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  • 关系运算

    万次阅读 多人点赞 2019-03-21 14:34:02
    关系运算的运算对象是关系,运算结果亦是关系,关系代数的运算符包括两类:传统的集合运算和专门的关系运算两类。 传统的集合运算是从关系的水平方向,即行的角度来进行 而专门的关系代数不仅涉及行,还涉及列。 ...
    关系代数是一种抽象的查询语言,它用对关系的运算来表达查询。
    

    关系运算的运算对象是关系,运算结果亦是关系,关系代数的运算符包括两类:传统的集合运算和专门的关系运算两类。
    传统的集合运算是从关系的水平方向,即行的角度来进行
    而专门的关系代数不仅涉及行,还涉及列。

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    传统的集合运算

    传统的集合运算是二目运算,包括并,差,交,笛卡尔积4种运算。

    并(Union,表示为U):两个表或集合的联合。

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    例:R1=(A,B),R2=(B,C,D)。
    则R1UR2=(A,B,C,D)。
    注:U集里不包含重复的属性。

    差(Difference,表示位-):两个表或集合的区别。

    例:R1=(A,B),R2=(B,C,D)。

    则R1-R2=(A)。
    在这里插入图片描述
    注:-集里的元素个数不能大于初始。

    交(Intersection,∩):两个及以上的集合或表中具有相同属性的集合。在这里插入图片描述
    笛卡儿积(Product,表示为X):两个表或集合的组合个数。

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    例1:R1=(A,B),R2=(B,C,D)。

    则R1xR2=(AB,AC,AD,BB,BC,BD)。

    注:R1xR2集的元素个数为R1的元素个数乘R2的元素个数;

    专门的关系运算

    投影(Project,表示为π):从表中抽取特定的列值。

    表达式:πM(R)={ t(M) |t∈R }.

    释义:R表示一个关系表;

    T表示R中的一条横向的记录;

    M表示T中的M列的交叉属性值;

    πM(R)={ t(M) |t∈R }表示在关系表R中T行M列的一个属性值;
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    选择(Select,表示为σ–Sigma):从表中选取与给定条件相符的行。在这里插入图片描述

    表达式:σA=a(R)={ t(A)=a |t∈R }.

    A表示R表中的一个字段或属性类型;

    t∈R表示R表中的一条记录;

    t(A)=a表示记录t中A属性的具体值等于a;

    σA=a(R)={ t(A)=a |t∈R }表示在R表中选择A=a的一条记录;

    联接(join,表示为▷◁):通过共同属性连接两个表。

    连接运算中有两种最为常见的连接。一种是等值连接还有一种为自然连接。等值连接为从R和S的笛卡尔积中选取那些R和S的公共属性值都相等的那些元组,进行等值连接。
    自然连接是一种特殊的等值连接,在等值连接的基础上去掉那些R和S都有的公共属性列,就是自然连接。
    自然连接
    表现在数据库中简单来说是通过字段值相同的条件下,将两个表中的记录连接在一起。

    除(Division,表水为÷):除运算需要满足两个条件:表R和表S的属性集合要有相同性;R÷S的商是R和S非相同属性集合的一个投影的子集,该子集和S的笛卡尔积必须包含在R中。在这里插入图片描述
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  • 关系运算的机理有什么用 我们学习关系运算的机理,对我们理解数据库查询操作非常重要 所以我们进行关系操作时很大程度上需要明白关系操作以及关系之间的逻辑 在我们进行数据库查询操作时,如何规范的使用数据库语言...
  • 关系的基本运算只要分为两类,第一类是传统的集合操作:、交、差、笛卡尔积(乘法)、笛卡尔积的逆运算(除法)。第二类是扩充的关系操作:投影(对关系的垂直分割)、选择(对关系的水平分割)、连接和自然连接...
  • 关于关系运算

    2019-03-30 15:54:34
    关于关系运算 大家对算术运算比较熟悉,比如:3 + 4 得 7。 关系运算也是一种运算,比如:3 > 4 得 0。 关系运算是比较特殊的运算,它的具体工作是减法! 3 > 4 实际是求 3 - 4 得到一个负数, 由此可知:3 不...
  • 一、关系运算 、 二、关系运算示例 、 三、关系运算性质





    一、关系幂运算



    关系 R R R n n n 次幂定义 :

