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  • 关系的形式化定义概念 域 域是一组具有相同数据类型的值的集合,又称为值域。 (用D表示) 域中所包含的值的个数称为域的基数(用m表示)。在关系中用域表示属性的取值范围。 笛卡尔积 定义:给定一组域D1,D2,…...

    关系的形式化定义和概念

    域是一组具有相同数据类型的值的集合,又称为值域。 (用D表示)

    域中所包含的值的个数称为域的基数(用m表示)。在关系中用域表示属性的取值范围。在这里插入图片描述

    笛卡尔积

    定义:给定一组域D1,D2,…,Dn(它们可以包含相同的元素,即可以完全不同,也可以部分或
    全部相同)。D1,D2,…,Dn的笛卡尔积为D1×D2×……×Dn={(d1,d2,…,dn)|di∈Di, i=1,2,…,n}

    每一个元素(d1,d2,…,dn)中的每一个值di叫做一个分量(Component) ,di∈Di 
    每一个元素( d1,d2,…,dn)叫做一个n元组(n-Tuple),简称元组(Tuple)

    笛卡尔积的特点和举例

    在这里插入图片描述

    例如,上述表示教师关系中姓名、性别两个域的笛卡尔积为:
    D1×D2={(李力,男),(李力,女),(王平,男),(王平,女),(刘伟,男),(刘伟,女)}

    分量:李力、王平、刘伟、男、女
    元组:(李力,男),(李力,女) , M=m1×m2=3×2=6
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    笛卡尔积的表现形式

    在这里插入图片描述

    关系的定义

    定义:笛卡尔积D1×D2×…×Dn的任一子集称为定义在域D1,D2,…,Dn上的n元关系(Relation)
    在这里插入图片描述

    关系的相关概念

    在关系R中,当n=1时,称为单元关系。当n=2时,称为二元关系,以此类推 。 
    关系中的每个元素是关系中的元组,通常用t表示,关系中元组个数是关系的基数
    由于关系是笛卡尔积的子集,因此,也可以把关系看成一个二维表 。 
    具有相同关系框架的关系称为同类关系 。
    在这里插入图片描述

    在关系模型中,关系可进一步定义为:
    在这里插入图片描述

    关系的性质

    一种规范化了的二维表中行的集合
    每一列中的分量必须来自同一个域,必须是同一类型的数据。
    不同的列可来自同一个域,每一列称为属性,不同的属性必须有不同的名字 。
    列的顺序可以任意交换,名字同时换。 
    关系中元组的顺序(即行序)可任意。 
    关系中每一分量必须是不可分的数据项。
    在这里插入图片描述

    关系模式

    关系是笛卡尔积的子集,子集由元组构成,关系模式需要指出元组的结构,即由哪些属性构成,属性取自哪一个域,属性与域之间的映射关系。

    现实世界不断变化,关系模式的关系也不断变化,但是关系模式限定了关系的变化可能性,即关系的变化必须满足约束条件。

    关系的描述称为关系模式(RelationSchema)
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    关系模式和关系的比较

    在这里插入图片描述

    关系数据库与关系数据库模式

    在给定领域中,所有实体以及实体之间的联系所对应的关系集合构成一个关系数据库。
    在这里插入图片描述

    关系数据库模式

    对关系数据库的描述,由若干域的定义以及在这些域上定义的若干关系模式构成。
    描述了关系数据库的结构
    描述了关系数据库的框架。
    在这里插入图片描述

    关系数据库

    关系数据库在某一状态下对应的关系集合。
    描述了关系模式的内容。
    也称关系数据库实例。
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  • 1. 偏序关系定义 ( 1 ) 偏序关系定义 ( 自反 | 反对称 | 传递 ) ( 2 ) 偏序关系 与 等价关系 ( 等价关系 用于分类 | 偏序关系 用于组织 ) 2. 偏序集定义 ( 1 ) 偏序集定义 二. 偏序关系 示例 1. 小于等于关系 ...









