内容选自《程序员的数学基础课》
你好，我是黄申。今天我来说说矩阵。
矩阵由多个长度相等的向量组成，其中的每列或者每行就是一个向量。从数据结构的角度来看，我们可以把向量看作一维数组，把矩阵看作二维数组。
具有了二维数组的特性，矩阵就可以表达二元关系了，例如图中结点的邻接关系，或者是用户对物品的评分关系。而通过矩阵上的各种运算操作，我们就可以挖掘这些二元关系，在不同的应用场景下达到不同的目的。今天我就从图的邻接矩阵出发，展示如何使用矩阵计算来实现PageRank算法。
回顾PageRank链接分析算法
在讲马尔科夫模型的时候，我已经介绍了PageRank链接分析算法。所以，在展示这个算法和矩阵操作的关系之前，我们快速回顾一下它的核心思想。
PageRank是基于马尔科夫链的。它假设了一个“随机冲浪者”模型，冲浪者从某张网页出发，根据Web图中的链接关系随机访问。在每个步骤中，冲浪者都会从当前网页的链出网页中，随机选取一张作为下一步访问的目标。此外，PageRank还引入了随机的跳转操作，这意味着冲浪者不是按Web图的拓扑结构走下去，只是随机挑选了一张网页进行跳转。
基于之前的假设，PageRank的公式定义如下：
其中，pi表示第i张网页，Mi是pi的入链接集合，pj是Mi集合中的第j张网页。PR(pj)表示网页pj的PageRank得分，L(pj)表示网页pj的出链接数量，1/L(pj)就表示从网页pj跳转到pi的概率。α是用户不进行随机跳转的概率，N表示所有网页的数量。
PageRank的计算是采样迭代法实现的：一开始所有网页结点的初始PageRank值都可以设置为某个相同的数，例如1，然后我们通过上面这个公式，得到每个结点新的PageRank值。每当一张网页的PageRank发生了改变，它也会影响它的出链接所指向的网页，因此我们可以再次使用这个公式，循环地修正每个网页结点的值。由于这是一个马尔科夫过程，所以我们能从理论上证明，所有网页的PageRank最终会达到一个稳定的数值。整个证明过程很复杂，这里我们只需要知道这个迭代计算的过程就行了。
简化PageRank公式
那么，这个计算公式和矩阵操作又有什么联系呢？为了把问题简化，我们暂时不考虑随机跳转的情况，而只考虑用户按照网页间链接进行随机冲浪。那么PageRank的公式就简化为：
这个公式只包含了原公式中的Σ(PR(pj)/L(pj))部分。我们再来对比看看矩阵点乘的计算公式。
以上两个公式在形式上是基本一致的。因此，我们可以把Σ(PR(pj)/L(pj))的计算，分解为两个矩阵的点乘。一个矩阵是当前每张网页的PageRank得分，另一个矩阵就是邻接矩阵。所谓邻接矩阵，其实就是表示图结点相邻关系的矩阵。
假设xi,j是矩阵中第i行、第j列的元素，那么我们就可以使用xi,j表示从结点i到结点j的连接，放到PageRank的应用场景，xi,j就表示网页pi到网页pj的链接。最原始的邻接矩阵所包含的元素是0或1，0表示没有链接，而1表示有链接。
考虑到PageRank里乘积是1/L(pj)，我们可以对邻接矩阵的每一行进行归一化，用原始的值（0或1）除以L(pj)，而L(pj)表示有某张网页pj的出链接，正好是矩阵中pj这一行的和。所以，我们可以对原始的邻接矩阵，进行基于行的归一化，这样就能得到每个元素为1/L(pj)的矩阵，其中j表示矩阵的第j行。注意，这里的归一化是指让所有元素加起来的和为1。
为了方便你理解，我用下面这个拓扑图作为例子给你详细解释。
基于上面这个图，原始矩阵为：
其中第i行、第j列的元素值表示从结点i到j是不是存在链接。如果是，那么这个值为1；否则就为0。
按照每一行的和，分别对每一行进行归一化之后的矩阵就变为：
有了上述这个邻接矩阵，我们就可以开始最简单的PageRank计算。PageRank的计算是采样迭代法实现的。这里我把初始值都设为1，并把第一次计算的结果列在这里。
好了，我们已经成功迈出了第一步，但是还需要考虑随机跳转的可能性。
考虑随机跳转
