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  • 集合及二元关系关系n次幂

    千次阅读 2018-10-05 15:28:05
    集合之间常见的关系:包含(⊆),真包含(⊂),相等(=)。 笛卡尔积:设A,B为集合,以A中元素为第一元素,B中元素为第二元素构成有序对,所以这样的有序对组成的集合称为A与B的笛卡尔积,记作A×B。用符号化表示...

    集合:具有共同性质的或合适一定条件的事物的全体,组成集合的这些个体成为元素。
    集合之间常见的关系:包含(⊆),真包含(⊂),相等(=)。
    笛卡尔积:设A,B为集合,以A中元素为第一元素,B中元素为第二元素构成有序对,所以这样的有序对组成的集合称为A与B的笛卡尔积,记作A×B。用符号化表示:A×B={<x,y>|x∈A∧y∈B}
    对笛卡尔积的一个例题运算
    对关系图的表示方法,一共有三种,简单的是集合,另外有两种,矩阵和关系图。
    关系R的表示方法
    例题:在这里插入图片描述
    那么我们之前介绍了集合和关系R,那么现在介绍关系的n次幂。
    设R为A上的关系,n为自然数,则R的n次幂定义:
    (1)Rº={<x,x>|x∈A}
    (2)?^(?+1)=?ⁿ ∘R

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  • 版权声明:所有的笔记,可能来自很多不同的网站和说明,在此没法一一列出,如有侵权,请告知,立即删除。

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  • 一、关系幂运算 、 二、关系幂运算示例 、 三、关系幂运算性质





    一、关系幂运算



    关系 R R R n n n 次幂定义 :

    R ⊆ A × A , n ∈ N R \subseteq A \times A , n \in N RA×A,nN

    { R 0 = I A R n + 1 = R n ∘ R ( n ≥ 0 ) \begin{cases} R^0 = I_A & \\ R^{n +1} = R^n \circ R & ( n \geq 0 ) \end{cases} {R0=IARn+1=RnR(n0)


    关系 R R R集合 A A A 上的 二元关系 , R R R 0 0 0 次幂 R 0 R^0 R0 是恒等关系 I A I_A IA , 关系 R R R n + 1 n + 1 n+1 次幂等于 R n + 1 = R n ∘ R R^{n + 1} = R^n \circ R Rn+1=RnR 其中 n ≥ 0 n \geq 0 n0 ;

    R 1 = R 0 ∘ R = R R^1 = R^0 \circ R = R R1=R0R=R , 恒等关系与 关系 R R R 逆序合成 , 结果还是关系 R R R , 这个关系 R R R 可以是任意关系 ;

    恒等关系就是 集合 A A A 中每个元素自己跟自己有关系 ;

    关系 R R R 幂运算结果 R n R^n Rn 关系 也是集合 A A A 上的二元关系 , 因此有 R n ⊆ A × A R^n \subseteq A \times A RnA×A



    关系 R R R n n n 次幂 , 就是 n n n R R R 关系逆序合成 :

    R n = R ∘ R ∘ ⋯ ∘ R ⏟ n 个 R 逆 序 合 成 R^n = \begin{matrix} \underbrace{ R \circ R \circ \cdots \circ R } \\ n 个 R 逆序合成 \end{matrix} Rn= RRRnR





    二、关系幂运算示例



    集合 A = { a , b , c } A = \{ a, b, c \} A={a,b,c} 关系 R R R 是 集合 A A A 上的二元关系 , R ⊆ A × A R \subseteq A \times A RA×A ,

    R = { < a , b > , < b , a > , < a , c > } R = \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \} R={<a,b>,<b,a>,<a,c>}


    关系 R R R 的 幂集个数 : A A A 是有限集 , A A A 上的有序对个数是 3 × 3 = 9 3 \times 3 = 9 3×3=9 个 , A A A 上的二元关系个数 , 即有序对集合的幂集个数 , 是 2 3 × 3 = 512 2^{3\times 3} =512 23×3=512 个 ;



    关系 R R R 0 0 0 次幂 : R 0 = I A R^0 = I_A R0=IA , R R R 关系的 0 0 0 次幂是恒等关系 , 关系图是每个顶点都有环 , 顶点之间没有关系 ;