    R ⊆ A × A , n ∈ N R \subseteq A \times A , n \in N RA×A,nN

    { R 0 = I A R n + 1 = R n ∘ R ( n ≥ 0 ) \begin{cases} R^0 = I_A & \\ R^{n +1} = R^n \circ R & ( n \geq 0 ) \end{cases} {R0=IARn+1=RnR(n0)


    关系 R R R集合 A A A 上的 二元关系 , R R R 0 0 0 次幂 R 0 R^0 R0 是恒等关系 I A I_A IA , 关系 R R R n + 1 n + 1 n+1 次幂等于 R n + 1 = R n ∘ R R^{n + 1} = R^n \circ R Rn+1=RnR 其中 n ≥ 0 n \geq 0 n0 ;

    R 1 = R 0 ∘ R = R R^1 = R^0 \circ R = R R1=R0R=R , 恒等关系与 关系 R R R 逆序合成 , 结果还是关系 R R R , 这个关系 R R R 可以是任意关系 ;

    恒等关系就是 集合 A A A 中每个元素自己跟自己有关系 ;

    关系 R R R 幂运算结果 R n R^n Rn 关系 也是集合 A A A 上的二元关系 , 因此有 R n ⊆ A × A R^n \subseteq A \times A RnA×A



    关系 R R R n n n 次幂 , 就是 n n n R R R 关系逆序合成 :

    R n = R ∘ R ∘ ⋯ ∘ R ⏟ n 个 R 逆 序 合 成 R^n = \begin{matrix} \underbrace{ R \circ R \circ \cdots \circ R } \\ n 个 R 逆序合成 \end{matrix} Rn= RRRnR





    二、关系幂运算示例



    集合 A = { a , b , c } A = \{ a, b, c \} A={a,b,c} 关系 R R R 是 集合 A A A 上的二元关系 , R ⊆ A × A R \subseteq A \times A RA×A ,

    R = { < a , b > , < b , a > , < a , c > } R = \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \} R={<a,b>,<b,a>,<a,c>}


    关系 R R R 的 幂集个数 : A A A 是有限集 , A A A 上的有序对个数是 3 × 3 = 9 3 \times 3 = 9 3×3=9 个 , A A A 上的二元关系个数 , 即有序对集合的幂集个数 , 是 2 3 × 3 = 512 2^{3\times 3} =512 23×3=512 个 ;



    关系 R R R 0 0 0 次幂 : R 0 = I A R^0 = I_A R0=IA , R R R 关系的 0 0 0 次幂是恒等关系 , 关系图是每个顶点都有环 , 顶点之间没有关系 ;

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    关系 R R R 1 1 1 次幂 : R 1 = R 0 ∘ R = R R^1 = R^0 \circ R = R R1=R0R=R , 恒等关系 I A I_A IA 与任何关系逆序合成 , 结果还是那个关系 ;

    在这里插入图片描述



    关系 R R R 2 2 2 次幂 :

    R 2 = R 0 ∘ R = R ∘ R = { < a , b > , < b , a > , < a , c > } ∘ { < a , b > , < b , a > , < a , c > } = { < a , a > , < b , b > , < b , c > } \begin{array}{lcl}R^2 & = & R^0 \circ R \\\\ &=& R \circ R \\\\ &=& \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \} \circ \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \} \\\\ &=& \{ <a,a>, <b, b> , <b,c> \}\end{array} R2====R0RRR{<a,b>,<b,a>,<a,c>}{<a,b>,<b,a>,<a,c>}{<a,a>,<b,b>,<b,c>}

    注意上述 ∘ \circ 运算时逆序合成 , 从后面的关系中合成前面的关系 ;

    在这里插入图片描述



    关系 R R R 3 3 3 次幂 : R 1 R_1 R1 相同

    R 3 = R 1 ∘ R = { < a , a > , < b , b > , < b , c > } ∘ { < a , b > , < b , a > , < a , c > } = { < a , b > , < a , c > , < b , a > } = R 1 \begin{array}{lcl}R^3 & = & R^1 \circ R \\\\ &=& \{ <a,a>, <b, b> , <b,c> \} \circ \{ <a,b> , <b,a> , <a, c> \} \\\\ &=& \{ <a,b>, <a, c> , <b,a> \} \\\\ &=& R^1 \end{array} R3====R1R{<a,a>,<b,b>,<b,c>}{<a,b>,<b,a>,<a,c>}{<a,b>,<a,c>,<b,a>}R1

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    关系 R R R 4 4 4 次幂 : R 2 R_2 R2 相同



