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  • 关系矩阵是如何计算的
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    2021-05-05 06:56:33

    取名MATLAB即Matrix Laboratory 矩阵实验室的意思。

    例如: 在MATLAB命令窗口输入命令:

    a=[1,1.5,2,9,7;   0,3.6,0.5,-4,4;

    7,10,-3,22,33;3,7,8.5,21,6;

    3,8,0,90,-20]

    将显示一个5*5矩阵。

    MATLAB的数据与变量

    ① 命名规则

    在MATLAB 6.5中,变量名是以字母开头,后接字母、数字或下划线的字符序列,最多63个字符。在MATLAB中,严格区分字母的大小写。MATLAB提供的标准函数名必须用小写字母。

    ②  变量查询函数who与whos

    作用都是列出在matlab工作空间中已经驻留的变量名清单。不同的是whos在给出驻留变量的同时,还给出他们的维数及性质. clear命令用于删除MATLAB工作空间中的变量。

    ③  永久变量

    在matlab工作内存中,驻留了几个由系统本身在启动时定义的变量,我们称为永久变量。永久变量用who指令是查看不到的,只可随时调用

    eps — 容差变量,定义为1.0到最近浮点数的距离,在 pc机上= 2-52

    pi — 圆周率的近似值3.1415926

    inf或Inf — 表示正无大,定义为1/0

    NaN — 非数,它产生于0× ,0/0,/ 等运算

    i,j — 虚数单位

    ans — 对于未赋值运算结果,自动赋给ans

    1.建立矩阵

    建立矩阵可以用:直接输入法、利用函数建立矩阵和利用M文件建立矩阵。

    直接输入法:

    规则:

    ① 矩阵元素必须用[    ]括住;

    ② 同一行的各元素之间用空格或逗号分隔;

    ③ 在[    ]内矩阵的行与行之间必须用分号分隔).

    利用函数建立数值矩阵:MATLAB提供了许多生成和操作矩阵的函数,可以利用它们去建立矩阵。

    [    ]     matlab允许输入空阵,当一项操作无结果时,返回空阵。

    eye(size(A))   产生与A矩阵同阶的单位矩阵

    zeros(m,n)     产生0矩阵

    ones(m,n)      产生一个元素全为1的矩阵

    rand (m,n)     产生随机元素的矩阵

    Size(a)           返回包含两个元素的向量

    Length(a)       返回向量的最大者。

    reshape(A,m,n)  返回一个m×n矩阵,且该矩阵中的元素是按照列方法从矩阵A中提取的

    利用M文件建立矩阵:对于比较大且比较复杂的矩阵,可以为它专门建立一个M文件。其步骤为:

    第一步:使用编辑程序输入矩阵。

    第二步:把输入的内容以纯文本方式存盘, 并把文件名改为*.m。

    第三步:在MATLAB命令窗口中输入文件名,就会建立一个矩阵,可供以后显示和调用。

    冒号表达式

    在MATLAB中,冒号是一个重要的运算符。利用它可以产生向量,还可用来拆分矩阵。冒号表达式的一般格式是:

    e1:e2:e3

    其中e1为初始值,e2为步长,e3为终止值。冒号表达式可产生一个由e1开始到e3结束,以步长e2自增的行向量。

    MATLAB提供了许多数学函数,函数的自变量规定为矩阵变量,运算法则是将函数逐项作用于矩阵的元素上,因而运算的结果是一个与自变量同维数的矩阵。

    例如:   A= [1 2 3;4 5 6]

    B=fix(pi*A)    C=cos(pi*B)   D=abs(B)

    自然对数  E=log(D)   F=log10(E)

    sqrt(x)    exp(x)     tan (x)    ctan (x)

    函数使用说明: (1) 三角函数以弧度为单位计算。 (2) abs函数可以求实数的绝对值、复数的模、字符串的ASCII码值。 (3) 用于取整的函数有fix、floor、ceil、round,要注意它们的区别。

    (4)函数一定是出现在等式的右边

    (5)函数允许嵌套

    4.矩阵的基本运算

    (1)矩阵转置  A’

    (2)矩阵加和减 A+B , A-B

    规则:

     相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。

     允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行加减操作。

    (3)矩阵乘法  A*B

    规则:

    ① A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数

    ② 标量可与任何矩阵相乘。

    (4)矩阵除法    A\b=inv(A)*b

    在MATLAB中,有两种矩阵除法运算:\和/,分别表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵,则A\B和B/A运算可以实现。A\B等效于A的逆左乘B矩阵,也就是inv(A)*B,而B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵,也就是B*inv(A)。对于矩阵来说,左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算,一般A\B≠B/A。

    (5)矩阵的乘方 A^n , A^p

    对于p的其它值,计算将涉及特征值和特征向量,如果p是矩阵,A是标量A^p使用特征值和特征向量自乘到p次幂;如A,p都是矩阵,A^p则无意义。

    5.矩阵数组运算

    (1)  数组的乘:  A.*B  A,B必须同维,或其中之一为标量.

