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  • 模糊关系合成运算的Matlab实现

    千次阅读 2020-03-23 21:03:55
    那么首先要编程的就是如何算模糊矩阵乘法,也叫模糊矩阵合成运算,算法是“先取小后取大”。用max()函数,min()函数就能搞定,最后再根据矩阵运算规则。于是有 function [R]=fuzzymm(A,B) %模糊矩阵合成运算(模糊...

    最近课程学到模糊数学,里面有关于模糊关系合成运算传递闭包的概念,十分不好理解,本来想手算几个例子来理解的,结果算到一半就烦了还十分容易算错,于是我就打算用matlab编写一个。

    这里就不讲什么是模糊关系合成运算了。百度上能搜到的我这里就不赘述了,网上也有很多关于传递闭包的解释,都比较通俗易懂。我看到教材求传递闭包的方法就是模糊矩阵反复自乘,当结果t(.R)不改变的时候即为传递闭包的值。

    那么首先要编程的就是如何算模糊关系合成运算,也有人称为模糊矩阵乘积,算法是“先取小后取大”。用max()函数,min()函数就能搞定,最后再根据矩阵运算规则。于是有

    function [R]=fuzzymm(A,B)
    %模糊矩阵合成运算的Matlab实现
    %运算规则,先"取小后取大"
    %输入必须为二阶矩阵A为m行n列, B为n行p列;
    [m,n]=size(A);[q,p]=size(B);%获得输入矩阵的维度信息
    if n~=q
        disp('第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数不相同!');
    else
        R=zeros(m,p);%初始化矩阵
    for k =1:m    
        for j=1:p
            temp=[];
            for i =1:n
                Min = min(A(k,i),B(i,j)); %求出第i对的最小值
                temp=[temp Min]; %将求出的最小值加入的数组中
            end
            R(k,j)=max(temp);
        end
    end
    end
    end
    

    我们来测试一下

    clc
    clear all;
    A=[0.3 0.7 0.2;1,0,0.4;0,0.5,1;0.6,0.7,0.8];
    B=[0.1,0.9;0.9,0.1;0.6,0.4];
    [R]=fuzzymm(A,B);
    disp(R)
    

    得到的结果

        0.7000    0.3000
        0.4000    0.9000
        0.6000    0.4000
        0.7000    0.6000
    

    结果正确!
    那么求传递闭包的只需将传入的矩阵设为相同就可以了!
    那么模糊相似矩阵的传递闭包怎么求呢,只需要反复调用函数,当结果不改变时,即为该模糊相似矩阵的传递闭包。
    例如:
    [1 0.1 0.8 0.5 0.3;
    0.1 1 0.1 0.2 0.4;
    0.8 0.1 1 0.3 0.1;
    0.5 0.2 0.3 1 0.6;
    0.3 0.4 0.1 0.6 1]

    clc
    clear all
    R=[1 0.1 0.8 0.5 0.3;0.1 1 0.1 0.2 0.4;0.8 0.1 1 0.3 0.1;0.5 0.2 0.3 1 0.6;0.3 0.4 0.1 0.6 1];
    [tR]=fuzzymm(R,R)
    

    于是有
    如图
    再次相乘
    如图
    再次相乘,发现结果不改变
    如图
    故求得传递闭包

    展开全文
  • 揭示了直觉模糊关系的自反性、对称性及传递性,证明了直觉模糊关系合成运算的结合律定理.把Atanassov算子对于直觉模糊关系性质的影响,即对于自反性、对称性、逆对称性、完全逆对称性及传递性等性质的影响,归纳为该...
  • 一、逆运算示例 、 二、合成运算示例 ( 逆序合成 ) 、 三、限制运算示例 、 四、像运算示例 、





    一、逆运算示例



    A = { a , b , c , d } A = \{ a, b, c, d \} A={a,b,c,d}

    B = { a , b , < c , d > } B = \{ a, b, <c, d> \} B={a,b,<c,d>}

    C = { < a , b > , < c , d > } C = \{ <a, b> , <c, d> \} C={<a,b>,<c,d>}

    求上述集合的逆运算


    求逆运算只能针对于 有序对 进行 , 如果没有有序对 , 就没有关系运算的概念 ;