    在这里插入图片描述



    关系 R R R 1 1 1 次幂 : R 1 = R 0 ∘ R = R R^1 = R^0 \circ R = R R1=R0R=R , 恒等关系 I A I_A IA 与任何关系逆序合成 , 结果还是那个关系 ;

    在这里插入图片描述



    关系 R R R 2 2 2 次幂 :

    R 2 = R 0 ∘ R = R ∘ R = { < a , b > , < b , a > , < a , c > } ∘ { < a , b > , < b , a > , < a , c > } = { < a , a > , < b , b > , < b , c > } \begin{array}{lcl}R^2 & = & R^0 \circ R \\\\ &=& R \circ R \\\\ &=& \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \} \circ \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \} \\\\ &=& \{ <a,a>, <b, b> , <b,c> \}\end{array} R2====R0RRR{<a,b>,<b,a>,<a,c>}{<a,b>,<b,a>,<a,c>}{<a,a>,<b,b>,<b,c>}

    注意上述 ∘ \circ 运算时逆序合成 , 从后面的关系中合成前面的关系 ;

    在这里插入图片描述



    关系 R R R 3 3 3 次幂 : R 1 R_1 R1 相同

    R 3 = R 1 ∘ R = { < a , a > , < b , b > , < b , c > } ∘ { < a , b > , < b , a > , < a , c > } = { < a , b > , < a , c > , < b , a > } = R 1 \begin{array}{lcl}R^3 & = & R^1 \circ R \\\\ &=& \{ <a,a>, <b, b> , <b,c> \} \circ \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \} \\\\ &=& \{ <a,b>, <a, c> , <b,a> \} \\\\ &=& R^1 \end{array} R3====R1R{<a,a>,<b,b>,<b,c>}{<a,b>,<b,a>,<a,c>}{<a,b>,<a,c>,<b,a>}R1

    在这里插入图片描述



    关系 R R R 4 4 4 次幂 : R 2 R_2 R2 相同



    关系 R R R 5 5 5 次幂 : R 1 R_1 R1 相同



    关系 R R R 2 k 2k 2k 偶数次幂 ( k = 1 , 2 , ⋯ k=1,2, \cdots k=1,2, ) : R 2 R_2 R2 相同



    关系 R R R 2 k + 1 2k + 1 2k+1 奇数次幂 ( k = 0 , 1 , 2 , ⋯ k=0,1,2, \cdots k=0,1,2, ) : R 1 R_1 R1 相同





    三、关系幂运算性质



    关系幂运算性质 :

    关系 R R R 是 集合 A A A 上的关系 , R ⊆ A × A R \subseteq A \times A RA×A , m , n m,n m,n 是自然数 , m , n ∈ N m,n \in N m,nN ; 关系幂运算有以下两个性质 :

    R m ∘ R n = R m + n R^m \circ R^n = R^{m + n} RmRn=Rm+n

    ( R m ) n = R m n (R^m ) ^n = R^{m n} (Rm)n=Rmn

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  • 求矩阵的n次方 快速

    万次阅读 2015-04-19 19:07:05
    矩阵的快速是用来高效地计算...一般一个矩阵的n次方,我们会通过连乘n-1次来得到它的n次幂。 但做下简单的改进就能减少连乘的次数,方法如下: 把n个矩阵进行两两分组,比如:A*A*A*A*A*A => (A*A)*(A*A)*
    矩阵的快速幂是用来高效地计算矩阵的高次方的。将朴素的o(n)的时间复杂度,降到log(n)。


    这里先对原理(主要运用了矩阵乘法的结合律)做下简单形象的介绍:


    一般一个矩阵的n次方,我们会通过连乘n-1次来得到它的n次幂。


    但做下简单的改进就能减少连乘的次数,方法如下:


    把n个矩阵进行两两分组,比如:A*A*A*A*A*A  =>  (A*A)*(A*A)*(A*A)


    这样变的好处是,你只需要计算一次A*A,然后将结果(A*A)连乘自己两次就能得到A^6,即(A*A)^3=A^6。算一下发现这次一共乘了3次,少于原来的5次。


    其实大家还可以取A^3作为一个基本单位。原理都一样:利用矩阵乘法的结合律,来减少重复计算的次数。


    以上都是取一个具体的数来作为最小单位的长度,这样做虽然能够改进效率,但缺陷也是很明显的,取个极限的例子(可能有点不恰当,但基本能说明问题),当n无穷大的时候,你现在所取的长度其实和1没什么区别。所以就需要我们找到一种与n增长速度”相适应“的”单位长度“,那这个长度到底怎么去取呢???这点是我们要思考的问题。


    有了以上的知识,我们现在再来看看,到底怎么迅速地求得矩阵的N次幂。


    既然要减少重复计算,那么就要充分利用现有的计算结果咯!~怎么充分利用计算结果呢???这里考虑二分的思想。。


    大家首先要认识到这一点:任何一个整数N,都能用二进制来表示。。这点大家都应该知道,但其中的内涵真的很深很深(这点笔者感触很深,在文章的最后,我将谈谈我对的感想)!!


