nonprimary attribute）。
 
 
术语对比表：
 
关系术语
一般的表格属于
关系名
表名
关系模式
表头（表中所含列的描述）
关系
（一张）二维表
元组
记录或行
属性
列
分量
一条记录中的某个列的值
对关系的限定
 
关系可以看成二维表，但并不是所有二维表都是关系。关系数据库对关系有一些限定，如：
 
关系中的每个分量都必须是不可再分的最小数据。
表中列的数据类型是固定的，即列中的内一个分量都是相同类型的数据，来自相同的值域。
不同列的数据可以取自相同的值域，每个列称为一个属性，每个属性有不同的属性名。
关系表中列的顺序不重要，即列的次序可以任意交换，不影响其表达的语义。
行的顺序也不重要，交换行数据的顺序也不影响其内容。
同一个关系中的元组不能重复，即在一个关系中，不能有两个元组的值完全相同相同。
 
关系代数
 
关系代数是关系操作语言的一种传统的表示方式，它是一种抽象的查询语言，是一种单次关系（或者说是集合）语言。包括运算对象、运算符和运算结果。
 
关系代数可分为两大类：
 
传统集合运算：这类运算完全把关系看作元组的集合，包括广义迪卡尔积运算、并运算、交运算、差运算。
专门的关系运算：这类关系除了把关系看作元组的集合以外，还通过运算表达了查询的要求，包括选择、投影、连接、除运算。
 
传统关系运算
 
 
并运算
 
设关系R与S均是n目关系，关系R与S的并记为：
 

      
       
        
         
          R
         
         
          ∪
         
         
          S
         
         
          =
         
         
          {
         
         
          t
         
         
          ∣
         
         
          t
         
         
          ∈
         
         
          R
         
         
          ∨
         
         
          t
         
         
          ∈
         
         
          S
         
         
          }
         
        
        
         R \cup S = \{t|t \in R \lor t\in S\}
        
       
      R∪S={t∣t∈R∨t∈S}
 
其结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。
 
 
交运算
 
设关系R与S均为n目关系，关系R与S的交记为：
 

      
       
        
         
          R
         
         
          ∩
         
         
          S
         
         
          =
         
         
          {
         
         
          t
         
         
          ∣
         
         
          t
         
         
          ∈
         
         
          R
         
         
          ∧
         
         
          t
         
         
          ∈
         
         
          S
         
         
          }
         
        
        
         R \cap S = \{ t| t\in R \land t \in S \}
        
       
      R∩S={t∣t∈R∧t∈S}
 
其结果仍是n目关系，由属于R也属于S的元组组成。
 
 
差运算
 
设关系R与S均为n目关系，关系R与S的差运算记为：
 

      
       
        
         
          R
         
         
          −
         
         
          S
         
         
          =
         
         
          {
         
         
          t
         
         
          ∣
         
         
          t
         
         
          ∈
         
         
          R
         
         
          ∧
         
         
          t
         
         
          ∉
         
         
          S
         
         
          }
         
        
        
         R-S = \{t| t\in R \land t \notin S\}
        
       
      R−S={t∣t∈R∧t∈/​S}
 
其结果仍是n目关系，由属于R且不属于S的元组组成。
 
 
广义迪卡尔积
 
广义迪卡尔积不要求参加运算的两个关系具有相同的目数。
 
两个分别为m目和n目的关系R和S的广义迪卡尔积是一个有 m+n 个列的元组的集合。元组的前m列是关系R的一个元组，后n个是关系S的一个元组。若R有K1个元组，S有K2个元组，则R和S的广义迪卡尔积有 K1*K2个元组，记为：
 

      
       
        
         
          R
         
         
          ×
         
         
          S
         
         
          =
         
         
          {
         
         
          
           
            
             t
            
            
             r
            
           
           
            
             t
            
            
             s
            
           
          
          
           ^
          
         
         
          ∣
         
         
          
           t
          
          
           r
          
         
         
          ∈
         
         
          R
         
         
          ∧
         
         
          
           t
          
          
           s
          
         
         
          ∈
         
         
          S
         
         
          }
         
        
        
