关系代数中，个人觉得比较容易搞混的有这两个概念：传统集合运算和专门关系运算和关系操作；
传统集合运算：并(∪)、交(∩)、差(—)、笛卡尔积(×)；
专门关系运算：选择(σ)、投影(Π)、连接(∞)、除(÷)；
传统的集合运算将关系看成元组的集合，其运算是从关系的行角度来进行；

专门的关系运算不仅涉及行、还涉及列；（更高级的操作和查询）


这里区别一下：关系操作
关系操作：查询、插入、删除、修改；
其中，查询操作可以细分为5种基本操作：选择、投影、并、差、笛卡尔积；

（除运算、交、连接三种操作也是包含在查询操作里，只是它可以由其他的五种基本操作导出）

个人觉得：

传统集合运算和专门关系运算加起来其实就是关系操作里面的查询操作；
无论是传统集合运算还是专门关系运算，都是对关系的查询；
而关系操作就是查询+更新（删除、插入、修改）；
（有理解不对的希望可以指出来）

转载：https://blog.csdn.net/zgcr654321/article/details/82077809

正文如下：

各种运算符如下：



数据库中每行就是一个元组，每列就是一个属性。

数据库的传统集合运算包括：并、差、交、笛卡尔积运算。这四种运算都与数学上的同名运算概念相似。

并：



差：



交：



笛卡尔积：

广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）：两个分别为n目和m目关系R和S的广义笛卡尔积是一个（n+m）列的元组的集合，元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。若R有k1个元组，S有k2个元组，则关系R和关系S的广义笛卡尔积有k1*k2个元组，记作：R×S={tr⌒ts| tr∈R∧ts∈S}或记做R×S={(r1,…,rn ,s1,…,sm)∣((r1,…,rn)∈R∧(s1,…,sm)∈S)。

r,s为R和S中的相应分量。

简单来说，就是把R表的第一行与S表第一行组合写在一起，作为一行。然后把R表的第一行与S表第二行依此写在一起，作为新一行。以此类推。当S表的每一行都与R表的第一行组合过一次以后，换R表的第二行与S表第一行组合，以此类推，直到R表与S表的每一行都组合过一次，则运算完毕。如果R表有n行，S表有M行，那么笛卡尔积R×S有n×M行。



下面举一个例子：

关系表R和S如下图所示：



R并S、R减S、R交S、选择、R与S的笛卡尔积结果如下所示：

选择B>'4'（R），即选择语句的条件，对R的关系做水平分割，选择R中符合条件的元组。



 

数据库的专门关系运算有：选择（对关系进行水平分割）、投影（对关系进行垂直分割）、连接、自然连接（关系的结合）、除运算等。

选择（selection）：

选择就是"筛选行"。选择一般要对一张表选择符合条件的行（但包含所有列）。

举例：



投影（projection）：

投影就是"筛选列"。一个数据库表，如仅希望得到其一部分的列的内容（但全部行），就是投影。

举例：



除法（division）：

记为R÷S，它是笛卡尔积的逆运算。设关系R和S分别有r列和s列（r>s，且s≠0），那么R÷S的结果有（r-s）个列，并且是满足下列条件的最大的表：其中每行与S中的每行组合成的新行都在R中。注意有时关系之间的除法也有"余数"，可能S×T的结果为R的一部分（最大的一部分），R中的多余部分为"余数"。

举例：

运算过程：

 C, D是关系S中的两个属性, 故在R集合中对除了C, D的属性, 即A, B两属性进行投影, 得到a, b; b, c; e, d;这三组, 然后用这个结果与关系S进行笛卡尔积运算, 发现b c c d这组在关系R中没有, 其余a, b; e, d; 做的运算在R中存在. 因此最后结果为a, b; e, d。





连接（join）：

 

两表笛卡尔积的结果比较庞大，实际应用中一般仅选取其中一部分的行，选取两表列之间满足一定条件的行，就是关系之间的连接。

根据连接条件的种类不同，关系之间的连接分为等值连接、大于连接、小于连接、自然连接。

条件是类似于"B列=D列"的"某列=某列"的条件，就是等值连接；

条件是"某列>某列"的，就是大于连接；

条件是"某列<某列"的，就是小于连接。

自然连接是不提出明确的连接条件，但"暗含"着一个条件，就是"列名相同的值也相同"。在自然连接的结果表中，往往还要合并相同列名的列。当对关系R和S进行自然连接时，要求R和S含有一个或者多个共有的属性。