    (2) 数组的左除:  A.\B  将得到一个矩阵,该矩阵的元素维数组A和数组B中的每个相应元素进行B(i,j)/A(i,j)运算的结果.

    (3) 数组的乘方: A.^B  以A中的元素为底,B中的相应元素为幂作乘方运算,相当于计算[A(i,j)^B(i,j)]。A,B必须同维,或其中之一为标量.

    数组运算指元素对元素的算术运算,与通常意义

    上的由符号表示的线性代数矩阵运算不同。

    ① 数组加减(.+ , .-)

    a.+b

    a.-b

    ② 数组的乘(  )

    ab —— a,b两数组必须有相同的行和列两数组相应元素相乘。

    a=[1 2 3;4 5 6;7 8  9];   b=[2 4 6;1 3 5;7 9 10];

    a.*b

    ans =

    2            8           18

    4           15          30

    49           72          90

    ③ 数组的除(  ./     .\ )

    a./b=b.\a

    a.\b=b./a

    a./b=b.\a — 都是a的元素被b的对应元素除

    a.\b=b./a — 都是a的元素被b的对应元素除

    例: a=[1 2 3];b=[4 5 6]; c1=a.\b; c2=b./a

    c1 = 4.0000    2.5000    2.0000

    c2 = 4.0000    2.5000    2.0000

    ④ 数组乘方(.^) —  元素对元素的幂

    例:

    a=[1 2 3];b=[4 5 6];

    z=a.^2

    z =

    1.00          4.00          9.00

    z=a.^b

    z =

    1.00         32.00        729.00

    6、字符串

    在MATLAB中,字符串是用单撇号括起来的字符序列。MATLAB将字符串当作一个行向量,每个元素对应一个字符,其标识方法和数值向量相同。也可以建立多行字符串矩阵。

    字符串是以ASCII码形式存储的。abs和double函数都可以用来获取字符串矩阵所对应的ASCII码数值矩阵。相反,char函数可以把ASCII码矩阵转换为字符串矩阵。

    与字符串有关的另一个重要函数是eval,其调用格式为:                          eval(t) 其中t为字符串。它的作用是把字符串的内容作为对应的MATLAB语句来执行。

    【例1】  求解线性方程组AX=B

    1    1.5   2      9    7                  3

    0    3.6   0.5  -4    4                  -4

    其中A=       7    10    -3    22   33   , B=    20

    3    7     8.5   21   6                   5

    3    8     0      90  -20               16

    在MATLAB命令窗口输入命令:

    a=[1,1.5,2,9,7,0;0,3.6,0.5,-4,4,0;

    7,10,-3,22,33;3,7,8.5,21,6;3,8,0,90,-20];

    b=[3;-4;20;5;16];

    x=a\b

    得到的结果是:x =3.5653

    -0.9255

    -0.2695

    0.1435

    0.0101

    或者x=inv(a)*b

    【例2】  求方程 x4+7x3 +9x-20=0的全部根。

    在MATLAB命令窗口输入:

    p=[1,7,0,9,-20];   %建立多项式系数向量

    x=roots(p)         %求根

    得到的结果是:

    x =

    -7.2254

    -0.4286 + 1.5405i

    -0.4286 - 1.5405i

    1.0826

    更多相关内容
  • 一、关系矩阵 、 二、关系矩阵示例 、 三、关系矩阵性质 、 四、关系矩阵运算 、 五、关系图 、 六、关系图示例 、 七、关系表示相关性质 、





    一、关系矩阵



    A = { a 1 , a 2 , ⋯   , a n } , R ⊆ A × A A = \{ a_1, a_2 , \cdots , a_n \} , R \subseteq A \times A A={a1,a2,,an},RA×A