         R \times S = \{ \hat{t_r t_s} | t_r \in R \land t_s \in S \}
        
       
      R×S={tr​ts​^​∣tr​∈R∧ts​∈S}
 
其中，$\widehat{t_r{t}_s}$表示有两个元组前后有序连接成的一个元组。
 
 
专门的关系运算
 
 
选择
 
选择是指从指定的关系中选出满足给定条件的元组而组成的一个新的关系。表示为：
 
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 28: …= \{t | t\in R \̲a̲n̲d̲ ̲F(t)= true\}
 
其中 $\sigma$ 是选择运算符，R是关系名，t是元组，F是逻辑表达式。
 
如：${\sigma }_{Sdept{=}^{\prime }计算{机}^{\prime }}(Student)$
 
 
投影
 
投影运算是从关系R中选取若干列，并用这些属性组成一个新的关系。表示为：
 
${\prod }_A(R)=t.A|t\in R$
 
其中， $\prod$是投影运算符，R是关系名，A是被投影的属性或属性组。t.A 表示t这个元组中相应于属性A的分量，也可以表示为t[A]。
 
投影运算一般由两步完成：
 
  
选出指定的属性，形成一个可能含有重复行的新关系。
删除重复行，形成结果关系。
 
如：${\prod }_{Sname,Sdept}(Student)$
 
 
连接
 
连接运算用来连接相互之间有联系的两个关系，从而产生一个新关系。这个过程通过连接属性来实现。连接运算主要有一下几种：
 
  
 
$\theta$ 连接（$\theta$ 是比较运算符）
 
表示为
        
         
          
           
            {
           
           
            
             
              
               t
              
              
               r
              
             
             
              
               t
              
              
               s
              
             
            
            
             ^
            
           
           
            ∣
           
           
            
             t
            
            
             r
            
           
           
            ∈
           
           
            R
           
           
            ∧
           
           
            
             t
            
            
             r
            
           
           
            ∈
           
           
            S
           
           
            ∧
           
           
            
             t
            
            
             r
            
           
           
            [
           
           
            A
           
           
            ]
           
           
            θ
           
           
            
             t
            
            
             s
            
           
           
            [
           
           
            B
           
           
            ]
           
           
            }
           
          
          
           \{\hat{t_r t_s}|t_r \in R \land t_r \in S \land t_r[A] \theta t_s[B]\}
          
         
        {tr​ts​^​∣tr​∈R∧tr​∈S∧tr​[A]θts​[B]}
 
其中A和B分别是关系R和S上语义相同的属性或属性组，$\theta $是比较运算符
 
 
等值连接（$\theta$ 连接的特例）
 
与$\theta$连接一致，是当$\theta$为=时的情况
 
 
自然连接
 
自然连接是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性或属性组，并且在连接结果中去掉重复的列，使公共属性列只保留一个。
 
自然连接与等值连接的区别：
 
    
自然连接要求相等的分量必须有共同的属性名，等值连接则不要求
自然连接要求吧重复的属性名去掉，等值连接不要求
 
 
外部连接
 
如果希望不满足连接条件的元组也出现在连接结果中，则可以通过外连接（outer join）操作实现。外连接有三种形式：左外连接、右外连接、全外连接。含义是将指定一边（如左连接就是左边的关系）中不满足的元组也保留到连接后的结果中，并在结果中将另一关系各属性置为空（NULL）值。
 
 
半连接
 
 
 
除
 
  
 
除法的描述：
 
设关系S的属性是关系R的属性的一部分，则$R÷S$为这样一个关系：
 
此关系的属性是由属于R但不属于S的所有属性组成$R \div S $ 的任一元组都是R中某元组的一部分。但必须符合下列要求，即任取属于 $R \div S $ 的一个元组 t，则t与S任一元组连接后，都为 R 中原有的元组。
 
 
除法的一般形式
 
设关系R(X,Y)和S(Y,Z)，其中X、Y、Z为关系的属性组，则：
 
$R(X,Y)÷S(Y,Z)=R(X,Y)÷{\prod }_Y(S)$
 
 

