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  • 题目描述 给定有限集合上二元关系的关系矩阵,利用传递闭包的定义式(不是warshall算法)其传递闭包的关系矩阵。 源代码#include#define N 100int mult(int a[N][N],int b[N][N],int n,int c[N][N]){int i,j,k;for(i...

    题目描述 给定有限集合上二元关系的关系矩阵,利用传递闭包的定义式(不是warshall算法)求其传递闭包的关系矩阵。 源代码

    #include

    #define N 100

    int mult(int a[N][N],int b[N][N],int n,int c[N][N])

    {

    int i,j,k;

    for(i=0;i

    {

    for(j=0;j

    {

    c[i][j]=0;

    }

    }//每次接收矩阵乘积前先初始化为0

    for(i=0;i

    {

    for(j=0;j

    {

    for(k=0;k

    {

    c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];

    }

    }

    }

    }//定义实现矩阵乘法的函数

    int main()

    {

    int n,a[100][100]={0},i,j,k,b[100][100]={0},c[100][100]={0},d[100][100]={0};

    scanf("%d",&n);

    for(i=0;i

    {

    for(j=0;j

    {

    scanf("%d",&a[i][j]);

    b[i][j]=a[i][j];

    d[i][j]=a[i][j];

    }

    }//输入邻接矩阵,并用另一个矩阵暂时存储

    for(i=0;i

    {

    mult(a,b,n,c);

    for(j=0;j

    {

    for(k=0;k

    {

    b[j][k]=c[j][k];//用c来接收前两个矩阵相乘的结果,并将其储存在b中以实现求解高次矩阵

    d[j][k]+=c[j][k];

    }

    }

    }

    for(i=0;i

    {

    for(j=0;j

    {

    if(i==j) d[i][j]=1;

    else if(i!=j&&d[i][j]>0)

    {

    d[i][j]=1;

    }

    }

    }//将矩阵d转化为布尔矩阵

    for(i=0;i

    {

    for(j=0;j

    {

    printf("%d ",d[i][j]);

    }

    printf("\n");

    }

    }

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  • 运算过程中我们会发现可以抽象出一个重复率很高的部分, 所以方便起见我们将其定义为基的变换矩阵, 它是一个幺正矩阵.下面定义两组三维离散完备正交基(不难推广到连续无穷维, 三维离散是出于直观化[2]考虑. ): 首先...

    2bed2709d62fa420e39ea6e0b8a769e9.png

    为了方便计算,量子力学常常进行表象的转换. 而表象的转换也十分简单, 只要插入封闭性关系式[1]即可达到目的. 运算过程中我们会发现可以抽象出一个重复率很高的部分, 所以方便起见我们将其定义为基的变换矩阵, 它是一个幺正矩阵.


    下面定义两组三维离散完备正交基(不难推广到连续无穷维, 三维离散是出于直观化[2]考虑. ):

    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5C%7B+%5Cbegin%7Balign%7D+++%26+%5Cleft%5C%7B+%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%5Cright%5C%7D%5C+%5C+%5C+%5C+%5C+%5Csum%5Climits_%7Bi%7D%7B%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%7C%7D%3DI%5C+%5C+%5C+%5C+%5C+%5C+i%3D1%2C2%2C3+%5C%5C+++%26+%5Cleft%5C%7B+%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7Bk%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%5Cright%5C%7D%5C+%5C+%5C+%5C+%5Csum%5Climits_%7Bk%7D%7B%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7Bk%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7Bk%7D%7D+%5Cright%7C%7D%3DI%5C+%5C+%5C+%5C+%5C+k%3D1%2C2%2C3+%5C%5C++%5Cend%7Balign%7D+%5Cright.%5C%5D

    首先要清楚一点: 狄拉克符号"