    A A A 集合中没有有序对 , 因此没有关系运算的概念 , 对其求逆运算 , 结果是空集合 ;

    A − 1 = ∅ A^{-1} = \varnothing A1=


    B B B 集合中 有 有序对 < c , d > <c, d> <c,d> , 其逆运算就是求所有有序对的逆 ;

    B − 1 = { < d , c > } B^{-1} = \{ <d, c> \} B1={<d,c>}


    C C C 集合中 有 有序对 < a , b > , < c , d > <a,b> , <c, d> <a,b>,<c,d> , 其逆运算就是求所有有序对的逆 ;

    C − 1 = { < b , a > , < d , c > } C^{-1} = \{ <b,a> , <d, c> \} C1={<b,a>,<d,c>}





    二、合成运算示例 ( 逆序合成 )



    B = { a , b , < c , d > } B = \{ a, b , <c,d> \} B={a,b,<c,d>}

    R = { < a , b > , < c , d > } R = \{ <a,b> , <c,d> \} R={<a,b>,<c,d>}

    G = { < b , e > , < d , c > } G = \{ <b, e> , <d, c> \} G={<b,e>,<d,c>}


    求以下的合成运算结果 , 这里的 合成 指的是 逆序合成


    B o R − 1 B o R^{-1} BoR1

    R − 1 = { < b , a > , < d , c > } R^{-1} = \{ <b,a> , <d,c> \} R1={<b,a>,<d,c>}

    B o R − 1 = { < c , d > } o { < b , a > , < d , c > } = { < d , d > } B o R^{-1} = \{ <c, d> \} o \{ <b,a> , <d,c> \} = \{ <d, d> \} BoR1={<c,d>}o{<b,a>,<d,c>}={<d,d>}

    合成 默认是 逆序合成


    G o B G o B GoB

    G o B = { < b , e > , < d , c > } o { < c , d > } = { < c , c > } G o B = \{<b,e>, <d, c>\} o \{ <c,d> \} = \{ <c,c> \} GoB={<b,e>,<d,c>}o{<c,d>}={<c,c>}


    G o R G o R GoR

    G o R = { < b , e > , < d , c > } o { < a , b > , < c , d > } = { < a , e > , < c , c > } G o R =\{<b,e>, <d, c>\} o \{ <a,b> , <c,d> \} = \{ <a,e>, <c,c> \} GoR={<b,e>,<d,c>}o{<a,b>,<c,d>}={<a,e>,<c,c>}


    R o G R o G RoG

    R o G = { < a , b > , < c , d > } o { < b , e > , < d , c > } = { < d , d > } R o G =\{ <a,b> , <c,d> \} o \{<b,e>, <d, c>\} = \{ <d,d> \} RoG={<a,b>,<c,d>}o{<b,e>,<d,c>}={<d,d>}





    三、限制运算示例



    F = { < a , b > , < a , { a } > , < { a } , { a , { a } } > } F = \{ <a,b> , <a, \{a\}> , <\{a\} , \{a, \{a\}\}> \} F={<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}


    参考 : 【集合论】二元关系 ( 定义域 | 值域 | 域 | 逆运算 | 逆序合成运算 | 限制 | 像 | 单根 | 单值 | 合成运算的性质 ) 五、关系的限制


    1. 求 F ↾ { a } F \upharpoonright \{a\} F{a}

    F F F 集合中的有序对 , 第一个元素是 { a } \{a\} {a} 集合中的元素的有序对 , 这些有序对组成的集合就是 F F F 集合 在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制 ;

    F ↾ { a } = { < a , b > , < a , { a } > } F \upharpoonright \{a\} = \{ <a,b> , <a, \{a\}> \} F{a}={<a,b>,<a,{a}>}


