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  • 任何一种运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上,得到预期的结果。所以运算对象、运算符、运算结果运算的三大要素。按运算符的不同分为传统的集合运算专门的关系运算两类:传统的集合运算包括:并(∪)、...

    MySQL基础 -- 关系代数

    关系代数是一种抽象的查询语言,它用对关系的运算来表达查询。

    任何一种运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上,得到预期的结果。所以运算对象、运算符、运算结果是运算的三大要素。

    按运算符的不同分为传统的集合运算和专门的关系运算两类:

    传统的集合运算包括:并(∪)、差(−)、交(∩)、笛卡尔积(×)。

    专门的关系运算包括:选择(σ)、投影(π)、连接(⋈)、除运算(÷)。

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    MySQL基础 -- 传统的集合运算

    传统的集合运算是二目运算,并(∪)、差(−)、交(∩)、笛卡尔积(×)四种运算。

    设关系 R 和关系 S 具有相同的目 n(即两个关系都有 n 个属性),且相应的的属性取自同一个域,t 是元组变量,t∈R 表示 t 是 R 的一个元组。

    下图分别是具有三个属性列的关系 R、S :

    0752e36475a9e30eefdfa69dc3dfff88.png                     

    d96a81f7bc80eddd80631cc6042efab1.png

    可以定义并、差、交、笛卡尔积运算如下:

    1、并(union)

    关系 R 与关系 S 的并由属于 R 且属于 S 的元组组成。其结果关系仍为 n 目关系。记作:

    4d5b0bb44f3dd1f8ef26bb33622eb2d5.png

    下图为关系 R 与关系 S 的并:

    f6b8ed325bafab217e572bee73507f96.png

    2、差(except)

    关系R与关系S的差由属于R而不属于S的所有元组组成。其结果关系仍为n目关系。记作:

    72160168dd1e4fe8136c8dd6b45fb5a2.png

    下图为关系R与关系S的差:

    e707685a3bc8b97f5b1303f87c5994b4.png

    3、交(intersection)

    关系R与关系S的交由既属于R又属于S的元组组成。其结果关系仍为n目关系。记作:

    912d3de86781b9f5a845bf7eec274dba.png

    下图为关系R与关系S的交:

    e11533e1b29214bd8a92a3795bd6049c.png

    4、笛卡尔积(cartesian product)

    这里的笛卡尔积严格地讲是广义笛卡尔积(Extended Cartesian Product)。在不会出现混淆的情况下广义笛卡尔积也称为笛卡尔积。

    两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个(n+m)列的元组的集合。元组的前n列是关系R的一个元组,后m列是关系S的一个元组。若R有k1个元组,S有k2个元组,则关系R和关系S的广义笛卡尔积有k1×k2个元组。

    记作:

    c752829ba82862916c82335ffcc26191.png

    下图为关系R与关系S的笛卡尔积:

    e877473a64f2527b5e1115bfc998f50c.png

    MySQL基础 -- 专门的关系运算

    专门的关系运算(Specific relation operations)包括选择、投影、连接、除等。

    为了叙述上的方便,我们先引入几个记号:

    1、设关系模式为

    44128c0fe539cd245454bc26d47b9aa5.gif。它的一个关系设为R。t∈R表示t是R的一个元组。

    f7a5571865cea00f5ec00eb918f7c731.gif则表示元组t中相应于属性

    42f615abfeed04ab3443df178d324ed8.gif的一个分量 。

    2、若

    d5d9eedb1f57292bd29f2abb8416b2c5.gif,其中

    a26cea6a5b7ee3ec242dbb6a1efdb47d.gif

    04d30d8288866c722ca5cebd7e221a67.gif中的一部分,则A称为属性列或域列。

    e2cdbc28e8ca07574547f6adb4e176c8.gif则表示

    7ba6d339978fcab98647441dfd1c65d5.gif中去掉

    dd095c7f805f9b134700b73fd05f5165.gif后剩余的属性组。

    f4149b2a4978ea37c34366c3c4798bd7.gif表示元组t在属性列A上诸分量的集合。

    3、R为n目关系,S为m目关系。设

    90f2382b26566fd321c2bbe4c6540f4a.gif

    913a082052ce2d23a45906303c65a22e.gif,则

    612f211d7a0925795e59cb0a5328398d.gif 称为元组的连接(Concatenation)。它是一个(n+m)列的元组,前n个分量为R中的一个n元组,后m个分量为S中的一个m元组。

    4、给定一个关系R(X,Z),X和Z为属性组。我们定义,当t[X]=x时,x在R中的象集(Images Set)为:

