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  • 概率论:随机事件,事件间的关系与运算
    千次阅读
    2019-11-21 09:35:03
    比如随机事件的概念,这绝对不会考的
    如果考了,就表明鼓励研究生积极去背,是不好的
    自己看
    
    ///////////////////
    
    随机试验 定义123	 硬币,骰子
    
    随机事件 样本空间,样本点,样本空间的子集称为随机事件 
    
    事件关系与运算
    定义,记号,集合,图形
    包含:A发生导致B一定发生
    相等
    交
    互斥 AB=空 AA=A
    并 
    A-B=A非B
    
    做概率题一定要学会翻译
    
    事件运算的规律
    交换律
    结合律 针对同一个运算,要么全交,要么全并
    分配律 针对两个不同的运算
    对偶律 对偶律其就是取非,遇到交,并,包含的符号时,将其换个方向就可以了
    另外(A-B)非,先化简A-B=AB非
    
    注意:AB=A交B
    
    每两年考一次
    分值很小
    //////////////////////////////////////
    
    记住A-B=A-AB
    A并AB=A
    学会两边同交某一个
    
    并和加号不是一样的
    不能简单代换
    但是交和✖是可以代换的
    即就是A并B 不等于 A+B
    
    A-C=B-C 不能推出 A=B,假设C包含A和B时	就不成立
    不能简单的移项
    A=A-AB不可以移项,但是很容易得出AB=空集
    A=A-B就不能移项
    比如第一个A-C=B-C,当C包含A和B且A和B不互交,你会发现A-C为空
    A=A-B 当B为空集和不为空集时式子都可能成立
    
    A=AB非,不能约去A
    
    ////////////////////////////////////////////
    
    所以计算时不满足约去律(本质就是逆向同交律)和移项律
    但可以满足同交律,就是两边同时交上A或者B等等
    
    ////////////////////////////////////////////
    
    一般验证性的题的答案放在C上
    出题先出的是大题
    大题没有的概念小题可能有
    如果你感觉小题很简单,那大题一定有一道很恶心的题
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
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    运算法则

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  • 第二讲 事件的关系与运算

    千次阅读 2017-08-28 19:09:00
    1.事件的包含 事件A发生,事件B一定发生 2.事件的相等 3.事件的积(交) 事件AB同时发生,简记AB 4.互不相容事件(互斥事件) 5.事件的和(并) ...事件的运算性质...

    1.事件的包含

      

     事件A发生,事件B一定发生

     

     2.事件的相等

    3.事件的积(交)

    事件A与B同时发生,简记AB

     

    4.互不相容事件(互斥事件)

     

     5.事件的和(并)

     

    6.事件的差

    7.对立事件(逆事件)

     

     例题1

                            

     说至少就要想到(并)

     

     事件的运算性质

    例2

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/ruruozhenhao/p/7445353.html

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    事件的相互关系及运算

    例1: 甲、乙两人进行投骰子比赛,得点数大者为胜,若甲先投得了 5 点,分析乙胜负情况。

    解: 乙投一个骰子所有可能结果构成样本空间:

    S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    “乙赢” = {6} = A
    “平局” = {5} = B
    “乙输” = {1, 2, 3, 4} = C
    “乙不输” 由 A 与 B 的合并组成 {5, 6}

    事件的关系(包含、相等)
    1 。 ^。 A ⊂ \subset B:事件 A 发生一定导致 B 发生。

    2 。 ^。
    A = B    ⟺    { A ⊂ B B ⊂ A A = B\iff \begin{cases} A \subset B \\ B \subset A \end{cases} A=B{ABBA


    例 2:
    A = {明天天晴}
    B = {明天无雨}
       ⟹    A ⊂ B \implies A \subset B AB

    A = {有多于 4 人候车}
    B = {至少有 5 人候车}
       ⟹    B = A \implies B = A B=A

    一枚硬币抛两次,
    A = {第一次是正面}
    B = {至少有一次是正面}
       ⟹    B ⊃ A \implies B \supset A BA


    事件的运算及关系

    A 与 B 的和事件,记为 A ⋃ B A \bigcup B AB
    A ⋃ B = { x ∣ x ∈ A 或 x ∈ B } A\bigcup B = \{x | x \in A 或 x \in B\} AB={xxAxB}: A 与 B 至少有一个发生。
    ⋃ i = 1 2 A i → 表 示 A 1 , A 2 , . . . A n 至 少 有 一 个 发 生 \bigcup_{i=1}^2 A_i \to 表示 A_1,A_2,...A_n 至少有一个发生 i=12AiA1,A2,...An