    2. 求 F ↾ { { a } } F \upharpoonright \{\{a\}\} F{{a}}

    F F F 集合中的有序对 , 第一个元素是 { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合中的元素的有序对 , { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合中的元素是 { a } \{a\} {a} , 这些有序对组成的集合就是 F F F 集合 在 { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合上的限制 ;

    F ↾ { { a } } = { < { a , { a } } > } F \upharpoonright \{\{a\}\} = \{ <\{a, \{a\}\}> \} F{{a}}={<{a,{a}}>}


    3. 求 F ↾ { a , { a } } F \upharpoonright \{a, \{a\}\} F{a,{a}}

    F F F 集合中的有序对 , 第一个元素是 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合中的元素 的有序对 , 这些有序对组成的集合就是 F F F 集合 在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的限制 ;

    F ↾ { a , { a } } = { < a , b > , < a , { a } > , < { a } , { a , { a } } > } F \upharpoonright \{a, \{a\}\} = \{ <a,b> , <a, \{a\}> , <\{a\} , \{a, \{a\}\}> \} F{a,{a}}={<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}


    4. 求 F − 1 ↾ { { a } } F^{-1} \upharpoonright \{\{a\}\} F1{{a}}

    F − 1 = { < b , a > , < { a } , a > , < { a , { a } } , { a } > } F^{-1} = \{ <b, a> , <\{a\}, a> , <\{a, \{a\}\}, \{a\} > \} F1={<b,a>,<{a},a>,<{a,{a}},{a}>}

    F − 1 F^{-1} F1 集合中的有序对 , 第一个元素是 { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合中的元素 的有序对 , 这些有序对组成的集合就是 F − 1 F^{-1} F1 集合 在 { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合上的限制 ;

    F − 1 ↾ { { a } } = { < { a } , a > } F^{-1} \upharpoonright \{\{a\}\} = \{ <\{a\}, a> \} F1{{a}}={<{a},a>}





    四、像运算示例



    F = { < a , b > , < a , { a } > , < { a } , { a , { a } } > } F = \{ <a, b> , <a, \{ a \}> , <\{ a \} , \{ a, \{a\} \}> \} F={<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}


    参考 : 【集合论】二元关系 ( 定义域 | 值域 | 域 | 逆运算 | 逆序合成运算 | 限制 | 像 | 单根 | 单值 | 合成运算的性质 ) 六、关系的象

    F F F 集合在 A A A 集合的像 , 是 F F F 集合在 A A A 集合上限制的 值域 ;


    1. F [ { a } ] F[\{a\}] F[{a}]

    F F F 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的像 , 是 F F F 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制的值域 , F F F 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制是 { < a , b > , < a , { a } > } \{ <a, b> , <a, \{ a \}> \} {<a,b>,<a,{a}>} , 对应的 F F F 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的像是 { b , { a } } \{ b, \{a\} \} {b,{a}}

    F [ { a } ] = { b , { a } } F[\{a\}] = \{ b, \{a\} \} F[{a}]={b,{a}}


    2. F [ { a , { a } } ] F[\{a, \{a\}\}] F[{a,{a}}]

    F F F 集合在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的像 , 是 F F F 集合在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的限制的值域 , F F F 集合在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的限制是 { < a , b > , < a , { a } > , < { a } , { a , { a } } > } \{ <a, b> , <a, \{ a \}> , <\{ a \} , \{ a, \{a\} \}> \} {<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>} , 对应的 F F F 集合在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的像是 { b , { a } , { a , { a } } \{ b, \{a\} , \{ a, \{a\} \} {b,{a},{a,{a}}

    F [ { a , { a } } ] = { b , { a } , { a , { a } } F[\{a, \{a\}\}] = \{ b, \{a\} , \{ a, \{a\} \} F[{a,{a}}]={b,{a},{a,{a}}


    3. F − 1 [ { a } ] F^{-1}[\{a\}] F1[{a}]

    F − 1 = { < b , a > , < { a } , a > , < { a , { a } } , { a } > } F^{-1} = \{ <b, a> , <\{a\}, a> , <\{a, \{a\}\}, \{a\} > \} F1={<b,a>,<{a},a>,<{a,{a}},{a}>}