    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%7C+Dirac+%5Cright%5Crangle+%5C%5D " 表示的是一个矢量, 但他仅仅只是表示一个抽象的矢量概念的符号罢了. 所表示的矢量本身就像空间中的一个箭头, 它有大小有取向, 大小还好说, 这模长量一下就好了这样就可以用一个数表示, 这是个数不会因观察角度不同而改变; 但如果你想描述它的取向的话首先你要先设立一个坐标系
    [3],这样才能表达方向, 然后你才能在所定义的方向上看这个矢量的分量是多少(具体方法是与表征该方向的单位矢量[4]做内积), 这样一来, 各个方向上的分量也可以用一个数表示. 这样一来才能用一个列矩阵来表示一个矢量. 所以, 表象的选择其实就是坐标系的选择. 差不多一个意思地, 想用方阵来表示一个算符, 那你也要先选定一个表象(坐标系).

    上面那段话举个例子就是这样:

    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%3D%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Be%7D%7D%3D%5Csum%5Climits_%7Bi%7D%7B%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D%7C%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D%3D%5Csum%5Climits_%7Bi%7D%7B%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D%7C%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%7D%5C%5D

    其中

    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%5C%5D 是个复数表示分量;
    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5C%5D 是基矢, 像单位一样.

    所以各个分量单位不同自然不能加在一起而要分开写, 即可以写成列矩阵

    equation?tex=%5C%5B%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Be%7D%7D%3D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7C%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7C%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7C%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5C%5D

    所谓表象的变换就是想从

    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5C%5D变成
    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5C%5D, 或者反过来变.

    其实也简单, 就像一开始说的那样, 插入一个封闭性关系式即可达到目的.

    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7Bk%7D%7D+%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%3D%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7Bk%7D%7D+%5Cright%7C%5Csum%5Climits_%7Bi%7D%7B%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%7C%7D%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%3D%5Csum%5Climits_%7Bi%7D%7B%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7Bk%7D%7D+%7C+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D%5C%5D

    可以得到

    equation?tex=%5C%5B%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Bu%7D%7D%3D%5Csum%5Climits_%7Bk%7D%7B%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7Bk%7D%7D%7C%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7Bk%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%7D%3D%5Csum%5Climits_%7Bki%7D%7B%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7Bk%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D%7C%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7Bk%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%7D%5C%5D

    写成矩阵形式

    equation?tex=%5C%5B%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Bu%7D%7D%3D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D%7C%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D%7C%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D%7C%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7C%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7C%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7C%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5C%5D

    上面方阵定义为表象的变换矩阵, 记作

    equation?tex=S

    不难看出

    equation?tex=S 的矩阵元就是
    equation?tex=%5C%5B%7B%7BS%7D_%7Bki%7D%7D%3D%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7Bk%7D%7D+%7C+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5C%5D

    所以假如分别记

    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5C%7B+%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%5Cright%5C%7D%5Cleft%5C%7B+%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7Bk%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%5Cright%5C%7D%5C%5D 表象下的
    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%5C%5D
    equation?tex=%5C%5B%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Be%7D%7D%2C%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Bu%7D%7D%5C%5D 的话,

    则有:

    equation?tex=%5C%5B%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Bu%7D%7D%3DS%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Be%7D%7D%5C%5D ,其中
    equation?tex=%5C%5B%7B%7BS%7D_%7Bki%7D%7D%3D%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7Bk%7D%7D+%7C+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5C%5D
    equation?tex=%5C%5B%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Bu%7D%7D%3DS%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Be%7D%7D%5CRightarrow+%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Be%7D%7D%3D%7B%7BS%7D%5E%7B%5Cdagger+%7D%7D%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Bu%7D%7D%5C%5D
    [5]

    实际上逻辑上来说

    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%2C%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Be%7D%7D%2C%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Bu%7D%7D%5C%5D 实际上是一回事, 毕竟坐标系不会改变什么本质的东西.

    一个不怎么贴切的说法是它们三个就好比是某全裸角色和他的两个时装版本.