    一. 偏序关系




    1. 偏序关系定义



    ( 1 ) 偏序关系定义 ( 自反 | 反对称 | 传递 )


    偏序关系 定义 :

    • 1.前置条件 1 : A ̸ = ∅ A \not= \varnothing A̸= , 并且 R ⊆ A × A R \subseteq A \times A RA×A ;

    • 2.前置条件 2 : 如果 R R R自反 , 反对称 , 传递的 ;

      • ① 自反 : 每个元素 自己 和 自己 都有关系 , x R x xRx xRx ;
      • ② 反对称 : 如果 x R y xRy xRy 并且 y R x yRx yRx x = y x=y x=y , x ̸ = y x \not=y x̸=y , x R y xRy xRy y R x yRx yRx 不能同时存在 ; 可以没有 , 但是一定不能同时出现 ;
      • ③ 传递 : 如果 有 x R y xRy xRy , y R z yRz yRz , 那么必须有 x R z xRz xRz , 如果前提不成立 , 那么也勉强称为传递 ;
    • 3.结论 : R R R A A A 上的偏序关系 ;

    • 4.表示 : 使用 ⪯ \preceq 表示偏序关系 ;

    • 5.读法 : ⪯ \preceq 读作 "小于等于" ;

    • 6.使用公式表示 :
      &lt; x , y &gt; ∈ R ⟺ x R y ⟺ x ⪯ y &lt;x, y&gt; \in R \Longleftrightarrow xRy \Longleftrightarrow x \preceq y <x,y>RxRyxy

    • 7.公式解读 : 如果 x x x , y y y 两个元素 构成 有序对 &lt; x , y &gt; &lt;x,y&gt; <x,y> , 并且在偏序关系 R R R , x x x y y y 具有 R R R 关系 , 也可以写成 x x x 小于等于 ( 偏序符号 ) y y y ;

    • 8.常见的偏序关系 : 树 上 的 小于等于关系 , 集合上的包含关系 , 0 0 0 自然数之间的整除关系 , 都是常见的偏序关系 ;




    ( 2 ) 偏序关系 与 等价关系 ( 等价关系 用于分类 | 偏序关系 用于组织 )


    偏序关系 与 等价关系 :

    • 1.表示层次结构 : 偏序关系是非常常用的二元关系 , 通常用来 表示 层次结构 ;
    • 2.等价关系 : 等价关系 是 用来分类的 , 将一个 集合 分为 几个等价类 ;
    • 3.偏序关系 : 偏序关系 通常是 用来组织的 , 在每个类的内部 , 赋予其一个结构 , 特别是层次结构 , 有上下层级 ,




    2. 偏序集定义



    ( 1 ) 偏序集定义


    偏序集 定义 :

    • 1.前置条件 1 : ⪯ \preceq A A A 上的 偏序关系 ;
    • 2.结论 : &lt; A , ⪯ &gt; &lt;A , \preceq&gt; <A,> 是偏序集 ;
    • 3.解读 : 集合 A A A 与 偏序关系 ⪯ \preceq 构成的有序对 , 称为 偏序集 ;





    二. 偏序关系 示例




    1. 小于等于关系



    ( 1 ) 小于等于关系 说明


    偏序集示例 1 ( 小于等于关系 ≤ \leq 是 偏序关系 ) :

    • 1.公式表示 : ∅ ̸ = A ⊆ R , &lt; A , ≤ &gt; \varnothing \not= A \subseteq R , &lt;A , \leq &gt; ̸=AR,<A,>
    • 2.语言描述 : 如果 A A A 是 实数集 R R R 的 子集 , 并且 A A A 不能 是 空集 ∅ \varnothing , 集合 A A A 中的 小于等于关系 , 是偏序关系 ;
    • 3.使用集合形式表示关系 : ≤ = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ A ∧ x ≤ y } \leq = \{ &lt;x,y&gt; | x,y \in A \land x \leq y \} ={<x,y>x,yAxy}



    ( 2 ) 小于等于关系 分析


    实数集 A A A 上的 小于等于关系 ( ≤ \leq ) 分析 :

    • 1.自反性质分析 : x x x 小于等于 x x x , x ≤ x x \leq x xx , 是成立的 , 小于等于关系 是 自反的 ;
    • 2.反对称性质分析 : x x x 小于等于 y y y , y y y 小于等于 x x x , 推出 x = y x = y x=y , 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 小于等于 关系 是 反对称的 ,
    • 3.传递性质分析 : x x x 小于等于 y y y , y y y 小于等于 z z z , x x x 小于等于 z z z , 是成立的 , 因此 小于等于关系 是 传递的 ;
    • 4.总结 : 综上所述 , 小于等于 关系 是 偏序关系 ;




    2. 大于等于关系



    ( 1 ) 大于等于关系 说明


    偏序集示例 2 ( 大于等于关系 ≥ \geq 是 偏序关系 ) :

