精华内容
下载资源
问答
  • 形象思维是人的本能,它大量被运用于人的工作和生活过程中,同样也贯穿于软件开发过程中。用图交流是最有效的沟通手段之一,有时候大家争论半天,到白板前画几下就都清楚了。如果你想当一个好的传播者,软件设计师,...
  • 高中历史教学中形象思维法的运用.doc
  • 思维导图

    千次阅读 2019-05-17 16:00:24
    思维导图充分运用左右脑的机能,利用记忆、阅读、思维的规律,协助人们在科学与艺术、逻辑与想象之间平衡发展,从而开启人类大脑的无限潜能。思维导图因此具有人类思维的强大功能。 思维导图又称脑图、心智地图、...

    简介:

    思维导图又叫心智导图,是表达发散性思维的有效图形思维工具 ,它简单却又很有效,是一种实用性的思维工具。

    思维导图充分运用左右脑的机能,利用记忆、阅读、思维的规律,协助人们在科学与艺术、逻辑与想象之间平衡发展,从而开启人类大脑的无限潜能。思维导图因此具有人类思维的强大功能。

    思维导图又称脑图、心智地图、脑力激荡图、灵感触发图概念地图树状图、树枝图或思维地图,是一种图像式思维的工具以及一种利用图像式思考辅助工具。思维导图是使用一个中央关键词或想法引起形象化的构造和分类的想法;它用一个中央关键词或想法以辐射线形连接所有的代表字词、想法、任务或其它关联项目的图解方式。

    思维导图是一种将思维形象化的方法。

    缺点:

    华东师大刘濯源带领的思维可视化研究团队十五年的研究及实践,得出的结论是“思维导图”并不适合直接应用于学科教学,因为“思维导图”过于强调“图像记忆”和“自由发散联想”而非“理解性记忆”和“结构化思考”。对于抽象思维能力较差的学生,“图像记忆”的确可以帮助学生提高“把知识记住”的效率,但却无法加深学生对知识的理解,属于一种浅层的学习;另外“自由发散联想”具有天马行空,对思维不加控制的特点,更适合用于“头脑风暴”式的创意活动,而不适合用于学科知识教学,因为任何学科知识都是有其内在逻辑及固定结构的,由不得胡思乱想。基于学科知识的特性,学科教学必须强调“理解性记忆”和“结构化思考”,随着学段的升高,知识越来越抽象和复杂,就更加要强调“理解的深度”而非“记住的速度”。也正是基于这些原因,思维可视化研究团队把概念图(由美国康奈尔大学的诺瓦克博士提出)、知识树、问题树等图示方法的优势特性嫁接过来,同时将结构化思考、逻辑思考、辩证思考、追问意识等思维方式融合进来,把“思维导图”转化为“学科思维导图”  。“学科思维导图”作为一种“基于系统思考的知识建构策略”已被全国五百多所课题实验学校引入应用。

    创始人

    东尼·博赞(Tony Buzan)

    常见软件

    MindMaster

    MindMaster是一款国产跨平台思维导图软件,可同时在Windows、Mac和Linux系统上使用。软件提供了智能布局、多样性的幻灯片展示模式、精美的设计元素、预置的主题样式、手绘效果思维导图、甘特图视图等功能。

    亿图图示

    亿图图示Edraw是一款跨平台的全类型图形图表设计软件。使用它可以非常容易地创建有专业水准的流程图、 组织结构图、 网络图、 商业展示、 建筑平面图、 思维导图、 科学插画、 时尚设计、 UML图、 工作流程图、 程序结构图、 网页设计图、 电气工程图、 方向地图、 数据库图表及更多。

    Mindmanager

    Mindjet MindManager是一个创造、管理和交流思想的通用标准,其可视化的绘图软件有着直观、友好的用户界面和丰富的功能,这将帮助您有序地组织您的思维、资源和项目进程。

    MindManager也是一个易于使用的项目管理软件 [1]  ,能很好提高项目组的工作效率和小组成员之间的协作性。它作为一个组织资源和管理项目的方法,可从脑图的核心分枝派生出各种关联的想法和信息。

    Mindmanager [5]  与同类思维导图软件最大的优势,是软件同Microsoft Office无缝集成,快速将数据导入或导出到Microsoft Word, PowerPoint, Excel, Outlook, Project 和 Visio中,使之在职场中有极高的使用人群,也越来越多受到职场人士青睐。