    A 与 B 的积事件,记为 A ⋂ B , A ⋅ B , A B A \bigcap B, A·B,AB AB,AB,AB
    A ⋂ B = { x ∣ x ∈ A 且 x ∈ B } A \bigcap B= \{ x | x \in A 且 x \in B\} AB={xxAxB} : A 与 B 同时发生。

    ⋂ i = 1 n → 表 示 A 1 , A 2 , . . . A n 同 时 发 生 \bigcap_{i=1}^n \to 表示 A_1, A_2, ...A_n 同时发生 i=1nA1,A2,...An

    A B = ∅ AB = \emptyset AB= 时,称事件 A 与 B 不相容或互斥。

    A 与 B 的差事件
    A − B = { x ∣ x ∈ A 且 x ∉ B } A - B = \{ x | x \in A 且 x \notin B \} AB={xxAx/B}

    还可以表示为:

    A − B = A B ‾ = A ⋃ B − B = A − A B A - B = A\overline{B} = A \bigcup B - B = A - AB AB=AB=ABB=AAB

    A 的逆事件,记为 A ‾ \overline{A} A,也称 A 的互逆、对立事件。
    A ⋃ A ‾ = S , A A ‾ = ∅ , A ‾ ‾ = A A \bigcup \overline{A} = S, A\overline{A} = \emptyset,\overline{\overline{A}} = A AA=S,AA=,A=A


    事件的运算定律

    交换律:

    A ⋃ B = B ⋃ A , A ⋂ B = B ⋂ A ; A \bigcup B = B\bigcup A, A\bigcap B = B\bigcap A; AB=BA,AB=BA;

    结合律:

    A ⋃ ( B ⋃ C ) = ( A ⋃ B ) ⋃ C , A ⋂ ( B ⋂ C ) = ( A ⋂ B ) ⋂ C ; A\bigcup (B\bigcup C) = (A\bigcup B)\bigcup C, A\bigcap(B\bigcap C) = (A\bigcap B)\bigcap C; A(BC)=(AB)C,A(BC)=(AB)C;

    分配律:

    A ⋃ ( B ⋂ C ) = ( A ⋃ B ) ⋂ ( A ⋃ C ) , A ⋂ ( B ⋃ C ) = ( A ⋂ B ) ⋃ ( A ⋂ C ) ; A\bigcup(B\bigcap C) = (A\bigcup B)\bigcap(A\bigcup C), A\bigcap(B\bigcup C) = (A\bigcap B)\bigcup(A\bigcap C); A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC);

    对偶律:

    A ⋃ B ‾ = A ‾ ⋂ B ‾ , A ⋂ B ‾ = A ‾ ⋃ B ‾ ; ( 德 ⋅ 摩 根 定 律 ) \overline{A\bigcup B} = \overline{A}\bigcap\overline{B}, \overline{A\bigcap B} = \overline{A}\bigcup\overline{B}; \quad\quad(德·摩根定律) AB=AB,AB=AB;()

    对偶律推广:

    ⋂ i = 1 n A i = ⋃ i = 1 n A i ‾ = A 1 ‾ ⋃ A 2 ‾ ⋃ . . . ⋃ A n ‾ ; \bigcap_{i=1}^nA_i =\bigcup_{i=1}^n\overline{A_i} =\overline{A_1}\bigcup\overline{A_2}\bigcup...\bigcup\overline{A_n}; i=1nAi=i=1nAi=A1A2...An;

    ⋃ i = 1 n A i ‾ = ⋂ i = 1 n A i ‾ = A 1 ‾ A 2 ‾ . . . A n ‾ \overline{\bigcup_{i=1}^nA_i} =\bigcap_{i=1}^n\overline{A_i} =\overline{A_1}\overline{A_2}...\overline{A_n} i=1nAi=i=1nAi=A1A2...An

    延伸:

    ( A ⋃ B ) − C ≠ A ⋃ ( B − C ) (A\bigcup B)-C\neq A\bigcup(B-C) (AB)C=A(BC)

    ( ( A ⋃ B ) − C ) ⋃ A C = A ⋃ ( B − C ) ((A\bigcup B)-C)\bigcup AC=A\bigcup (B-C) ((AB)C)AC=A(BC)

