定义1：设K为R<U,F>中的属性或属性组合，若U对K完全函数依赖，则K为R的候选码。

定义2：关系模式R中属性或属性组X并非R的码，但X是另一个关系模式的码，则称X是R的外部码，也称外码。

注意：U是完全函数依赖于K，而不是部分函数依赖于K

一般地，如果U函数依赖于K，即K->U，则K称为超码。候选码是一类特殊的超码，即候选码的超集一定是超码，候选码的任何真子集一定不是超码。

若候选码多于一个，则选定其中的一个为主码。包含在任何一个候选码中的属性称为主属性；不包含在任何候选码中的属性称为非主属性或非码属性。最简单的情况，单个属性是码；最极端的情况，整个属性组是码，称为全码。

定义3：关系数据库中的关系是要满足一定要求的，满足不同程度要求的为不同范式，满足最低要求的叫第一范式，简称1NF。

定义4：若R∈1NF，且每一个非主属性完全函数依赖于任何一个候选码，则称R∈2NF。

所有单关键字的数据库表都符合2NF，因为不可能存在组合关键字，也就不可能存在非主属性部分依赖于主关键字。

例如：S-L-C（Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade）,其中Sloc为学生的住处，并且每个系的学生住在同一个地方。

S-L-C的码为（Sno，Cno），则函数依赖有：

（Sno，Cno）->Grade （完全依赖）

Sno->Sdept          ，（Sno，Cno）->Sdept（部分依赖）

Sno->Sloc             ，（Sno，Cno）->Sloc（部分依赖）

Sdept->Sloc

由于非主属性Sdept，Sloc并不完全函数依赖于码，因此不符合2NF

一个关系模式R不属于2NF，就会产生以下几个问题：

1.插入异常            2.删除异常             3.修改复杂

定义3：设关系模式R<U，F>∈1NF，若R中不存在这样的码X，属性组Y及非主属性Z（Z不属于Y）使得X->Y，Y->Z成立，X不依赖于Y，则称R<U，F>∈3NF。

由定义可知，若R∈3NF，则每个非主属性既不传递依赖于码，也不部分依赖于码。也就是说，可以证明如果R∈3NF，则必属于2NF

例如：SC（Sno，Cno，Grade）   S-L（Sno，Sdept，Sloc），关系模式SC没有传递依赖，而S-L存在非主属性对码的传递依赖。

在S-L中，由Sno->Sdept，Sdept->Sloc，可得Sno->Sloc（传递），因此S-L不属于3NF，SC∈3NF

一个关系模式R若不是3NF，就会产生2NF类似问题。

定义4：关系模式R<U，F>∈1NF，若X->Y且Y不属于X时，X必含有码，则R<U，F>∈BCNF。

也就是说，关系模式R<U,F>中，若每一个决定因素都包含码，则R<U,F>∈BCNF。

一个满足BCNF的关系模式有：

（1）所有非主属性对每一个码都是完全函数依赖。

（2）所有主属性对每一个不包含它的码也是完全函数依赖。

（3）没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性。

          由于R∈BCNF，按定义排除了任何属性对码的传递依赖与部分依赖，所以R∈3NF。但是若R∈3NF，R未必属于BCNF。

          3NF和BCNF是在函数依赖的条件下对模式分解所能达到的分离程度的测度。一个模式中的关系模式如果都能属于BCNF，那么在函数依赖范畴内它已经实现了彻底的分离，已消除插入和删除异常。

相关概念：
非主属性：不包含在任何一个候选码中的属性。
第一范式（1NF）：无重复的列。第一范式是关系模式的基本要求。
第二范式（2NF）：在满足第一范式的前提下，非主属性非部分依赖于主关键字。要求实体的属性完全依赖于主关键字。所谓完全依赖是指不能存在仅依赖主关键字一部分的属性。
第三范式（3NF）：在满足第二范式的基础上，要求一个数据库表中不包含已在其它表中已包含的非主关键字信息，即：属性不依赖于其它非主属性。 不存在非关键字的传递关系。

例如1：假定选课关系表为SelectCourse(学号，姓名，年龄，课程名称，成绩，学分)，关键字为组合关键字(学号，课程名称)，因为存在如下决定关系：
(学号，课程名称) → (姓名，年龄，成绩，学分)
这个数据库表不满足第二范式，因为存在如下决定关系：
(课程名称) → (学分)
(学号) → (姓名，年龄)
即存在组合关键字中的字段决定非关键字的情况。

例如2：假定学生关系表为Student(学号，姓名，年龄，所在学院，学院地点，学院电话)，关键字为单一关键字"学号"，因为存在如下决定关系：
(学号) → (姓名，年龄，所在学院，学院地点，学院电话)
这个数据库是符合2NF的，但是不符合3NF，因为存在如下决定关系：
(学号) → (所在学院) → (学院地点，学院电话)
即存在非关键字段"学院地点"、"学院电话"对关键字段"学号"的传递函数依赖。

