什么是算术运算？什么是关系运算？什么是逻辑运算？

【答案解析】

算术运算：

• 算术运算即“四则运算”，是加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等几种运算的统称。

• 其中加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方、开方为三级运算。在一道算式中，如果有多级运算存在，则应先进行高级运算，再进行低一级的运算。

• C语言中的算熟运算符包括：+、-、*、/、++、--、% 等种类。

• 如果只存在同级运算；则从左至右的顺序进行；如果算式中有括号，则应先算括号里边，再按上述规则进行计算。

示例：$ (1 + 1)^{2} * 4+5 * 3$

解析：

1. 先进行括号内运算1+1，然后进行乘方运算得到结果4.
2. 接下来与4相乘，得到结果16
3. 因为乘法优先级大于加法，因此先进行5*3，得到结果15
4. 最终相加得到结果31

结果：31

关系运算：

• 关系的基本运算有两类：一类是传统的集合运算（并、差、交等），另一类是专门的关系运算（选择、投影、连接、除法、外连接等），而在C语言中，关系运算通常被认为是比较运算，将两个数值进行比较，判断比较结果是否符合给定的条件。

• 常见的关系运算符包括：<、<=、>、>=、==、!= 等种类。

• 其中，前4种关系运算符(<、<=、>、>= )的优先级别相同，后2种(==、!=)也相同。而前4种高于后2种。

• 例如, > 优先于 == 。而 > 与 < 优先级相同。 并且，关系运算符的优先级低于算术运算符，关系运算符的优先级高于赋值运算符(=)。

逻辑运算：

• 在逻辑代数中，有与、或、非三种基本逻辑运算。表示逻辑运算的方法有多种，如语句描述、逻辑代数式、真值表、卡诺图等。而在C语言中，逻辑运算通常用于使用逻辑运算符将关系表达式或其它逻辑量连接起来组成逻辑表达式用来测试真假值。

• 常见的逻辑运算符包括：&&、||、! 等种类

• &&： 与是双目运算符，要求有两个运算对象，表示两个运算对象都成立，则结果为真，否则结果为假。

例如：(a<b) && (x>y)，表示(a<b)和(x>y)同时成立则为真。

• ||：是双目运算符，要求有两个运算对象，表示两个运算对象只要任意一个成立，则结果为真，否则结果为假。

• 例如：(a<b) && (x>y)，表示(a<b)和(x>y)两个对象中任意一个成立则结果为真。

• !：是单目运算符，只要求有一个运算对象，表示取运算对象反义，运算对象为真则结果为假，运算对象结果为假则结果为真。

• 例如：!(a>b)，表示(a>b)成立时结果为假，不成立时结果为真。

• 若在一个逻辑表达式中包含多个逻辑运算符，则优先次序为： ! > && > ||。当然若一个逻辑表达式中包含括号括起来的子逻辑，则优先括号内的子逻辑判断。

示例：

• (1>2)||(2>3)&&(4>3) 结果为0 !(1>2)||(2>3)&&(4>3)结果为1

• 注：&&优先级大于||，((2>3)&&(4>3))无法同时成立，则结果为假，然后与(1>2)结果进行逻辑或运算，两者都为假因此第一次结果为假。 而第二次!优先级最高，先对(1>2)的结果取逻辑非，得到结果为真，因此结果为真。

一、逆运算示例

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A = { a , b , c , d } A = \{ a, b, c, d \} A={a,b,c,d}

B = { a , b , < c , d > } B = \{ a, b, <c, d> \} B={a,b,<c,d>}

C = { < a , b > , < c , d > } C = \{ <a, b> , <c, d> \} C={<a,b>,<c,d>}

求上述集合的逆运算

求逆运算只能针对于 有序对 进行 , 如果没有有序对 , 就没有关系运算的概念 ;

$A$ 集合中没有有序对 , 因此没有关系运算的概念 , 对其求逆运算 , 结果是空集合 ;

$A^{-1}=\varnothing$

$B$ 集合中 有 有序对 $<c,d>$ , 其逆运算就是求所有有序对的逆 ;

B − 1 = { < d , c > } B^{-1} = \{ <d, c> \} B−1={<d,c>}

$C$ 集合中 有 有序对 $<a,b>,<c,d>$ , 其逆运算就是求所有有序对的逆 ;

C − 1 = { < b , a > , < d , c > } C^{-1} = \{ <b,a> , <d, c> \} C−1={<b,a>,<d,c>}

二、合成运算示例 ( 逆序合成 )

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B = { a , b , < c , d > } B = \{ a, b , <c,d> \} B={a,b,<c,d>}