    计算机处理的是离散的信息,都是以0,1来作为信号的处理的。可想而知二进制在计算机上起着举足轻重的地位。它能将模拟信号转化成数字信号,将原来连续的实际模型,用一个离散的算法模型来解决。  好了,扯得有点多了,不过相信这写对下面的讲解还是有用的。


    回头看看矩阵的快速幂问题,我们是不是也能把它离散化呢?比如A^19  =>  (A^16)*(A^2)*(A^1),显然采取这样的方式计算时因子数将是log(n)级别的(原来的因子数是n),不仅这样,因子间也是存在某种联系的,比如A^4能通过(A^2)*(A^2)得到,A^8又能通过(A^4)*(A^4)得到,这点也充分利用了现有的结果作为有利条件。下面举个例子进行说明:


    现在要求A^156,而156(10)=10011100(2) 


    也就有A^156=>(A^4)*(A^8)*(A^16)*(A^128)  考虑到因子间的联系,我们从二进制10011100中的最右端开始计算到最左端。细节就说到这,下面给核心代码:

    while(N)
     {
                    if(N&1)
                           res=res*A;
                    n>>=1;
                    A=A*A;
     }

    里面的乘号,是矩阵乘的运算,res是结果矩阵。


    第3行代码每进行一次,二进制数就少了最后面的一个1。二进制数有多少个1就第3行代码就执行多少次。


    好吧,矩阵快速幂的讲解就到这里吧。在文章我最后给出我实现快速幂的具体代码(代码以3*3的矩阵为例)。


    现在我就说下我对二进制的感想吧:


    我们在做很多”连续“的问题的时候都会用到二进制将他们离散简化


    1.多重背包问题


    2.树状数组


    3.状态压缩DP


    ……………还有很多。。。究其根本还是那句话:化连续为离散。。很多时候我们并不是为了解决一个问题而使用二进制,更多是时候是为了优化而使用它。所以如果你想让你的程序更加能适应大数据的情况,那么学习学习二进制及其算法思想将会对你有很大帮助。


    最后贴出一些代码供大家学习,主要起演示的效果:

    #include <cstdlib>
    #include <cstring>
    #include <cstdio>
    #include <iostream> 
    using namespace std;
    
    int N;
    
    struct matrix
    {
           int a[3][3];
    }origin,res;
    
    
    matrix multiply(matrix x,matrix y)
    {
           matrix temp;
           memset(temp.a,0,sizeof(temp.a));
           for(int i=0;i<3;i++)
           {
                   for(int j=0;j<3;j++)
                   {
                           for(int k=0;k<3;k++)
                           {
                                   temp.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];
                           }
                   }
           }
           return temp;
    }
    
    void init()
    {
         printf("随机数组如下:\n");
         for(int i=0;i<3;i++)
         {
                 for(int j=0;j<3;j++)
                 {
                         origin.a[i][j]=rand()%10;
                         printf("%8d",origin.a[i][j]);
                 }
                 printf("\n");
         }
         printf("\n");
         memset(res.a,0,sizeof(res.a));
         res.a[0][0]=res.a[1][1]=res.a[2][2]=1;                  //将res.a初始化为单位矩阵 
    }
    
    void calc(int n)
    {
         while(n)
         {
                 if(n&1)
                        res=multiply(res,origin);
                 n>>=1;
                 origin=multiply(origin,origin);
         }
         printf("%d次幂结果如下:\n",n);
         for(int i=0;i<3;i++)
         {
                 for(int j=0;j<3;j++)
                         printf("%8d",res.a[i][j]);
                 printf("\n");
         }
         printf("\n");
    }
    int main()
    {
        while(cin>>N)
        {
                init();
                calc(N);
        }
        return 0;
    }





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关系的n次幂