    在上文的基础上讲讲算符的表象转换:

    equation?tex=%5C%5BA%3D%5Csum%5Climits_%7Bi%7D%7B%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D%7C%7DA%5Csum%5Climits_%7Bj%7D%7B%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bj%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7Bj%7D%7D%7C%7D%3D%5Csum%5Climits_%7Bij%7D%7B%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bj%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7Bj%7D%7D%7C%7D%5C%5D

    其中

    equation?tex=%5C%5B%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bj%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5C%5D 是个复数表示分量, 称作矩阵元, 记作
    equation?tex=%5C%5B%7B%7BA%7D_%7Bij%7D%7D%5C%5D .

    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7Bj%7D%7D%7C%5C%5D 是一个基矩阵, 像个单位一样, 表示
    equation?tex=%5C%5B%7B%7BA%7D_%7Bij%7D%7D%5C%5D 该放在哪个位置.

    #一般不会这样写, 但这样写也有够直观的.

    比如说假如

    equation?tex=%5C%5B%7B%7B%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%7D_%7Be%7D%7D%3D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++0++%5C%5C++++1++%5C%5C++++0++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5C+%5C+%5C+%7B%7B%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%7D_%7Be%7D%7D%3D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++1++%5C%5C++++0++%5C%5C++++0++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5C%5D

    那么

    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%7B%7B%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%7C%7D_%7Be%7D%7D%3D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++0++%5C%5C++++1++%5C%5C++++0++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5Cleft%5B+1%2C0%2C0+%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++0+%26+0+%26+0++%5C%5C++++1+%26+0+%26+0++%5C%5C++++0+%26+0+%26+0++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5C%5D 就说明了这个矩阵元要放在第二行第一列.

    当然了,上面的矩阵是在

    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5C%7B+%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%5Cright%5C%7D%5C%5D 表象下写出来的

    所以呢

    equation?tex=%5C%5B%7B%7BA%7D_%7Be%7D%7D%3D%5Csum%5Climits_%7Bij%7D%7B%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bj%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7Bj%7D%7D%7C%7D%3D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5C%5D

    所谓表象变换就是:

    想从

    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5C%5D

    变成
    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5C%5D

    其实也简单, 就像一开始说的那样, 插入两个封闭性关系式即可达到目的.

    equation?tex=%5C%5B%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7Bm%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7Bn%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%3D%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7Bm%7D%7D%7C%5Csum%5Climits_%7Bi%7D%7B%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D%7C%7DA%5Csum%5Climits_%7Bj%7D%7B%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bj%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7Bj%7D%7D%7C%7D%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7Bn%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%3D%5Csum%5Climits_%7Bij%7D%7B%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7Bm%7D%7D+%7C+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bj%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7Bj%7D%7D+%7C+%7B%7Bu%7D_%7Bn%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%7D%5C%5D

    equation?tex=%5C%5B%7B%7BA%7D_%7Bu%7D%7D%3D%5Csum%5Climits_%7Bmn%7D%7B%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7Bm%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7Bn%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7Bm%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7Bn%7D%7D%7C%7D%3D%5Csum%5Climits_%7Bijmn%7D%7B%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7Bm%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bj%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7Bj%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7Bn%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7Bm%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7Bn%7D%7D%7C%7D%5C%5D

    写成矩阵形式

    equation?tex=%5C%5B%5Cbegin%7Balign%7D+++%26+%5C+%5C+%5C+%5C+%5C+%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D+%5C%5C+++%26+%3D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D+%5C%5C++%5Cend%7Balign%7D%5C%5D

    上面第二行最左边方阵定义为表象的变换矩阵, 记作

    equation?tex=S .

    不难看出

    equation?tex=S 的矩阵元就是
    equation?tex=%5C%5B%7B%7BS%7D_%7Bmi%7D%7D%3D%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7Bm%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5C%5D, 且最右边的是
    equation?tex=%5C%5B%7B%7BS%7D%5E%7B%5Cdagger+%7D%7D%5C%5D.