经过上面的步骤，我们已经求得Σ(PR(pj)/L(pj))部分。不过，PageRank引入了随机跳转的机制。这一部分其实也是可以通过矩阵的点乘来实现的。我们把Σ(PR(pj)/L(pj))部分用A表示，那么完整的PageRank公式就可以表示为：
于是，我们可以把上述公式分解为如下两个矩阵的点乘：
我们仍然使用前面的例子，来看看经过随机跳转之后，PageRank值变成了多少。这里α取0.9。
我们前面提到，PageRank算法需要迭代式计算。为了避免计算后的数值越来越大甚至溢出，我们可以进行归一化处理，保证所有结点的数值之和为1。经过这个处理之后，我们得到第一轮的PageRank数值，也就是下面这个行向量：
[0.37027027 0.24864865 0.37027027 0.00540541 0.00540541]
接下来，我们只需要再重复之前的步骤，直到每个结点的值趋于稳定就可以了。
使用Python进行实现
说到这里，我已经把如何把整个PageRank的计算，转换成多个矩阵的点乘这个过程讲完了。这样一来，我们就可以利用Python等科学计算语言提供的库，来完成基于PageRank的链接分析。为了展示具体的代码，我以之前的拓扑图为例，给你详细讲述每一步。
首先，我们要进行一些初始化工作，包括设置结点数量、确定随机跳转概率的α、代表拓扑图的邻接矩阵以及存放所有结点PageRank值的数组。下面是一段示例代码，在代码中我提供了注释供你参考。
import numpy as np# 设置确定随机跳转概率的alpha、网页结点数alpha = 0.9N = 5# 初始化随机跳转概率的矩阵jump = np.full([2,1], [[alpha], [1-alpha]], dtype=float)# 邻接矩阵的构建adj = np.full([N,N], [[0,0,1,0,0],[1,0,1,0,0],[1,0,0,0,0],[0,0,0,0,0],[0,1,0,0,0]], dtype=float)# 对邻接矩阵进行归一化row_sums = adj.sum(axis=1)      # 对每一行求和row_sums[row_sums == 0] = 0.1   # 防止由于分母出现0而导致的Nanadj = adj / row_sums[:, np.newaxis] # 除以每行之和的归一化# 初始的PageRank值，通常是设置所有值为1.0pr = np.full([1,N], 1, dtype=float)
之后，我们就能采用迭代法来计算PageRank值。一般我们通过比较每个结点最近两次计算的值是否足够接近，来确定数值是不是已经稳定，以及是不是需要结束迭代。这里为简便起见，我使用了固定次数的循环来实现。如果你的拓扑图比较复杂，需要更多次迭代，我把示例代码和注释列在这里。
# PageRank算法本身是采样迭代方式进行的，当最终的取值趋于稳定后结束。for i in range(0, 20):    # 进行点乘，计算Σ(PR(pj)/L(pj))    pr = np.dot(pr, adj)    # 转置保存Σ(PR(pj)/L(pj))结果的矩阵，并增加长度为N的列向量，其中每个元素的值为1/N，便于下一步的点乘。    pr_jump = np.full([N, 2], [[0, 1/N]])    pr_jump[:,:-1] = pr.transpose()    # 进行点乘，计算α(Σ(PR(pj)/L(pj))) + (1-α)/N)    pr = np.dot(pr_jump, jump)    # 归一化PageRank得分    pr = pr.transpose()    pr = pr / pr.sum()    print(\u0026quot;round\u0026quot;, i + 1, pr)
如果成功运行了上述两段代码，你就能看到每个结点最终获得的PageRank分数是多少。