    • 1.公式表示 : ∅ ̸ = A ⊆ R , &lt; A , ≥ &gt; \varnothing \not= A \subseteq R , &lt;A , \geq &gt; ̸=AR,<A,>
    • 2.语言描述 : 如果 A A A 是 实数集 R R R 的 子集 , 并且 A A A 不能 是 空集 ∅ \varnothing , 集合 A A A 中的 大于等于关系 ( ≥ \geq ) , 是偏序关系 ;
    • 3.使用集合形式表示关系 : ≥ = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ A ∧ x ≥ y } \geq = \{ &lt;x,y&gt; | x,y \in A \land x \geq y \} ={<x,y>x,yAxy}



    ( 2 ) 大于等于关系 分析


    实数集 A A A 上的 大于等于关系 ( ≥ \geq ) 分析 :

    • 1.自反性质分析 : x x x 大于等于 x x x , x ≥ x x \geq x xx , 是成立的 , 大于等于关系 是 自反的 ;
    • 2.反对称性质分析 : x x x 大于等于 y y y , y y y 大于等于 x x x , 推出 x = y x = y x=y , 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 大于等于 关系 是 反对称的 ,
    • 3.传递性质分析 : x x x 大于等于 y y y , y y y 大于等于 z z z , x x x 大于等于 z z z , 是成立的 , 因此 大于等于关系 是 传递的 ;
    • 4.总结 : 综上所述 , 大于等于 关系 是 偏序关系 ;




    3. 整除关系



    ( 1 ) 整除关系 说明


    偏序集示例 3 ( 整除关系 是 偏序关系 ) :

    • 1.公式表示 : ∅ ̸ = A ⊆ Z + = { x ∣ x ∈ Z ∧ x &gt; 0 } &lt; A , ∣ &gt; \varnothing \not= A \subseteq Z_+ = \{ x | x \in Z \land x &gt; 0 \}&lt;A , | &gt; ̸=AZ+={xxZx>0}<A,>
    • 2.语言描述 : 如果 A A A 是 正整数集 Z + Z_+ Z+ 的 子集 , 并且 A A A 不能 是 空集 ∅ \varnothing , 集合 A A A 中的 整除关系 ( ∣ | ) , 是偏序关系 ;
    • 3.使用集合形式表示关系 : ∣ = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ A ∧ x ∣ y } |= \{ &lt;x,y&gt; | x,y \in A \land x | y \} ={<x,y>x,yAxy}
    • 4.整除关系 : x ∣ y x|y xy , x x x y y y 的因子 , 或 y y y x x x 的倍数 ;



    ( 2 ) 整除关系 分析


    正整数集 A A A 上的 整除关系 ( ∣ | ) 分析 :

    • 1.自反性质分析 : x x x 整除 x x x , x ∣ x x | x xx , 是成立的 , 整除关系 ( | ) 是 自反的 ;
    • 2.反对称性质分析 : x x x 整除 y y y , y y y 整除 x x x , 两个正整数互相都能整除 , 它们只能相等 , 推出 x = y x = y x=y , 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 整除 关系 是 反对称的 ,
    • 3.传递性质分析 : x x x 整除 y y y , y y y 整除 z z z , x x x 整除 z z z , 是成立的 , 因此 整除关系 是 传递的 ;
    • 4.总结 : 综上所述 , 整除 关系 是 偏序关系 ;




    4. 包含关系



    ( 1 ) 包含关系 说明


    偏序集示例 4 ( 包含关系 ⊆ \subseteq 是 偏序关系 ) :

    • 1.公式表示 : A ⊆ P ( A ) , ⊆ = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ A ∧ x ⊆ y } \mathscr{A} \subseteq P(A) , \subseteq = \{&lt;x , y&gt; | x , y \in \mathscr{A} \land x \subseteq y \} AP(A),={<x,y>x,yAxy}
    • 2.语言描述 : 集合 A A A 上的幂集合 P ( A ) P(A) P(A) , P ( A ) P(A) P(A) 的子集合 构成 集族 A \mathscr{A} A , 该集族 A \mathscr{A} A 上的包含关系 , 是偏序关系 ;



    ( 2 ) 包含关系 分析


    分析 集合的 子集族 之间的包含关系 :


    ① 假设一个比较简单的集合

    A = { a , b } A=\{a, b\} A={a,b}


    ② 分析 下面 A A A 的 3 个子集族 ;

