前言：关系代数名称的由来是因为其中含有操作符和操作数，操作数为表，操作符为交、并等。关系代数有分为基于集合的关系代数和基于包的关系代数；关系代数的基本操作有：并、差、除、选择、投影、笛卡尔积等。
 

 
 

 
 
1、差
 

 
 
 
　　定义：差即Difference，用符号-表示，表示两个表中不一样的部分。此种计算需要使得运算的两个表具有相同的字段。例如S1-S2是在S1中而不在S2中的记录的集合：
 

 
 
　　　　　　　　
 
 

 
 

 
 
2、投影
 

 
 
 
　　定义：从一个关系里面抽取指明的属性（列）。投影运算符是π，该运算作用于关系R将产生一个新关系S，S只具有R的某几个属性列。
 
　　投影运算的一般表达式为：S = πA1, A2, … , An(R)
 
　　S是投影运算产生的新关系，它只具有R的属性A1, A2, … , An所对应的列。
 
　　例如：
 
　　　　对于关系：
 

 
 
　　　　　　　　　　　　
 
 

 
 
　　　　进行投影运算：πStudentNo, StudentName(Student) 结果为：
 
 

 
 
　　　　　　　　　　　　　　　　
 
 

 
 

 
 
3、选择
 

 
 
 
　　定义：从关系里面抽取出满足给定限制条件的记录。
 
　　即：投影是获得表中的列，而选择是获得表中的行。
 

 
 

 
 
4、除
 

 
 
 
　　定义：除运算是同时从关系的水平方向和垂直方向进行运算。例如给定关系R(X,Y)和S(Y,Z)，X、Y、Z为属性组。R÷S应当满足元组在X上的分量值x的象集y包含关系S在属性Y上投影的集合。
 
　　其形式定义为：
 

 
 
　　　　　　　
 
 

 
 
　　例如：
 

 
 
　　　　　　　　　　　　　　　　　
 
 

 
 
　　找出关系R和关系S中相同的属性，即Y属性。在关系S中对Y做投影，得到：
 

 
 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
 
 

 
 
　　被除关系R中与S中不相同的属性列是X，关系在属性X上做取消重复值的投影为{X1，X2}；根据关系R的记录，可以得到与X1值有关的记录，如图3所示；与X2有关的记录，如图4所示：
 

 
 
　　　　　　　　　　　　　　　　
 
 

 
 
　　得出结论：R÷S其实就是判断关系R中X各个值的像集Y是否包含关系S中属性Y的所有值。可知：X1的像集只有Y1，不能包含关系S中属性Y的所有值，所以排除掉X1；
 
　　而X2的像集包含了关系S中属性Y的所有值，所以R÷S的最终结果就是X2 ：
 
 

 
 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
 
 

 
 

 
 
5、笛卡尔积
 

 
 
 
　　计算两个关系的笛卡尔积。两个关系R和S的笛卡尔积记作R×S，它的关系模式属性是R和S的模式的并集。R×S是把R和S的元组以所有可能的方式组合起来，因此，R×S拥有的元组数量应该是R的元组数与S的元组数的乘积。
 
　　例如：
 

 
 
　　　　　　　　　　　　
 
 

 
 

 
 

 
 

 

 
 
关系代数是一种抽象的查询语言，用对关系的运算来表达查询，作为研究关系数据语言的数学工具。
 
 


 
目录
 
基本的关系代数算法
传统的集合运算
并 $\cup$
交 $\cap$
差 $-$
笛卡尔积（广义） $\times$
   
专门的集合运算
选择 $\sigma$
投影 $\pi$
象集（选择+投影）
    
连接 $\bowtie$
等值连接
自然连接
    
除 $÷$
   
Refences
 

 
基本的关系代数算法
 
传统的集合运算
 
并 $\cup$
 
要求：参与并运算的两张关系表必须具有相同的属性（列名）；
运算方法：选取R、S关系表中的所有元组合并，建立新表；
表达式：
 
      
       
        
         
          R
         
         
          ∪
         
         
          S
         
         
          =
         
         
          {
         
         
          i
         
         
          ∣
         
         
          i
         
         
          ∈
         
         
          R
         
         
          ∨
         
         
          i
         
         
          ∈
         
         
          S
         
         
          }
         
         
          .
         