    F − 1 F^{-1} F1 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的像 , 是 F − 1 F^{-1} F1 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制的值域 , F − 1 F^{-1} F1 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制是 ∅ \varnothing , 对应的 F − 1 F^{-1} F1 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的像是 ∅ \varnothing

    F − 1 [ { a } ] = ∅ F^{-1}[\{a\}] = \varnothing F1[{a}]=


    4. F − 1 [ { { a } } ] F^{-1}[\{ \{a\} \}] F1[{{a}}]

    F − 1 = { < b , a > , < { a } , a > , < { a , { a } } , { a } > } F^{-1} = \{ <b, a> , <\{a\}, a> , <\{a, \{a\}\}, \{a\} > \} F1={<b,a>,<{a},a>,<{a,{a}},{a}>}

    F − 1 F^{-1} F1 集合在 { { a } } \{ \{a\} \} {{a}} 集合上的像 , 是 F − 1 F^{-1} F1 集合在 { { a } } \{ \{a\} \} {{a}} 集合上的限制的值域 , F − 1 F^{-1} F1 集合在 { { a } } \{ \{a\} \} {{a}} 集合上的限制是 < { a } , a > <\{a\}, a> <{a},a> , 对应的 F − 1 F^{-1} F1 集合在 { { a } } \{ \{a\} \} {{a}} 集合上的像是 { a } \{a\} {a}

    F − 1 [ { { a } } ] = { a } F^{-1}[\{ \{a\} \}] = \{a\} F1[{{a}}]={a}

    展开全文
  • Vague关系及其扩展合成运算,赵法信,马宗民,Vague关系作为模糊关系的一种推广,具有比模糊关系更强大的模糊信息表达能力。基于Vague集理论,系统研究了Vague关系及其合成运算。引
  • 一、关系的定义域、值域、域 、 二、关系的定义域、值域、域 示例 、 三、关系的逆运算 、 四、关系的逆序合成运算 、 五、关系的限制 、 六、关系的象 、 七、单根 、 八、单值





    一、关系的定义域、值域、域



    R R R 是一个任意集合

    定义域 ( Domain ) : d o m R = { x ∣ ∃ y ( x R y ) } dom R = \{ x | \exist y (xRy) \} domR={xy(xRy)}

    存在 y y y , x x x y y y R R R 关系 , R R R 关系是一个集合 , 集合中的元素是有序对 , x R y xRy xRy < x , y > <x,y> <x,y> 有序对 ;

    R R R 中的有序对 , 第一个元素是 x x x , 第二个元素是 y y y , 那么可以将该 x x x 放入定义域中 ;

    R R R 关系中所有的有序对的第一个元素拿出 , 构成一个定义域 ;


    值域 ( Range ) : r a n R = { y ∣ ∃ y ( x R y ) } ran R = \{ y | \exist y (xRy) \} ranR={yy(xRy)}

    R R R 关系中所有的有序对的第一个元素拿出 , 构成值域 ;


    域 ( Field ) : f l d R = d o m R ∪ r a n R fld R = dom R \cup ran R fldR=domRranR

    域 是 定义域 和 值域的并集 ;





    二、关系的定义域、值域、域 示例



    1. R 1 = { a , b } R_1 = \{a, b\} R1={a,b}

    R 1 R_1 R1 中没有有序对 , 因此其 定义域 , 值域为空 , 进而其 域 也为空 ;