    所以假如分别记

    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5C%7B+%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%5Cright%5C%7D%5Cleft%5C%7B+%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7Bm%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%5Cright%5C%7D%5C%5D 表象下的
    equation?tex=A
    equation?tex=%5C%5B%7B%7BA%7D_%7Be%7D%7D%2C%7B%7BA%7D_%7Bu%7D%7D%5C%5D 的话,

    则有:

    equation?tex=%5C%5B%7B%7BA%7D_%7Bu%7D%7D%3DS%7B%7BA%7D_%7Be%7D%7D%7B%7BS%7D%5E%7B%5Cdagger+%7D%7D%5C%5D, 其中
    equation?tex=%5C%5B%7B%7BS%7D_%7Bmi%7D%7D%3D%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7Bm%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5C%5D
    equation?tex=%5C%5B%7B%7BA%7D_%7Bu%7D%7D%3DS%7B%7BA%7D_%7Be%7D%7D%7B%7BS%7D%5E%7B%5Cdagger+%7D%7D%5CRightarrow+%7B%7BA%7D_%7Be%7D%7D%3D%7B%7BS%7D%5E%7B%5Cdagger+%7D%7D%7B%7BA%7D_%7Bu%7D%7DS%5C%5D , 其中
    equation?tex=%5C%5B%7B%7B%5Cleft%28+%7B%7BS%7D%5E%7B%5Cdagger+%7D%7D+%5Cright%29%7D_%7Bim%7D%7D%3D%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7Bi%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7Bm%7D%7D+%5Cright%5Crangle+%5C%5D

    #所以事实上

    equation?tex=%5C%5BS%2C%7B%7BS%7D%5E%7B%5Cdagger+%7D%7D%5C%5D 的位置都是相对的,不用过于在意.

    #Still,

    equation?tex=%5C%5BA%2C%7B%7BA%7D_%7Be%7D%7D%2C%7B%7BA%7D_%7Bu%7D%7D%5C%5D 物理上来说是一回事, 也有地方说他们是互为幺正等价算符.

    显然幺正等价厄米算符均有全同的谱(本征值).

    #这个操作常用于把表象转换为算符自身的表象,这样可以得到一个对角阵.


    关于算符幺正变换

    equation?tex=%5C%5B%7B%7BA%7D_%7Bu%7D%7D%3DS%7B%7BA%7D_%7Be%7D%7D%7B%7BS%7D%5E%7B%5Cdagger+%7D%7D%5C%5D 的幺正阵究竟是怎么拼出来的这点一直有人问到.

    所以这里讲一个直观的理解方法:

    前面我们得到了表达式

    equation?tex=%5C%5B%7B%7BA%7D_%7Bu%7D%7D%3DS%7B%7BA%7D_%7Be%7D%7D%7B%7BS%7D%5E%7B%5Cdagger+%7D%7D%5C%5D 的矩阵式子

    equation?tex=%5C%5B%5Cbegin%7Balign%7D+++%26+%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D+%5C%5C+++%26+%3D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle++%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%7CA%5Cleft%7C+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D+%5C%5C++%5Cend%7Balign%7D%5C%5D

    那么, 我们该如何记住其中的

    矩阵

    equation?tex=S
    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5C%5D 而非
    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5C%5D 呢?

    也就是说这俩互为厄米共轭的矩阵哪个摆在左边哪个摆在右边呢?

    很简单, 知道式子

    equation?tex=%5C%5B%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Be%7D%7D%3D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B1%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B2%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D+%5Cright%5Crangle++%26+%5Cleft%5Clangle+%7B%7Be%7D_%7B3%7D%7D%7C%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D+%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%5Cleft%5B+%5Cbegin%7Bmatrix%7D++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B1%7D%7D%7C%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B2%7D%7D%7C%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+++%5C%5C++++%5Cleft%5Clangle+%7B%7Bu%7D_%7B3%7D%7D%7C%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+++%5C%5C+%5Cend%7Bmatrix%7D+%5Cright%5D%3D%7B%7BS%7D_%7Bu%5Cto+e%7D%7D%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Bu%7D%7D%5C%5D即可.