    R R R 使用 关系矩阵 表示 : M ( R ) = ( r i j ) n × n M(R) = (r_{ij})_{n\times n} M(R)=(rij)n×n

    关系矩阵取值 : M ( R ) ( i , j ) = r i j = { 1 , a i R a j 0 , 无 关 系 M(R)(i, j) = r_{ij} =\begin{cases} 1, & a_i R a_j \\ 0, & 无关系 \end{cases} M(R)(i,j)=rij={1,0,aiRaj


    关系矩阵定义说明 :

    A A A 是个 n n n 元集 ( 集合中有 n n n 个元素 ) , R R R A A A 上的二元关系 , R R R 的关系矩阵是 n × n n \times n n×n 的方阵 , i i i 行第 j j j 列位置的元素 r i j r_{ij} rij 取值只能是 0 0 0 1 1 1 ;


    关系矩阵取值说明 :

    如果 r i j = 1 r_{ij} = 1 rij=1 , 则说明 A A A 集合中 第 i i i 个元素与第 j j j 个元素具有关系 R R R , 记作 : a i R a j a_i R a_j aiRaj ;

    如果 r i j = 0 r_{ij} = 0 rij=0 , 则说明 A A A 集合中 第 i i i 个元素与第 j j j 个元素没有关系 R R R ;


    关系矩阵本质 : 关系矩阵中 , 每一行对应着 A A A 集合中的元素 , 每一列也对应着 A A A 集合中的元素 , 行列交叉的位置的值 ( 0 0 0 1 1 1 ) 表示 A A A 集合中第 i i i 个元素与第 j j j 个元素构成的有序对是否有关系 R R R ;





    二、关系矩阵示例



    A = { a , b , c } A = \{ a, b, c \} A={a,b,c}

    R 1 = { < a , a > , < a , b > , < b , a > , < b , c > } R_1 = \{ <a, a>, <a,b> , <b,a> , <b,c> \} R1={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>}

    R 2 = { < a , b > , < a , c > , < b , c > } R_2 = \{ <a,b> , <a,c> , <b,c> \} R2={<a,b>,<a,c>,<b,c>}


    使用关系矩阵表示上述 R 1 , R 2 R_1 , R_2 R1,R2 两个关系 :



    R 1 = { < a , a > , < a , b > , < b , a > , < b , c > } R_1 = \{ <a, a>, <a,b> , <b,a> , <b,c> \} R1={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>} 其中 :

    • < a , a > <a, a> <a,a> : a a a 是第 1 1 1 个元素 , a a a 是第 1 1 1 个元素 , 第 1 1 1 行第 1 1 1 列元素是 1 1 1
    • < a , b > <a, b> <a,b> : a a a 是第 1 1 1 个元素 , b b b 是第 2 2 2 个元素 , 第 1 1 1 行第 2 2 2 列元素是 1 1 1
    • < b , a > <b, a> <b,a> : b b b 是第 2 2 2 个元素 , a a a 是第 1 1 1 个元素 , 第 2 2 2 行第 1 1 1 列元素是 1 1 1
    • < b , c > <b, c> <b,c> : b b b 是第 2 2 2 个元素 , c c c 是第 3 3 3 个元素 , 第 2 2 2 行第 3 3 3 列元素是 1 1 1
    • 其余全是 0 0 0

    M ( R 1 ) = [ 1 1 0 1 0 1 0 0 0 ] M(R_1) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} M(R1)=110100010



    R 2 = { < a , b > , < a , c > , < b , c > } R_2 = \{ <a,b> , <a,c> , <b,c> \} R2={<a,b>,<a,c>,<b,c>} 其中 :

    • < a , b > <a, b> <a,b> : a a a 是第 1 1 1 个元素 , b b b 是第 2 2 2 个元素 , 第 1 1 1 行第 2 2 2 列元素是 1 1 1
    • < a , c > <a, c> <a,c> : a a a 是第 1 1 1 个元素 , c c c 是第 3 3 3 个元素 , 第 1 1 1 行第 3 3 3 列元素是 1 1 1
    • < b , c > <b, c> <b,c> : b b b 是第 2 2 2 个元素 , c c c 是第 3 3 3 个元素 , 第 2 2 2 行第 3 3 3 列元素是 1 1 1
    • 其余全是 0 0 0

    M ( R 2 ) = [ 0 1 1 0 0 1 0 0 0 ] M(R_2) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} M(R2)=000100110