        
        
          R \cup S = \{ i|i \in R \vee i \in S\}. 
        
       
      R∪S={i∣i∈R∨i∈S}.
 
 
交 $\cap$
 
要求：参与交运算的两张关系表必须具有相同的属性（列名）；
运算方法：选取R、S关系表中的所有相同元组，建立新表；
表达式：
 
      
       
        
         
          R
         
         
          ∩
         
         
          S
         
         
          =
         
         
          {
         
         
          i
         
         
          ∣
         
         
          i
         
         
          ∈
         
         
          R
         
         
          ∧
         
         
          i
         
         
          ∈
         
         
          S
         
         
          }
         
         
          .
         
        
        
          R \cap S = \{ i | i \in R \wedge i \in S \}. 
        
       
      R∩S={i∣i∈R∧i∈S}.
 
 
差 $-$
 
要求：参与交运算的两张关系表必须具有相同的属性（列名）；
运算方法：选取R表中与S表中任意元组不同的元组，建立新表；
表达式：
 
      
       
        
         
          R
         
         
          −
         
         
          S
         
         
          =
         
         
          {
         
         
          i
         
         
          ∣
         
         
          i
         
         
          ∈
         
         
          R
         
         
          ∧
         
         
          i
         
         
          ∉
         
         
          S
         
         
          }
         
         
          .
         
        
        
          R - S = \{ i | i \in R \wedge i \notin S \}. 
        
       
      R−S={i∣i∈R∧i∈/​S}.
 
 
笛卡尔积（广义） $\times$
 
要求：R表和S表可以拥有不同的属性（列）；
运算方法：R的每一行元组后面都要跟随S的所有元组；
表达式：
 
      
       
        
         
          R
         
         
          ×
         
         
          S
         
         
          =
         
         
          {
         
         
          
           
            
             i
            
            
             R
            
           
           
            
             i
            
            
             S
            
           
          
          
           ^
          
         
         
          ∣
         
         
          
           i
          
          
           R
          
         
         
          ∈
         
         
          R
         
         
          ∧
         
         
          
           i
          
          
           S
          
         
         
          ∈
         
         
          S
         
         
          }
         
         
          .
         
        
        
          R \times S = \{ \widehat{i_R i_S} | i_R \in R \wedge i_S \in S \}. 
        
       
      R×S={iR​iS​
             ​∣iR​∈R∧iS​∈S}.
 
 
专门的集合运算
 
选择 $\sigma$
 
要求：拥有一个基于R表中属性A（列A）的逻辑表达式F；
运算方法：从R表中选择符合逻辑表达式F的元组（行），建立新表；
表达式：
 
      
       
        
         
          F
         
         
          (
         
         
          i
         
         
          )
         
         
          =
         
         
          i
         
         
          [
         
         
          A
         
         
          ]
          
         
          θ
          
         
          a
         
         
         
          (
         
         
          θ
         
         
          为
         
         
          比
         
         
          较
         
         
          运
         
         
          算
         
         
          符
         
         
          ,
         
         
          可
         
         
          为
         
         
          >
         
         
          ,
         
         
          <
         
         
          ,
         
         
          ≥
         
         
          ,
         
         
          ≤
         
         
          ,
         
         
          =
         
         
          或
         
         
          ≠
         
         
          )
         
         
          ,
         
         
         
          
           σ
          
          
           F
          
         
         
          (
         
         
          R
         
         
          )
         
         
          =
         
         
          {
         
         
          i
         
         
          ∣
         
         
          i
         
         
          ∈
         
         
          R
         
         
          ∧
         
         
          F
         
         
          (
         
         
          i
         
         
          )
         
         
          }
         
         
          .
         
