关系代数中，个人觉得比较容易搞混的有这两个概念：传统集合运算和专门关系运算和关系操作；
 
传统集合运算：并(∪)、交(∩)、差(—)、笛卡尔积(×)；
 
专门关系运算：选择(σ)、投影(Π)、连接(∞)、除(÷)；
 
传统的集合运算将关系看成元组的集合，其运算是从关系的行角度来进行；

专门的关系运算不仅涉及行、还涉及列；（更高级的操作和查询）
 
 
这里区别一下：关系操作
 
关系操作：查询、插入、删除、修改；
 
其中，查询操作可以细分为5种基本操作：选择、投影、并、差、笛卡尔积；
 （除运算、交、连接三种操作也是包含在查询操作里，只是它可以由其他的五种基本操作导出）
 
 
个人觉得：
 传统集合运算和专门关系运算加起来其实就是关系操作里面的查询操作；
 
无论是传统集合运算还是专门关系运算，都是对关系的查询；
 
而关系操作就是查询+更新（删除、插入、修改）；
 
（有理解不对的希望可以指出来）

 此文转自于网络PPT，感谢作者的艰苦创作，此文可以让人很快理解专门关系代数
 

 
 
 

 l
 选择
 

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 投影
 

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 连接
 

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 除
 

 
 
 

 
 
 

 1. 选择（Selection） 
 
 

  
 

  l
  选择针对单个关系中的数据进行操作，属于一元运算符，是指从关系中选择若干行。
 
 
 

  l
  例如，可以使用选择操作符（
  σ
  ）从学生关系
  S
  中选择出那些年龄大于
  19
  岁的学生。该查询可以用如下的表达式来表示：
 
 
 
  σSage>19(S)
 
 
  查询表达式中的下标“Sage>19”给出的是选择条件，只有符合该条件的元组才可以被返回到结果中。
 
 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

  
 

  l
  选择操作符
  σ
  通过指定选择条件对某个关系进行查询，查询的结果产生了一个新的关系。
 
 
 

  l
  这两个关系具有相同的关系模式。
 
 
 

  l
  新关系是被操作关系中满足条件的元组，是被操作关系的一个子集。
 
 
 
 
 

 
 
 

 
 
 

  
 

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  对关系
  R
  的选择操作记作：
 
 
 
  σF(R) = {t|tÎR∧F(t)= '真'}
 
 
  其中F表示选择条件，它是一个逻辑表达式，取逻辑值“真”或“假”。选择运算实际上是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组。 
 
 
 
 

 
 
 

 
 
 

 2.投影（Projection） 
 
 

 
 
 

  
 

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  投影操作（
  π
  ）是指从关系中选择若干列。
 
 
 

  l
  例如，可以使用投影操作符（
  π
  ）从学生关系
  S
  中找出所有学生的名字和年龄。该查询可以用如下的表达式来表示：
 
 
 
  πSname,Sage(S)
 
 
  查询表达式中的下标“Sname, Sage”指出需要返回的列的名字，其他的列在结果关系中被去掉了。 
 
 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

  
 

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  对关系
  R
  的投影操作记作：
 
 
 
  πA(R) = {t[A] |t ÎR }
 
 
  其中A为R中需要保留的属性组，t[A]是从元组t生成的新元组，新元组是从元组t中去掉不包含在属性组A中的属性。
 
 

 
 
 

 
 
 
 
 

  l
  关系代数表达式的运算结果总是一个关系。
 
 
 

  l
  既然这样，可以通过组合各种不同的关系表达式来定义新的关系
 
 
 

  l
  例如，假设想要找出年龄大于
  19
  岁的学生的名字和年龄，则可以将前面的两个查询组合起来，表达式如下：
 
 
 
 
 
  πSname,Sage(σSage>19(S))
 
 
  该查询首先在关系S上进行选择操作,然后再做投影操作。  
 
 
 
 

 
 
 
3. 连接(续) 
 
 
 
 
 

  l
  两类常用连接运算
 
 
 

  –
  （
  1
  ）等值连接（
  equijoin
  ）
 
 
 

  •
  什么是等值连接
 
 
 

  –
  当条件
  AθB
  中的
  θ
  为“＝”的连接运算称为等值连接
 
 
 

  •
  等值连接的含义
 
 
 