    A 1 = { ∅ , { a } , { b } } \mathscr{A}_1 = \{ \varnothing , \{a\} , \{b\} \} A1={,{a},{b}}

    集族 A 1 \mathscr{A}_1 A1 包含 空集 ∅ \varnothing , 单元集 { a } \{a\} {a} , 单元集 { b } \{b\} {b} ;

    A 2 = { { a } , { a , b } } \mathscr{A}_2 = \{ \{a\} , \{a, b\} \} A2={{a},{a,b}}

    集族 A 2 \mathscr{A}_2 A2 包含 单元集 { a } \{a\} {a} , 2 元集 { a , b } \{a, b\} {a,b} ;

    A 3 = P ( A ) = { ∅ , { a } , { b } , { a , b } } \mathscr{A}_3 = P(A) = \{ \varnothing , \{a\} , \{b\} , \{a, b\} \} A3=P(A)={,{a},{b},{a,b}}

    集族 A 3 \mathscr{A}_3 A3 包含 空集 ∅ \varnothing , 单元集 { a } \{a\} {a} , 单元集 { b } \{b\} {b} , 2 元集 { a , b } \{a, b\} {a,b} ; 这是 集合 A A A 的 幂集 ;


    ③ 列举出集族 A 1 \mathscr{A}_1 A1 上的包含关系 :

    ⊆ 1 = I A 1 ∪ { &lt; ∅ , { a } &gt; , &lt; ∅ , { b } &gt; } \subseteq_1 = I_{\mathscr{A}1} \cup \{ &lt;\varnothing , \{a\}&gt; , &lt;\varnothing , \{b\}&gt; \} 1=IA1{<,{a}>,<,{b}>}

    ⊆ 1 \subseteq_1 1 是集合 A 1 \mathscr{A}1 A1 上的偏序关系 ;

    即 分析 空集 ∅ \varnothing , 单元集 { a } \{a\} {a} , 单元集 { b } \{b\} {b} 三个 集合之间的包含关系 :

    • 1.恒等关系 I A 1 I_{\mathscr{A}1} IA1 : &lt; { a } , { a } &gt; 和 &lt; { b } , { b } &gt; &lt;\{a\} , \{a\}&gt; 和 &lt;\{b\} , \{b\}&gt; <{a},{a}><{b},{b}> , 集合上的恒等关系 , 每个集合 肯定 自己包含自己 ;
    • 2. &lt; ∅ , { a } &gt; &lt;\varnothing , \{a\}&gt; <,{a}> : 空集 肯定 包含于 集合 { a } \{a\} {a} ;
    • 3. &lt; ∅ , { b } &gt; &lt;\varnothing , \{b\}&gt; <,{b}> : 空集 肯定 包含于 集合 { b } \{b\} {b} ;
    • 4.总结 : 这些包含关系 的性质分析 :
      • ① 自反 : 每个元素自己 包含 自己 , A ⊆ A A \subseteq A AA , 包含关系具有 自反性质 ;
      • ② 反对称 : 如果 集合 A ⊆ B A \subseteq B AB , B ⊆ A B \subseteq A BA , 那么 A = B A = B A=B , 显然 包含关系 具有反对称性质 ;
      • ③ 传递 : 如果 A ⊆ B A \subseteq B AB , 并且 A ⊆ C A \subseteq C AC , 那么有 A ⊆ C A \subseteq C AC , 包含关系 具有传递性质 ;

    ④ 列举出集族 A 2 \mathscr{A}_2 A2 上的包含关系 :

    ⊆ 2 = I A 2 ∪ { &lt; { a } , { a , b } &gt; \subseteq_2 = I_{\mathscr{A}2} \cup \{ &lt;\{a\} , \{a, b\}&gt; 2=IA2{<{a},{a,b}>

    ⊆ 2 \subseteq_2 2 是集合 A 2 \mathscr{A}2 A2 上的偏序关系 ;


    ⑤ 列举出集族 A 3 \mathscr{A}_3 A3 上的包含关系 :

    ⊆ 3 = I A 3 ∪ { &lt; ∅ , { a } &gt; , &lt; ∅ , { b } &gt; , &lt; ∅ , { a , b } &gt; , &lt; { a } , { a , b } &gt; , &lt; { b } , { a , b } &gt; } \subseteq_3 = I_{\mathscr{A}3} \cup \{ &lt;\varnothing , \{a\}&gt; , &lt;\varnothing , \{b\}&gt;, &lt;\varnothing , \{a, b\}&gt; , &lt;\{a\} , \{a, b\}&gt; , &lt;\{b\} , \{a, b\}&gt; \} 3=IA3{<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a,b}>,<{b},{a,b}>}