    注意:

    A B ‾ 与 A ‾   B ‾ 的 区 别 \overline{AB}与\overline{A}~\overline{B}的区别 ABA B

    A B ‾ \overline{AB} AB 是表示 A、B 不同时发生

    A ‾   B ‾ \overline{A}~\overline{B} A B 是表示 A、B都不发生

    实际上两者有关系:

    A B ‾ = A ‾   B ‾ ⋃ A B ‾ ⋃ A ‾ B \overline{AB}=\overline{A}~\overline{B}\bigcup A\overline{B}\bigcup\overline{A}B AB=A BABAB


    例 3: 设 A={甲来听课},B={乙来听课 },则:

    A ⋃ B = { 甲 、 乙 至 少 有 一 个 人 来 听 课 } A\bigcup B=\{甲、乙至少有一个人来听课\} AB={}

    A ⋂ B = { 甲 、 乙 都 来 听 课 } A\bigcap B =\{甲、乙都来听课\} AB={}

    A ⋃ B ‾ = A ‾   B ‾ = { 甲 、 乙 都 不 来 听 课 } \overline{A\bigcup B}=\overline{A}~\overline{B}=\{甲、乙都不来听课\} AB=A B={}

    A ‾ ⋃ B ‾ = A B ‾ = { 甲 、 乙 至 少 有 一 个 人 不 来 } = { 甲 、 乙 种 最 多 有 一 个 人 来 } \overline{A}\bigcup\overline{B}=\overline{AB}=\{甲、乙至少有一个人不来\}=\{甲、乙种最多有一个人来\} AB=AB={}={}


    例 4: 用 A、B、C 三个时间关系及运算表示下列各时间:

    A 发生,B、C 都不发生
    解:

    A   B ‾   C ‾ = A − B − C A~\overline{B}~\overline{C}=A - B - C A B C=ABC

    恰有一个发生:
    解:

    A   B ‾   C ‾ ⋃ A ‾ B C ‾ ⋃ A ‾   B ‾   C A~\overline{B}~\overline{C}\bigcup\overline{A}B\overline{C}\bigcup\overline{A}~\overline{B}~C A B CABCA B C

    至少有一个发生:
    解:

    A ⋃ B ⋃ C = A ‾   B ‾   C ‾ ‾ = ( A   B ‾   C ‾ ⋃ A ‾   B   C ‾ ⋃ A ‾   B ‾   C ) ⋃ ( A ‾   B   C ⋃ A   B ‾   C ⋃ A   B   C ‾ ) ⋃ A B C A\bigcup B\bigcup C = \overline{\overline{A}~\overline{B}~\overline{C}}=(A~\overline{B}~\overline{C}\bigcup\overline{A}~B~\overline{C}\bigcup\overline{A}~\overline{B}~C)\bigcup(\overline{A}~B~C\bigcup A~\overline{B}~C\bigcup A~B~\overline{C})\bigcup ABC ABC=A B C=(A B CA B CA B C)(A B CA B CA B C)ABC


    例 5: 用 A、B、C 三个事件关系及运算表示下列各事件

    至少有两个发生:
    解:

    A B ⋃ A C ⋃ B C = A ‾   B   C ⋃ A   B ‾   C ⋃ A   B   C ‾ ⋃ A B C AB\bigcup AC\bigcup BC=\overline{A}~B~C\bigcup A~\overline{B}~C\bigcup A~B~\overline{C}\bigcup ABC ABACBC=A B CA B CA B CABC

    至少有一个不发生
    解:

    A ‾ ⋃ B ‾ ⋃ C ‾ = A B C ‾ = A ‾   B   C ⋃ A B ‾ C ⋃ A B C ‾ ⋃ A   B ‾   C ‾ ⋃ A ‾   B   C ‾ ⋃ A ‾   B ‾   C ⋃ A ‾ B ‾ C ‾ \overline{A}\bigcup\overline{B}\bigcup\overline{C}=\overline{ABC}=\overline{A}~B~C\bigcup A\overline{B}C\bigcup AB\overline{C}\bigcup A~\overline{B}~\overline{C}\bigcup \overline{A}~B~\overline{C}\bigcup\overline{A}~\overline{B}~C\bigcup\overline{A}\overline{B}\overline{C} ABC=ABC=A B CABCABCA B CA B CA B CABC

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关系与如何运算