Python中还有一些很不错的库，提供了直接构建拓扑图和计算PageRank的功能，例如networkx。你可以尝试使用这种库，构建样例拓扑图并计算每个结点的PageRank得分，最后和上述代码所计算的PageRank得分进行比较，验证一下上述代码的结果是不是合理。
总结
我们可以把向量看作一维数组，把矩阵看作二维数组。矩阵的点乘，是由若干个向量的点乘组成的，所以我们可以通过矩阵的点乘操作，挖掘多组向量两两之间的关系。
今天我们讲了矩阵的点乘操作在PageRank算法中的应用。通过表示网页的邻接二元关系，我们可以使用矩阵来计算PageRank的得分。在这个应用场景下，矩阵点乘体现了多个马尔科夫过程中的状态转移。
矩阵点乘和其他运算操作，还可以运用在很多其他的领域。例如，我在上一节介绍K均值聚类算法时，就提到了需要计算某个数据点向量、其他数据点向量之间的距离或者相似度，以及使用多个数据点向量的平均值来获得质心点的向量，这些都可以通过矩阵操作来完成。
另外，在协同过滤的推荐中，我们可以使用矩阵点乘，来实现多个用户或者物品之间的相似程度，以及聚集后的相似程度所导致的最终推荐结果。下一节，我会使用矩阵来表示用户和物品的二元关系，并通过矩阵来计算协同过滤的结果。

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方法：阶级矩阵，两行不为e68a8462616964757a686964616f313334313766390的“行”，所以秩为2。矩阵，行的秩等于列的秩。纯粹只为矩阵求秩的话，也可以通过列变换把右边两列变为0。
系数矩阵是矩阵中的众多类型之一，简单来说系数矩阵就是将方程组的系数组成矩阵来计算方程的解 。系数矩阵常常用来表示一些项目的数学关系，比如通过此类关系系数矩阵来证明各项目的正反比关系。
增广矩阵(又称扩增矩阵)就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。对系数矩阵进行的一个增广矩阵，切勿以为增广矩阵只是右端添加一列，其实是在原矩阵的右端添加一个矩阵，而线性方程组的右端恰好是一个列数为1的矩阵。
扩展资料：
矩阵的概念最早在1922年见于中文。1922年，程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”。1925年，科学名词审查会算学名词审查组在《科学》第十卷第四期刊登的审定名词表中，矩阵被翻译为“矩阵式”。
方块矩阵翻译为“方阵式”，而各类矩阵如“正交矩阵”、“伴随矩阵”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”。1935年，中国数学会审查后，中华民国教育部审定的《数学名词》(并“通令全国各院校一律遵用，以昭划一”)中，“矩阵”作为译名首次出现。

THE START
MATLAB和Excel这两者之间有着什么样的关系呢？今天我把之前学习以及用到的关于用MATLAB读写Excel数据，并进行计算处理的经验分享给需要的小伙伴。参加过数学建模的这个应该就很简单了，不经常使用的来说可能有点麻烦。
小编这几天学习使用MATLAB也走了一些弯路（matlab小白
），从会C语言的室友那里找到了解决办法，所以这些编程思路基本都是相通的。
MATLAB是matrix&laboratory两个词的组合，意思为矩阵实验室，所以一定要了解到矩阵在MATLAB中的重要性。一些数据的处理以及计算都是在此基础之上进行的，使用MATLAB对Excel数据进行处理也是用矩阵来处理，所以首先要了解MATLAB关于矩阵的基础。主要会用到读取Excel数据、寻访矩阵元素、计算结果创建矩阵、MATLAB绘图、结果写入Excel。
1.创建矩阵
1.矩阵元素在[ ]内。
2.矩阵列元素之间用空格或者逗号分开。
3.矩阵的行与行之间用分号；隔开。
如下：
A=[1 2 3 ;4 5 6]
运行结果
B=[1,2,4;6,8,9]
2.矩阵寻访
寻访矩阵一般有三种方法，下标寻访、单元素寻访和多元素寻访。
下标寻访又有单下标寻访和双下标寻访，单下标寻访和双下标寻访意思一样只是表示方法不同。