    关系 R R R 5 5 5 次幂 : R 1 R_1 R1 相同



    关系 R R R 2 k 2k 2k 偶数次幂 ( k = 1 , 2 , ⋯ k=1,2, \cdots k=1,2, ) : R 2 R_2 R2 相同



    关系 R R R 2 k + 1 2k + 1 2k+1 奇数次幂 ( k = 0 , 1 , 2 , ⋯ k=0,1,2, \cdots k=0,1,2, ) : R 1 R_1 R1 相同





    三、关系幂运算性质



    关系幂运算性质 :

    关系 R R R 是 集合 A A A 上的关系 , R ⊆ A × A R \subseteq A \times A RA×A , m , n m,n m,n 是自然数 , m , n ∈ N m,n \in N m,nN ; 关系幂运算有以下两个性质 :

    R m ∘ R n = R m + n R^m \circ R^n = R^{m + n} RmRn=Rm+n

    ( R m ) n = R m n (R^m ) ^n = R^{m n} (Rm)n=Rmn

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  • 关系矩阵运算.zip

    2019-05-09 19:30:13
    用VS2017打开,实现了离散数学里关系矩阵的相关运算。包括创建关系矩阵,关系矩阵的补集,关系矩阵的合取,以及关系矩阵间的布尔积运算
  • 模糊蕴含关系运算方法-最小运算(Mamdani),文档为一个运算实例,MATLAB程序可直接运行。
  • 数据库关系运算

    万次阅读 多人点赞 2017-03-16 19:18:14
    本文就是来讲解数据库中的各种关系运算的!本文不做数学概念的深入,只要理解相关的概念即可! 为什么我们要学习数据库关系运算?学习和理解关系运算的机理,对于理解关系数据库中的数据查询机制有十分重要的意义。...

    前言

    前面已经说了数据系统的概述了,关系模型是目前用得最多的数据模型,其中一个优点就是:有严格的数学理论根据。本文就是来讲解数据库中的各种关系运算的!本文不做数学概念的深入,只要理解相关的概念即可!

    为什么我们要学习数据库关系运算?

    学习和理解关系运算的机理,对于理解关系数据库中的数据查询机制有十分重要的意义。

    我们可能知道多表查询的时候要消除重复多余的数据,那重复多余的数据怎么产生的呢??WHERE字句又是怎么筛选数据的呢??这些问题我们在关系运算中可以找到答案的。

    学习数据库的关系运算,会让我们明白SQL语句是怎么执行的,是通过什么手段让我们得到想要的结果。


    学习大纲

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    笛卡尔积

    什么是笛卡尔积?

    笛卡尔积简单来说就是两个集合相乘的结果

    为什么查询数据库会出现笛卡尔积

    前面的博文已经说了,关系模型是关系模式的集合

    数据库中的两张表就相当于两个集合,当我们使用SELECT语句查询数据的时候,DBMS内部就是以集合相乘的运算得出结果

    笛卡尔积的产生过程

    我们发现:笛卡尔积的基数是每个集合的元组相乘
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    得出来的数据内容是难以符合现实中的实际情况的

    这里写图片描述

    例子

    为了更好地看见效果,我都会以实际的SQL语句来看效果,然后说明问题的。

    emp表的记录有14条:

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    dept表有4条记录:

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    我们来看看SMITH,在emp表中,他只在20部门。

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    但在两张表查询后,10、20、30、40部门他都在了!!我们再观察56条数据,发现每个人都有4个部门,这样的数据是不合理的!!

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    再回到初衷,我们查询两张表的目的是什么??在查询员工信息的同时,也能知道员工的部门名称是什么!!!所以,我们查询的记录数是不应该有56条这么多的。。我们查询的记录数应该是员工表的记录数,也就是14条而已!

    我们再来分析:emp表中有deptno字段,dept表中也有deptno字段!而且发现,emp表中的deptno字段的取值范围是由dept表中deptno字段来决定的!!!

    所以,我们可以使用等值连接(emp.deptno=dept.deptno)来消除笛卡尔积,这样就达到我们的目的了!

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    基于传统集合理论的关系运算

    在Oracle上,操作集合的语法提供了4个关键字:

    • UNION(并集,重复的元组不显示)
    • UNION ALL(并集,重复的元组也会显示)
    • MINUS(差集)
    • INTERSECT(交集)

    显示查询结果的全部信息,消除重复的元组

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    例子

    查询所有办事员和经理的信息

    
        SELECT *
        FROM emp
        WHERE job = 'MANAGER'
    
        UNION
    
        SELECT *
        FROM emp
        WHERE job = 'CLERK';
    

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    注意:使用UNION并操作,比使用关键字OR的性能要好!