        
        
          F(i)=i[A]\,\theta\,a \\ (\theta 为比较运算符,可为>,<,\geq,\leq,=或\neq),\\ \sigma_F(R)= \{ i | i \in R \wedge F(i)\}. 
        
       
      F(i)=i[A]θa(θ为比较运算符,可为>,<,≥,≤,=或​=),σF​(R)={i∣i∈R∧F(i)}.
 
 
投影 $\pi$
 
要求：所选的属性组A,B必须来源于R表的属性（列名）；
运算方法：从R表中选择指定的属性组（列），建立新表；
表达式：
 
      
       
        
         
          
           π
          
          
           
            A
           
           
            ,
           
           
            B
           
          
         
         
          (
         
         
          R
         
         
          )
         
         
          =
         
         
          {
         
         
          i
         
         
          [
         
         
          A
         
         
          ,
         
         
          B
         
         
          ]
         
         
          ∣
         
         
          i
         
         
          ∈
         
         
          R
         
         
          }
         
         
          .
         
        
        
          \pi_{A,B}(R)= \{ i[A,B] | i \in R \}. 
        
       
      πA,B​(R)={i[A,B]∣i∈R}.
 
 
象集（选择+投影）
 
要求：所选的具体属性值a必须来源于R表中存在的属性（列）；
运算方法：从R表中选择指定的属性值a所在的行，投影出剩下的其他属性Z，建立新表；
表达式：
 
      
       
        
         
          
           π
          
          
           Z
          
         
         
          (
         
         
          
           σ
          
          
           
            A
           
           
            =
           
           
            a
           
          
         
         
          (
         
         
          R
         
         
          )
         
         
          )
         
         
          =
         
         
          {
         
         
          i
         
         
          [
         
         
          Z
         
         
          ]
         
         
          ∣
         
         
          i
         
         
          ∈
         
         
          R
         
         
          ∧
         
         
          i
         
         
          [
         
         
          A
         
         
          ]
         
         
          =
         
         
          a
         
         
          }
         
         
          .
         
        
        
          \pi_{Z}(\sigma_{A=a}(R))= \{ i[Z] | i \in R \wedge i[A]=a \}. 
        
       
      πZ​(σA=a​(R))={i[Z]∣i∈R∧i[A]=a}.
 
 
连接 $\bowtie$
 
要求：A、B属性组（列）必须分别为R表和S表中的属性，且具有可比性（如皆为日期属性、数值属性等）；
运算方法：先使用广义笛卡尔积（见上文）算出R$\times$S，再在R$\times$S中选取符合逻辑表达式F的元组，建立新表；
表达式：
 
      
       
        
         
          F
         
         
          (
         
         
          i
         
         
          )
         
         
          =
         
         
          
           i
          
          
           R
          
         
         
          [
         
         
          A
         
         
          ]
          
         
          θ
          
         
          
           i
          
          
           S
          
         
         
          [
         
         
          B
         
         
          ]
         
         
         
          (
         
         
          θ
         
         
          为
         
         
          比
         
         
          较
         
         
          运
         
         
          算
         
         
          符
         
         
          ,
         
         
          可
         
         
          为
         
         
          >
         
         
          ,
         
         
          <
         
         
          ,
         
         
          ≥
         
         
          ,
         
         
          ≤
         
         
          ,
         
         
          =
         
         
          或
         
         
          ≠
         
         
          )
         
         
          ,
         
         
         
          R
         
         
          
           
            ⋈
           
          
          
           F
          
         
         
          S
         
         
          =
         
         
          {
         
         
          
           
            
             i
            
            
             R
            
           
           
            
             i
            
            
             S
            
           
          
          
           ^
          
         
         
          ∣
         
         
          
           i
          
          
           R
          
         
         
          ∈
         
         
          R
         
         
          ∧
         
         
          
           i
          
          
           S
          
         
         
          ∈
         
         
          S
         
         
          ∧
         
         
          F
         
         
          (
         
         
          i
         
         
          )
         
         
          }
         
         
          .
         