双下标分别表示行与列，对应矩阵的元素的第几行，第几列。无论单下标寻访还是双下标寻访都是单元素，本次小编用到的也是单元素寻访。
1.双下标寻访命令用（，）表示：小括号前边写明矩阵名称，逗号前边表示行，后边表示列。如
A=[123 ;456]
C=A(1,1)
运行结果
多元素寻访
多元素寻访从字面意思理解就是寻访某个矩阵的多个元素，访问整行、整列或者全部。命令需要注意冒号和逗号的使用，要在英文输入状态下。
使用命令如下
1.A(1:2:10)表示取数组或者矩阵的A的第一个元素到第十个元素，步长为2。
2.A([1 2 3])表示取数组或矩阵A中的第1、2、3个元素。
3.A(:,L)表示取矩阵A的第L列全部元素。
4.A(L,：)表示取矩阵A的第L行的全部元素。
5.A(i:i+k,:)表示取矩阵A的第i-i+k行的全部元素。
6.A(:,i:i+k)表示 取矩阵A的第i列到底第i+k列的全部元素。
7.A(i:i+k,k:k+l)表示取矩阵A的第i-i+k行内，并在第k-k+l列中的所有元素。
3.读取Excel
Excel数据可以命令读取也可以直接导入，命令读取也很简单，在MATLAB右上角搜索框输入 help Excel 即可获得命令帮助。
读取命令
今天小编主要用到以下三个命令，其他命令可以在help文档中学习使用，help 文档是一个很好的东西，遇到问题可以在上边进行搜索，还有案例教学。括号内为Excel信息，filename（文件名），sheet（表格位置），xlRange（读取范围）。
num = xlsread(filename)
num = xlsread(filename,sheet)
num = xlsread(filename,sheet,xlRange)
Excel数据
查看Excel数据，确定数据读取范围。我的数据较多，从A1-E603。
读取命令
A=xlsread('D:MATLAB和Excel计算yuzhuyi.xls','sheet1','A1:E603');
小编的参数是5列，603行，所以要将5列中的每行同时带入MATLAB中进行计算，并输出一个结果，一共是603个结果。
下边开始逐个读取Excel中的数据进行计算，也就是矩阵的单个元素寻访。循环读取以及矩阵元素寻访使用如下，一共是5列数据。
 for j=1:603
     lam=A(j,1);
    H=A(j,4);
     L=A(j,2);
     k1=A(j,5);
     k2=A(j,3);
%加入自己的计算公式，输出结果
  zeros(j,1)=R;%将每次循环计算的结果放到矩阵中
end
5.增加变量
在上一步的基础上增加变量，依然将变量都放在Excel中进行读取计算，放在F行，变量是5-50间隔为0.1。（如果是等差数列可以直接使用for循环，无需在Excel中读取，小编主要演示MATLAB处理Excel）
变量读取命令为
B=xlsread('D:MATLAB和Excel计算yuzhuyi.xls','sheet1','F2:F451');
小编将这一列数据作为两个变量使用，即d1、d2命令如下
for m=1:450
    d1=B(m,1);
    d2=B(m,1);
%写入自己的计算公式
end
 6.最终计算
将两个循环计算放在一块

for j=1:603
     lam=A(j,1);
    H=A(j,4);
     L=A(j,2);
     k1=A(j,5);
     k2=A(j,3);
for m=1:450
    d1=B(m,1);
    d2=B(m,1);
%写入自己的计算公式
%加入自己的计算公式，输出结果
  zeros(j,m)=R;%将每次循环计算的结果放到矩阵中
end
end
小编需要将全部的计算结果输出，也就是450列、604行。zeros(j,m)=R这个命令就是将全部结果放入矩阵，结果如下
7.绘图
选中某列的计算结果，点击绘图-选择样式。如果Excel中的绘图无法满足要求可以使用此方法进行绘图，还可以进行拟合等操作。