一、关系模型简述
 
1.1 关系模型的提出
 
最早由E.F.Codd在1970年提出
是从表(Table)及表的处理方式中抽象出来的，是在对传统表及其操作进行数学化严格定义基础上，引入集合理论与逻辑学理论提出的
是数据库的三大经典数据模型之一，也是现在大多数商品化数据库系统所仍然使用的数据模型
标准的数据库语言(SQL语言)是建立在关系模型基础之上的，数据库领域的众多理论也是建立在关系模型基础之上的
1.2 关系模型研究什么
 
形象的说，一个关系(relation)就是一个Table
关系模型就是处理Table的，它由三个部分组成 
  
描述DB各种数据的基本结构形式(Table/Relation)
描述Table与Table之间所可能发生的各种操作（关系运算）
描述这些操作所应遵守的约束条件（完整性约束）
 
1.3 关系模型的三要素
 
基本结构：Relation/Table
基本操作：Relation Operator 
  
υ(并, UNION)、-(差, DIFFERENCE)、×(广义积, PRODUCT)、σ(选择, SELECTION)、∏(投影, PROJECTION)
∩(交, INTERSECTION)、⋈(连接, JOIN)、÷(除, DIVISION)运算
完整性约束：实体完整性，参照完整性和用户自定义完整性
1.4 关系模型与数据库语言的关系
 
关系运算：关系代数和关系演算；关系演算：元组演算和域演算。
关系代数示例：基于集合的运算 
  
即：操作的对象及结果都是集合，是一次一集合（Set-at-a-time）的操作。而非关系型的数据操作通常是一次一记录（Record-at-a-time）的操作
 
基于关系代数设计的数据库语言（ISBL）：用计算机可识别的符号表征关系代数的运算符号
 
元组演算示例：基于逻辑的运算
 
基于关系元组演算设计的数据库语言(Ingres系统的QUEL)：用计算机可识别的符号表征元组演算的运算符号
range of t is R
range of u is W retrieve t
where t.sage < u.sage
 
域演算示例：基于示例的运算
 
基于域演算设计的数据库语言示例：QBE（Query By Example）
 
1.5 为什么要学习关系模型与关系数据库语言
 
 
二、什么是关系
 
2.1 “表”的基本构成要素
 
 
2.2 “表”的严格定义--关系
 
2.2.1 定义“列”的取值范围“域(Domain)”
 
域（Domain） 
  
一组值的集合，这组值具有相同的数据类型 
    
如整数的集合、字符串的集合、全体学生的集合
再如，由8位数字组成的数字串的集合，由0到100组成的整数集合
集合中元素的个数称为域的基数(Cardinality)
 
2.2.2 "元组"及所有可能组合成的元组：笛卡尔积
 
笛卡尔积（Cartesian Product） 
  
一组域的笛卡尔积为：
笛卡尔积的每个元素称作一个n-元组（n-tuple）
元组的的每一个值叫做一个分量（component）
元组是从每一个域任取一个值所形成的一种组合，笛卡尔积是所有这种可能组合的集合，即：笛卡尔积是由n个域形成的所有可能的n-元组的集合
若的基数是，则笛卡尔积的基数，即元组的个数为
 
2.2.3 关系
 
一组域的笛卡尔积的子集
笛卡尔积中具有某一方面意义的那些元素元组被称作一个关系（Relation）
由于关系的不同列可能来自同一个域，为了区分，需要为每一个列起一个名字，该名字即为属性名
关系可用表示，可简记为，这种描述又被称为关系模式（Schema）或者标题（head）
R是关系的名字，是属性，是属性所对应的域，n是关系的度或目(degree)，关系中的元组数目称为关系的基数(Cardinality)
关系模式中属性向域的映像在很多DBMS中一般直接说明为属性的类型，长度等
 