    返回查询结果相同的部分

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    例子

    查询10部门的信息

    
    SELECT *
    FROM dept
    
    INTERSECT 
    SELECT *
    FROM dept
    WHERE deptno = 10;
    
    

    (全部部门和部门10只有部门10是相同的,所以最后返回的是部门10的结果)

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    返回的查询结果是

    这里写图片描述

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    例子

    
    SELECT *
    FROM dept
    
    MINUS
    SELECT *
    FROM dept
    WHERE deptno = 10;
    
    

    这里写图片描述


    关系代数特有的关系运算

    投影

    投影的运算过程:

    首先按照j1,j2,…,jk的顺序,从关系R 中取出列序号为j1,j2,…,jk(或属性名序列为Aj1,Aj2,…,Ajk )的k 列,然后除去结果中的重复元组,构成一个以Aj1,Aj2,…,Ajk为属性顺序的k 目关系。

    简单来说:取出一个查询结果中某某列,并消除重复的数据,这就是投影!

    • 投影是从列的角度进行的运算
    • 投影的下标可是列序号,也可是列属性名

    例子

    查询出所有部门的编号

    
    
    
    SELECT deptno
    FROM dept;
    

    查询时的过程:先查询得出dept表的所有结果,再通过投影运算只提取”deptno”的列数据,如果 SELECT 后边跟的是”*”,那么就是投影全部数据!

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    选择

    使用比较运算符、逻辑运算符,挑出满足条件的元组,运算出结果!

    例子

    查询出工资大于2000的员工的姓名

    
    
    SELECT ename
    FROM emp
    WHERE sal > 2000;
    

    过程:首先查询出emp表的所有结果,使用选择运算筛选得出工资大于2000的结果,最后使用投影运算得出工资大于2000员工的名字!

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    除运算

    除运算的实际应用我还没想明白~~~如果有朋友知道除运算能够用在数据库的哪处,请告诉我一声哈。。

    我们也了解一下除运算的过程吧:关系R有ABCD,关系S有CD,首先投影出AB(因为S有CD),再用投影出来AB的结果和关系S做笛卡尔积运算。如果做的笛卡尔积运算记录在R关系中找到相对应的记录,那么投影的AB就是结果了!

    这里写图片描述


    连接运算

    连接运算其实就在笛卡尔积运算的基础上限定了条件(某列大于、小于、等于某列),只匹配和条件相符合的,从而得出结果!

    自然连接

    自然连接就是一种特殊的连接运算,它限定的条件是【某列等于某列】。自然连接我们经常使用到。消除笛卡尔积其实就是自然连接了!

    例子

    
    SELECT *
    FROM emp, dept
    WHERE dept.deptno = emp.deptno;
    

    设定将dept表的deptno列和emp的deptno列为相同【这就是自然连接】


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  • 关系运算.go

    2019-08-16 09:05:22
    关系运算.go
  • 一、逆运算示例 、 二、合成运算示例 ( 逆序合成 ) 、 三、限制运算示例 、 四、像运算示例 、





    一、逆运算示例



    A = { a , b , c , d } A = \{ a, b, c, d \} A={a,b,c,d}

    B = { a , b , < c , d > } B = \{ a, b, <c, d> \} B={a,b,<c,d>}

    C = { < a , b > , < c , d > } C = \{ <a, b> , <c, d> \} C={<a,b>,<c,d>}

    求上述集合的逆运算


    求逆运算只能针对于 有序对 进行 , 如果没有有序对 , 就没有关系运算的概念 ;


    A A A 集合中没有有序对 , 因此没有关系运算的概念 , 对其求逆运算 , 结果是空集合 ;

    A − 1 = ∅ A^{-1} = \varnothing A1=


    B B B 集合中 有 有序对 < c , d > <c, d> <c,d> , 其逆运算就是求所有有序对的逆 ;

    B − 1 = { < d , c > } B^{-1} = \{ <d, c> \} B1={<d,c>}


    C C C 集合中 有 有序对 < a , b > , < c , d > <a,b> , <c, d> <a,b>,<c,d> , 其逆运算就是求所有有序对的逆 ;