    753818fbd725cc4b97fb348f30d3d1e4.png

    x在R中的像集为R中Z属性对应分量的集合,而这些分量所对应的元组中的属性组X上的值为x。

    例如: x1在R中的像集Z(x1)={Z1,Z2,Z3},

    x2在R中的像集Z(x2)={Z2,Z3},

    x3在R中的像集Z(x3)={Z1,Z3}。

    d24d7f266beeb44cedc64584f2b1e1bf.png

    1、选择(selection)

    选择又称为限制(Restriction)。它是在关系R中选择满足给定条件的诸元组,记作:

    b0730c2899958e471f1a85b771171372.png

    其中F表示选择条件,它是一个逻辑表达式,取逻辑值‘真’或‘假’。

    逻辑表达式F的基本形式为:

    452296233017c5e5ef6213f72315986e.png

    θ表示比较运算符,它可以是>、≥、。X1、Y1等是属性名或常量或简单函数。属性名也可以用它的序号来代替。φ表示逻辑运算符,它可以是非(┓)、与(∧)、或(∨)。[ ]表示任选项,即[ ]中的部分可以要也可以不要,...表示上述格式可以重复下去。

    选择运算实际上是从关系R中选取使得逻辑表达是F为真的组。这是从行的角度进行的运算。

    条件表达式中的运算符如表所示:

    eb4af57163280afe7dce21506ac4e7e8.png

    【例】设有一个学生-课程数据库,包括学生关系Student、课程关系Course和选修关系SC。如图所示:

    2ca612313715f56c9d7a7efd51aa6fba.png

    【例】查询信息系(IS系)全体学生:

    04e2fefb37a76c3115aff7b932cbc57a.png

    select * form Student where Sdept = 'IS'

    查询结果:

    e987088e0e37d6d56ee7a1817368fa92.png

    【例】查询年龄小于20岁的学生:

    fb6df8741530863dffaae9cb95899028.png

    select * form Student where Sage < 20

    查询结果:

    246986b64dcf5b62d1ff64b5d1aca3a2.png

    2、投影(projection)

    关系R上的投影是从R中选择出若干属性列组成新的关系。记作:

    ab6c86e563087fd37b053724f58970af.png

    其中A为R中的属性列。投影操作是从列的角度进行运算。

    【例】 查询学生的姓名和所在系,即求Student关系上学生姓名和所在系两个属性上的投影:

    87f9a4a9ccbcf4f42fc8ec1850e6a1e8.png

    select Student.Sname,Student.Sdept form Student

    结果如下图所示,投影之后不仅取消了原关系的某些列,而且还可能取消某些元祖,因为取消了某些属性之后,就可能出现重复行,应取消这些完全相同的行。

    e4449f252f24a25c78d4c06fd0ee1a68.png

    【例】查询学生关系Student中都有那些系,即查询关系Student上所在系属性上的投影:

    037f165969f6a75b86b98e2eeb420f96.png

    select Student.Sdept form Student

    结果如下图所示,Student关系原来有4个元组,而投影结果取消了重复的CS元组,因此只有三个元组:

    9be9a19e7b5a728d22ba92e7e1ef93cf.png

    3、除(division)

    除法运算是一个复合的二目运算。如果把笛卡尔积看作“乘法”运算,则除法运算可以看作这个“乘法”的逆运算。

    给定关系R(X,Y)和S(Y,Z),其中X、Y、Z为属性组。R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名,但必须出自相同的域集。R与S的除运算得到一个新的关系P(X),P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影:元组在X上的分量值x的像集YX包含S在Y上投影的集合。记作:

    0f8fd2aa61214d84286d89e3af703027.png

    其中,

    aa10cb75e54ba62fab36241e3032ecc3.png为x在R中的像集,

    2acaf6fc16b4b9c102fb55bd600252b0.gif。显然,除操作是同时从行和列的角度进行运算。

    根据关系运算的除法定义,可以得出它的运算步骤。

    (1) 将被除关系的属性分为像集属性和结果属性两部分;与除关系相同的属性属于像集属性;不相同的属性属于结果属性。

    (2) 在除关系中,对像集属性投影,得到除目标数据集。

    (3) 将被除关系分组。分组原则是:结果属性值一样的元组分为一组。

    (4) 逐一考察每个组,如果它的像集属性值中包括目标数据集,则对应的结果属性应属于该除法运算结果集。

    【例】在关系R中,A可以去4个值{a1,a2,a3,a4},其中:

    a1的象集为{(b1,c2),(b2,c3),(b2,c1)};

    a2的象集为{(b3,c7),(b2,c3)};

    a3的象集为{(b4,c6)};

    a4的象集为{(b6,c6)};