R = { < a , b > , < c , d > } R = \{ <a,b> , <c,d> \} R={<a,b>,<c,d>}

G = { < b , e > , < d , c > } G = \{ <b, e> , <d, c> \} G={<b,e>,<d,c>}

求以下的合成运算结果 , 这里的 合成 指的是 逆序合成

$Bo{R}^{-1}$

R − 1 = { < b , a > , < d , c > } R^{-1} = \{ <b,a> , <d,c> \} R−1={<b,a>,<d,c>}

B o R − 1 = { < c , d > } o { < b , a > , < d , c > } = { < d , d > } B o R^{-1} = \{ <c, d> \} o \{ <b,a> , <d,c> \} = \{ <d, d> \} BoR−1={<c,d>}o{<b,a>,<d,c>}={<d,d>}

合成 默认是 逆序合成

$GoB$

G o B = { < b , e > , < d , c > } o { < c , d > } = { < c , c > } G o B = \{<b,e>, <d, c>\} o \{ <c,d> \} = \{ <c,c> \} GoB={<b,e>,<d,c>}o{<c,d>}={<c,c>}

$GoR$

G o R = { < b , e > , < d , c > } o { < a , b > , < c , d > } = { < a , e > , < c , c > } G o R =\{<b,e>, <d, c>\} o \{ <a,b> , <c,d> \} = \{ <a,e>, <c,c> \} GoR={<b,e>,<d,c>}o{<a,b>,<c,d>}={<a,e>,<c,c>}

$RoG$

R o G = { < a , b > , < c , d > } o { < b , e > , < d , c > } = { < d , d > } R o G =\{ <a,b> , <c,d> \} o \{<b,e>, <d, c>\} = \{ <d,d> \} RoG={<a,b>,<c,d>}o{<b,e>,<d,c>}={<d,d>}

三、限制运算示例

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F = { < a , b > , < a , { a } > , < { a } , { a , { a } } > } F = \{ <a,b> , <a, \{a\}> , <\{a\} , \{a, \{a\}\}> \} F={<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}

参考 : 【集合论】二元关系 ( 定义域 | 值域 | 域 | 逆运算 | 逆序合成运算 | 限制 | 像 | 单根 | 单值 | 合成运算的性质 ) 五、关系的限制

1. 求 F ↾ { a } F \upharpoonright \{a\} F↾{a}

$F$ 集合中的有序对 , 第一个元素是 { a } \{a\} {a} 集合中的元素的有序对 , 这些有序对组成的集合就是 $F$ 集合 在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制 ;

F ↾ { a } = { < a , b > , < a , { a } > } F \upharpoonright \{a\} = \{ <a,b> , <a, \{a\}> \} F↾{a}={<a,b>,<a,{a}>}

2. 求 F ↾ { { a } } F \upharpoonright \{\{a\}\} F↾{{a}}

$F$ 集合中的有序对 , 第一个元素是 { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合中的元素的有序对 , { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合中的元素是 { a } \{a\} {a} , 这些有序对组成的集合就是 $F$ 集合 在 { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合上的限制 ;

F ↾ { { a } } = { < { a , { a } } > } F \upharpoonright \{\{a\}\} = \{ <\{a, \{a\}\}> \} F↾{{a}}={<{a,{a}}>}

3. 求 F ↾ { a , { a } } F \upharpoonright \{a, \{a\}\} F↾{a,{a}}

$F$ 集合中的有序对 , 第一个元素是 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合中的元素 的有序对 , 这些有序对组成的集合就是 $F$ 集合 在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的限制 ;

F ↾ { a , { a } } = { < a , b > , < a , { a } > , < { a } , { a , { a } } > } F \upharpoonright \{a, \{a\}\} = \{ <a,b> , <a, \{a\}> , <\{a\} , \{a, \{a\}\}> \} F↾{a,{a}}={<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}

4. 求 F − 1 ↾ { { a } } F^{-1} \upharpoonright \{\{a\}\} F−1↾{{a}}

F − 1 = { < b , a > , < { a } , a > , < { a , { a } } , { a } > } F^{-1} = \{ <b, a> , <\{a\}, a> , <\{a, \{a\}\}, \{a\} > \} F−1={<b,a>,<{a},a>,<{a,{a}},{a}>}

$F^{-1}$ 集合中的有序对 , 第一个元素是 { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合中的元素 的有序对 , 这些有序对组成的集合就是 $F^{-1}$ 集合 在 { { a } } \{\{a\}\} {{a}} 集合上的限制 ;

F − 1 ↾ { { a } } = { < { a } , a > } F^{-1} \upharpoonright \{\{a\}\} = \{ <\{a\}, a> \} F−1↾{{a}}={<{a},a>}

四、像运算示例

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F = { < a , b > , < a , { a } > , < { a } , { a , { a } } > } F = \{ <a, b> , <a, \{ a \}> , <\{ a \} , \{ a, \{a\} \}> \} F={<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}