2.2.4 关系模式与关系
 
同一关系模式下，可有很多的关系
关系模式是关系的结构，关系是关系模式在某一时刻的数据
关系模式是稳定的；而关系是某一时刻的值，是随时间可能变化的
 
2.3 关系的特性
 
列是同质：即每一列中的分量来自同一域，是同一数据类型
 
不同的列可来自同一个域，称其中的每一个列为一个属性，不同的属性要给予不同的属性名 
  
关系模式中，必须是不同的，而可以是相同的
例如：我们定义一个域为Person=所有男人、女人和儿童的集合={李基，张 鹏，王芳，刘玉，李健，张睿，张峰}，则下述“家庭”关系的三个列将来自同一个域Person，因此需要不同的属性名“丈夫”“妻子”“子女”以示区分
 
列位置互换性：区分哪一列是靠列名
行位置互换性：区分哪一行是靠某一列或某几列的值（关键字/键字/码字）
关系是以内容（名字或值）来区分的，而不是属性在关系的位置来区分
如下面两个关系是完全相同的关系
 
理论上，关系的任意两个元组不能完全相同。（集合要求：集合内不能有两个相同的元素）；现实应用中，表(Table)可能并不完全遵守此特性
元组相同是指两个元组的每个分量都相同
 
属性不可再分特性：又称为关系第一范式
 
2.4 关系上的一些重要概念
 
2.4.1 候选码/候选键
 
关系中的一个属性组，其值能唯一表示一个元组，若从该属性组中去掉任何一个属性，它就不具有这一性质了，这样的属性组称作候选码。 
  
例如：“学生(S#, Sname, Sage, Sclass)”，S#就是一个候选码，在此 关系中，任何两个元组的S#是一定不同的，而这两个元组的Sname, Sage, Sclass都可能相同(同名、同龄、同班)，所以S#是候选码。
在例如：“选课(S#, C#, Sname, Cname, Grade)”，(S#,C#)联合起来是一 个候选码
有时，关系中有很多组候选码 
  
例如：学生(S#, Sname, Sage, Sclass, Saddress)，其中属性S#是候选码，属性组(Sname, Saddress)也是候选码(同名同地 址的两个同学是不存在的)
在例如：Employee(EmpID, EmpName, Mobile)，每一雇员有唯一的EmpID, 没有两个雇员有相同的手机号Mobile, 则 EmpID是候选码，Mobile也是候选码
2.4.2 主码(Primary Key)/主键
 
当有多个候选码时，可以选定一个作为主码
DBMS以主码为主要线索管理关系中的各个元组
例如：可选定属性S#作为“学生”表的主码，也可以选定属性组(Sname, Saddress)作为“学生”表的主码。选定EmpID为Employee的主码。
2.4.3 主属性与非主属性
 
包含在任何一个候选码中的属性被称为主属性，而其他属性被称作非主属性 
  
例如：“选课”中的S# , C#为主属性，而Sname, Cname, Grade则为非主属性；
最简单的，候选码只包含一个属性
最极端的，所有属性构成这个关系的候选码，称为全码(All-Key) 
  
比如：关系“教师授课”(T#,C#)中的候选码(T#,C#)就是全码
2.4.4 外码/外键
 
关系R中的一个属性组，它不是R的候选码，但它与另一个关系S的候选码相对应，则称这个属性组为R的外码或外键 
  
例如：“合同”关系中的客户号不是候选码，但却是外码。因它与“客户”关 系中的候选码“客户号” 相对应。
两个关系通常是靠外码连接起来的
 
三、关系模型中的完整性
 
3.1 实体完整性
 
关系的主码中的属性值不能为空值
空值：不知道或无意义的值
意义：关系中的元组对应到现实世界互相之间可区分的一个个个体，这些个体是通过主码来唯一标识的；若主码为空，则出现不可标识的个体，这是不容许的。
 
3.2 空值及其含义
 
空值的含义 
  
空值：不知道、不存在或无意义的值
在进行关系操作时，有时关系中的某属性值在当前是填不上的，比如档案中有“生日不详”、“下落不明”、“日程尚待公布”等，这时就需要 空值来代表这种情况。关系模型中用‘?’表征
数据库中有了空值，会影响许多方面，如影响聚集函数运算的正确性，不能参加算术、比较逻辑运算等
例如：“3 + ?”结果是多少呢? “3 * ?”结果是多少呢? “? and (A=A)”结果又是多少呢?
再例如：一个班有30名同学，如所有同学都有成绩，则可求出平均 成绩;如果有一个同学没有成绩，怎样参与平均成绩的计算呢，是当作 0，还是当作100呢?还是不考虑他呢?
有空值的时候是需要特殊处理的，要特注意
3.3 参照完整性
 