    d o m R 1 = ∅ dom R_1 = \varnothing domR1=

    r a n R 1 = ∅ ran R_1 = \varnothing ranR1=

    f l d R 1 = ∅ fld R_1 = \varnothing fldR1=


    2. R 2 = { a , b , < c , d > , < e , f > } R_2 = \{ a, b, <c, d> , <e,f> \} R2={a,b,<c,d>,<e,f>}

    d o m R 2 = { c , e } dom R_2 = \{ c, e \} domR2={c,e}

    r a n R 2 = { d , f } ran R_2 = \{ d, f \} ranR2={d,f}

    f l d R 2 = { c , d , e , f } fld R_2 = \{ c, d, e , f\} fldR2={c,d,e,f}


    3. R 3 = { < 1 , 2 > , < 3 , 4 > , < 5 , 6 > } R_3 = \{ <1,2>, <3, 4> , <5,6> \} R3={<1,2>,<3,4>,<5,6>}

    d o m R 3 = { 1 , 3 , 5 } dom R_3 = \{ 1, 3, 5 \} domR3={1,3,5}

    r a n R 3 = { 2 , 4 , 6 } ran R_3 = \{ 2, 4, 6 \} ranR3={2,4,6}

    f l d R 3 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } fld R_3 = \{ 1, 2, 3, 4,5, 6\} fldR3={1,2,3,4,5,6}





    三、关系的逆运算



    任意集合 F , G F , G F,G , 这里两个集合是关系 , 集合中的元素是有序对

    逆运算 ( Inverse ) :

    F − 1 = { < x , y > ∣ y F x } F^{-1} = \{ <x, y> | yFx \} F1={<x,y>yFx}


    F F F 关系中的所有有序对中的元素 , 前后调换方向 , 有序对中第一个元素变为第二个元素 , 第二个元素变为第一个元素 ;


    如 : y F x yFx yFx , 是 < y , x > <y, x> <y,x> 有序对 , 变成 < x , y > <x, y> <x,y> 有序对 ;





    四、关系的逆序合成运算



    逆序合成 ( Composite ) :

    F o G = { < x , y > ∣ ∃ z ( x G z ∧ z F y ) } FoG = \{ <x, y> | \exist z ( xGz \land zFy ) \} FoG={<x,y>z(xGzzFy)}


    如果 关系 G G G 中有 < x , z > <x,z> <x,z> 有序对 , 关系 F F F 中有 < z , y > <z, y> <z,y> 有序对 , 就可以得到一个新的有序对 < x , y > <x,y> <x,y> , 该新的有序对在 关系 F F F 和 关系 G G G 的合成 运算结果中 ;

    这种合成是 逆序合成 , 先用 F o G FoG FoG 中的后面的 G G G 关系的有序对 , 然后再用 前者 F F F 中的有序对 ;


    逆序合成 与之对应的是顺序合成 , 一般情况下使用逆序合成 , 其性质使用方便 ;





    五、关系的限制



    对于任意集合 F , A F, A F,A , 可以定义


    F F F 集合在 A A A 集合上的 限制 ( Restriction ) :

    F ↾ A = { < x , y > ∣ x F y ∧ x ∈ A } F \upharpoonright A = \{ <x, y> | xFy \land x \in A \} FA={<x,y>xFyxA}


    解析 :

    F F F 集合是一个关系 , 其元素是 有序对

    A A A 集合是普通集合 , 其元素就是单纯的单个元素 ;

    F F F 集合中的 有序对 元素中 , 如果 有序对的 第一个元素 在 A A A 集合中, 那么将这个有序对挑出来 , 放到一个新的集合中 , 这个新集合就称为 F F F 集合在 A A A 集合上的 限制 , 记作 F ↾ A F \upharpoonright A FA ;

    上述 限制 ( Restriction ) 是限制 有序对中的第一个元素 ;

    如果想要 限制第二个元素 , 将 F F F 集合中的有序对中的 第二个元素属于 A A A 的集合的有序对挑出来 , 可以将 F F F 关系进行逆运算 , 然后 F − 1 F^{-1} F1 的限制 ;

    限制的结果仍然是一个关系 , 其集合中的元素是有序对 ;





    六、关系的象



    对于任意集合 F , A F, A F,A , 可以定义


    F F F 集合在 A A A 集合上的 像 ( Image ) :

    F ( A ) = r a n ( F ↾ A ) F(A) = ran(F \upharpoonright A) F(A)=ran(FA)