    C − 1 = { < b , a > , < d , c > } C^{-1} = \{ <b,a> , <d, c> \} C1={<b,a>,<d,c>}





    二、合成运算示例 ( 逆序合成 )



    B = { a , b , < c , d > } B = \{ a, b , <c,d> \} B={a,b,<c,d>}

    R = { < a , b > , < c , d > } R = \{ <a,b> , <c,d> \} R={<a,b>,<c,d>}

    G = { < b , e > , < d , c > } G = \{ <b, e> , <d, c> \} G={<b,e>,<d,c>}


    求以下的合成运算结果 , 这里的 合成 指的是 逆序合成


    B o R − 1 B o R^{-1} BoR1

    R − 1 = { < b , a > , < d , c > } R^{-1} = \{ <b,a> , <d,c> \} R1={<b,a>,<d,c>}

    B o R − 1 = { < c , d > } o { < b , a > , < d , c > } = { < d , d > } B o R^{-1} = \{ <c, d> \} o \{ <b,a> , <d,c> \} = \{ <d, d> \} BoR1={<c,d>}o{<b,a>,<d,c>}={<d,d>}

    合成 默认是 逆序合成


    G o B G o B GoB

    G o B = { < b , e > , < d , c > } o { < c , d > } = { < c , c > } G o B = \{<b,e>, <d, c>\} o \{ <c,d> \} = \{ <c,c> \} GoB={<b,e>,<d,c>}o{<c,d>}={<c,c>}


    G o R G o R GoR

    G o R = { < b , e > , < d , c > } o { < a , b > , < c , d > } = { < a , e > , < c , c > } G o R =\{<b,e>, <d, c>\} o \{ <a,b> , <c,d> \} = \{ <a,e>, <c,c> \} GoR={<b,e>,<d,c>}o{<a,b>,<c,d>}={<a,e>,<c,c>}


    R o G R o G RoG

    R o G = { < a , b > , < c , d > } o { < b , e > , < d , c > } = { < d , d > } R o G =\{ <a,b> , <c,d> \} o \{<b,e>, <d, c>\} = \{ <d,d> \} RoG={<a,b>,<c,d>}o{<b,e>,<d,c>}={<d,d>}





    三、限制运算示例



    F = { < a , b > , < a , { a } > , < { a } , { a , { a } } > } F = \{ <a,b> , <a, \{a\}> , <\{a\} , \{a, \{a\}\}> \} F={<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}


    参考 : 【集合论】二元关系 ( 定义域 | 值域 | 域 | 逆运算 | 逆序合成运算 | 限制 | 像 | 单根 | 单值 | 合成运算的性质 ) 五、关系的限制


    1. 求 F ↾ { a } F \upharpoonright \{a\} F{a}

    F F F 集合中的有序对 , 第一个元素是 { a } \{a\} {a} 集合中的元素的有序对 , 这些有序对组成的集合就是 F F F 集合 在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制 ;

    F ↾ { a } = { < a , b > , < a , { a } > } F \upharpoonright \{a\} = \{ <a,b> , <a, \{a\}> \} F{a}={<a,b>,<a,{a}>}


    2. 求 F ↾ { { a } } F \upharpoonright \{\{a\}\} F{{a}}

    F F F 集合中的有序对 , 第一个元素是 { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合中的元素的有序对 , { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合中的元素是 { a } \{a\} {a} , 这些有序对组成的集合就是 F F F 集合 在 { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合上的限制 ;

    F ↾ { { a } } = { < { a , { a } } > } F \upharpoonright \{\{a\}\} = \{ <\{a, \{a\}\}> \} F{{a}}={<{a,{a}}>}


    3. 求 F ↾ { a , { a } } F \upharpoonright \{a, \{a\}\} F{a,{a}}

    F F F 集合中的有序对 , 第一个元素是 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合中的元素 的有序对 , 这些有序对组成的集合就是 F F F 集合 在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的限制 ;

    F ↾ { a , { a } } = { < a , b > , < a , { a } > , < { a } , { a , { a } } > } F \upharpoonright \{a, \{a\}\} = \{ <a,b> , <a, \{a\}> , <\{a\} , \{a, \{a\}\}> \} F{a,{a}}={<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}


    4. 求 F − 1 ↾ { { a } } F^{-1} \upharpoonright \{\{a\}\} F1{{a}}

    F − 1 = { < b , a > , < { a } , a > , < { a , { a } } , { a } > } F^{-1} = \{ <b, a> , <\{a\}, a> , <\{a, \{a\}\}, \{a\} > \} F1={<b,a>,<{a},a>,<{a,{a}},{a}>}