    上面的这个式子意思是这个矩阵可以把

    equation?tex=u 表象的
    equation?tex=%5C%5B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%5C%5D 转换到
    equation?tex=e 表象, 我们记作
    equation?tex=%5C%5B%7B%7BS%7D_%7Bu%5Cto+e%7D%7D%5C%5D .

    那么前面的表达式其实可以更加显然的写作

    equation?tex=%5C%5B%7B%7BA%7D_%7Bu%7D%7D%3D%7B%7BS%7D_%7Be%5Cto+u%7D%7D%7B%7BA%7D_%7Be%7D%7D%7B%7BS%7D_%7Bu%5Cto+e%7D%7D%5C%5D .
    Q: 那么我们对算符进行幺正变换是想解决什么问题呢?
    A: 当我们在
    equation?tex=u 表象下工作时, 突然想对矢量
    equation?tex=%5C%5B%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Bu%7D%7D%5C%5D 进行一个线性变换
    equation?tex=A , 但是我们出于某些不知名的原因并不知道
    equation?tex=%5C%5B%7B%7BA%7D_%7Bu%7D%7D%5C%5D 的形式, 而只知道这个操作在
    equation?tex=e 表象下的形式
    equation?tex=%5C%5B%7B%7BA%7D_%7Be%7D%7D%5C%5D .

    现在我们只知道

    equation?tex=%5C%5B%7B%7BA%7D_%7Be%7D%7D%5C%5D 的形式, 那我们就这么做:
    先把矢量变到
    equation?tex=e空间:
    equation?tex=%5C%5B%7B%7BS%7D_%7Bu%5Cto+e%7D%7D%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Bu%7D%7D%5C%5D

    ➡再对结果进行线性变换
    equation?tex=%5C%5B%7B%7BA%7D_%7Be%7D%7D%5Cleft%28+%7B%7BS%7D_%7Bu%5Cto+e%7D%7D%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Bu%7D%7D+%5Cright%29%5C%5D

    ➡再把
    equation?tex=e空间的结果变回来:
    equation?tex=%5C%5B%7B%7BS%7D_%7Be%5Cto+u%7D%7D%5Cleft%5B+%7B%7BA%7D_%7Be%7D%7D%5Cleft%28+%7B%7BS%7D_%7Bu%5Cto+e%7D%7D%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Bu%7D%7D+%5Cright%29+%5Cright%5D%5C%5D

    这一顿操作等价于在

    equation?tex=u 空间进行操作
    equation?tex=A 即:
    equation?tex=%5C%5B%7B%7BA%7D_%7Bu%7D%7D%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Bu%7D%7D%3D%7B%7BS%7D_%7Be%5Cto+u%7D%7D%5Cleft%5B+%7B%7BA%7D_%7Be%7D%7D%5Cleft%28+%7B%7BS%7D_%7Bu%5Cto+e%7D%7D%7B%7B%5Cleft%7C+%5Cpsi++%5Cright%5Crangle+%7D_%7Bu%7D%7D+%5Cright%29+%5Cright%5D%5C%5D

    所以我们把这一大块封装好当作一整个工具就有了:

    equation?tex=%5C%5B%7B%7BA%7D_%7Bu%7D%7D%3D%7B%7BS%7D_%7Be%5Cto+u%7D%7D%7B%7BA%7D_%7Be%7D%7D%7B%7BS%7D_%7Bu%5Cto+e%7D%7D%5C%5D

    这是否让人对相似矩阵的意义有了更深的理解?
    equation?tex=%5C%5BA%3D%7B%7BP%7D%5E%7B-1%7D%7DBP%5C%5D 则称
    equation?tex=A%2C+B 互为相似矩阵.