    即 , F F F A A A 集合上的 限制 ( Restriction ) 的值域 ;


    另一种表示方式 : F [ A ] = { y ∣ ∃ x ( x ∈ A ) ∧ x F y } F [A] = \{ y | \exist x ( x \in A ) \land xFy \} F[A]={yx(xA)xFy}

    F F F 中的 有序对 挑出来 , 然后挑出有序对中第一个元素在 A A A 集合中的有序对 , 将上述 有序对的第二个元素挑出来 , 放入新的集合中 , 这个集合就 F F F A A A 集合上的 像 ;


    像 的结果不是一个关系 , 而是 符合特定要求的 有序对集合 中的有序对的第二个元素组成的集合 ;





    七、单根



    任意集合 F F F , 单根 ( Single Rooted ) 定义 :

    F F F 是单根的

    ⇔ \Leftrightarrow

    ∀ y ( y ∈ r a n F → ∃ ! x ( x ∈ d o m F ∧ x F y ) ) \forall y ( y \in ran F \to \exist ! x( x \in domF \land xFy ) ) y(yranF!x(xdomFxFy))

    ⇔ \Leftrightarrow

    ( ∀ y ∈ r a n F ) ( ∃ ! x ∈ d o m F ) ( x F y ) ( \forall y \in ran F )( \exist ! x \in domF )(xFy) (yranF)(!xdomF)(xFy)


    任何一个 y y y , y y y是有序对中的值域中的元素 , 有序对中与 y y y 对应的值 x x x 元素 , 即 < x , y > <x, y> <x,y> 构成一个有序对 , x x x 存在并且唯一 ;

    有序对 < x , y > <x, y> <x,y> 中每个 y y y 都对应着不同的 x x x


    一些谓词公式说明 :

    ∃ ! \exist ! ! 表示 唯一存在 ;

    ∀ x ( ( x ∈ A → B ( x ) ) \forall x ( (x \in A \to B(x) ) x((xAB(x)) 可以缩写为 ( ∀ x ∈ A ) B ( x ) (\forall x \in A)B(x) (xA)B(x)

    ∃ x ( x ∈ A ∧ B ( x ) ) \exist x ( x \in A \land B(x) ) x(xAB(x)) 可以缩写为 ( ∃ x ∈ A ) B ( x ) (\exist x \in A)B(x) (xA)B(x)





    八、单值



    任意集合 F F F , 单值 ( Single Value ) 定义 :

    F F F 是单值的

    ⇔ \Leftrightarrow

    ∀ x ( x ∈ d o m F → ∃ ! y ( y ∈ r a n F ∧ x F y ) ) \forall x ( x \in dom F \to \exist ! y( y \in ranF \land xFy ) ) x(xdomF!y(yranFxFy))

    ⇔ \Leftrightarrow

    ( ∀ x ∈ d o m F ) ( ∃ ! y ∈ r a n F ) ( x F y ) ( \forall x \in dom F )( \exist ! y \in ranF )(xFy) (xdomF)(!yranF)(xFy)


    任何一个 x x x , x x x是有序对中的定义域域中的元素 , 有序对中与 x x x 对应的值 y y y 元素 , 即 < x , y > <x, y> <x,y> 构成一个有序对 , y y y 存在并且唯一 ;

    有序对 < x , y > <x, y> <x,y> 中每个 x x x 都对应着不同的 y y y





    九、合成运算的性质



    R 1 , R 2 , R 3 R_1, R_2, R_3 R1,R2,R3 是三个集合 , 则有以下性质 :

    ( R 1 o R 2 ) o R 3 = ( R 1 o ( R 2 o R 3 ) ) (R_1 o R_2) o R_3 = (R_1 o ( R_2 o R_3 )) (R1oR2)oR3=(R1o(R2oR3))



    F , G F, G F,G 是两集合 , 有以下性质 :

    ( F o G ) − 1 = G − 1 o F − 1 (F o G)^{-1} = G^{-1} o F^{-1} (FoG)1=G1oF1

    合成运算的逆 等于 两个集合逆的合成 ;