附：主键和外键
1.主键是能确定一条记录的唯一标识，比如，一条记录包括身份正号，姓名，年龄。

身份证号是唯一能确定你这个人的，其他都可能有重复，所以，身份证号是主键。
2.外键用于与另一张表的关联。是能确定另一张表记录的字段，用于保持数据的一致性。

比如，A表中的一个字段，是B表的主键，那他就可以是A表的外键。

候选码（Candidate Key）或候选键
如果在一个关系中，存在多个属性（或属性组合）都能用来惟一标识该关系的元组，这些属性
（或属性组合）都称为该关系的候选码或候选键。
例如，在学生登记表关系中，如果姓名不允许重名时，学号和姓名都是候选码。
主码（Primary Key）或主键
在一个关系的若干个候选码中指定一个用来惟一标识该关系的候选码称为该关系的主码或主
键。
例如，在学生登记表关系中，学号一般都是惟一的，如果姓名不允许重名时，存在两个候选
码：学号和姓名，若选中学号作为惟一标识，那么，学号就是学生登记表关系的主码或主键。

对于给定的关系模式R（A，A1，A2，…，An）和函数依赖集F，可以把属性分为以下四类

• L类：仅出现在F中的函数依赖左边的左部属性
• R类：仅出现在F的函数依赖右边右部属性
• N类：在F的函数依赖左右边均未出现的属性
• LR类：在F的函数依赖左右两边均出现的属性

对于给定的关系模式R及其函数依赖集F，有以下结论

• 若X（X ∈ R）是L类属性，则X必为R的任一候选码的成员
• 若X（X ∈ R）是L类属性，且X⁺包含了R的全部属性，则X必为R的唯一候选码
• 若X（X ∈ R）是R类属性，则X不在任何候选码中
• 若X（X ∈ R）是N类属性，则X必为R的任一候选码成员
• 若X（X ∈ R）是R的N类和L类属性组成的属性集，且X⁺包含了R的全部属性，则X是R的唯一候选码
• 若X（X ∈ R）是LR类属性属性，则X可能为R的任一候选码的成员，也可能不为R的任一候选码成员

上面的内容过了一遍后，我们来用例子讲解

关系模式R(A,B,C,D,E)，函数依赖F(A→D,E→D,D→B,BC→D,CD→A)，求R的候选码

1. 首先把属性分类

由函数依赖F知：
	L类的属性有C、E；
	R类的属性没有；
	N类的属性没有；
	LR类的属性有：A、B、D。

2. 设X代表L、N类属性，Y代表LR类属性

令{C,E} ∈ X，{A、B、D} ∈ Y

3. 求X⁺

因为C→∅，所以C⁺ = ∅

因为E → D，所以E⁺ = {DE}；又因为D→B，所以 E⁺ = {BDE}

因为E → D，所以(CE)⁺= {CDE}；又因为D→B，所以 (CE)⁺ = {BCDE}；又因为CD → A，所以(CE)⁺ = {ABCDE}

故CE为R的唯一候选码

注意：如果X⁺中没有R的全部属性，即从Y中拿出一个属性来和X中的属性组合

假设上面X⁺中没有R的全部属性，即从Y中拿出属性A

因为C→∅，所以(AC)⁺ = ∅，所以AC不是R的候选码
因为E → D，所以(AE)⁺ = {ADE}；又因为D→B，所以 (AE)⁺ = {ABDE}，所以AE不是R的候选码
然后求(ACE)⁺，如果ACE不是候选码，就重新从Y中选择一个属性组成BC、BE、BCE，依次类推

如果拿Y中的一个属性求不出候选码，就拿Y中的两个属性组合求

关系模式R（A，B，C，D，E，F），其函数依赖集F={AB→E，AC→F，AD→B，B→C，C→D}

• L类属性：A
• R类属性：E、F
• LR类属性：B、C、D
• 令L类属性的元素为X，LR类的为Y
• X⁺ = A（A⁺ = A）
• 从Y中取出一个元素B，与X结合得，(AB)⁺ = ABCDEF
• 从Y中取出一个元素C，与X结合得，(AC)⁺ = ABCDEF
• 从Y中取出一个元素D，与X结合得，(AD)⁺ = ABCDEF

故关系模式的候选码有：AB、AC、AD

注：A单独推导不出其它元素，因为函数依赖集中，没有A → ？，只有
A？→ 元素

哦对了，关系模式R的候选码可以多个

欢迎大家关注下个人的「公众号」：独醉贪欢
后台回复「无脑死磕数据库原理」即可获得练习题