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  • 一、关系矩阵 、 二、关系矩阵示例 、 三、关系矩阵性质 、 四、关系矩阵运算 、 五、关系图 、 六、关系图示例 、 七、关系表示相关性质 、





    一、关系矩阵



    A={a1,a2,,an},RA×AA = \{ a_1, a_2 , \cdots , a_n \} , R \subseteq A \times A

    RR 使用 关系矩阵 表示 : M(R)=(rij)n×nM(R) = (r_{ij})_{n\times n}

    关系矩阵取值 : M(R)(i,j)=rij={1,aiRaj0,M(R)(i, j) = r_{ij} =\begin{cases} 1, & a_i R a_j \\ 0, & 无关系 \end{cases}


    关系矩阵定义说明 :

    AA 是个 nn 元集 ( 集合中有 nn 个元素 ) , RRAA 上的二元关系 , RR 的关系矩阵是 n×nn \times n 的方阵 , ii 行第 jj 列位置的元素 rijr_{ij} 取值只能是 0011 ;


    关系矩阵取值说明 :

    如果 rij=1r_{ij} = 1 , 则说明 AA 集合中 第 ii 个元素与第 jj 个元素具有关系 RR , 记作 : aiRaja_i R a_j ;

    如果 rij=0r_{ij} = 0 , 则说明 AA 集合中 第 ii 个元素与第 jj 个元素没有关系 RR ;


    关系矩阵本质 : 关系矩阵中 , 每一行对应着 AA 集合中的元素 , 每一列也对应着 AA 集合中的元素 , 行列交叉的位置的值 ( 0011 ) 表示 AA 集合中第 ii 个元素与第 jj 个元素构成的有序对是否有关系 RR ;





    二、关系矩阵示例



    A={a,b,c}A = \{ a, b, c \}

    R1={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>}R_1 = \{ <a, a>, <a,b> , <b,a> , <b,c> \}

    R2={<a,b>,<a,c>,<b,c>}R_2 = \{ <a,b> , <a,c> , <b,c> \}


    使用关系矩阵表示上述 R1,R2R_1 , R_2 两个关系 :



    R1={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>}R_1 = \{ <a, a>, <a,b> , <b,a> , <b,c> \} 其中 :

    • <a,a><a, a> : aa 是第 11 个元素 , aa 是第 11 个元素 , 第 11 行第 11 列元素是 11
    • <a,b><a, b> : aa 是第 11 个元素 , bb 是第 22 个元素 , 第 11 行第 22 列元素是 11
    • <b,a><b, a> : bb 是第 22 个元素 , aa 是第 11 个元素 , 第 22 行第 11 列元素是 11
    • <b,c><b, c> : bb 是第 22 个元素 , cc 是第 33 个元素 , 第 22 行第 33 列元素是 11
    • 其余全是 00

    M(R1)=[110101000]M(R_1) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}



    R2={<a,b>,<a,c>,<b,c>}R_2 = \{ <a,b> , <a,c> , <b,c> \} 其中 :

    • <a,b><a, b> : aa 是第 11 个元素 , bb 是第 22 个元素 , 第 11 行第 22 列元素是 11
    • <a,c><a, c> : aa 是第 11 个元素 , cc 是第 33 个元素 , 第 11 行第 33 列元素是 11
    • <b,c><b, c> : bb 是第 22 个元素 , cc 是第 33 个元素 , 第 22 行第 33 列元素是 11
    • 其余全是 00

    M(R2)=[011001000]M(R_2) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}





    三、关系矩阵性质



    有序对集合表达式 与 关系矩阵 可以唯一相互确定



    性质一 : 逆运算相关性质

    M(R1)=(M(R))TM(R^{-1}) = (M(R))^T


    M(R1)M(R^{-1}) 关系的逆关系矩阵

    (M(R))T(M(R))^T 关系矩阵
    这两个矩阵是相等的 ;



    性质二 : 合成运算相关性质

    M(R1R2)=M(R2)M(R1)M(R_1 \circ R_2) = M(R_2) \bullet M(R_1)

    \bullet 是矩阵的 逻辑乘法 , 计算 矩阵 rijr_{ij} 的值 第 ii 行 乘以 第 jj 列 , 逐位 逻辑相乘 , 再将逻辑相乘结果再 逻辑相加 ;

    上述 逻辑乘法使用 \land 运算 , 逻辑加法使用 \lor 运算 ;





    四、关系矩阵运算



    A={a,b,c}A = \{ a, b, c \}

    R1={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>}R_1 = \{ <a, a>, <a,b> , <b,a> , <b,c> \}

    R2={<a,b>,<a,c>,<b,c>}R_2 = \{ <a,b> , <a,c> , <b,c> \}


    在上面的示例中 , 已经求出两个关系矩阵 ;