    ⊆ 3 \subseteq_3 3 是集合 A 3 \mathscr{A}_3 A3 上的偏序关系 ;




    5. 加细关系



    ( 1 ) 加细关系 说明


    偏序集示例 5 ( 加细关系 ⪯ 加 细 \preceq_{加细} 是 偏序关系 ) :

    • 1.加细关系描述 : A ̸ = ∅ A \not= \varnothing A̸= , π \pi π 是 由 A A A 的 一些划分 组成的集合 ;

    ⪯ 加 细 = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ π ∧ x 是 y 的 加 细 } \preceq_{加细} = \{&lt;x , y&gt; | x , y \in \pi \land x 是 y 的 加细\} ={<x,y>x,yπxy}

    • 2.划分 : 划分 是 一个 集族 ( 集合的集合 ) , 其元素是集合 又叫 划分快 , 其中 每个元素(集族中的元素)集合 中的 元素 是 非空集合 A A A 的元素 ;
      • ① 该集族不包含空集 ;
      • ② 该集族中任意两个集合都不想交 ;
      • ③ 该集族中 所有 元素 取并集 , 得到 集合 A A A ;



    ( 2 ) 加细关系 分析


    分析 集合的 划分之间 的 加细 关系 :

    ① 集合 A = { a , b , c } A = \{a, b, c\} A={a,b,c} , 下面的 划分 和 加细 都基于 该 集合 进行分析 ;


    ② 下面 列出集合 A A A 的 5 个划分 :

    划分 1 : 对应 1 个等价关系 , 分成 1 类 ;
    A 1 = { { a , b , c } } \mathscr{A}_1 =\{ \{ a, b, c \} \} A1={{a,b,c}}

    划分 2 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;
    A 2 = { { a } , { b , c } } \mathscr{A}_2 = \{ \{ a \} , \{ b, c \} \} A2={{a},{b,c}}

    划分 3 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;
    A 3 = { { b } , { a , c } } \mathscr{A}_3 = \{ \{ b \} , \{ a, c \} \} A3={{b},{a,c}}

    划分 4 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;
    A 4 = { { c } , { a , b } } \mathscr{A}_4 = \{ \{ c \} , \{ a, b \}\} A4={{c},{a,b}}

    划分 5 : 对应 3 个等价关系 , 分成 3 类 ; 每个元素自己自成一类
    A 5 = { { a } , { b } , { c } } \mathscr{A}_5 = \{ \{ a \} , \{ b \}, \{ c \} \} A5={{a},{b},{c}}

    ③ 下面 列出要分析的几个由划分组成的集合 :

    集合 1 :
    π 1 = { A 1 , A 2 } \pi_1 = \{ \mathscr{A}_1, \mathscr{A}_2 \} π1={A1,A2}

    集合 2 :
    π 2 = { A 2 , A 3 } \pi_2 = \{ \mathscr{A}_2, \mathscr{A}_3 \} π2={A2,A3}

    集合 3 :
    π 3 = { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 } \pi_3 = \{ \mathscr{A}_1, \mathscr{A}_2, \mathscr{A}_3, \mathscr{A}_4, \mathscr{A}_5 \} π3={A1,A2,A3,A4,A5}

    ④ 集合 π 1 \pi_1 π1 上的加细关系分析 :

    • 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有 I π 1 I_{\pi 1} Iπ1 , &lt; A 1 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_1&gt; <A1,A1> , &lt; A 2 , A 2 &gt; &lt;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_2&gt; <A2,A2> ;
    • 2.其它加细关系 : A 2 \mathscr{A}_2 A2 划分中的 每个划分块 , 都是 A 1 \mathscr{A}_1 A1 划分 中块 的某个划分块的子集合 , 因此有 A 2 \mathscr{A}_2 A2 A 1 \mathscr{A}_1 A1 的加细 , 记做 &lt; A 2 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1&gt; <A2,A1> ;
    • 3.加细的定义 : A 1 \mathscr{A}_1 A1 A 2 \mathscr{A}_2 A2 都是集合 A A A 的划分, A 2 \mathscr{A}_2 A2 中的 每个划分块 , 都含于 A 1 \mathscr{A}_1 A1 中的某个划分块中 , 则称 A 2 \mathscr{A}_2 A2 A 1 \mathscr{A}_1 A1 的加细 ;