举一个等值连接的例子：

关系R和S如下图所示：



对关系R、S按条件"R表的B列=S表的B列"进行连接的结果（等值连接）：



小于连接的结果（B<D）：



自然连接的结果（自然连接暗含的条件是R.B=S.B且R.C=S.C，因为R、S中有同名的2列B、C）：



多个条件之间可用"∧"表示"且"，即两边的条件必须同时成立。

如"C>4∧D>3"，表示"C列值>4，且D列值>3"，二者需同时满足。

用"∨"表示"或"，即两边的条件有一个成立即可。

例如"性别='女'∨年龄<20"表示"性别为'女'或者年龄在20岁以下"。

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作者：一骑走烟尘 

来源：CSDN 

原文：https://blog.csdn.net/zgcr654321/article/details/82077809 

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1. 数据库特性和数据模型组成
数据库具有以下特性

●共享性，数据库中的数据能被多个应用程序的用户所使用。

●独立性，提高了数据和程序的独立性，有专门的语言支持。

●完整性，指数据库中数据的正确性、一致性和有效性。

●减少数据冗余。
数据模型(DataModel)是现实世界数据特征的抽象，一般由数据结构、数据操作和数据完整性约束3部分组成。
2. 数据库系统模式
数据库系统分为客户/服务器模式(C/S) 和三层客户/服务器(B/S)模式。
1. C/S模式
应用程序直接与用户打交道，数据库管理系统不直接与用户打交道，因此，应用程序称为前台，数据库管理系统称为后台。因为应用程序向数据库管理系统提出服务请求，所以称为客户程序(Client)， 而数据库管理系统向应用程序提供服务，所以称为

服务器程序(Server)， 上述操作数据库的模式称为客户/服务器模式(C/S)，如图1.2所示。



2. B/S模式
基于Web的数据库应用采用三层客户/服务器模式(B/S)， 第一层为浏览器，第二层为Web服务器，第三层为数据库服务器，如图1.3所示。


3. 关系数据库基本概念
●关系:关系就是表(Table)， 在关系数据库中，一个关系存储为一个数据表。
●元组:	表中一行(Row) 为一个元组(Tuple)， 一个元组对应数据表中的一条记录(Record)，元组的各个分量对应于关系的各个属性。
●属性:	表中的列(Column) 称为属性(Property)， 对应数据表中的字段(Field)。
●域:	属性的取值范围。
●关系模式:	对关系的描述称为关系模式，格式如下:

关系名(属性名1,属性名2, .,属性名n)
●候选码:	属性或属性组，其值可唯一标识其对应元组。.
●主关键字(主键):	在候选码中选择一个作为主键(Primary Key)。
●外关键字(外键):	在一个关系中的属性或属性组不是该关系的主键，但它是另一个关系的主键，称为外键(Foreign Key)。
4. 关系运算
关系数据操作称为关系运算，投影、选择和连接是最重要的关系运算，关系数据库管理系统支持关系数据库和投影、选择、连接运算。
1)选择

选择(Selection) 指选出满足给定条件的记录，它是从行的角度进行的单目运算，运算对象是一个表，运算结果形成-一个新表。
2)投影

投影(Projection)是选择表中满足条件的列，它是从列的角度进行的单目运算。
3)连接

连接(Join) 是将两个表中的行按照一定的条件横向结合生成的新表。选择和投影都是单目运算，其操作对象只是一个表，而连接是双目运算，其操作对象是两个表。
5.E-R模型
概念设计阶段的目标是形成整体数据库的概念结构，它独立于数据库逻辑结构和具体的DBMS，描述概念结构的工具是E-R模型。

E-R模型即实体联系模型，在E-R模型中内容如下。
●实体:客观存在并可相互区别的事物称为实体，实体用矩形框表示，框内为实体名。实体可以是具体的人、事、物或抽象的概念，例如，在学生成绩管理系统中，“学生”就是一个实体。
●属性:实体所具有的某一特性称为属性， 属性采用椭圆框表示，框内为属性名，并用无向边与其相应实体连接。例如，在学生成绩管理系统中，学生的特性有学号、姓名、性别、出生日期、专业、班号和总学分，它们就是学生实体的7个属性。
●实体型:用实体名及其属性名集合来抽象和刻画同类实体，称为实体型。例如，学生(学号，姓名，性别，出生日期，专业，班号，总学分)就是一个实体型。
●实体集:同型实体的集合称为实体集，例如全体学生记录就是一个实体集。
●联系:实体之间的联系，可分为一对一的联系、一对多的联系和多对多的联系。实体间的联系采用菱形框表示，联系以适当的含义命名，名字写在菱形框中，用无向边将参加联系的实体矩形框分别与菱形框相连，并在连线上标明联系的类型，即1-1.1-n或m-n。如果联系也具有属性，则将属性与菱形也用无向边连上。
例题：