参考 : 【集合论】二元关系 ( 定义域 | 值域 | 域 | 逆运算 | 逆序合成运算 | 限制 | 像 | 单根 | 单值 | 合成运算的性质 ) 六、关系的象

$F$ 集合在 $A$ 集合的像 , 是 $F$ 集合在 $A$ 集合上限制的 值域 ;

1. F [ { a } ] F[\{a\}] F[{a}]

$F$ 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的像 , 是 $F$ 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制的值域 , $F$ 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制是 { < a , b > , < a , { a } > } \{ <a, b> , <a, \{ a \}> \} {<a,b>,<a,{a}>} , 对应的 $F$ 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的像是 { b , { a } } \{ b, \{a\} \} {b,{a}}

F [ { a } ] = { b , { a } } F[\{a\}] = \{ b, \{a\} \} F[{a}]={b,{a}}

2. F [ { a , { a } } ] F[\{a, \{a\}\}] F[{a,{a}}]

$F$ 集合在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的像 , 是 $F$ 集合在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的限制的值域 , $F$ 集合在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的限制是 { < a , b > , < a , { a } > , < { a } , { a , { a } } > } \{ <a, b> , <a, \{ a \}> , <\{ a \} , \{ a, \{a\} \}> \} {<a,b>,<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>} , 对应的 $F$ 集合在 { a , { a } } \{a, \{a\}\} {a,{a}} 集合上的像是 { b , { a } , { a , { a } } \{ b, \{a\} , \{ a, \{a\} \} {b,{a},{a,{a}}

F [ { a , { a } } ] = { b , { a } , { a , { a } } F[\{a, \{a\}\}] = \{ b, \{a\} , \{ a, \{a\} \} F[{a,{a}}]={b,{a},{a,{a}}

3. F − 1 [ { a } ] F^{-1}[\{a\}] F−1[{a}]

F − 1 = { < b , a > , < { a } , a > , < { a , { a } } , { a } > } F^{-1} = \{ <b, a> , <\{a\}, a> , <\{a, \{a\}\}, \{a\} > \} F−1={<b,a>,<{a},a>,<{a,{a}},{a}>}

$F^{-1}$ 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的像 , 是 $F^{-1}$ 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制的值域 , $F^{-1}$ 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的限制是 $\varnothing$ , 对应的 $F^{-1}$ 集合在 { a } \{a\} {a} 集合上的像是 $\varnothing$

F − 1 [ { a } ] = ∅ F^{-1}[\{a\}] = \varnothing F−1[{a}]=∅

4. F − 1 [ { { a } } ] F^{-1}[\{ \{a\} \}] F−1[{{a}}]

F − 1 = { < b , a > , < { a } , a > , < { a , { a } } , { a } > } F^{-1} = \{ <b, a> , <\{a\}, a> , <\{a, \{a\}\}, \{a\} > \} F−1={<b,a>,<{a},a>,<{a,{a}},{a}>}

$F^{-1}$ 集合在 { { a } } \{ \{a\} \} {{a}} 集合上的像 , 是 $F^{-1}$ 集合在 { { a } } \{ \{a\} \} {{a}} 集合上的限制的值域 , $F^{-1}$ 集合在 { { a } } \{ \{a\} \} {{a}} 集合上的限制是 < { a } , a > <\{a\}, a> <{a},a> , 对应的 $F^{-1}$ 集合在 { { a } } \{ \{a\} \} {{a}} 集合上的像是 { a } \{a\} {a}

F − 1 [ { { a } } ] = { a } F^{-1}[\{ \{a\} \}] = \{a\} F−1[{{a}}]={a}

关系代数中，个人觉得比较容易搞混的有这两个概念：传统集合运算和专门关系运算和关系操作；

传统集合运算：并(∪)、交(∩)、差(—)、笛卡尔积(×)；

专门关系运算：选择(σ)、投影(Π)、连接(∞)、除(÷)；

传统的集合运算将关系看成元组的集合，其运算是从关系的行角度来进行；

专门的关系运算不仅涉及行、还涉及列；（更高级的操作和查询）

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这里区别一下：关系操作

关系操作：查询、插入、删除、修改；

其中，查询操作可以细分为5种基本操作：选择、投影、并、差、笛卡尔积；
（除运算、交、连接三种操作也是包含在查询操作里，只是它可以由其他的五种基本操作导出）

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个人觉得：
传统集合运算和专门关系运算加起来其实就是关系操作里面的查询操作；

无论是传统集合运算还是专门关系运算，都是对关系的查询；

而关系操作就是查询+更新（删除、插入、修改）；

（有理解不对的希望可以指出来）