    三、关系矩阵性质



    有序对集合表达式 与 关系矩阵 可以唯一相互确定



    性质一 : 逆运算相关性质

    M ( R − 1 ) = ( M ( R ) ) T M(R^{-1}) = (M(R))^T M(R1)=(M(R))T


    M ( R − 1 ) M(R^{-1}) M(R1) 关系的逆关系矩阵

    ( M ( R ) ) T (M(R))^T (M(R))T 关系矩阵
    这两个矩阵是相等的 ;



    性质二 : 合成运算相关性质

    M ( R 1 ∘ R 2 ) = M ( R 2 ) ∙ M ( R 1 ) M(R_1 \circ R_2) = M(R_2) \bullet M(R_1) M(R1R2)=M(R2)M(R1)

    ∙ \bullet 是矩阵的 逻辑乘法 , 计算 矩阵 r i j r_{ij} rij 的值 第 i i i 行 乘以 第 j j j 列 , 逐位 逻辑相乘 , 再将逻辑相乘结果再 逻辑相加 ;

    上述 逻辑乘法使用 ∧ \land 运算 , 逻辑加法使用 ∨ \lor 运算 ;





    四、关系矩阵运算



    A = { a , b , c } A = \{ a, b, c \} A={a,b,c}

    R 1 = { < a , a > , < a , b > , < b , a > , < b , c > } R_1 = \{ <a, a>, <a,b> , <b,a> , <b,c> \} R1={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>}

    R 2 = { < a , b > , < a , c > , < b , c > } R_2 = \{ <a,b> , <a,c> , <b,c> \} R2={<a,b>,<a,c>,<b,c>}


    在上面的示例中 , 已经求出两个关系矩阵 ;

    M ( R 1 ) = [ 1 1 0 1 0 1 0 0 0 ] M(R_1) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} M(R1)=110100010 , M ( R 2 ) = [ 0 1 1 0 0 1 0 0 0 ] M(R_2) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} M(R2)=000100110



    1. 求 M ( R − 1 ) , M ( R 2 − 1 ) M(R^{-1}) , M(R_2^{-1}) M(R1),M(R21)

    直接将矩阵转置 , 即可获取 关系的逆的关系矩阵 ;

    M ( R 1 − 1 ) = ( M ( R 1 ) ) T = [ 1 1 0 1 0 0 0 1 0 ] M(R_1^{-1}) = (M(R_1))^T = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} M(R11)=(M(R1))T=110101000

    M ( R 2 − 1 ) = ( M ( R 2 ) ) T = [ 0 0 0 1 0 0 1 1 0 ] M(R_2^{-1}) = (M(R_2))^T = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} M(R21)=(M(R2))T=011001000

    R 1 − 1 = { < a , a > , < a , b > , < b , a > , < c , b > } R_1^{-1} = \{ <a, a> , <a, b> , <b,a> , <c,b> \} R11={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,b>}

    R 2 − 1 = { < b , a > , < c , a > , < c , b > } R_2^{-1} = \{ <b, a> , <c,a> , <c,b> \} R21={<b,a>,<c,a>,<c,b>}



    2. 求 M ( R 1 ∘ R 1 ) M( R_1 \circ R_1 ) M(R1R1)

    M ( R 1 ∘ R 1 ) = M ( R 1 ) ∙ M ( R 1 ) M( R_1 \circ R_1 ) = M(R_1) \bullet M(R_1) M(R1R1)=M(R1)M(R1)

    其中的 ∙ \bullet 是两个矩阵的逻辑乘法 , 加法使用 ∨ \lor , 乘法使用 ∧ \land

    M ( R 1 ) ∙ M ( R 1 ) = [ 1 1 0 1 0 1 0 0 0 ] ∙ [ 1 1 0 1 0 1 0 0 0 ] = [ 1 1 1 1 1 0 0 0 0 ] M(R_1) \bullet M(R_1) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} M(R1)M(R1)=110100010110100010=110110100

    矩阵的逻辑乘法 : 结果矩阵的第 i i i 行 , 第 j j j 列元素的值为 , 第 i i i 行的三个元素 分别与上第 j j j 列的三个元素 , 然后三个结果进行或运算 , 最终结果就是 矩阵的第 i i i 行 , 第 j j j 列元素的值 ;

    R 1 ∘ R 1 = { < a , a > , < a , b > , < a , c > , < b , a > , < b , b > } R_1 \circ R_1 = \{ <a,a> , <a,b> , <a,c> , <b,a>, <b,b> \} R1R1={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,a>,<b,b>}