    其历经版本的不断翻新,从最初有影响力的Mindjet MindManager Pro 5,Mindjet MindManager Pro 6,Mindjet MindManager Pro7,Mindjet MindManager Pro 8,到如今的Mindjet MindManager 2019。 [6]  现在全球用户大约有400万人,MindManager越来越接近人性化操作使用,已经成为很多思维导图培训机构的首选软件,而且在2015年度Biggerplate全球思维导图调查中再次被投票选取为思维导图软件用户首选。

    版本:MindManager 2019 (Windows) / MindManager 11 (Mac) [6] 

    Xmind

    XMind是一款易用性很强的软件,通过XMind可以随时开展头脑风暴,帮助人们快速理清思路。XMind 绘制的思维导图、鱼骨图、二维图、树形图、逻辑图、组织结构图等以结构化的方式来展示具体的内容,人们在用XMind绘制图形的时候,可以时刻保持头脑清晰,随时把握计划或任务的全局,它可以帮助人们在学习和工作中提高效率。 [7] 

    XMind 的特点可用“国产而国际化发展;商业化而兼有开源版本;功能丰富且美观”来概括。

    iMindMap

    iMindMapiMindMap

    iMindMap [8]  是一个让您集思广益无限发挥的工作区,在出席课程或会议时做笔录、计划任务、规划活动、创建及呈现演示等等。

    iMindMap 包含了各种直观、省时的功能以协助您减轻繁忙的日程,同时也将让你所做的一切都添加了一份创意。

    FreeMind

    FreeMind是一款跨平台的、基于GPL协议的自由软件,用Java编写,是一个用来绘制思维导图的软件。其产生的文件格式后缀为.mm 。可用来做笔记,脑图记录,脑力激荡等。

    FreeMind包括了许多让人激动的特性,其中包括扩展性,快捷的一键展开和关闭节点,快速记录思维,多功能的定义格式和快捷键。

    不过FreeMind无法同时进行多个思维中心点展开(亦有人认为这样是优点可以让人们专心于眼前的事),且部分中文输入法无法在FreeMind输入启动及运行速度较慢。

    MindMapper

    MindMapper界面MindMapper界面

    MindMapper是一款专业的可视化思维导图软件 [9]  、用于信息管理和处理工作流程的智能工具软件,MindMapper提供多种方式来把你脑袋里面混乱的、琐碎的想法贯穿起来,帮助你整理思路,最终形成条理清晰、逻辑性强的成熟思维模式

    NovaMind

    NovaMind是一款非常优秀的思维导图软件,它将思维导图和PPT融合在一起,支持思维导图放映演示。在国内windows一统的环境里,为人所知甚少,但在苹果(MAC)系统中却大名鼎鼎。其基于.NET Framework 4开发,软件安装简单,运行流畅,支持直接导出思维导图为PDF、PNG、Word、PowerPoint、MindManager文件、纯文本、OPML或者MS Project文件。目前最新版本为:NovaMind 5.7.4,大小:12MB,在Windows XP SP3、Vista、Windows 7、Windows 8/8.1、Windows 7以及Mac OSX 10.5, 10.6, 10.7 or 10.8中均支持,官网提供30天的免费试用版本。

    百度脑图

    百度脑图是一款在线思维导图编辑器,使用现代浏览器打开使用。除基本功能以外,支持 XMind、FreeMind 文件导入和导出,也能导出 PNG、SVG 图像文件。具备分享功能,编辑后可在线分享给其他人浏览。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    展开全文
  • 介绍了形象思维方法在钢结构教学中的应用,首先借助于动画、漫画和工程实际案例建立问题的感性认 识,结合材料力学基本理论进行形象思维,对问题进行定性分析,充分理解问题的本质。结果表明,该方法可有效 地促进学生对...
  • 形象思维是人的本能,它大量被运用于人的工作和生活过程中,同样也贯穿于软件开发过程中。用图交流是最有效的沟通手段之一,有时候大家争论半天,到白板前画几下就都清楚了。如果你想当一个好的传播者,软件设计师,...