    - 4.加细关系列举 :
    ⪯ 1 = I π 1 ∪ { &lt; A 2 , A 1 &gt; } \preceq_1 = I_{\pi 1} \cup \{ &lt;\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1&gt; \} 1=Iπ1{<A2,A1>}


    ⑤ 集合 π 2 \pi_2 π2 上的加细关系分析 :

    • 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有 I π 2 I_{\pi 2} Iπ2 , &lt; A 3 , A 3 &gt; &lt;\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_3&gt; <A3,A3> , &lt; A 2 , A 2 &gt; &lt;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_2&gt; <A2,A2> ;
    • 2.其它加细关系 : A 2 \mathscr{A}_2 A2 A 3 \mathscr{A}_3 A3 这两个划分互相不是加细 , 因此 该集合中没有其它加细关系 ;

    - 4.加细关系列举 :
    ⪯ 2 = I π 2 \preceq_2 = I_{\pi 2} 2=Iπ2


    ⑥ 集合 π 3 \pi_3 π3 上的加细关系分析 :

    • 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有 I π 3 I_{\pi 3} Iπ3 , &lt; A 1 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_1 , \mathscr{A}_1&gt; <A1,A1> , &lt; A 2 , A 2 &gt; &lt;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_2&gt; <A2,A2>, &lt; A 3 , A 3 &gt; &lt;\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_3&gt; <A3,A3>, &lt; A 4 , A 4 &gt; &lt;\mathscr{A}_4 , \mathscr{A}_4&gt; <A4,A4>, &lt; A 5 , A 5 &gt; &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_5&gt; <A5,A5> ;
    • 2.其它加细关系 :
      • ① 与 A 5 \mathscr{A}_5 A5 划分相关的加细 : A 5 \mathscr{A}_5 A5 是划分最细的 等价关系 , A 5 \mathscr{A}_5 A5 是其它所有 划分 的加细 , 因此有 &lt; A 5 , A 4 &gt; &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_4&gt; <A5,A4> , &lt; A 5 , A 3 &gt; &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_3&gt; <A5,A3> , &lt; A 5 , A 2 &gt; &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_2&gt; <A5,A2> , &lt; A 5 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_1&gt; <A5,A1> ;
      • ② 与 A 1 \mathscr{A}_1 A1 划分相关的加细 : A 1 \mathscr{A}_1 A1 是划分最粗的 等价关系 , 所有的划分 都是 A 1 \mathscr{A}_1 A1 的加细 , 因此有 &lt; A 5 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_1&gt; <A5,A1> , &lt; A 4 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_4 , \mathscr{A}_1&gt; <A4,A1> , &lt; A 3 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_1&gt; <A3,A1> , &lt; A 2 , A 1 &gt; &lt;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_1&gt; <A2,A1> ;
    • 4.加细关系列举 :

    ⪯ 3 = I π 3 ∪ { &lt; A 5 , A 4 &gt; , &lt; A 5 , A 3 &gt; , &lt; A 5 , A 2 &gt; , &lt; A 5 , A 1 &gt; , &lt; A 4 , A 1 &gt; , &lt; A 3 , A 1 &gt; , &lt; A 2 , A 1 &gt; } \preceq_3 = I_{\pi 3} \cup \{ &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_4&gt; , &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_3&gt; , &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_2&gt; , &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_1&gt; , &lt;\mathscr{A}_4 , \mathscr{A}_1&gt;, &lt;\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_1&gt;, &lt;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_1&gt; \} 3=Iπ3{<A5,A4>,<A5,A3>,<A5,A2>,<A5,A1>,<A4,A1>,<A3,A1>,<A2,A1>}


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  • 离散数学关系概念

    千次阅读 2020-12-29 16:51:44
    关系 序偶 概念:有两个元素a,b按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对,记作(a,b)。 笛卡尔积 概念:A,B两个集合,取A中元素为第一元素,B中为第二元素,并构成有序对,这样构成的集合成为A,B的笛卡尔积,...