    M(R1)=[110101000]M(R_1) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} , M(R2)=[011001000]M(R_2) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}



    1. 求 M(R1),M(R21)M(R^{-1}) , M(R_2^{-1})

    直接将矩阵转置 , 即可获取 关系的逆的关系矩阵 ;

    M(R11)=(M(R1))T=[110100010]M(R_1^{-1}) = (M(R_1))^T = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}

    M(R21)=(M(R2))T=[000100110]M(R_2^{-1}) = (M(R_2))^T = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}

    R11={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,b>}R_1^{-1} = \{ <a, a> , <a, b> , <b,a> , <c,b> \}

    R21={<b,a>,<c,a>,<c,b>}R_2^{-1} = \{ <b, a> , <c,a> , <c,b> \}



    2. 求 M(R1R1)M( R_1 \circ R_1 )

    M(R1R1)=M(R1)M(R1)M( R_1 \circ R_1 ) = M(R_1) \bullet M(R_1)

    其中的 \bullet 是两个矩阵的逻辑乘法 , 加法使用 \lor , 乘法使用 \land

    M(R1)M(R1)=[110101000][110101000]=[111110000]M(R_1) \bullet M(R_1) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

    矩阵的逻辑乘法 : 结果矩阵的第 ii 行 , 第 jj 列元素的值为 , 第 ii 行的三个元素 分别与上第 jj 列的三个元素 , 然后三个结果进行或运算 , 最终结果就是 矩阵的第 ii 行 , 第 jj 列元素的值 ;

    R1R1={<a,a>,<a,b>,<a,c>,<b,a>,<b,b>}R_1 \circ R_1 = \{ <a,a> , <a,b> , <a,c> , <b,a>, <b,b> \}



    3. 求 M(R1R2)M( R_1 \circ R_2 )

    M(R1R2)=M(R2)M(R1)M( R_1 \circ R_2 ) = M(R_2) \bullet M(R_1)

    其中的 \bullet 是两个矩阵的逻辑乘法 , 加法使用 \lor , 乘法使用 \land

    特别注意 , 合成的顺序是逆序合成 , 后者关系矩阵在前 , 前者关系矩阵在后

    M(R1)M(R2)=[011001000][110101000]=[101000000]M(R_1) \bullet M(R_2) =\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \bullet \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

    矩阵的逻辑乘法 : 结果矩阵的第 ii 行 , 第 jj 列元素的值为 , 第 ii 行的三个元素 分别与上第 jj 列的三个元素 , 然后三个结果进行或运算 , 最终结果就是 矩阵的第 ii 行 , 第 jj 列元素的值 ;

    R1R2={<a,a>,<a,c>}R_1 \circ R_2 = \{ <a,a>, <a,c> \}





    五、关系图



    A={a1,a2,,an},RA×AA = \{ a_1, a_2 , \cdots , a_n \} , R \subseteq A \times A

    RR 的关系图 :

    • 顶点 : \circ 表示 AA 集合中的元素 ;
    • 有向边 : \rightarrow 表示 RR 中的元素 ;
    • aiRaja_i R a_j 就是从顶点 aia_i 到 顶点 aja_j 的有向边 <ai,aj><a_i , a_j> ;




    六、关系图示例



    A={a,b,c}A = \{ a, b, c \}


    R1={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,c>}R_1 = \{ <a, a> , <a,b> , <b,a> , <b,c> \} 关系图表示方式 :

    在这里插入图片描述

    R2={<a,b>,<a,c>,<b,c>}R_2 = \{ <a,b>, <a,c>, <b,c> \} 使用关系图表示 :

    在这里插入图片描述


    R11={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<c,b>}R_1^{-1} = \{ <a,a>, <a,b>, <b,a> , <c,b> \}

    在这里插入图片描述


    R21={<b,a>,<c,a>,<c,b>}R_2^{-1} = \{ <b,a> , <c,a> , <c,b> \}

    在这里插入图片描述





    七、关系表示相关性质



    AA 集合中的元素 , 标定次序后 , 即生成了 AA 上的关系 , RA×AR \subseteq A \times A , 有如下性质 :

    • 关系图 G(R)G(R)关系的 RR 的集合表达式 ( 有序对集合 ) , 可以 唯一确定 ;
    • 关系 RR 的集合表达式 , 关系矩阵 M(R)M(R) , 关系图 G(R)G(R) , 都是一一对应的 ;

    RA×BR \subseteq A \times B

    • 集合 AA 中有 nn 个元素 , A=n|A| = n
    • 集合 BB 中有 mm 个元素 , B=m|B| = m
    • 关系矩阵 M(R)M(R)n×mn \times m 阶矩阵 ;
    • 关系图 G(R)G(R) 有向边都是从 AA 集合中的元素 指向 BB 集合中的元素
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  • 正定矩阵与半正定矩阵定义性质与理解

    万次阅读 多人点赞 2018-01-24 12:21:12
    定义:AA是n阶方阵,如果对任何非零向量xx,都有xTAx>0x^TAx> 0,其中xTx^T 表示xx的转置,就称AA正定矩阵。 性质: 正定矩阵的行列式恒为正; 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同; 两个正定矩阵的和是正定...