    S在(B,C)上的投影为{(b1,c2),(b2,c1),(b2,c3)};

    显然只有a1的象集

    8b6616225519b73e79c9fb40e5b7acce.png包含了S在(B,C)属性组上的投影,所以 R÷S = { a1 }。

    13a486c320205f644708b00f73491f81.png

    4、连接(join)

    连接也称为θ连接,关系R与关系S的连接运算是从两个关系的广义笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组形成一个新的连接:

    63bdc58ed60973acfb5add513fb0087b.png

    其中: A为包含R中的属性的表达式;

    B为包含S中的属性的表达式;

    θ通常为关系比较符。

    (1)等值连接(equi join)

    θ在“=”时的连接为等值连接。它是从关系R和S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组,即等值连接为:

    4fe54297fa55506bb5aa0aec0e50db01.png

    (2)自然连接(natural join)

    自然连接是一种特殊的等值链接,它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组,并且在结果中把属性重复的列去掉。即若R和S中具有相同的属性组B,U为R和S的全体属性集合,则自然连接可记作:

    e7c1dacdd94a49d92c3286d7bce1232e.png

    一般的连接操作是从行的角度进行运算,但自然连接还需取消重复列,所以是同时从行和列的角度进行运算。

    【例】设图中(a)和(b)分别是关系R和关系S,图中(c)为非等值连接

    3d2667ff3bf4abe385dc26eb5be3c7c7.png的结果,图(d)为等值连接

    11f8548606c0f6f044b5e56333ef7c17.png的结果,图(e)为自然连接

    d36ee3ab98147c13eb3ba7a6307b89d1.png的结果:

    95b257c25afb2a7c66e70abc2a900f43.png

    (3)左连接(left join)

    在自然连接的基础上加上左边表上不包含自然连接中所含元组(行)的元组。

    select * from R left join S

    查询结果:

    96804b98581351049244e03bf66065cb.png

    (4)右连接(right join)

    在自然连接的基础上加上右边表上不包含自然连接中所含元组(行)的元组。

    select * from R right join S

    查询结果:

    2136235464e39cd3be01527327b47807.png

    (5)外连接(outer join)

    外连接=左连接+右连接;

    select * form R outer join S

    查询结果:

    fc9ffaa9bd945d4d74f4b8036f078c3f.png

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  • 基本关系运算

    2009-11-19 18:42:30
    (1)关系运算的特点是运算的对象和结果都是表 (2)关系运算分:选择、投影、连接。 (2-1)选择:在二维表中选择满足指定条件的行。 (2-2)投影:在关系中选择某些属性列。 (2-3)连接:常用的有等值连接、...

    (1)关系运算的特点是运算的对象和结果都是表

    (2)关系运算分:选择、投影、连接。

    (2-1)选择:在二维表中选择满足指定条件的行。

    (2-2)投影:在关系中选择某些属性列。

    (2-3)连接:常用的有等值连接、自然连接。

     

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  • 关系操作特点是操作对象和操作结果都是集合,关系代数运算符如下表:2、五种基本的关系代数运算(1)并(Union) 关系R和关系S具有相同的关系模式,即R与S元组相同(结构相同)。关系R与S并是由属于R或属于S元组...

    关系操作的特点是操作对象和操作结果都是集合,关系代数运算符如下表:

    32b1db7f7fe0fe74e1799b7dc4999a02.png

    2、五种基本的关系代数运算

    (1)并(Union)

    关系R和关系S具有相同的关系模式,即R与S的元组相同(结构相同)。关系R与S的并是由属于R或属于S的元组构成的集合,记作RUS,其定义形式如下:

    a4375f0484e6f5e8ecf5ad65f31bdf41.png

    式中t为元组变量

    (2)差(Difference)

    关系R和关系S具有相同的关系模式,关系R与S的差是由属于R但不属于S的元组构成的集合,记作R-S,其定义形式如下:

    b44029dd2fbd0b0093ce5cb45076f3c6.png

    (3)广义笛卡尔积(Extended Cartesian Product)

    两个元组分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个(n+m)列元组的集合。元组的前n列是关系R的一个元组,后m列是关系S的一个元组,记作R X S,其定义形式如下:

    1feefd46b5b9f48bd365a449894016b8.png

    如果R和S中具有相同的属性名,可在属性名前加加关系名作为限定,以作为区分。若R有k1个元组,S有k2个元组,则R和S的广义笛卡尔积有k1 X k2个元组

    4、投影(Projection)