  –
  从关系
  R
  与
  S
  的广义笛卡尔积中选取
  A
  、
  B
  属性值相等的那些元组
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 

  –
  自然连接（
  Naturaljoin
  ）
 
 
 

  •
  什么是自然连接
 
 
 

  –
  自然连接是一种特殊的等值连接
 
 
 

  »
  它要求关系
  R
  中的属性
  A
  和关系
  S
  中的属性
  B
  名字相同
 
 
 

  »
  在结果中把重复的属性列去掉
 
 
 

  •
  自然连接的含义
 
 
 
 
 
  R和S具有相同的属性组B
 
 
        
 
 
 
 

 
 
 
 
 

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  一般的连接操作是从行的角度进行运算。自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 

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  等值连接举例
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 

 
 
 
 
 

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  自然连接举例
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
                                                                                                       
 
 
 

 
 
 
综合举例 
 
 
 
 
 
以学生-课程数据库为例
 
 

  l
  例
  2-1
  查询选修了课程号为
  C02
  的课程的学生的名字。
 
 
 
  πSname((σCno=‘C02’(SC))    S)
 
 

  –
  该表达式首先从选修关系
  SC
  中计算出课程号为
  C02
  的元组集合，然后再和学生关系
  S
  进行自然连接。
 
 
 

  –
  查询结果为
  {
  胡峻
  }
 
 
 

  –
  该查询还可以写成下面的形式：
 
 
 
  πSname(σCno=‘C02’(SC   S))
 
 
 
 

 
 
 
 

转载：https://blog.csdn.net/zgcr654321/article/details/82077809
 
正文如下：
 
各种运算符如下：
 
 
数据库中每行就是一个元组，每列就是一个属性。
 
数据库的传统集合运算包括：并、差、交、笛卡尔积运算。这四种运算都与数学上的同名运算概念相似。
 
并：
 
 
差：
 
 
交：
 
 
笛卡尔积：
 
广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）：两个分别为n目和m目关系R和S的广义笛卡尔积是一个（n+m）列的元组的集合，元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。若R有k1个元组，S有k2个元组，则关系R和关系S的广义笛卡尔积有k1*k2个元组，记作：R×S={tr⌒ts| tr∈R∧ts∈S}或记做R×S={(r1,…,rn ,s1,…,sm)∣((r1,…,rn)∈R∧(s1,…,sm)∈S)。
 
r,s为R和S中的相应分量。
 
简单来说，就是把R表的第一行与S表第一行组合写在一起，作为一行。然后把R表的第一行与S表第二行依此写在一起，作为新一行。以此类推。当S表的每一行都与R表的第一行组合过一次以后，换R表的第二行与S表第一行组合，以此类推，直到R表与S表的每一行都组合过一次，则运算完毕。如果R表有n行，S表有M行，那么笛卡尔积R×S有n×M行。
 
 
下面举一个例子：
 
关系表R和S如下图所示：
 
 
R并S、R减S、R交S、选择、R与S的笛卡尔积结果如下所示：
 
选择B>'4'（R），即选择语句的条件，对R的关系做水平分割，选择R中符合条件的元组。
 
 
 
 
数据库的专门关系运算有：选择（对关系进行水平分割）、投影（对关系进行垂直分割）、连接、自然连接（关系的结合）、除运算等。
 
选择（selection）：
 
选择就是"筛选行"。选择一般要对一张表选择符合条件的行（但包含所有列）。
 
举例：
 
 
投影（projection）：
 
投影就是"筛选列"。一个数据库表，如仅希望得到其一部分的列的内容（但全部行），就是投影。
 
举例：
 
 
除法（division）：
 
记为R÷S，它是笛卡尔积的逆运算。设关系R和S分别有r列和s列（r>s，且s≠0），那么R÷S的结果有（r-s）个列，并且是满足下列条件的最大的表：其中每行与S中的每行组合成的新行都在R中。注意有时关系之间的除法也有"余数"，可能S×T的结果为R的一部分（最大的一部分），R中的多余部分为"余数"。
 
举例：
 
运算过程：
 
 C, D是关系S中的两个属性, 故在R集合中对除了C, D的属性, 即A, B两属性进行投影, 得到a, b; b, c; e, d;这三组, 然后用这个结果与关系S进行笛卡尔积运算, 发现b c c d这组在关系R中没有, 其余a, b; e, d; 做的运算在R中存在. 因此最后结果为a, b; e, d。
 