    人生下来的时候不认识文字,但眼睛已经能够接受大量的图像信息。据说人眼获得的信息,占人获得总信息的40%以上。形象思维是人的本能,它大量被运用于人的工作和生活过程中,同样也贯穿于软件开发过程中。用图交流是最有效的沟通手段之一,有时候大家争论半天,到白板前画几下就都清楚了。如果你想当一个好的传播者,软件设计师,用图来思维和表达是必须具备的素质。

    应该说,我一般主要以逻辑思维为主,右脑形象思维能力很差。这些图都是从我过去画的图中精选出来的,不是特别漂亮,但表达的目的性很强。下面,让我一一介绍给大家,希望给大家启发。

    主要内容:

    • 逻辑图
    • 功能模型
    • 系统用例图
    • 架构图
    • 坐标图
    • 包逻辑关系图
    • 领域模型图
    • UML类图
    • UML活动图(泳道图)
    • UML时序图
    • UML部署图
    • UML状态图
    • 脑图
    • 鱼骨图
    • 画图工具介绍

    1) 逻辑图

    目的: 表达高层概念之间的关系,一般是给客户看的。理解这种图形,一般不需要什么先验知识。

    表达:一般比较灵活,多以层次结构为主,画图可以尽情发挥想象力。

    重点:抽取主要元素,并描述他们之间的关系。

    用处:一般用在解决方案中,向客户演讲的第一张图可能就是这个。

    这幅图主要采用层次,立体的方式来表达。

    2) 功能模型图

    目的:描述软件系统的功能。

    表达:一般以树形展开。

    重点:重点是层次关系。

    用处:解决方案和需求描述中。

    3)系统用例图

    目的:表达系统的参与者如何与系统进行交互,高层次。

    表达:一般用用例框图,框图内可以是用例包或用例,角色可以继承,但不应太多,影响图的可读性。

    重点:系统与干系人的交互,不一定所有功能都列在上面。

    用处:一般用在解决方案和需求描述中。

    4)架构图

    目的:表达技术元素之间的关系,一般用在解决方案的技术架构中,也是比较高层的。

    表达:方式很多,一般是层次模型。

    重点:强调主要技术元素及其关系,突出使用的技术。

    用处:解决方案,技术讲座,技术交流,技术培训。

    这是我以前在公司设想的企业应用平台的架构图,主要是概念性的。

    5)坐标图(这个名字是自己杜撰的)

    目的:用于描述一个元素随另一个元素变化的图。

    表达:一般是两维的,表达方式为图表或坐标系。

    重点:重点表达渐进关系。

    用处:一般用于技术演讲,解决方案。

    表示随时功能随多个迭代周期增加

    表示随着阶段的进化,技术手段的变化。

    6)UML包逻辑关系图

    目的:表达开发设计阶段,高层的逻辑关系。

    表达:排布要美观,线不要较差,散乱。

    重点:简单,强调主要依赖关系,不重要的可以不画。

    用处:设计文档,技术演讲和交流。

    7)领域模型图,这个图是我认为最重要的,也是最有用的图。

    目的:表达领域概念和概念之间的关系,和类图类似,但要高一个层次。

    表达:UML元素来表达,注意和类图相比,这里一般不会有方法,概念一般用自然语言描述。表达要简洁。

    重点:强调对领域的抽象。

    用处:用于团队内部维持对业务领域的一致的理解,还可以和客户交流。

    这是我整理的关于权限的领域模型。

    稍微有点复杂,关于集装箱管理的。

    8)UML类图

    目的:用于描述设计时,类的关系。

    表达:可以将类分组,提高可理解性。

    用处:团队内部交流,高级程序员给初级程序员指导和设计时。

    重点:强调类之间的关系,带上主要方法和属性。

    9)泳道图(UML活动图)

    目的:用于表达业务流程,比流程图更清晰。

    表达:泳道之间最好用颜色标识,如果复杂,可以把相近操作用区域标识。

    重点:表达流程的清晰性,可读性。

    用处:描述业务流程,可用于需求,解决方案等。

    10)UML序列图(时序图)

    目的:描述步骤比较多的设计。

    表达:步骤尽量少,多了可以考虑拆分。

    用处:详细设计。

    评注:以前觉得这个图挺好,现在感觉太复杂,一般用不到。

    这是一个伪单点登录的步骤。

    这个是有点像协作图,但比协作图生动,很多地方都在用这种方式。序列图和协作图是等价的。

    11)UML部署图

    目的:描述部署架构

    用处:系统架构文档等。

        