设图书借阅系统在需求分析阶段搜集到以下信息:

图书信息:书号、书名、作者、价格、复本量、库存量

学生信息:借书证号、姓名、专业、借书量

该业务系统有以下约束:

I.一个学生可以借阅多种图书，-种图书可被多个学生借阅

II.学生借阅的图书要在数据库中记录索书号、借阅时间

(1)根据以上信息画出合适的E-R图。

(2)将E-R图转换为关系模式，并用下画线标出每个关系的主码、说明外码。

答案：

关系数据模型
关系数据模型
关系模型由关系模型的数据结构、关系模型的操作集合和关系模型的完整性约束三部分组成，这三部分也称为关系模型的三要素。
数据结构
关系数据模型源于数学，它用二维表来组织数据，而这个二维表在关系数据库中称为关系。关系数据库就是表或者说是关系的集合。
数据操作
关系数据模型给出了关系操作的能力，包括。

传统的运算关系：并（union）、交（intersection）、差（difference）、广义迪卡尔积（extended cartesian product）。
专门的关系运算：选择（select）、投影（project）、连接（join）、除（divide）。
有关的数据操作：查询（query）、插入（insert）、删除（delete）、更改（update）。

关系模型中的操作对象是集合（或表），而不是单个数据行，也就是说，关系模型中操作的数据以及操作的结果都是完整的集合（或表），这些集合可以只包含一行数据，也可以不包含任何数据。
完整性约束
在数据库中数据的完整性是指保证数据正确的特征，数据完整性是一种语义概念，它包括两个方面：

与现实世界中应用需求的数据的相容性和正确性。
数据库内数据之间的相容性和正确性。

完整性约束在关系型数据库中一般分为三类，实体完整性（主键）、参照完整性（外建）、用户定义完整性。
关系型数据库的基本术语
基本术语


关系（表）
通俗地讲，**关系（relation）**就是二维表，二维表的名字就是关系的名字。


属性（列）
二维表中的每一个称为属性（attribute），没一个属性有一个名字，称为属性名。n列就是n元。


值域（取值范围）
二维表中属性的范围称为值域（domain）。如性别只能‘男’或‘女’。


元组（行）
二维表中的一行数据称为一个元组（tuple）。


分量（元组中每个属性的值）
元组中的没一个属性值称为元组的一个分量（component），n元关系的每个元组有n个分量。


关系模式（表结构、表头）
二维表的结构称为关系模式（relation schema），或者说关系模式就是二维表的表框架或表头结构。设有关系名R，属性分别是a、b、c、d，则关系模式可以表示为：R(a,b,c,d)。如果将关系模式理解为数据类型，则关系就是该数据类型的一个具体值。


关系数据库
对应于一个关系模型的所有关系的集合称为关系数据库（relation database）。


候选键
如果一个属性或属性集（可以有多个候选键）的值能够唯一标识一个关系的一个元组而又不包含多余的属性，则称该属性或属性集为候选键（candidate key），如学号、身份证。候选键又称为候选关键字或候选码。


主键
当一个关系中有多个候选键时，可以从中选择一个作为主键（primary key）。每个关系只能有一个主键。主键也称为主码或关键字，是表中的属性或属性组，用于唯一地确定一个元组。


主属性与非主属性
包含在任意候选键中的属性称为主属性（primary attribute）；不包含任一候选键的属性为非主属性（nonprimary attribute）。


术语对比表：




关系术语
一般的表格属于




关系名
表名


关系模式
表头（表中所含列的描述）


关系
（一张）二维表


元组
记录或行


属性
列


分量
一条记录中的某个列的值


对关系的限定
关系可以看成二维表，但并不是所有二维表都是关系。关系数据库对关系有一些限定，如：

关系中的每个分量都必须是不可再分的最小数据。
表中列的数据类型是固定的，即列中的内一个分量都是相同类型的数据，来自相同的值域。
不同列的数据可以取自相同的值域，每个列称为一个属性，每个属性有不同的属性名。
关系表中列的顺序不重要，即列的次序可以任意交换，不影响其表达的语义。
行的顺序也不重要，交换行数据的顺序也不影响其内容。
同一个关系中的元组不能重复，即在一个关系中，不能有两个元组的值完全相同相同。