    相似矩阵的概念更广义一点, 因为
    equation?tex=%5C%5BP%5C%5D 只要求是有逆的线性变换而不要求是幺正变换.

    参考

    1. ^也称基的完备性关系式
    2. ^也就是说出于人道主义(笑
    3. ^或者说选择一个坐标系吧
    4. ^一般就是基矢量
    5. ^用到了幺正性, 不难证明其具有这个性质
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  • 一、考察题型1、数字型矩阵的秩2、抽象矩阵的秩3、已知矩阵及其秩的信息,其待定常数或其所满足的关系上面的3种考察题型,前2个题型,在考研数学一近几年的真题中考得都是填空题。但是题型2在2008年考察了一道...

    求矩阵的秩是考研数学一种常考的题型,经常出填空题,所以关于求矩阵的秩方法要熟练掌握。接下来小编整理了矩阵秩常考的方式。接下来小编总结整理了求矩阵的秩考察题型,及相应的真题详解。

    一、考察题型

    1、求数字型矩阵的秩

    2、求抽象矩阵的秩

    3、已知矩阵及其秩的信息,求其待定常数或其所满足的关系

    上面的3种考察题型,前2个题型,在考研数学一近几年的真题中考得都是填空题。但是题型2在2008年考察了一道证明题。可以把重点放在求抽象矩阵的秩这种题型。

    二、求抽象矩阵的秩知识

    对于抽象矩阵的秩,常利用有关矩阵的秩的下述结论求即可。

    0175ae9ef1734b30a9faa93ae3851318.png
    020a2ba0117271b8096fca334792d7f7.png

    题型一:求数字型矩阵的秩

    例1(2007年考研真题)

    0a6cfa88cf220396ad7e9e163223a888.png

    分析:本题考察了矩阵幂的求法。

    解:

    c6fffeee64b1866237c3daec19a22529.png

    总结:

    d823ddfa7bdafc2e902908d30b4645ca.png

    题型二:求抽象矩阵的秩

    例2:(2008年考研真题)

    01cc2f15e2498415e6867758ae4c7877.png

    证明:

    8219394c3e8247ee55a247bc0f24d8ee.png

    总结:本题主要考察r(A+B)<=r(A)+r(B).

    题型三:已知矩阵及其秩的信息,求其待定常数或其所满足的关系

    例3:

    38051c16765b49739f2973bff63d9dcb.png

    分析:矩阵A是4阶矩阵,且r(A)=3<4,则|A|=0

    解:

    d6c61b0156a64f5286da7db32e4c0b0c.png

    以上为求矩阵的秩常考题型分析,通过“题型—真题—解题思路——考查知识点”这一过程的学习,使考生详细了解到每一考点中已考过的题型,这种题型以前考过什么样的题目,常与哪些知识点联合,角度等等,从而使考生更好、更快地掌握重点和规律,快速提高解题能力。

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  • 相信很多人对于传递闭包(用关系矩阵求传递闭包怎么求)并不是非常的了解,因此小编在这里为您详解的讲解一下相关信息!方法:warshall法,即运行n次,每次使得MR[n][i],MR[i][n]都为1时使得MR[i][j]为1,否则还是为MR...

    相信很多人对于传递闭包(用关系矩阵求传递闭包怎么求)并不是非常的了解,因此小编在这里为您详解的讲解一下相关信息!

    方法:warshall法,即运行n次,每次使得MR[n][i],MR[i][n]都为1时使得MR[i][j]为1,否则还是为MR[i][j]。传递闭包的计算过程一般可以用Warshell算法描述: For 每个节点i .