    12)状态图

    目的:描述单个对象生命周期的变化情况。

    用处:对象状态很多,变换复杂的情况。

    13)脑图,以前同事推荐的,越用越顺手,整理思想太好了,我每次写文章都用它。

    目的:整理零散的思想,形成条理。

    用处:写文章,团队头脑风暴,个人也能风暴。

    14)鱼骨图,主要用于根本原因分析的。

    其实还有很多图,比如tuti博客介绍的的影响分析图 ,也挺有意思的。

    下面说说画图工具:

    a) Visio. 我用的最多的就是它了,几乎图都是它画的,用起来简单方便,画UML图,比一般的专业UML画图的都好看(以前主要是跟Rose比)。也看到过很多漂亮的UML图,不知道用什么画的,大家知道的,分享一下啊。

    b) MindManager和MindMapper。主要用于画思维脑图的。

    c) 另外以前用Together逆向生成很多uml图,也挺好看的。

    d) 联想的best4c在线绘图工具 也不错,有空可以试一试。

    e)前面那些工具都有,你也不一定画出比较好看而且表达简单明了的图。最强大的工具出场了,那就是google图像搜索,你可以输入“架构”,“struts2”,"osgi"等等关键字,一幅幅漂亮的图就出现在你的面前,让你灵感倍增啊。

    展开全文
  • 思维导图充分运用左右脑的机能,利用记忆、阅读、思维的规律,协助人们在科学与艺术、逻辑与想象之间平衡发展,从而开启人类大脑的无限潜能。思维导图因此具有人类思维的强大功能。 思维导图是一种将思维形象化的...
  • 幼儿早期的思维以直觉行动思维为主,幼儿中期的思维以具体形象思维为主,幼儿晚期抽象逻辑思维开始萌芽。1.直觉行动思维直觉行动思维,也称直观行动思维,指依靠对事物的感知,依靠人的动作来进行的思维。直觉行动...

    幼儿早期的思维以直觉行动思维为主,幼儿中期的思维以具体形象思维为主,幼儿晚期抽象逻辑思维开始萌芽。

    1.直觉行动思维

    直觉行动思维,也称直观行动思维,指依靠对事物的感知,依靠人的动作来进行的思维。直觉行动思维是最低水平的思维,这种思维的进行离不开儿童自身对物体的感知,也离不开儿童自身的动作。直觉行动思维活动的典型方式是尝试错误,其活动过程依靠具体动作,是展开的,而且有许多无效的多余动作。这个阶段的孩子做事没有预先的目的,总是先做后想。2岁前的婴儿头脑中没有多少表象和经验,也不会进行逻辑推理,他们必须而且只能通过自己的动作才能发现事物间的内在联系。因此,幼儿早期的思维属于直觉行动思维。

    6f11c388644ed6a3bbeca0a1439951d6.png

    2.具体想象思维

    具体形象思维,又称表象思维,是指依靠事物的形象和表现来进行的思维。一般认为2.5~3岁是幼儿从直觉行动思维向具体形象思维转化的关键年龄。3~6、7岁幼儿的思维主要就是具体形象思维。

    其主要特点是:

    (1)具体形象性。幼儿的思维主要依赖事物的具体形象或表象以及它们之间的关系来进行的。

    024d5ddc70043ae16ae8bc824e6bcd58.png

    (2)具有了初步抽象概括的可能性。中班幼儿能逐渐认识事物的属性,开始根据事物的本质特征进行思维。但是他们掌握的概念,往往只与具体的对象联系在一起,与物体的感知特点和感知具体情境密切联系,还不能反映该类对象的一般特征。

    皮亚杰将这一阶段幼儿的思维称为前运算阶段。皮亚杰又进一步将这一阶段分为两个阶段:前概念阶段和直观阶段。前概念阶段幼儿思维的特点表现为幼儿普遍存在的泛灵论和自我中心主义。在整个前运算阶段,幼儿思维的一个最重要的特点是不可逆性,幼儿不理解逻辑运算的可逆性。

    3.抽象逻辑思维

    6、7岁以后,儿童的思维开始进入逻辑思维阶段。抽象逻辑思维反映的是事物的本质特征,是运用概念、根据事物的逻辑关系来进行的思维。它是靠语言进行的思维,是人类特有的思维方式。幼儿阶段抽象思维仅仅开始萌芽。