    正定矩阵

    在线性代数里,正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。
    定义:A是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有xTAx>0,其中xT 表示x的转置,就称A正定矩阵。

    性质:

    1. 正定矩阵的行列式恒为正
    2. 实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同;
    3. 两个正定矩阵的和是正定矩阵;
    4. 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

    等价命题:
    对于n阶实对称矩阵A,下列条件是等价的:

    1. A是正定矩阵;
    2. A的一切顺序主子式均为正;
    3. A的一切主子式均为正;
    4. A的特征值均为正
    5. 存在实可逆矩阵C使A=C'C
    6. 存在秩为n的m×n实矩阵B使A=B'B
    7. 存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R使A=R'R

    根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵A的正定性有两种方法

    1. 求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的。

    2. 计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零,则A是正定的;若A的各阶顺序主子式中,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A为负定的。

      例: 判断矩阵是否正定

      Q=631320104

      解:对称矩阵Q的三个顺序主子式依次为
      |6|=6>0

      6332=3>0

      631320104=10>0

      矩阵Q是正定的

    半正定矩阵

    A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量xxTAx0,就称A为半正定矩阵。
    对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的
    性质:

    1. 半正定矩阵的行列式是非负的;
    2. 两个半正定矩阵的和是半正定的;
    3. 非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。

    等价条件:

    1. A是半正定的;
    2. A的所有主子式均为非负的;
    3. A的特征值均为非负的;
    4. 存在n阶实矩阵C使A=C'C
    5. 存在秩为r的r×n实矩阵B,使A=B'B

    直观理解正定、半正定矩阵:

    XTMX0
    XTY0  (Y=MX)
    cos(θ)=XTY||X||||Y||0
    ||X||, ||Y||代表向量 X,Y的长度,\theta是他们之间的夹角。正定、半正定矩阵的直觉代表一个向量经过它的变化后的向量与其本身的夹角小于等于90度。

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  • 利用定义求解传递闭包的关系矩阵

    千次阅读 2020-06-26 11:43:05
    题目描述 给定有限集合上二元关系的关系矩阵,利用传递闭包的定义式(不是warshall算法)求其传递闭包的关系矩阵。 源代码 #include #define N 100 int mult(int a[N][N],int b[N][N],int n,int c[N][N]) { int i,j...

    题目描述
    给定有限集合上二元关系的关系矩阵,利用传递闭包的定义式(不是warshall算法)求其传递闭包的关系矩阵。
    源代码

    #include<stdio.h>
    #define N 100
    int mult(int a[N][N],int b[N][N],int n,int c[N][N])
    {
    	int i,j,k;
    	for(i=0;i<n;i++)
    	{
    		for(j=0;j<n;j++)
    		{
    			c[i][j]=0;
    		}
    	}//每次接收矩阵乘积前先初始化为0 
    	for(i=0;i<n;i++)  
    	{   
    		for(j=0;j<n;j++)  
    		{    
    			for(k=0;k<n;k++)    
    			{     
    				c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];    
    			}   
    		}  
    	}
    }//定义实现矩阵乘法的函数 
    int main()
    {
    	int n,a[100][100]={0},i,j,k,b[100][100]={0},c[100][100]={0},d[100][100]={0};
    	scanf("%d",&n);
    	for(i=0;i<n;i++)
    	{
    		for(j=0;j<n;j++)
    		{
    			scanf("%d",&a[i][j]);
    			b[i][j]=a[i][j];
    			d[i][j]=a[i][j];
    		}
    	}//输入邻接矩阵,并用另一个矩阵暂时存储 
    	for(i=0;i<n-1;i++)
    	{
    		mult(a,b,n,c);
    		for(j=0;j<n;j++)
    		{
    			for(k=0;k<n;k++)
    			{
    				b[j][k]=c[j][k];//用c来接收前两个矩阵相乘的结果,并将其储存在b中以实现求解高次矩阵 
    				d[j][k]+=c[j][k];
    			}
    		}
    	} 
    	for(i=0;i<n;i++)
    	{
    		for(j=0;j<n;j++)
    		{
    			if(i==j) d[i][j]=1;
    			else if(i!=j&&d[i][j]>0)
    			{
    				d[i][j]=1;
    			}
    		}
    	}//将矩阵d转化为布尔矩阵 
    	for(i=0;i<n;i++)
    	{
    		for(j=0;j<n;j++)
    		{
    			printf("%d ",d[i][j]);
    		}
    		printf("\n");
    	}
    }
    