    关系

    序偶
    概念:有两个元素a,b按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对,记作(a,b)。
    在这里插入图片描述笛卡尔积

    概念:A,B两个集合,取A中元素为第一元素,B中为第二元素,并构成有序对,这样构成的集合成为A,B的笛卡尔积,表示为A x B

    定理:
    在这里插入图片描述

    二元关系

    在这里插入图片描述三种特殊关系
    在这里插入图片描述
    二元关系的个数

    在这里插入图片描述

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  • 关系模型的概念定义

    万次阅读 多人点赞 2018-05-02 20:37:51
    (2)关系模型的概念单一,无论实体还是实体之间的联系都用关系表示,操作的对象个操作的结果都是关系,所以其数据结构简单、清晰、用户易懂易用。 (3)关系模型的存取路径对用户透明,从而具有更高的数据独立性,更好...

    关系数据模型:

    (1)关系模型与非关系模型不同,它是建立在严格的数学概念的基础上的。
    (2)关系模型的概念单一,无论实体还是实体之间的联系都用关系表示,操作的对象个操作的结果都是关系,所以其数据结构简单、清晰、用户易懂易用。
    (3)关系模型的存取路径对用户透明,从而具有更高的数据独立性,更好的安全保密性,也简化了程序员的工作和数据开发建立的工作。当然,关系数据库模型也有缺点,其中最主要的缺点是,由于存取路径对用户透明,查询效率往往不如非关系型数据库。因此为了提高性能,必须对用户的查询请求进行优化,增加了开发数据库管理系统的难度。

    术语名称解释
    关系一个关系对应通常说的一张表
    元组表中的一行即为一个元组
    属性表中的一列即为一个属性,给每一个属性起一个名称即为属性名
    也称为键码,比如一个学号可以确定一个学生,也就称为本关系的码
    域是一组具有相同数据类型的值的集合,比如大学生年龄属性的属性域是(15~45岁)
    分量元组中的一个属性值
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  • 关系模式的基本概念

    千次阅读 2020-04-15 14:46:11
    为了更好地存储数据,需要将现实世界的事物及其关系进行层层抽象,从而得到数据模型。...关系模型的概念 域(domain): 笛卡尔积(Cartesian Product): 基数 关系(Relation):R表示关系的名称,n...
  • 什么是类?对象?类与对象的关系是什么?

    万次阅读 多人点赞 2019-06-02 14:56:30
    对象 什么是对象?        ...它包括现实中客观存在的事物,也包括抽象的时间、规则、思维。简单点说,对象具有状态、行为和标识。...具有相同特性和行为的对象组成的集合就是类...
  • 关系,关系模式,关系模型区别和联系

    万次阅读 多人点赞 2019-12-18 09:40:11
    关系:一个关系对应通常说的一张表 关系模式:关系的描述 关系模型:关系模型由关系数据结构,关系操作集合,关系完整性约束三部分组成. 关系关系模式的区别 关系模式是型,关系是值,关系模式是对关系的描述 关系关系...
  • 关系模型基本概念

    千次阅读 2020-08-31 14:56:21
    上一篇文章我们对关系模型做了简单的理解,说关系模型其实就是定义表格的模板,当然这个并不完整,这里给出一个更加准确的概念关系模型由下面三部分组成: 1.描述了表格的基本结构,也就是我们说的模板 2.描述了...
  • 关系模型的基本概念

    千次阅读 2020-05-24 14:25:28
    关系模型的基本概念关系模型简述关系模型研究的问题关系模型的三个要素一些数学描述的概念 关系模型简述 1.最早由E.F.Codd在1970年提出。 2.是从表(Table)及表的处理方式中抽象出来的,是在对传统表及其操作进行...
  • 数据库关系模型基本概念

    千次阅读 2020-09-25 23:01:05
    关系是所有域的笛卡尔积的子集,关系是严格的数学定义,是一个集合,不允许有相同的元组出现。 表是现代数据库依照关系的理论基础,它允许有相同的记录。 2.关系模型有哪些操作? 基本的操作:并,差,广义积,选择...
  • 关系关系模式、关系模型blablabla… 数据 :数据就是数据库中存储的基本数据,比如学生的学号、学生的班级 数据库 :存放数据的仓库 数据库管理系统 :数据库软件,如MySQL、Oracle 数据库系统 :数据库+...
  • 关系模式(1)什么是关系模式(2)定义关系模式3.关系模式和关系的对比4.关系数据库 0.思维导图 1. 关系 什么是关系? 单一的数据结构----关系 现实世界的实体以及实体间的各种联系均用关系来表示 逻辑结构----二...
  • 数据库 关系模型的基本概念

    千次阅读 2020-03-03 14:23:51
    关系模型中:关系、目或度、关系模式、域、元组、属性、分量、主码、外码等名词的解释。
  • 数据库MySQL关系模型之基本概念