    (1)幼儿开始获得可逆性思维。例如,幼儿开始认识到如果在一堆珠子中减去几个,然后增加相同数目的珠子,这堆珠子的总数将保持不变。

    (2)幼儿的思维开始能够去自我中心化。所谓去自我中心化是指幼儿认识到他人的观点可能与自己的有所不同,幼儿能站在他人的立场和角度考虑问题。例如,幼儿开始能够解决“三山问题”。

    80cb426ef140dfbbad1cc5756694217d.png

    (3)幼儿开始能够同时将注意力集中于某一物体的几个属性,并开始认识到这些属性之间的关系。例如,幼儿开始认识到一个物体可以有重量和大小等几个属性,并且认识到这些属性是可分离的。

    (4)幼儿开始使用逻辑原则。幼儿获得的重要逻辑原则是不变性原则,即一个客体的基本属性不变。另一个原则是等价原则,即如果A的某种属性等于B,B等于C,则A必然等于C。

    了解幼儿思维,让宝爸宝妈更好地教育孩子。

    展开全文
  • 理解傅里叶变换算法

    千次阅读 2018-12-31 18:36:54
    上面我们看到了一个实数形式离散傅立叶变换的例子,通过这个例子能够让我们先对傅立叶变换有一个较为形象的感性认识,现在就让我们来看看实数形式离散傅立叶变换的正向和逆向是怎么进行变换的。在此,我们先来看一下...

    理解傅里叶变换算法

    傅里叶变换(Fourier transform)是一种线性积分变换,因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出,所以以其名字来命名以示纪念。傅里叶变换是从时间转换为频率的变化或其相互转化。

    连续傅里叶变换

    一般情况下,若“傅里叶变换”一词不加任何限定语,则指的是“连续傅里叶变换”。连续傅里叶变换将平方可积的函数ft)表示成复指数函数的积分或级数形式。

    这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数ft)的积分形式。

    连续傅里叶变换的逆变换(inverse Fourier transform)为:

    即将时间域的函数ft)表示为频率域的函数F(ω)的积分。

    一般可称函数ft)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅里叶变换对(transform pair)。

    除此之外,还有其它型式的变换对,以下两种型式亦常被使用。在通信或是信号处理方面,常以来代换,而形成新的变换对:

    或者是因系数重分配而得到新的变换对:

    一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换(Fractional Fourier Transform)。分数傅里叶变换(fractional Fourier transform,FRFT)指的就是傅里叶变换(Fourier transformFT)的广义化。

    分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换a次,其中a不一定要为整数;而做了分数傅里叶变换之后,信号或输入函数便会出现在介于时域(time domain)与频域(frequency domain)之间的分数域(fractional domain)

    ft)为偶函数(或奇函数)时,其正弦(或余弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦变换(cosine transform)或正弦变换(sine transform)。

    另一个值得注意的性质是,当ft)为纯实函数时,F(−ω) = F*(ω)成立。

    傅里叶级数

    连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数(Fourier series)的推广,因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数,其傅里叶级数是存在的:

    其中Fn为复幅度。对于实值函数,函数的傅里叶级数可以写成:

    其中anbn是实频率分量的幅度。

    离散时域傅里叶变换

    离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换(DTFT)的特例(有时作为后者的近似)。DTFT在时域上离散,在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆变换。

    离散傅里叶变换

    离散傅里叶变换(DFT),是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式,将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换(DTFT)频域的采样。在形式上,变换两端(时域和频域上)的序列是有限长的,而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT,也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT

    为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换,必须将函数Xn定义在离散点而非连续域内,且须满足有限性或周期性条件。这种情况下,使用离散傅里叶变换(DFT),将函数Xn表示为下面的求和形式:

    其中Xk是傅里叶幅度。直接使用这个公式计算的计算复杂度为On*n),而快速傅里叶变换(FFT)可以将复杂度改进为On*lgn),后面会具体阐述FFT是如何将复杂度降为On*lgn)的。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。

    下面,比较下上述傅立叶变换的4种变体:

    容易发现:函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性。反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性。也就是说,时间上的离散性对应着频率上的周期性。同时,注意,离散时间傅里叶变换,时间离散,频率不离散,它在频域依然是连续的。