如果关系R1的外码Fk与关系R2的主码Pk相对应，则R1中的每一个元组的Fk值或者等于R2中某个元组的Pk值，或者为空值
意义：如果关系R1的某个元组t1参照了关系R2的某个元组t2，则t2必须存在
例如关系Student在D#上的取值有两种可能 
  
空值，表示该学生尚未被分到任何系中
若非空值，则必须是Dept关系中某个元组的D#值，表示该学生不可能分到一个不存在的系中
 
3.4 用户自定义完整性
 
用户针对具体的应用环境定义的完整性约束条件 
  
例如：S#要求是10位整数，其中前四位为年度，当前年度与他们的 差必须在4以内
再例如：
 
3.5 DBMS对关系完整性的支持
 
实体完整性和参照完整性由DBMS系统自动支持
DBMS系统通常提供了如下机制： 
  
它使用户可以自行定义有关的完整性约束条件
当有更新操作发生时，DBMS将自动按照完整性约束条件检验更新操作的正确性，即是否符合用户自定义的完整性

0.什么是关系模型？
 
1.关系模型以表为基本结构
2.包括了基本的操作：并，差，广义积，选择，投影 以及拓展的操作：交，连接，除
3.还有完整性约束：实体完整性，参照完整性，用户自定义完整性。
 
1.什么是关系？什么是表？
 
关系是所有域的笛卡尔积的子集，关系是严格的数学定义，是一个集合，不允许有相同的元组出现。
表是现代数据库依照关系的理论基础，它允许有相同的记录。
 
2.关系模型有哪些操作？
 
基本的操作：并，差，广义积，选择，投影
拓展的操作：交，连接，除
 
3.关系模型的完整性有哪些？
 
实体完整性（主键不能为空）    #针对主键
参照完整性（外键可以为空，但是必须存在与它所在主键的表中）   #针对外键
用户自定义完整性（例如 性别只能是男或者女而不能是其他，由用户自己定义）
 
4.什么是候选键(码)？
 
可以唯一标识任意一行的属性。关系中的一个属性组，其值能够唯一标识一个元组。
 
5.什么是主键？什么是主属性？
 
选择一个候选键作为主键。（数据库常以主码为线索管理）
主属性是候选键中的任一属性。其他属性则为非主属性。
 
6.什么是外键？
 
关系R中的一个属性组，***他不是R的候选码***，但它**是与另一个关系S的候选键码相对应**

关系模型基本操作
 
关系模型的五种基本操作：选择，投影，并，差，笛卡尔积，其他操作都可以用这五种基本操作定义和导出。
关系操作的特点是集合操作方式，即操作的对象和结果都是集合
传统集合运算（以下R，S表示关系）
 
并（U）：R U S 表示R 中的行加上S中的行组成的新集合，并且加的过程中剔除与R中重复的行
差（—）：R — S 表示把R中同时也属性S的行剔除掉，剩下的行组成的集合即为差。即R中的行可以分为两部分：只属于R不属性S的行 和 属于R同时又属于S的行，属于R同时又属于S的行即它们的交（∩）
笛卡尔积（X）：
 
 
交（∩）：R ∩ S = R — （R — S）
 
专门的关系运算：
 
 
**选择：**从关系中选出满足条件的行
 
 
投影： 从关系中选出若干属性列组成新的关系，投影不仅取消了原关系中的属性列，还可能取消某些行，因为取消某些列后，就可能出现重复的行，要取消这些重复的行
 
 
**连接：**从两个关系的笛卡尔积中选出满足条件的行
 
  
按条件的不同可以分为等值和非等值连接
在等值连接中，若进行比较的分量是同名的属性组，并且在结果中把重复的属性列去掉，则为自然连接
外连接
 
 
除运算