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  • 正定矩阵与半正定矩阵定义与判别

    千次阅读 2020-10-13 09:13:39
    1.正定矩阵和半正定矩阵 若所有特征值均大于零,则称为正定。 定义:A是n阶方阵,如果对任何非零...根据正定矩阵定义及性质,判别对称矩阵A的正定性有两种方法: 求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A...

    1.正定矩阵和半正定矩阵

    若所有特征值均大于零,则称为正定。

    定义:A是n阶方阵,如果对任何非零向量x,都有x^{^{T}}Ax>0,其中x^{^{T}}表示x的转置,就称A为正定矩阵。

    性质:

    1. 正定矩阵的行列式恒为正;
    2. 实对称矩阵AA正定当且仅当AA与单位矩阵合同;
    3. 两个正定矩阵的和是正定矩阵;
    4. 正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

    根据正定矩阵的定义及性质,判别对称矩阵A的正定性有两种方法:

    求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的。

    计算A的各阶顺序主子式。若A的各阶顺序主子式均大于零,则A是正定的;若A的各阶顺序主子式中,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A为负定的。

    2.半正定矩阵

    若所有特征值均不小于零,则称为半正定。

    定义:设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列向量x有x^{^{T}}Ax≥0,就称A为半正定矩阵。 

    对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。 
    性质:

    1. 半正定矩阵的行列式是非负的;
    2. 两个半正定矩阵的和是半正定的;
    3. 非负实数与半正定矩阵的数乘矩阵是半正定的。
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  • 1.矩阵定义 2.矩阵的三种简记方法: 1. 2. 3. 3.几种特殊类型的矩阵,(其中列矩阵也叫做向量) 4.与线性方程组有关的矩阵 线性方程组与他的增广矩阵一一对应 5.与线性方程组...
  • 二元关系矩阵和图表示

    万次阅读 2015-08-05 17:03:04
    两个事物之间的关系称之为二元关系。在数学上,二元关系指的是这样的一个集合S,它的所有元素都为二元有序对。它反映的是有序对中第一个元素组成的集合与第二个元素组成的集合之间的关系。举个例子,集合S={,} 就...
  • 特殊矩阵相关的几个定义

    千次阅读 2018-03-24 11:53:47
    1、方块矩阵 方块矩阵,简称方阵,是指那些行数和列数相同的矩阵 对角矩阵,如果一个矩阵除了对角元素外的所有元素都为0,则称为对角矩阵 2、单位矩阵 一个特殊的对角矩阵是单位矩阵,即对角线元素都为1的对...
  • 本文主要讲解Gephi绘制作者间的关系图谱,该软件可以广泛应用于社交网络、知识图谱分析,推荐读者使用。这是非常基础的一篇文章,重点讲解Gephi使用方法,希望对大家有所帮助。
  • 矩阵和向量的关系

    2020-07-01 12:17:02
    矩阵是由m×n个数组成的一个m行n列的矩形...依上定义可以看出:向量可以用矩阵表示,且有时特殊矩阵就是向量. 简言之就是矩阵包含向量. https://www.zybang.com/question/a8906c4eeda3c66274310dbb3aa1aadb.html ...
  • 正交矩阵和旋转矩阵之间关系和性质总结

    万次阅读 多人点赞 2017-07-05 21:51:23
    下面是来百度百科的一些定义: 如果:AAT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”。)或ATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵, 若A为正交阵,则满足以下条件: 1) AT是正交矩阵 2)   (E为单位矩阵) 3) A的...
  • 定义:称为马氏过程在t时刻经s时间的状态转移概率函数。若与t无关,称{X(t),t∈[0,+∞]}为时齐马氏过程。其转移概率函数仅与起始状态i,经过时间段s和转移到达的状态j有关,记为:  。 性质: (1)  (2)  ...
  • 协方差矩阵和散布矩阵(散度矩阵)的意义

    万次阅读 多人点赞 2017-03-31 19:27:42
    在模式识别的教程中,散布矩阵也称为散度矩阵,有的也称为类内离散度矩阵或者类内离差阵,用一个等式关系可表示为: 关系:散度矩阵=类内离散度矩阵=类内离差阵=协方差矩阵×(n-1) 样本的协方差矩阵乘以n-1倍即...

空空如也

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关系矩阵的定义