    傅立叶变换

    要理解傅立叶变换,先得知道傅立叶变换是怎么变换的,当然,也需要一定的高等数学基础,最基本的是级数变换,其中傅立叶级数变换是傅立叶变换的基础公式。

    傅立叶变换的提出

    傅立叶是一位法国数学家和物理学家,原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830)Fourier1807年在法国科学学会上发表了一篇论文,论文里描述运用正弦曲线来描述温度分布,论文里有个在当时具有争议性的决断:任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。

    当时审查这个论文拉格朗日坚决反对此论文的发表,而后在近50年的时间里,拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号,如在方波中出现非连续变化斜率。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。

    谁是对的呢?拉格朗日是对的:正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是,我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它,逼近到两种表示方法不存在能量差别,基于此,傅立叶是对的。

    为什么我们要用正弦曲线来代替原来的曲线呢?如我们也还可以用方波或三角波来代替呀,分解信号的方法是无穷多的,但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。

    用正余弦来表示原信号会更加简单,因为正余弦拥有原信号所不具有的性质:正弦曲线保真度。一个正余弦曲线信号输入后,输出的仍是正余弦曲线,只有幅度和相位可能发生变化,但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正余弦曲线才拥有这样的性质,正因如此我们才不用方波或三角波来表示。

    傅立叶变换的分类

    根据原信号的不同类型,我们可以把傅立叶变换分为四种类别:

    1. 非周期性连续信号:傅立叶变换(Fourier Transform
    2. 周期性连续信号:傅立叶级数(Fourier Series
    3. 非周期性离散信号:离散时域傅立叶变换(Discrete Time Fourier Transform
    4. 周期性离散信号;离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform

    下图是四种原信号图例(从上到下,依次是FTFSDTFTDFT):

    这四种傅立叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号,即信号的长度是无穷大的,我们知道这对于计算机处理来说是不可能的,那么有没有针对长度有限的傅立叶变换呢?没有。因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大,我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。

    面对这种困难,方法是:把长度有限的信号表示成长度无限的信号。如,可以把信号无限地从左右进行延伸,延伸的部分用零来表示,这样,这个信号就可以被看成是非周期性离散信号,我们可以用到离散时域傅立叶变换(DTFT)的方法。也可以把信号用复制的方法进行延伸,这样信号就变成了周期性离散信号,这时我们就可以用离散傅立叶变换方法(DFT)进行变换。我们主要讨论离散信号,对于连续信号我们不作讨论,因为计算机只能处理离散数值信号,我们的最终目的是运用计算机来处理信号。

    但是对于非周期性信号,我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示,这对于计算机来说是不可能实现的。所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换(DFT)才能被适用,对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理,对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到,在计算机面前我们只能用DFT方法,后面我们要理解的也正是DFT方法。

    这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题,至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。

    每种傅立叶变换都分成实数和复数两种方法,对于实数方法是最好理解的,但是复数方法就相对复杂许多了,需要懂得有关复数的理论知识,不过,如果理解了实数离散傅立叶变换(real DFT),再去理解复数傅立叶变换就更容易了,所以我们先把复数的傅立叶变换放到一边去,先来理解实数傅立叶变换,在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论,然后在理解了实数傅立叶变换的基础上再来理解复数傅立叶变换。

    还有,这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换,但跟函数变换是不同的,函数变换是符合一一映射准则的,对于离散数字信号处理(DSP),有许多的变换:傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等,这些都扩展了函数变换的定义,允许输入和输出有多种的值,简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。

    实数离散傅立叶变换(Real DFT)的例子

    先来看一个变换实例,下图是一个原始信号图像:

    这个信号的长度是16,于是可以把这个信号分解9个余弦波和9个正弦波(一个长度为N的信号可以分解成N/2+1个正余弦信号,这是为什么呢?结合下面的18个正余弦图,我想从计算机处理精度上就不难理解,一个长度为N的信号,最多只能有N/2+1个不同频率,再多的频率就超过了计算机所能所处理的精度范围),如下图:

    9个余弦信号:

    9个正弦信号:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_12982135172NjF.jpg

    把以上所有信号相加即可得到原始信号,至于是怎么分别变换出9种不同频率信号的,先不急,先看看对于以上的变换结果,在程序中又是该怎么表示的,我们可以看看下面这个示例图:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_1298213517sJBS.jpg