        
        
          F(i)=i_R[A] \,\theta\, i_S[B]\\ (\theta 为比较运算符,可为>,<,\geq,\leq,=或\neq),\\ R\mathop{\bowtie}\limits_{F} S=\{\widehat{i_Ri_S} | i_R \in R \wedge i_S \in S \wedge F(i) \}. 
        
       
      F(i)=iR​[A]θiS​[B](θ为比较运算符,可为>,<,≥,≤,=或​=),RF⋈​S={iR​iS​
             ​∣iR​∈R∧iS​∈S∧F(i)}.
 
 
等值连接
 
要求：在满足连接要求的前提下，逻辑表达式F中的$\theta$为“$=$”；
运算方法：先使用广义笛卡尔积（见上文）算出R$\times$S，再在R$\times$S中选取表R的属性A与表S的属性B值相等的元组，建立新表；
表达式：
 
      
       
        
         
          R
         
         
          
           
            ⋈
           
          
          
           
            A
           
           
            =
           
           
            B
           
          
         
         
          S
         
         
          =
         
         
          {
         
         
          
           
            
             i
            
            
             R
            
           
           
            
             i
            
            
             S
            
           
          
          
           ^
          
         
         
          ∣
         
         
          
           i
          
          
           R
          
         
         
          ∈
         
         
          R
         
         
          ∧
         
         
          
           i
          
          
           S
          
         
         
          ∈
         
         
          S
         
         
          ∧
         
         
          
           i
          
          
           R
          
         
         
          [
         
         
          A
         
         
          ]
         
         
          =
         
         
          
           i
          
          
           S
          
         
         
          [
         
         
          B
         
         
          ]
         
         
          }
         
         
          .
         
        
        
          R\mathop{\bowtie}\limits_{A = B} S=\{\widehat{i_Ri_S} | i_R \in R \wedge i_S \in S \wedge i_R[A] = i_S[B] \}. 
        
       
      RA=B⋈​S={iR​iS​
             ​∣iR​∈R∧iS​∈S∧iR​[A]=iS​[B]}.
 
 
自然连接
 
要求：在满足连接要求的前提下，R表和S表中必须要有至少一个相同的属性C（列C）；
运算方法：先使用广义笛卡尔积（见上文）算出R$\times$S（即下图中右侧较大的整个表），再在R$\times$S中选取两表中属性C值 相等 的元组，建立新表，并删除重复的相同属性组，仅保留一组即可；
表达式：
 
      
       
        
         
          R
         
         
          ⋈
         
         
          S
         
         
          =
         
         
          {
         
         
          
           
            
             i
            
            
             R
            
           
           
            
             i
            
            
             S
            
           
          
          
           ^
          
         
         
          ∣
         
         
          
           i
          
          
           R
          
         
         
          ∈
         
         
          R
         
         
          ∧
         
         
          
           i
          
          
           S
          
         
         
          ∈
         
         
          S
         
         
          ∧
         
         
          
           i
          
          
           R
          
         
         
          [
         
         
          A
         
         
          ]
         
         
          =
         
         
          
           i
          
          
           S
          
         
         
          [
         
         
          A
         
         
          ]
         
         
          }
         
         
          .
         
        
        
          R\bowtie S=\{\widehat{i_Ri_S} | i_R \in R \wedge i_S \in S \wedge i_R[A] = i_S[A] \}. 
        
       
      R⋈S={iR​iS​
             ​∣iR​∈R∧iS​∈S∧iR​[A]=iS​[A]}.
 