    投影运算是从关系的垂直方向进行运算,在关系R中选出若干属性A组成新的关系,其定义形式如下:

    344981c1f867bf5364a82f3e066ea8bd.png

    5、选择

    选择运算是从关系的水平方向进行运算,是从关系R中选择满足给定条件的各个元组,记作:

    20105bfa690352a4b18ae3f93e0e56bd.png

    其中,F中的运算对象是属性名(或列的序号)或常数,运算符、算数比较符(、>=等)和逻辑运算符

    示例:设有关系R和S如下图所示。计算并、差、等运算

    d74bad31e87c4d619fdeff3776cd940e.png
    3667beb4fa1dcfe44c4c464decac9306.png
    65399b6bbd652d5d720d9af3aea5306d.png
    6c8712653c6c877a63e41c6bb9c98817.png
    6f958130a8bbae6aee1cfaab0b4980cf.png

    对于

    fdb4409d90838a18946a9a49c6732cf1.png

    的含义是R X S后“选取第3个属性值小于第4个属性值”的元组。由于R X S 的第3个属性为R.C,第4个属性是S.A,因此

    e174e1931ede7a190f52ef0babf9e927.png

    含义也是“R X S后选取R.C值小于S.A的值”的元组

    1696cd1ec872adfbb254376eb7d9fab7.png

    《大数据和人工智能交流》的宗旨

    1、将大数据和人工智能的专业数学:概率数理统计、线性代数、决策论、优化论、博弈论等数学模型变得通俗易懂。

    2、将大数据和人工智能的专业涉及到的数据结构和算法:分类、聚类 、回归算法、概率等算法变得通俗易懂。

    3、最新的高科技动态:数据采集方面的智能传感器技术;医疗大数据智能决策分析;物联网智慧城市等等。

    根据初学者需要会有C语言、Java语言、Python语言、Scala函数式等目前主流计算机语言。

    根据读者的需要有和人工智能相关的计算机科学与技术、电子技术、芯片技术等基础学科通俗易懂的文章。

    f8a89d3d622a45a82e4ca5fb969bcf47.png
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  • 数据库-关系代数运算

    千次阅读 多人点赞 2020-02-09 23:56:53
    关系代数的运算对象运算结果都是关系 集合运算关系看出元组集合,以元组作为集合中元素进行集合运算 集合运算是典型二目运算(除笛卡尔积外),交,并,差操作都需满足相容性 ① 具有相同度(即两个...

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    • 关系代数是一种抽象的查询语言
    • 关系代数的运算对象运算结果都是关系
    • 由于运算结果也是关系,所以新关系内的元组也不能有重复的

    集合运算


    把关系看出元组的集合,以元组作为集合中的元素进行集合运算

    集合运算是典型的二目运算(除笛卡尔积外),交,并,差操作都需满足相容性
    ① 具有相同的度(即两个关系的属性名、属性数量必须一致);
    ② 关系R中第i个属性和关系S中第i个属性必须来自同一域。


    并(Union)运算:R ∪ S = { t | t∈R ∨ t∈S }

      其中 t 是元组

      并运算实例:合并两个集合,去掉重复的

    在这里插入图片描述       在这里插入图片描述

                    R ∪ S =
    R∪S




      

    交(Intersection)运算:R ∩ S = { t | t∈R ∧ t∈S }

     其中 t 是元组

      交运算实例:选出在两个关系内相同的元组

    在这里插入图片描述       在这里插入图片描述

                    R ∩ S =
    R ∩ S



      

    差(difference)运算:R - S = { t | t∈R ∧ ¬t∈S }

      其中 t 是元组,R-S的差 = R减去R和S的交集

      差运算实例:R-S的差 = R减去R和S的交集

    在这里插入图片描述       在这里插入图片描述

                    R - S =
    R - S



      

    笛卡尔积:R × S = { tr⌒ts| tr∈R ∧ ts∈S }

    域的笛卡尔积 = 域的基数相乘
    而集合的笛卡尔积也是如此,把集合内元组的个数看作域的基数相乘,得到的就是集合的笛卡尔积

    笛卡尔积实例:R中的3元组 × S中的3元组 = 9,则诞生出的新关系有9个元组

    在这里插入图片描述       在这里插入图片描述

                    R × S =
    R - S





    关系运算


    选择(selection)运算:σF( R ) = { t | t∈R ∧ F(t) = ‘真’ }

      从R关系表内选择出符合关系F的元组t

      选择运算实例:选择出T关系中年龄大于18岁的男性

    在这里插入图片描述
    σ(Sex=‘男’ ∧ Age>18)( T ) = 在这里插入图片描述



      