    上图中左边表示时域中的信号,右边是频域信号表示方法,从左向右,-->,表示正向转换(Forward DFT),从右向左,<--,表示逆向转换(Inverse DFT),用小写x[]表示信号在每个时间点上的幅度值数组,用大写X[]表示每种频率的副度值数组(即时间x-->频率X),因为有N/2+1种频率,所以该数组长度为N/2+1X[]数组又分两种,一种是表示余弦波的不同频率幅度值:Re X[],另一种是表示正弦波的不同频率幅度值:Im X[]Re是实数(Real)的意思,Im是虚数(Imagine)的意思,采用复数的表示方法把正余弦波组合起来进行表示,但这里我们不考虑复数的其它作用,只记住是一种组合方法而已,目的是为了便于表达(在后面我们会知道,复数形式的傅立叶变换长度是N,而不是N/2+1)。如此,再回过头去,看上面的正余弦各9种频率的变化,相信,问题不大了。

    实数形式离散傅立叶变换(Real DFT)

    上面我们看到了一个实数形式离散傅立叶变换的例子,通过这个例子能够让我们先对傅立叶变换有一个较为形象的感性认识,现在就让我们来看看实数形式离散傅立叶变换的正向和逆向是怎么进行变换的。在此,我们先来看一下频率的多种表示方法。

    频域中关于频率的四种表示方法

    1. 序号表示方法,根据时域中信号的样本数取0 ~ N/2,用这种方法在程序中使用起来可以更直接地取得每种频率的幅度值,因为频率值跟数组的序号是一一对应的: X[k],取值范围是0 ~ N/2

    2. 分数表示方法,根据时域中信号的样本数的比例值取0 ~ 0.5: X[ƒ],ƒ = k/N,取值范围是0 ~ 1/2

    3. 用弧度值来表示,把ƒ乘以一个2π得到一个弧度值,这种表示方法叫做自然频率(natural frequency)X[ω],ω = 2πƒ = 2πk/N,取值范围是0 ~ π;

    4. 以赫兹(Hz)为单位来表示,这个一般是应用于一些特殊应用,如取样率为10 kHz表示每秒有10,000个样本数:取值范围是0到取样率的一半。

    DFT基本函数

    ck[i] = cos(2πki/N)

    sk[i] = sin(2πki/N)

    其中k表示每个正余弦波的频率,如为2表示在0N长度中存在两个完整的周期,10即有10个周期,如下图:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_1298213516D7V1.jpg

    上图中至于每个波的振幅(amplitude)(Re X[k],Im X[k])是怎么算出来的,这个是DFT的核心,也是最难理解的部分,我们先来看看如何把分解出来的正余弦波合成原始信号(Inverse DFT)

    合成运算方法(Real Inverse DFT)

    DFT合成等式(合成原始时间信号,频率-->时间,逆向变换):

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_1298213516k4UT.jpg

    如果有学过傅立叶级数,对这个等式就会有似曾相识的感觉,不错!这个等式跟傅立叶级数是非常相似的:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_1298213516KUWW.jpg

    当然,差别是肯定是存在的,因为这两个等式是在两个不同条件下运用的,至于怎么证明DFT合成公式,这个需要非常强的高等数学理论知识了,这是研究数学的人的工作,对于普通应用者就不需要如此的追根究底了,但是傅立叶级数是好理解的,我们起码可以从傅立叶级数公式中看出DFT合成公式的合理性。

    DFT合成等式中的Im X[k]Re X[k]跟之前提到的Im X[k]Re X[k]是不一样的,下面是转换方法(关于此公式的解释,见下文):

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_1298213515r5dm.jpg

    k等于0N/2时,实数部分的计算要用下面的等式:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_12982135155Kvg.jpg

    上面四个式中的N是时域中点的总数,k是从0N/2的序号。

    为什么要这样进行转换呢?这个可以从频谱密度(spectral density)得到理解,如下图就是个频谱图:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_12982135156Bee.jpg

    这是一个频谱图,横坐标表示频率大小,纵坐标表示振幅大小,原始信号长度为N(这里是32),经DFT转换后得到的17个频率的频谱,频谱密度表示每单位带宽中为多大的振幅,那么带宽是怎么计算出来的呢?看上图,除了头尾两个,其余点的所占的宽度是2/N,这个宽度便是每个点的带宽,头尾两个点的带宽是1/N,Im X[k]Re X[k]表示的是频谱密度,即每一个单位带宽的振幅大小,但http://hi.csdn.net/attachment/201102/21/8394323_1298270500e82R.jpg表示2/N(或1/N)带宽的振幅大小,所以http://hi.csdn.net/attachment/201102/21/8394323_1298270500e82R.jpg分别应当是Im X[k]Re X[k]2/N(或1/N)。