    万次阅读 2019-01-31 16:11:44
    1.什么是关系模型 1.1关系模型研究什么 一个关系(relation)就是一个Table 关系模型就是处理Table的,它由三个部分组成: 描述DB各种数据的基本结构形式(Table/Relation) 描述Table与Table之间所有可能发生的...
  • 概念模型与关系模型和关系规范化

    万次阅读 多人点赞 2017-05-20 16:18:34
    概念模型  概念模型用于信息世界的建模,是实现现实世界到信息世界的第一层抽象,是数据库设计人员进行数据库设计的有力工具,也是数据库设计人员和用户之间进行交流的语言,因此概念模型一方面具有较强的语义...
  • 数据库-关系数据库基本概念

    千次阅读 2019-04-10 21:01:06
    1.关系数据库及形式化定义 I、关系 关系模型的数据结构非常简单,只包含单一的数据结构--关系(表)。在用户看来关系就是一张扁平的二维表。 关系模型的数据结构虽然简单但是能够表达丰富的语义,描述出现实...
  • 关系数据结构定义及基本操作

    千次阅读 2020-02-03 00:38:31
    1、基本概念定义 域 域是一组具有相同数据类型的值的集合 关系 关系是多种域的笛卡尔积的子集,关系的每一行对应一个元组,每一列对应一个域。由于域可以相同,为了加以区分,每一列成为属性。n目关系有n个属性。...
  • 文章目录关系数据库关系数据库简介关系数据结构及形式化定义关系操作关系模型的完整性关系代数 关系数据库 关系数据库简介 美国????IBM公司的E.F.Codd 1970年提出关系数据模型E.F.Codd, “A Relational Model of ...
  • 知识图谱中的实体及关系定义二>

    千次阅读 2020-08-09 18:06:05
    在前文中我们将知识图谱中实体和关系定义分为自顶向下和自底向上两种策略,在本文中我们继续深入研究知识图谱中的实体和关系定义相关内容。 1.实体种类 实体的定义通常根据领域词典、词表来进行规范,之后根据目标...
  • 码是数据系统中的基本概念。所谓码就是能唯一标识实体的属性,他是整个实体集的性质,而不是单个实体的性质。它包括超码,候选码,主码。 超码是一个或多个属性的集合,这些属性可以让我们在一个实体集...
  • 关系数据模型相关概念

    千次阅读 2018-01-29 17:51:21
    1、 关系数据库:基于关系模型,是一个或多个关组成的集合,关系通俗来讲是表(由行和列构成)。SQL语言用于创建,操作和查询关系数据库,而关系模型是其基础...2、关系型数据库常用概念:冗余(本不应存在却存在了
  • 关系数据库的基本概念

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    1. 属性和域  在现实世界中,要描述一个实物常常取若干特征来表示,这些特征称为 属性(Attribute) 。 例如,用学号、姓名、性别、系别、年龄和籍贯等来描述学生。...记关系R(D1, D2, D3… ,Dn)
  • 关系模式的概念

    千次阅读 2019-04-21 09:27:00
    关系模型的概述 E.F.Codd提出 基本操作 基本结构 完整性约束 运算 关系代数:基于集合的运算,一次一个集合 关系演算 元组演算:基于逻辑的演算 域演算:基于示例的演算 ...
  • 层次模型,网状模型,关系模型的优缺点总结
  • (1)关系模型的三个基本概念 关系模型的三个要素: 1)基本结构: 关系/table2 2)基本操作: 关系操作 3)完整性约束: 实体完整性(关系中的主码中的属性值不能为空(对主码而言)) 参照完整性(如果关系...
  • 关系数据库系列文章之到底什么是关系(一)

    千次阅读 多人点赞 2018-08-05 02:28:45
    在语言X中如何实现Y,像这种具体的只是(know-how)可快速提高你的工作效率。但是一旦语言发生变化,这种知识就无法再使用。... 作为程序员,在日常的开发中,我们避免不了的就要接触数据库这个概念,而关系...
  • 关系型数据库基础概念

    千次阅读 2018-09-13 17:23:14
    实体完整性、参照完整性、用户定义完整性 SQL语言:一种结构化查询语言 模式结构:外模式、模式、内模式 1.外模式 也称为用户模式,是用户可以看见和使用的局部数据的逻辑结构和特征的描述,是数据库...

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关系的概念是