    投影(projection)运算:A( R ) = { t[A]| t∈R }

      从R关系表内投影出每个元组的A列构成新关系

      投影运算实例:投影出T关系中姓名、年龄两列

    在这里插入图片描述
            Name,Age( T ) =
    Alt



      

    选择投影组合运算:A( σF( R ) )

      可以从特定元组中投影出特定列
    从R关系中选出符合F条件的元组,在从这些元组内投影出特定的A列

      选择投影组合运算实例:选择出T关系中年龄大于18岁的男性并投影出该关系中姓名、年龄两列

    在这里插入图片描述
       Name,Age( σ(Sex=‘男’∧Age>18)(T)) = Alt



      

    连接(join):通过共同属性连接两个表,又称θ连接

    连接分为两种

      ① 等值连接:R.A = S.B(A、B属性名可不同也可以相同)

        语法:R ⋈AθBS = { tr ⌒ ts | tr ∈ R ∧ ts ∈ S ∧ tr[A] = ts[B] }

    其中,R和S为关系表,A、B分别是关系R、S上的可比属性组(A、B两个属性组的域相同,就称为可比属性组)

    θ称为比值符,也就是>、<、=号;
    θ两边的属性相等时,等值S连接成立;

    等值连接其结果是从关系R和S的笛卡尔积中选出属性组AB相等的元组,即:σ(A=B)(R×S)

    等值连接实例:学生关系S 与 课程关系C进行等值连接

    在这里插入图片描述


    公式:S ⋈ C = { ts ⌒ tc | ts ∈ S ∧ tc ∈ C ∧ ts[CNO] = tc[CNO] }
    在这里插入图片描述

    结果可以看作是:从S×C的笛卡尔积内选择出S.CNO = C.CNO的元组,即:σ(CNO=CNO)(S×C)


      
      ② 自然连接:R.A = S.A(必须有相同的属性名且域相同才可以进行自然连接)

        语法:R ⋈S = { tr ⌒ ts | tr ∈ R ∧ ts ∈ S ∧ tr[A] = ts[A] }

    特殊的等值连接,比较的分量必须是同一属性组

    在等值连接的基础上去掉重复的属性列


    自然连接实例:学生关系S 与 课程关系C进行自然连接

    在这里插入图片描述


    公式:S ⋈ C = { ts ⌒ tc | ts ∈ S ∧ tc ∈ C ∧ ts[CNO] = tc[CNO] }
    在这里插入图片描述

      

    自然连接与等值连接的区别与联系

    自然连接要求同名同域的属性组才可连接,而等值连接仅要求域相同;
    自然连接是去掉重复列的等值连接;
    自然连接一定是等值连接,而等值连接不一定是自然连接;
    自然连接后列的数量小于等于等值连接后列的数量。



    除法(division)运算:R ÷ S = { tr[X] | tr∈R ∧ ∏y(S)⊆YX }

    除运算核心步骤:设R、S为关系,X、Y、Z为属性集

    1. 分出X、Y、Z三个属性集
    2. 列出S对Y属性集的投影
    3. 找出R中满足x值对应的象集包含了关系S对Y属性集的x值

      除法运算需满足的条件:设有关系R(X,Y)、S(Y,Z),其中X,Y,Z为属性集合,R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名,但对应的属性组必须来自同一域

    由于除运算比较抽象难理解,在此详细解析(结合图解):
        关系R和关系S共有的属性集是Y,而R÷S得到的值就是关系R对Y属性组的投影,即X属性组(S关系内没有的),而这X属性组还需满足特定条件(元组在X属性组上的分量值x的象集YX包含了S对Y属性组的投影集合)。



    除运算图解:除法举例

    在这里插入图片描述

    按步骤来求R÷S:
    ①分出X、Y、Z三个属性集:X属性集是R特有的,Y为公共的,Z为S特有的;
    ②求出S对Y属性集的投影:C,D(S)=在这里插入图片描述
    得到投影C,D(S) = { (c4,d5) , (c3,d5) }
    ③列出X属性组的全部x分量的象集,看下哪个象集包含了第②步求到的投影,那么这些x分量就是R÷S的商:

    在R中,X属性组可取分量x:{ (a1,b2) , (a2,b4) , (a3,b5) }

     (a1,b2)对应象集:{ (c4,d5) , (c3,d5) }
     (a2,b4)对应象集:{ (c1,d3) };
     (a3,b5)对应象集:{ (c2,d8) };
    只有(a1,b2)的象集YX包含了S对Y属性集的投影集合
    R÷S = {(a1,b2)}
    在这里插入图片描述
    图片有错:CD改为AB

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