    传递闭包的本质在于以最小的幅度提高模糊相似矩阵中的元素,以达到传递性,这样传递闭包对模糊相似矩阵就产生了传递偏差。

    传递闭包、即在数学中,在集合 X 上的二元关系 R 的传递闭包是包含 R 的 X 上的最小的传递关系。

    说明:以关系矩阵形式计算传递闭包: #include"stdio.h" #define N 1000 main() { int i,j,a[N][N],b[N][N],c[N][N],s=0,k,e[N][N],m,n; printf("请输入你的关系矩阵的阶n(n,.

    #define n 10; main() { int i,j; int a[5][5]; int sum=0; for(i=0;i<5;i++) for(j=0;j<5;j++) scanf("%d",&a[i][j]); for(i=0;i<5;i++) for(j=0;j<5;j++) if(i==j||(i+j==10))//i==j是判断是否主对角.

    r(r)= {(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(e,d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e)}s(r)={(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(e,d),(b,a),(c,a),(d,a),(c,b),(d,b),(d,e)}

    r^2=反射矩阵: 对称的,对角线上的元素都是1,∴r^2=(r^2)^-1 = (r^2)^t (∵r^2=反射矩阵=逆矩阵=转置矩阵)r^4=(r^2)?(r^2)=(r^2)^t ?(r^2)^-1=i (i是单位矩阵(identity matrix)).

    我自己写的,绝对可以#include"stdio.h"#define N 1000 main() { int i,j,a[N][N],b[N][N],c[N][N],s=0,k,e[N][N],m,n; printf("请输入你的关系矩阵的阶n(n<=1000):\n"); .

    设集合a={a,b,c,d,e},集合b={c,d,f,g},a∩b={c,d},a∪b={a,b,c,d,e,f,g}。详细过程!!!!您好,很高兴为您解答,skyhunter002为您答疑解惑如果本题有什么不明白可以追问.

    输入一个关系的关系矩阵,计算其传递闭包,使用Warshall算法。 输出传递闭.

    for (int k = 0; k < N; ++k) { for (int i = 0; i < N; ++i) { for (int j = 0; j < N; ++j) { if(graph[i][k] && graph[k][j]) { graph[i][j] = true; } } } }

    这是因为不等关系,本来就是全域关系,集合中的元素与另一元素必然不相等(所以存在不等关系)。传递闭包显然就是关系自身。

    看看我的这个程序错在哪里啊!谢谢大虾啦! #include"stdio.h"main(){ int i,j。

    首先,矩阵的并运算不是很对,执行结果好象是第二条赋值语句,没有实现并的概念. 再次,函数调用,传递数组的首地址才对,而不是数组某一个元素;最后,子函数定.

    这涉及到矩阵的操作。 比如a=[3 6 9],b =[1 2 3] 要实现对应的元素相除,用这个命令“a./b”,即点除。点除就实现了你要的功能。 扩展:matlab是基于矩阵操作的,对元.

    求网络流有很多算法,这几天学习了两种,记录一下EK算法。首先是网络流中的一些定义:V表示整个图中的所有结点的集合.E表示整个图中所有边的集合.G = (V,E) ,表.

    用行列遍历关系矩阵,判断,,则有关系直到再次递归无新的关系,程序停止。

    从上到下遍历每一列,遇到第j行第i列为1的话,把第i行加到第j行上即可 C代码如下:void warshell(int (*p)[20],int n) { if(n>20) printf("错误:行数(列数)必须小于20"); else {.

    传递闭包,最简单的技术是采用 【弗洛伊德算法】 Floyd-Warshall算法(Floyd-Warshall algorithm)是解决任意两点间的最短路径的一种算法,可以正确处理有向图或负权.

    传递闭包是包含 R 的 X 上的最小的传递关系 t(R) = R∪R^2∪R^3∪..∪R^n

    R3不会直接等于R 要再算R2*R

    可以的,这两者是等价的。http://jingyan.baidu.com/article/ea24bc399a9cbcda63b3316d.html

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空空如也

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关系矩阵怎么求