除 $÷$
 
要求：在满足连接要求的前提下，R表和S表中必须要有相同的属性A（列A）；
运算方法：寻找S表中与R表相同的属性组X（列），在R表中寻找匹配S表属性的元组，选取含有S表中属性组X的所有属性的R表元组，再对选出的元组做关于属性X的象集（见上文）得到；
 *具体算法建议参考 关系代数运算——除法运算_Jack浩；
表达式：
 
      
       
        
         
          R
         
         
          ÷
         
         
          S
         
         
          =
         
         
          {
         
         
          
           i
          
          
           R
          
         
         
          (
         
         
          X
         
         
          )
         
         
          ∣
         
         
          
           i
          
          
           R
          
         
         
          ∈
         
         
          R
         
         
          ∧
         
         
          
           π
          
          
           Y
          
         
         
          (
         
         
          S
         
         
          )
         
         
          ⊆
         
         
          
           Y
          
          
           X
          
         
         
          }
         
         
         
          (
         
         
          
           Y
          
          
           X
          
         
         
          =
         
         
          
           π
          
          
           Z
          
         
         
          (
         
         
          
           σ
          
          
           
            X
           
           
            =
           
           
            
             i
            
            
             R
            
           
           
            [
           
           
            X
           
           
            ]
           
          
         
         
          (
         
         
          R
         
         
          )
         
         
          )
         
         
          )
         
         
          .
         
        
        
          R\div S=\{i_R(X) | i_R \in R \wedge \pi_Y(S) \subseteq Y_X \}\\(Y_X=\pi_{Z}(\sigma_{X=i_R[X]}(R))). 
        
       
      R÷S={iR​(X)∣iR​∈R∧πY​(S)⊆YX​}(YX​=πZ​(σX=iR​[X]​(R))).
 
 
 
 
以上大部分整理 来源于《数据库系统概论（第5版）》高等教育出版社，如有问题请不吝赐教，谢谢
 
 
Refences
 
 
 
 
关系代数_百度百科 ↩︎
 
关系代数运算——除法运算_Jack浩 ↩︎
 
《数据库系统概论（第5版）》_高等教育出版社 ↩︎
 
 

 
 
并、差、笛卡尔积、投影和选择5种运算为基本的运算。其他三种运算，即交、链接和除，均可以用这5种运算来表达
 

前言
 
 
 
       关系代数是以关系为运算对象的一组高级运算的集合。由于关系定义为属性个数相同的元组的集合，因此集合代数的操作就可以引入到关系代数中。关系代数中的操作可以分为两类：传统的关系操作，并、差、交、笛卡尔积（乘）、笛卡尔积的逆运算（除）；扩充的关系操作，对关系进行垂直分割（投影）、水平分割（选择）、关系的结合（连接、自然连接）等。
 
 
 
五个基本的关系代数操作
 
 
 
       五个关系代数操作分别是：并、差、笛卡尔积、投影和选择。
 
       它们组成了关系代数完备的操作集。例子，分析下面两个关系：
 
 
 
 
 
 
关系代数操作的结果
 
 
 
　　（a）R∪S   并 （b）R-S    差  （c）R×S   笛卡尔积  （d）πC,A(R)  投影  （e）σB>’4’ (R)  选择
 
 
 
 
 
 
       说明：笛卡尔积，若R有m个元组，S有n个元组，则R×S有m×n个元组。投影，C和A为属性名，说明要选择的列。选择B>'4'，即选择语句的条件，对关系做水平分割，选择符合条件的元组。
 
 
 
连接
 
 
 
       连接是从关系R和S的笛卡尔积中选取属性值满足某一个操作的元组。
 
       下面的例子同σ2=4 (R×S)。
 
 
 
 
自然连接
 
 
 
 
 
 
实例
 
 
 
       在关系代数运算中，把由五个基本操作经过有限次复合的式子称为关系代数表达式。这种表达式的运算结果仍是一个关系。我们可以用关系代数表达式表示各种数据查询操作。
 
【例4.5】对于下面的教学数据库中的四个关系，为方便起见，其名称简化为T、C、S和SC：
 
 
下面用关系代数表达式表达每个查询语句
 
1）检索学习课程号为C2课程的学生学号和姓名
 
 
由于这个查询涉及到两个关系S与SC，因此先要对这两个关系进行自然连接操作，然后再执行选择和投影操作。