    3. 求 M ( R 1 ∘ R 2 ) M( R_1 \circ R_2 ) M(R1R2)

    M ( R 1 ∘ R 2 ) = M ( R 2 ) ∙ M ( R 1 ) M( R_1 \circ R_2 ) = M(R_2) \bullet M(R_1) M(R1R2)=M(R2)M(R1)

    其中的 ∙ \bullet 是两个矩阵的逻辑乘法 , 加法使用 ∨ \lor , 乘法使用 ∧ \land

    特别注意 , 合成的顺序是逆序合成 , 后者关系矩阵在前 , 前者关系矩阵在后

    M ( R 1 ) ∙ M ( R 2 ) = [ 0 1 1 0 0 1 0 0 0 ] ∙ [ 1 1 0 1 0 1 0 0 0 ] = [ 1 0 1 0 0 0 0 0 0 ] M(R_1) \bullet M(R_2) =\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} M(R1)M(R2)=000100110110100010=100000100

    矩阵的逻辑乘法 : 结果矩阵的第 i i i 行 , 第 j j j 列元素的值为 , 第 i i i 行的三个元素 分别与上第 j j j 列的三个元素 , 然后三个结果进行或运算 , 最终结果就是 矩阵的第 i i i 行 , 第 j j j 列元素的值 ;

    R 1 ∘ R 2 = { < a , a > , < a , c > } R_1 \circ R_2 = \{ <a,a>, <a,c> \} R1R2={<a,a>,<a,c>}





    五、关系图



    A = { a 1 , a 2 , ⋯   , a n } , R ⊆ A × A A = \{ a_1, a_2 , \cdots , a_n \} , R \subseteq A \times A A={a1,a2,,an},RA×A

    R R R 的关系图 :

    • 顶点 : ∘ \circ 表示 A A A 集合中的元素 ;
    • 有向边 : → \rightarrow 表示 R R R 中的元素 ;
    • a i R a j a_i R a_j aiRaj 就是从顶点 a i a_i ai 到 顶点 a j a_j aj 的有向边 < a i , a j > <a_i , a_j> <ai,aj> ;




    六、关系图示例



    A = { a , b , c } A = \{ a, b, c \} A={a,b,c}


    R 1 = { < a , a > , < a , b > , < b , a > , < b , c > } R_1 = \{ <a, a> , <a,b> , <b,a> , <b,c> \} R1={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>} 关系图表示方式 :

    在这里插入图片描述

    R 2 = { < a , b > , < a , c > , < b , c > } R_2 = \{ <a,b>, <a,c>, <b,c> \} R2={<a,b>,<a,c>,<b,c>} 使用关系图表示 :

    在这里插入图片描述


    R 1 − 1 = { < a , a > , < a , b > , < b , a > , < c , b > } R_1^{-1} = \{ <a,a>, <a,b>, <b,a> , <c,b> \} R11={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,b>}

    在这里插入图片描述


    R 2 − 1 = { < b , a > , < c , a > , < c , b > } R_2^{-1} = \{ <b,a> , <c,a> , <c,b> \} R21={<b,a>,<c,a>,<c,b>}

    在这里插入图片描述





    七、关系表示相关性质



    A A A 集合中的元素 , 标定次序后 , 即生成了 A A A 上的关系 , R ⊆ A × A R \subseteq A \times A RA×A , 有如下性质 :

    • 关系图 G ( R ) G(R) G(R)关系的 R R R 的集合表达式 ( 有序对集合 ) , 可以 唯一确定 ;
    • 关系 R R R 的集合表达式 , 关系矩阵 M ( R ) M(R) M(R) , 关系图 G ( R ) G(R) G(R) , 都是一一对应的 ;

    R ⊆ A × B R \subseteq A \times B RA×B

    • 集合 A A A 中有 n n n 个元素 , ∣ A ∣ = n |A| = n A=n
    • 集合 B B B 中有 m m m 个元素 , ∣ B ∣ = m |B| = m B=m
    • 关系矩阵 M ( R ) M(R) M(R) n × m n \times m n×m 阶矩阵 ;
    • 关系图 G ( R ) G(R) G(R) 有向边都是从 A A A 集合中的元素 指向 B B B 集合中的元素
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    突然发现给一组数据去实际计算对应得协方差矩阵,让人有点懵,并未找到太清楚的讲解,这里举一个实例记录一下。