 
 
连接（join）：
 
 
 
两表笛卡尔积的结果比较庞大，实际应用中一般仅选取其中一部分的行，选取两表列之间满足一定条件的行，就是关系之间的连接。
 
根据连接条件的种类不同，关系之间的连接分为等值连接、大于连接、小于连接、自然连接。
 
条件是类似于"B列=D列"的"某列=某列"的条件，就是等值连接；
 
条件是"某列>某列"的，就是大于连接；
 
条件是"某列<某列"的，就是小于连接。
 
自然连接是不提出明确的连接条件，但"暗含"着一个条件，就是"列名相同的值也相同"。在自然连接的结果表中，往往还要合并相同列名的列。当对关系R和S进行自然连接时，要求R和S含有一个或者多个共有的属性。
 
举一个等值连接的例子：
 
关系R和S如下图所示：
 
 
对关系R、S按条件"R表的B列=S表的B列"进行连接的结果（等值连接）：
 
 
小于连接的结果（B<D）：
 
 
自然连接的结果（自然连接暗含的条件是R.B=S.B且R.C=S.C，因为R、S中有同名的2列B、C）：
 
 
多个条件之间可用"∧"表示"且"，即两边的条件必须同时成立。
 
如"C>4∧D>3"，表示"C列值>4，且D列值>3"，二者需同时满足。
 
用"∨"表示"或"，即两边的条件有一个成立即可。
 
例如"性别='女'∨年龄<20"表示"性别为'女'或者年龄在20岁以下"。
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 作者：一骑走烟尘 
 来源：CSDN 
 原文：https://blog.csdn.net/zgcr654321/article/details/82077809 
 版权声明：本文为博主原创文章，转载请附上博文链接！
 
 

关系运算的机理有什么用
 
我们学习关系运算的机理，对我们理解数据库查询操作非常重要
 所以我们进行关系操作时很大程度上需要明白关系操作以及关系之间的逻辑
 在我们进行数据库查询操作时，如何规范的使用数据库语言，如何进行选择时能够消除我们不想要的结果，减少冗余。这些都需要充分理解关系运算
 
各种关系运算
 
 
集合运算符
 
1.并运算
 
 
2.差运算
 
 3.交运算、
 
 4.笛卡儿积
 
 
专门关系运算符
 
数据库的专门关系运算有：选择、投影、连接、自然连接、除运算等
 1.选择运算
 选择就是对表在水平方向上，筛选出一定符合条件的元组，然后组成新的关系
 例：
 
 2.投影运算
 投影就是对表在垂直方向上，对列进行筛选。
 例：
 
 3.连接
 连接就是根据给定的条件，从两个已知的关系R和S的笛卡尔集中，选取满足连接条件的若干元组，组成一个新的关系；
 具体又分为：
 1.条件连接：选取满足条件的元组组成新关系
 2.等值连接：选取满足等值条件的元组组成的关系
 3.自然连接：也是等值连接，只不过它是选取满足公共属性满足等值的元组，组成关系
 4.外连接
 
举例：
 先给出两个关系R和S：
 
 R和S的笛卡儿积表示为：
 
 我们先进行条件连接
 选择R的C列小于S的E列的元组进行连接
 表示为：
 
 反映到笛卡儿积上：
 
 2.等值连接
 等值连接R的B列等于S的B列：
 
 3.自然连接：
 选取满足公共属性满足等值的元组，组成关系
 暗含的条件是R.B=S.B且R.C=S.C，因为R、S中公共的属性列是B、C
 

 反映到笛卡儿积上表示如下：
 
 4.外连接：外连接就是将不满足条件舍弃的元组也保留到新关系中其属性值置为null
 R和S的外连接：
 1.先将R和S进行自然连接
 2.把不满足R.B=S.B的元组也保存下来，其属性值置空
 结果为：
 
 
除运算:
 
概念就不放了直接举例理解：
 
 首先第一个(1)，这个新生成的列表首先不能包含S的属性A3，然后这个新生成的表其所有属性值和S表组合都等在R中找到，满足这两个条件得到的结果就是上图
 第二个(2)，首先生成新表不包含S属性A3的值c，f，然后新表的每个属性对应行的值和S对应的属性值组成的元组都能在R中找到，满足条件就是如图
 第三第四个同样。