    F − 1 F^{-1} F1 集合中的有序对 , 第一个元素是 { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合中的元素 的有序对 , 这些有序对组成的集合就是 F − 1 F^{-1} F1 集合 在 { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合上的限制 ;

    F − 1 ↾ { { a } } = { < { a } , a > } F^{-1} \upharpoonright \{\{a\}\} = \{ <\{a\}, a> \} F1{{a}}={<{a},a>}





    四、像运算示例



    F = { < a , b > , < a , { a } > , < { a } , { a , { a } } > } F = \{ <a, b> , <a, \{ a \}> , <\{ a \} , \{ a, \{a\} \}> \} F={<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}


    参考 : 【集合论】二元关系 ( 定义域 | 值域 | 域 | 逆运算 | 逆序合成运算 | 限制 | 像 | 单根 | 单值 | 合成运算的性质 ) 六、关系的象

    F F F 集合在 A A A 集合的像 , 是 F F F 集合在 A A A 集合上限制的 值域 ;


    1. F [ { a } ] F[\{a\}] F[{a}]

    F F F 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的像 , 是 F F F 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制的值域 , F F F 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制是 { < a , b > , < a , { a } > } \{ <a, b> , <a, \{ a \}> \} {<a,b>,<a,{a}>} , 对应的 F F F 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的像是 { b , { a } } \{ b, \{a\} \} {b,{a}}

    F [ { a } ] = { b , { a } } F[\{a\}] = \{ b, \{a\} \} F[{a}]={b,{a}}


    2. F [ { a , { a } } ] F[\{a, \{a\}\}] F[{a,{a}}]

    F F F 集合在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的像 , 是 F F F 集合在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的限制的值域 , F F F 集合在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的限制是 { < a , b > , < a , { a } > , < { a } , { a , { a } } > } \{ <a, b> , <a, \{ a \}> , <\{ a \} , \{ a, \{a\} \}> \} {<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>} , 对应的 F F F 集合在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的像是 { b , { a } , { a , { a } } \{ b, \{a\} , \{ a, \{a\} \} {b,{a},{a,{a}}

    F [ { a , { a } } ] = { b , { a } , { a , { a } } F[\{a, \{a\}\}] = \{ b, \{a\} , \{ a, \{a\} \} F[{a,{a}}]={b,{a},{a,{a}}


    3. F − 1 [ { a } ] F^{-1}[\{a\}] F1[{a}]

    F − 1 = { < b , a > , < { a } , a > , < { a , { a } } , { a } > } F^{-1} = \{ <b, a> , <\{a\}, a> , <\{a, \{a\}\}, \{a\} > \} F1={<b,a>,<{a},a>,<{a,{a}},{a}>}

    F − 1 F^{-1} F1 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的像 , 是 F − 1 F^{-1} F1 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制的值域 , F − 1 F^{-1} F1 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制是 ∅ \varnothing , 对应的 F − 1 F^{-1} F1 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的像是 ∅ \varnothing

    F − 1 [ { a } ] = ∅ F^{-1}[\{a\}] = \varnothing F1[{a}]=


    4. F − 1 [ { { a } } ] F^{-1}[\{ \{a\} \}] F1[{{a}}]

    F − 1 = { < b , a > , < { a } , a > , < { a , { a } } , { a } > } F^{-1} = \{ <b, a> , <\{a\}, a> , <\{a, \{a\}\}, \{a\} > \} F1={<b,a>,<{a},a>,<{a,{a}},{a}>}

    F − 1 F^{-1} F1 集合在 { { a } } \{ \{a\} \} {{a}} 集合上的像 , 是 F − 1 F^{-1} F1 集合在 { { a } } \{ \{a\} \} {{a}} 集合上的限制的值域 , F − 1 F^{-1} F1 集合在 { { a } } \{ \{a\} \} {{a}} 集合上的限制是 < { a } , a > <\{a\}, a> <{a},a> , 对应的 F − 1 F^{-1} F1 集合在 { { a } } \{ \{a\} \} {{a}} 集合上的像是 { a } \{a\} {a}

    F − 1 [ { { a } } ] = { a } F^{-1}[\{ \{a\} \}] = \{a\} F1[{{a}}]={a}

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空空如也

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关系的并运算