    展开全文
  • 一、关系运算 、 二、关系运算示例 、 三、关系运算性质





    一、关系幂运算



    关系 R R R n n n 次幂定义 :

    R ⊆ A × A , n ∈ N R \subseteq A \times A , n \in N RA×A,nN

    { R 0 = I A R n + 1 = R n ∘ R ( n ≥ 0 ) \begin{cases} R^0 = I_A & \\ R^{n +1} = R^n \circ R & ( n \geq 0 ) \end{cases} {R0=IARn+1=RnR(n0)


    关系 R R R集合 A A A 上的 二元关系 , R R R 0 0 0 次幂 R 0 R^0 R0 是恒等关系 I A I_A IA , 关系 R R R n + 1 n + 1 n+1 次幂等于 R n + 1 = R n ∘ R R^{n + 1} = R^n \circ R Rn+1=RnR 其中 n ≥ 0 n \geq 0 n0 ;

    R 1 = R 0 ∘ R = R R^1 = R^0 \circ R = R R1=R0R=R , 恒等关系与 关系 R R R 逆序合成 , 结果还是关系 R R R , 这个关系 R R R 可以是任意关系 ;

    恒等关系就是 集合 A A A 中每个元素自己跟自己有关系 ;

    关系 R R R 幂运算结果 R n R^n Rn 关系 也是集合 A A A 上的二元关系 , 因此有 R n ⊆ A × A R^n \subseteq A \times A RnA×A



    关系 R R R n n n 次幂 , 就是 n n n R R R 关系逆序合成 :

    R n = R ∘ R ∘ ⋯ ∘ R ⏟ n 个 R 逆 序 合 成 R^n = \begin{matrix} \underbrace{ R \circ R \circ \cdots \circ R } \\ n 个 R 逆序合成 \end{matrix} Rn= RRRnR





    二、关系幂运算示例



    集合 A = { a , b , c } A = \{ a, b, c \} A={a,b,c} 关系 R R R 是 集合 A A A 上的二元关系 , R ⊆ A × A R \subseteq A \times A RA×A ,

    R = { < a , b > , < b , a > , < a , c > } R = \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \} R={<a,b>,<b,a>,<a,c>}


    关系 R R R 的 幂集个数 : A A A 是有限集 , A A A 上的有序对个数是 3 × 3 = 9 3 \times 3 = 9 3×3=9 个 , A A A 上的二元关系个数 , 即有序对集合的幂集个数 , 是 2 3 × 3 = 512 2^{3\times 3} =512 23×3=512 个 ;



    关系 R R R 0 0 0 次幂 : R 0 = I A R^0 = I_A R0=IA , R R R 关系的 0 0 0 次幂是恒等关系 , 关系图是每个顶点都有环 , 顶点之间没有关系 ;

    在这里插入图片描述



    关系 R R R 1 1 1 次幂 : R 1 = R 0 ∘ R = R R^1 = R^0 \circ R = R R1=R0R=R , 恒等关系 I A I_A IA 与任何关系逆序合成 , 结果还是那个关系 ;

    在这里插入图片描述



    关系 R R R 2 2 2 次幂 :

    R 2 = R 0 ∘ R = R ∘ R = { < a , b > , < b , a > , < a , c > } ∘ { < a , b > , < b , a > , < a , c > } = { < a , a > , < b , b > , < b , c > } \begin{array}{lcl}R^2 & = & R^0 \circ R \\\\ &=& R \circ R \\\\ &=& \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \} \circ \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \} \\\\ &=& \{ <a,a>, <b, b> , <b,c> \}\end{array} R2====R0RRR{<a,b>,<b,a>,<a,c>}{<a,b>,<b,a>,<a,c>}{<a,a>,<b,b>,<b,c>}

    注意上述 ∘ \circ 运算时逆序合成 , 从后面的关系中合成前面的关系 ;