小编随便选择的样式
8.导出结果
将计算的结果写入到Excel中去，方便后续的计算保存。命令格式和读取数据时是一样的。使用命令
xlswrite('yuzhu.xlsx',zeros);
注意数据太多的话需要使用xlsx格式。数据太多，计算以及结果导出时间有点久。
运行结束后MATLAB会在软件内自动打开数据表格。
使用Excel打开数据
总结
至此MATLAB导入Excel数据进行计算就算完成了，小编这个只是简单的计算，实际的肯定比这个要复杂，命令也多，但是只要明白基本原理操作起来就很简单了。水平有限难免有错误，还请批评指出。

	

相关性，是指两个变量之间的关联程度。一般来讲，两个变量之间的关系是以下三种之一:正相关、负相关、无相关。相关系数被用来衡量两个变量之间相关性的强弱程度，数值变动范围在+1和-1之间。但要注意，相关系数只反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。
在以前的博文中，曾经介绍过如何计算两个变量之间的相关系数，方法是用Excel的correl函数，在Excel帮助中关于correl函数功能的介绍部分举了一个例子，有A、B两组数据，分别位于Excel的A3至A7和B3至B7单元格区域。
在Excel中的空白栏处输入=correl()，括号内为取值单元格范围A3：A7和B3：B7
结果说明A、B两组数据之间的相关系数为99.7054%。
可见用correl函数计算两个变量之间的相关系数是可行的，但是如果变量的数量不是两个而是很多怎么办？比如5个、10个甚至是100个。。。，显然再用correl函数一个一个分别计算各个变量之间的相关系数就会非常麻烦。
有没有相对省时省力的方法来计算多变量之间的相关系数呢？方法是有的，这就需要相关系数矩阵，相关系数矩阵是由一组变量相互之间的相关系数构成的一张表。
举个例子，一个外汇投资组合配置了5个币种，分别为欧元/美元、英镑/美元、美元/日元、美元/澳大利亚元、美元/加拿大元，投资经理需要知道这5个汇率之间的相关系数以进行投资管理。
下面按步骤进行计算：
1、数据的获得和整理。登录美国联邦储备银行圣路易斯分行的主页https://fred.stlouisfed.org/，点击Category按照数据类型进行查询
2、在Category大项中选择Exchange Rates 
3、在Exchange Rates项中选择Monthly Rates，即月度收盘价数据
4、在Monthly Rates项中选择U.S. / Euro Foreign Exchange Rate，即欧元/美元的汇率
5、图中有选项可选择数据的取值期间，本例中用的是5年，右侧有下载功能键可下载选定期间的汇率数据
6、2014年1月至2018年12月的欧元/美元汇率下载后略作格式调整，结果如下：
7、同理，下载英镑/美元、美元/日元、美元/澳大利亚元、美元/加拿大元的月度收盘价数据
8、下面用Excel的LN函数计算这5个汇率的月度涨跌百分比
9、依次打开“工具”、“数据分析”、“相关系数”
10、在“相关系数”功能界面的“输入区域”点按光标选中这5个汇率的月度回报率数据所在栏G2：J61，“分组方式”系统默认为逐列，在表中空白处选择数据“输出区域”，然后按确定键
11、以下为相关系数矩阵，可见欧元/美元和英镑/美元是正相关，相关系数为0.52835；欧元/美元和美元/日元是负相关，相关系数为-0.40798。其中，英镑/美元和美元/日元的相关系数为-0.03755，相关性最低，说明英镑/美元和美元/日元走势之间基本上没有任何关系。
12、用Excel的“数据分析”功能可以非常高效地计算各货币对之间的相关系数，但这一结果与correl函数的计算结果是否相符呢？下面来验证一下。
用correl函数计算的欧元/美元和英镑/美元之间的相关系数为0.528350341，与英镑/美元和美元/加元之间的相关系数为0.369657257，与上表中的数值相符。