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  • 9.5 隐函数求导法则

    千次阅读 2021-01-31 18:56:33
    本篇内容我们说一下隐函数求导的法则,之前在初次接触导数的时候,我们有总结过一部分隐函数求导的内容,虽然和本篇的内容有一部分相似,但是可以再看一看用于对比理解。上正文。 一、概念阐明 1.什么叫隐函数? ...

    本篇内容我们说一下隐函数求导的法则,之前在初次接触导数的时候,我们有总结过一部分隐函数求导的内容,虽然和本篇的内容有一部分相似,但是可以再看一看用于对比理解。上正文。

    一、概念阐明

    1.什么叫隐函数?
    形如F(x,y)=0的函数叫隐函数,将自变量和因变量放在同一个式子中,隐藏了二者之间的函数关系,因此称之为隐函数。
    2.什么叫显函数?
    对应隐函数概念,显函数可以理解为自变量和因变量的函数关系明显的函数,形如y=f(x)
    3.什么叫隐函数显示化?
    将隐函数变形成显函数的过程称为隐函数的显示化

    本篇中我们讨论的内容不深,针对隐函数求导的内容分为两个部分。

    二、情形一:单一约束条件的隐函数求导

    f(x,y)=0就是一个单一约束条件的隐函数

    • 单一约束条件就是只有一个方程,只不过我们不把它叫方程,我们称之为约束条件
    • 一个约束条件只能约束一个变量,f(x,y)=0中有两个变量,所以一个受到约束,另一个不收约束
    • 受到约束的变量就是因变量,不受约束的变量就是自变量,约束条件也就是方程可以看做是函数关系
    • 三者的关系可以看做是:自变量通过约束条件限制因变量从而确定一个一元函数,也就是从f(x,y)=0变成y=y(x)或x=x(y) ,习惯上我们变为前者,具体看题目中的条件和要求

    这里有个定理,不用死记住,看看就行在这里插入图片描述
    这个定理为啥说看看就行呢?因为作者看着就脑壳疼,所以换一种容易理解的方式说明,可能有些地方不是那么准确,但是是真的好理解。
    在这里插入图片描述
    我们知道只有一个约束条件,只能约束一个变量,根据要求,x是自变量,理论上可以将y变成一个关于x的一元函数,虽然有相当大的概率没有办法解除来函数y(x),但是我们依然可以将y直接看做y(x)

    两边对x求导在这里插入图片描述

    例题

    例1
    在这里插入图片描述

    定理二在这里插入图片描述
    理解一下
    在这里插入图片描述
    把z看做关于x,y的函数,两边对x,y求导
    在这里插入图片描述

    例题

    例2
    在这里插入图片描述

    三、情形二:两个约束条件的隐函数求导

    定理三在这里插入图片描述

    最后的四个偏导数是有确定的值的,别问我为啥没写,这么大一坨定理写下来我已经不知道我在写啥了,如果光看上面的定理能完全理解是啥意思,那么,大佬请收下我的膝盖。在下还是换一种理解方式吧,打扰了。

    在梳理之前,先做一个注解
    注解
    在这里插入图片描述
    开始把定理梳理一下
    在这里插入图片描述

    例题

    例3
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    例4
    在这里插入图片描述

    总结

    emmm,多看多练,没词了。本篇完。

    展开全文
  • 【数学】 隐函数求导法则 本篇内容我们说一下隐函数求导的法则,之前在初次接触导数的时候,我们有总结过一部分隐函数求导的内容,虽然和本篇的内容有一部分相似,但是可以再看一看用于对比理解。上正文。 一、...

    【数学】 隐函数求导法则

    本篇内容我们说一下隐函数求导的法则,之前在初次接触导数的时候,我们有总结过一部分隐函数求导的内容,虽然和本篇的内容有一部分相似,但是可以再看一看用于对比理解。上正文。

    一、概念阐明

    1.什么叫隐函数?
    形如F(x,y)=0的函数叫隐函数,将自变量和因变量放在同一个式子中,隐藏了二者之间的函数关系,因此称之为隐函数。
    2.什么叫显函数?
    对应隐函数概念,显函数可以理解为自变量和因变量的函数关系明显的函数,形如y=f(x)
    3.什么叫隐函数显示化?
    将隐函数变形成显函数的过程称为隐函数的显示化

    本篇中我们讨论的内容不深,针对隐函数求导的内容分为两个部分。

    二、情形一:单一约束条件的隐函数求导

    f(x,y)=0就是一个单一约束条件的隐函数

    • 单一约束条件就是只有一个方程,只不过我们不把它叫方程,我们称之为约束条件
    • 一个约束条件只能约束一个变量,f(x,y)=0中有两个变量,所以一个受到约束,另一个不收约束
    • 受到约束的变量就是因变量,不受约束的变量就是自变量,约束条件也就是方程可以看做是函数关系
    • 三者的关系可以看做是:自变量通过约束条件限制因变量从而确定一个一元函数,也就是从f(x,y)=0变成y=y(x)或x=x(y) ,习惯上我们变为前者,具体看题目中的条件和要求