    在这里插入图片描述



    关系 R R R 3 3 3 次幂 : R 1 R_1 R1 相同

    R 3 = R 1 ∘ R = { < a , a > , < b , b > , < b , c > } ∘ { < a , b > , < b , a > , < a , c > } = { < a , b > , < a , c > , < b , a > } = R 1 \begin{array}{lcl}R^3 & = & R^1 \circ R \\\\ &=& \{ <a,a>, <b, b> , <b,c> \} \circ \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \} \\\\ &=& \{ <a,b>, <a, c> , <b,a> \} \\\\ &=& R^1 \end{array} R3====R1R{<a,a>,<b,b>,<b,c>}{<a,b>,<b,a>,<a,c>}{<a,b>,<a,c>,<b,a>}R1

    在这里插入图片描述



    关系 R R R 4 4 4 次幂 : R 2 R_2 R2 相同



    关系 R R R 5 5 5 次幂 : R 1 R_1 R1 相同



    关系 R R R 2 k 2k 2k 偶数次幂 ( k = 1 , 2 , ⋯ k=1,2, \cdots k=1,2, ) : R 2 R_2 R2 相同



    关系 R R R 2 k + 1 2k + 1 2k+1 奇数次幂 ( k = 0 , 1 , 2 , ⋯ k=0,1,2, \cdots k=0,1,2, ) : R 1 R_1 R1 相同





    三、关系幂运算性质



    关系幂运算性质 :

    关系 R R R 是 集合 A A A 上的关系 , R ⊆ A × A R \subseteq A \times A RA×A , m , n m,n m,n 是自然数 , m , n ∈ N m,n \in N m,nN ; 关系幂运算有以下两个性质 :

    R m ∘ R n = R m + n R^m \circ R^n = R^{m + n} RmRn=Rm+n

    ( R m ) n = R m n (R^m ) ^n = R^{m n} (Rm)n=Rmn

    展开全文
  • 模糊关系与模糊矩阵及其运算
  • Alpha通道及合成运算

    千次阅读 2019-05-19 22:23:26
    转载:... 前言 在看《VTK图形图像开发进阶》的时候,第七章中提到了Alpha合成技术,不明白是什么,所以。。。。 Alpha通道是一个8位的灰度通道,该通道用256级灰...
  • 一、关系矩阵 、 二、关系矩阵示例 、 三、关系矩阵性质 、 四、关系矩阵运算 、 五、关系图 、 六、关系图示例 、 七、关系表示相关性质 、
  • 关系运算 & 等价关系和划分 关系运算 关系合成 (1).设R1R_1R1​是A到B的关系,R2R_2R2​是B到C的关系,从A到C的合成关系记为R1R2R_1R_2R1​R2​定义为R1R2={<a,c>∣a∈A∧c∈C∧∃b(b∈B∧<a,b...
  • 集合论—关系运算和性质

    千次阅读 2019-06-18 23:19:15
    关系是一个有序对集合或空集合,关系之间做运算以后依然是关系关系的定义域(domR\text{dom} RdomR),值域(ranR\text{ran} RranR)和域(fldR\text{fld} RfldR) domR={x∣∃y(&lt;x,y&gt;∈R)}\text{dom} ...
  • 4.2 关系运算 1.关系的集合运算 上一章提到了,关系本身也是一种集合,所以其可以进行集合的基本运算。 2.关系的逆运算 ...3.关系合成运算 写一大堆也不好理解,简单说就是: 先R后S(将R最后一...
  • 离散数学-集合-关系运算-08

    千次阅读 2020-03-30 14:30:08
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  • 一、常见的关系的性质 、 二、关系的性质示例 、 三、关系运算性质 、
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  • 一、闭包求法 、 二、求闭包示例 ( 关系图角度 ) 、 三、求闭包示例 ( 关系矩阵角度 ) 、 四、闭包运算关系性质 、 五、闭包复合运算
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    千次阅读 2014-09-04 09:21:12
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    千次阅读 热门讨论 2014-09-11 22:39:16
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空空如也

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关系的合成运算