    1、别把样本数和维度数搞混了
    具体进行计算容易懵的原因就是很容易把样本数和维度数搞混,维度数n,那么得到的协方差矩阵就是n*n的,和样本数没啥关系。

    这里还是要明确一下,维度数即是每条样本中的变量数,协方差即是对不同变量的同向程度进行的衡量,下面举个例子来具体说明一下。

    2、实例说明一下

    样本:一共4条,2维的
    在这里插入图片描述
    这里再强调一下,每条样本都是2维的,即每条样本都包含对两个变量(X和Y)的一个观察(observation)。
    所以
    X=[1,2,4,1]
    Y=[2,3,2,5]

    对应的协方差矩阵为:
    在这里插入图片描述
    我自己感觉这比第几列减均值啥的要好理解。

    实际计算一下:
    a、首先把每条样本转置一下,组成样本矩阵:
    在这里插入图片描述

    b、求X、Y的均值
    在这里插入图片描述
    c、求协方差
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    所以协方差矩阵为:
    在这里插入图片描述
    4、python中验证
    numpy中提供了计算协方差矩阵的接口:np.cov©直接调用即可

    test_mat = np.array([[1, 2, 4, 1], [2, 3, 2, 5]])
    print(np.cov(test_mat))
    

    输出的结果:
    在这里插入图片描述

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    集合论中关系矩阵的布尔乘法运算与优化

    一、关系矩阵布尔乘法运算法则:

      矩阵的布尔乘法与普通的矩阵乘法的计算过程是一样的,只是使用数理逻辑中的合取替代普通的乘法,使用析取替代普通的加法。下图的运算公式就不多说了,反正我没看懂,用通俗一点的话来描述,可能就是这么大一坨了:
    在这里插入图片描述

    ① 第1个矩阵中第1行的各元素与第2个矩阵中第1列的各元素对应合取的析取,作为乘积矩阵第1行第1列元素
    ② 第1个矩阵中第1行的各元素与第2个矩阵中第2列的各元素对应合取的析取,作为乘积矩阵第1行第2列元素
    ③ 第1个矩阵中第1行的各元素与第2个矩阵中第3列的各元素对应合取的析取,作为乘积矩阵第1行第3列元素
    ④ 第1个矩阵中第2行的各元素与第2个矩阵中第1列的各元素对应合取的析取,作为乘积矩阵第2行第1列元素
    ⑤ 第1个矩阵中第2行的各元素与第2个矩阵中第2列的各元素对应合取的析取,作为乘积矩阵第2行第2列元素
    ⑥ 第1个矩阵中第2行的各元素与第2个矩阵中第3列的各元素对应合取的析取,作为乘积矩阵第2行第3列元素
    ⑦ 第1个矩阵中第3行的各元素与第2个矩阵中第1列的各元素对应合取的析取,作为乘积矩阵第3行第1列元素
    ⑧ 第1个矩阵中第3行的各元素与第2个矩阵中第2列的各元素对应合取的析取,作为乘积矩阵第3行第2列元素
    ⑨ 第1个矩阵中第3行的各元素与第2个矩阵中第3列的各元素对应合取的析取,作为乘积矩阵第3行第3列元素
    ...
    

    布尔乘法运算演示

    二、例题分析

      求两个关系R与S的复合关系R〇S的关系矩阵M时,需要用到布尔乘法。

    设关系R与S的关系矩阵Mr与Ms是:

    Mr = 1 0 1			Ms = 1 0 1
    	 1 0 0			     0 1 1
    	 0 1 0			 	 1 0 0
    

    则所求关系矩阵M的运算如下:

    M = 110011  100110  110110  /* ∧合取运算 */
    	110001  100100  110100  /* ∨析取运算 */
    	011001  001100  011100
    

    运算结果是:

    M = 1 0 1
        1 0 1
        0 1 1
    

    三、关系矩阵布尔乘运算的优化

      在计算的时候,可以先计算合取,再计算析取,因为析取运算只要其中一项为1,则可以忽略其他而得到结果为1,以例题矩阵第一行的运算为例,运算顺序可以更改为:

    M = (11)(00)(11)  (10)(01)(10)  (11)(01)(10)
    

      内层合取式中只要出现一个1∧1的运算,则外层析取式的结果必定为1,否则必定为0,以此类推!利用这点可以大大简化矩阵布尔积运算的复杂度!

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