    这里有个定理,不用死记住,看看就行在这里插入图片描述
    这个定理为啥说看看就行呢?因为作者看着就脑壳疼,所以换一种容易理解的方式说明,可能有些地方不是那么准确,但是是真的好理解。
    在这里插入图片描述
    我们知道只有一个约束条件,只能约束一个变量,根据要求,x是自变量,理论上可以将y变成一个关于x的一元函数,虽然有相当大的概率没有办法解除来函数y(x),但是我们依然可以将y直接看做y(x)

    两边对x求导在这里插入图片描述

    例题

    例1
    在这里插入图片描述

    定理二在这里插入图片描述
    理解一下
    在这里插入图片描述
    把z看做关于x,y的函数,两边对x,y求导
    在这里插入图片描述

    例题

    例2
    在这里插入图片描述

    三、情形二:两个约束条件的隐函数求导

    定理三在这里插入图片描述

    最后的四个偏导数是有确定的值的,别问我为啥没写,这么大一坨定理写下来我已经不知道我在写啥了,如果光看上面的定理能完全理解是啥意思,那么,大佬请收下我的膝盖。在下还是换一种理解方式吧,打扰了。

    在梳理之前,先做一个注解
    注解
    在这里插入图片描述
    开始把定理梳理一下
    在这里插入图片描述

    例题

    例3
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    例4
    在这里插入图片描述

    总结

    emmm,多看多练,没词了。本篇完。

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  • Logistic函数求导

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  • 指数函数求导的代数理解;有关自然常数e的理解!!

    微积分的本质


    P5 指数函数求导

    • 本节从指数函数的实际意义出发,通过代数运算,推导出指数函数的一般性质
    • 从而引出e的定义,理解所谓“指数函数”的形式的可行性,以及神秘的常数。

    #1 从实际角度看f(x) = 2x

    1. 把2t这个函数看成是随着时间t按照比例增长的人口数量
      在这里插入图片描述

    p.s. 这里如果把2t看成是人口数量,那么函数整个还是比较离散的概念。为了后续按照导数的定义,使得微小变化量有实际意义,往往也会采取将函数值看成是人口总重量。

    1. 定性求解dM/dt(也就是人口重量的微小变化量除以时间的微小变化量)

    ①先来考虑单天的微小变化量的比值

    如下图,考虑从第三天到第四天的微小变化。第三天人口总重为23=8,第四天人口总重为24=16,所以dM=8,而dt=1.
    在这里插入图片描述

    总的来说,多进行几次推导计算(比如从第四天到第五天,增长了16,第五天到第六天增长了32…),不难发现:每天的增长率就等于当天开始时π酱的数量

    于是,做出一个合理猜想——2t的导数等于该函数本身。

    猜想的不合理性:虽然整个趋势预测的并没有错,但是所谓导数的定义,是要在有限小的一个变化趋势中去看比值,比如说1/10,1/100,1/1000这样的微小量。

    1. 定量求解dM/dt
      在这里插入图片描述
      ①微小量比值式的转换

    将2t+dt拆解成2t*2dt;这个变换可以说是指数函数最重要的性质之一,将加法的思想(微小量)转换成乘法的思想(变化率和比率)

    ②提取公因式,将微小量比值式转换成两个分部相乘的形式。

    这一步转换看起来似乎比较平常,也是顺应变化趋势的,但是其实蕴含着一个很重要的思想。
    它将右边式子(关于dt求极限)变得与具体的时间t无关了,所有与确切时间t相关的因子都放在在式子的左边。
    在这里插入图片描述

    而关于右边这个式子的取值,虽然笔记还没有做到极限的内容,但是根据极限的思想和定义,我们都可以知道,右部最终是趋于一个常数的。

    ③得到最终的导数表达式
    在这里插入图片描述
    4. 形如y = ax的导数的一般式子

    形如这样的函数(也即指数函数)的导数都等于自身的一定常数倍。

    而常数的取值和a底数的数值有关。

    #2 指数函数y=ex的重要性

    引出e的原因?
    ——根据前文,我们知道ax的导数就等于其自身乘上某一常数,我们好奇是否存在某个底数a使得函数ax的导数就等于其自身,也就是常数为1.

    1. e的定义
    • ex这样的指数函数,就满足我们的要求——其导数等于自身。
    • 为什么呢?
      ——因为自然指数e就是这样的定义而来的
      在这里插入图片描述
    1. y=ex图像的理解

    性质:该图像上任意一点的切线的斜率都等于这一点到横轴的距离。

    在这里插入图片描述
    3. y=ax导数式中常数的含义

    ①指数复合函数的链式求导法则

    f(x) = e^cx^ f'(x) = ce^cx^

    ②以2x为例来理解导数中常数的意义
    在这里插入图片描述

    按照对数的定义可知2可以写成eln2
    那么可以把一个一般的指数函数2x写成一个自然常数为底的复合指数函数

    从而根据链式法则,推导出——
    y=ax的导数中的常数为lna

    #3 形如y=ect的指数函数

    指数函数有很多可行的表达方式。

    在日常生活或是实际应用中,我们往往会采取将指数函数写成y=ect的形式,因为这样c这个常数的意义可以一目了然。

    1. 在许多自然现象里,变化率都和变化量成正比

    因此——可以建模成指数函数进行求解

    水温变化
    投资的总额增长


    后记

    本文为观察《微积分的本质》B站公开课所做,如果问题欢迎评论或私信交流。

    原视频链接

    【官方双语/合集】微积分的本质 - 系列合集

    展开全文
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