关系代数
关系代数是关系操作语言的一种传统的表示方式，它是一种抽象的查询语言，是一种单次关系（或者说是集合）语言。包括运算对象、运算符和运算结果。
关系代数可分为两大类：

传统集合运算：这类运算完全把关系看作元组的集合，包括广义迪卡尔积运算、并运算、交运算、差运算。
专门的关系运算：这类关系除了把关系看作元组的集合以外，还通过运算表达了查询的要求，包括选择、投影、连接、除运算。

传统关系运算


并运算
设关系R与S均是n目关系，关系R与S的并记为：
$R \cup S = \{t|t \in R \lor t\in S\}$
其结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。


交运算
设关系R与S均为n目关系，关系R与S的交记为：
$R \cap S = \{ t| t\in R \land t \in S \}$
其结果仍是n目关系，由属于R也属于S的元组组成。


差运算
设关系R与S均为n目关系，关系R与S的差运算记为：
$R-S = \{t| t\in R \land t \notin S\}$
其结果仍是n目关系，由属于R且不属于S的元组组成。


广义迪卡尔积
广义迪卡尔积不要求参加运算的两个关系具有相同的目数。
两个分别为m目和n目的关系R和S的广义迪卡尔积是一个有 m+n 个列的元组的集合。元组的前m列是关系R的一个元组，后n个是关系S的一个元组。若R有K1个元组，S有K2个元组，则R和S的广义迪卡尔积有 K1*K2个元组，记为：
$R \times S = \{ \hat{t_r t_s} | t_r \in R \land t_s \in S \}$
其中，$\hat{t_r t_s}$表示有两个元组前后有序连接成的一个元组。


专门的关系运算


选择
选择是指从指定的关系中选出满足给定条件的元组而组成的一个新的关系。表示为：
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \and at position 28: …= \{t | t\in R \̲a̲n̲d̲ ̲F(t)= true\}
其中 $\sigma$ 是选择运算符，R是关系名，t是元组，F是逻辑表达式。
如：$\sigma_{Sdept='计算机'}(Student)$


投影
投影运算是从关系R中选取若干列，并用这些属性组成一个新的关系。表示为：
$\prod_A(R) = {t.A | t\in R}$
其中， $\prod$是投影运算符，R是关系名，A是被投影的属性或属性组。t.A 表示t这个元组中相应于属性A的分量，也可以表示为t[A]。
投影运算一般由两步完成：

选出指定的属性，形成一个可能含有重复行的新关系。
删除重复行，形成结果关系。

如：$\prod_{Sname,Sdept}(Student)$


连接
连接运算用来连接相互之间有联系的两个关系，从而产生一个新关系。这个过程通过连接属性来实现。连接运算主要有一下几种：


$\theta$ 连接（$\theta$ 是比较运算符）
表示为$\{\hat{t_r t_s}|t_r \in R \land t_r \in S \land t_r[A] \theta t_s[B]\}$
其中A和B分别是关系R和S上语义相同的属性或属性组，$\theta $是比较运算符


等值连接（$\theta$ 连接的特例）
与$\theta$连接一致，是当$\theta$为=时的情况


自然连接
自然连接是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性或属性组，并且在连接结果中去掉重复的列，使公共属性列只保留一个。
自然连接与等值连接的区别：

自然连接要求相等的分量必须有共同的属性名，等值连接则不要求
自然连接要求吧重复的属性名去掉，等值连接不要求



外部连接
如果希望不满足连接条件的元组也出现在连接结果中，则可以通过外连接（outer join）操作实现。外连接有三种形式：左外连接、右外连接、全外连接。含义是将指定一边（如左连接就是左边的关系）中不满足的元组也保留到连接后的结果中，并在结果中将另一关系各属性置为空（NULL）值。


半连接




除


除法的描述：
设关系S的属性是关系R的属性的一部分，则$R \div S$为这样一个关系：
此关系的属性是由属于R但不属于S的所有属性组成$R \div S $ 的任一元组都是R中某元组的一部分。但必须符合下列要求，即任取属于 $R \div S $ 的一个元组 t，则t与S任一元组连接后，都为 R 中原有的元组。


除法的一般形式
设关系R(X,Y)和S(Y,Z)，其中X、Y、Z为关系的属性组，则：
$R(X,Y) \div S(Y, Z) = R(X, Y) \div \prod_Y(S)$