    频谱密度就象物理中物质密度,原始信号中的每一个点就象是一个混合物,这个混合物是由不同密度的物质组成的,混合物中含有的每种物质的质量是一样的,除了最大和最小两个密度的物质外,这样我们只要把每种物质的密度加起来就可以得到该混合物的密度了,又该混合物的质量是单位质量,所以得到的密度值跟该混合物的质量值是一样的。

    至于为什么虚数部分是负数,这是为了跟复数DFT保持一致,这是数学计算上的需要(Im X[k]在计算时就已经加上了一个负号(稍后,由下文,便可知),http://hi.csdn.net/attachment/201102/21/8394323_1298272202VxKp.jpg再加上负号,结果便是正的,等于没有变化)。

    如果已经得到了DFT结果,这时要进行逆转换,即合成原始信号,则可按如下步骤进行转换:

    1. 先根据上面四个式子计算得出http://hi.csdn.net/attachment/201102/21/8394323_1298270500e82R.jpg的值;

    2. 再根据DFT合成等式得到原始信号数据。

    下面是用BASIC语言来实现的转换源代码:

    100 DFT逆转换方法

    110 /XX[]数组存储计算结果(时域中的原始信号)

    120 /REX[]数组存储频域中的实数分量,IMX[]为虚分量

    130 ‘

    140 DIM XX[511]

    150 DIM REX[256]

    160 DIM IMX[256]

    170 ‘

    180 PI = 3.14159265

    190 N% = 512

    200 ‘

    210 GOSUB XXXX ‘转到子函数去获取REX[]IMX[]数据

    220 ‘

    230 ‘

    240 ‘

    250 FOR K% = 0 TO 256

    260   REX[K%] = REX[K%] / (N%/2)

    270   IMX[K%] = -IMX[K%] / (N%/2)

    280 NEXT k%

    290 ‘

    300 REX[0] = REX[0] / N

    310 REX[256] = REX[256] / N

    320 ‘

    330 初始化XX[]数组

    340 FOR I% = 0 TO 511

    350   XX[I%] = 0

    360 NEXT I%

    370 ‘

    380 ‘

    390 ‘

    400 ‘

    410 ‘

    420 FOR K% =0 TO 256

    430   FOR I%=0 TO 511

    440 ‘

    450      XX[I%] = XX[I%] + REX[K%] * COS(2 * PI * K% * I% / N%)

    460      XX[I%] = XX[I%] + IMX[K%] * SIN(2 * PI * K% * I% / N%)

    470 ‘

    480   NEXT I%

    490 NEXT K%

    500 ‘

    510 END

    上面代码中420490换成如下形式也许更好理解,但结果都是一样的:

    420 FOR I% =0 TO 511

    430   FOR K%=0 TO 256

    440 ‘

    450      XX[I%] = XX[I%] + REX[K%] * COS(2 * PI * K% * I% / N%)

    460      XX[I%] = XX[I%] + IMX[K%] * SIN(2 * PI * K% * I% / N%)

    470 ‘

    480   NEXT I%

    490 NEXT K%

    分解运算方法(DFT)

    有三种完全不同的方法进行DFT

    第一种方法是通过联立方程进行求解,从代数的角度看,要从N个已知值求N个未知值,需要N个联立方程,且N个联立方程必须是线性独立的,但这是这种方法计算量非常的大且极其复杂,所以很少被采用;

    第二种方法是利用信号的相关性(correlation)进行计算,这个是我们后面将要介绍的方法;

    第三种方法是快速傅立叶变换(FFT),这是一个非常具有创造性和革命性的方法,因为它大大提高了运算速度,使得傅立叶变换能够在计算机中被广泛应用,但这种算法是根据复数形式的傅立叶变换来实现的,它把N个点的信号分解成长度为N的频域,这个跟我们现在所进行的实域DFT变换不一样,而且这种方法也较难理解,这里我们先不去理解,等先理解了复数DFT后,再来看一下FFT

    有一点很重要,那就是这三种方法所得的变换结果是一样的,经过实践证明,当频域长度为32时,利用相关性方法进行计算效率最好,否则FFT算法效率较高。现在就让我们来看一下相关性算法。

    利用第2种方法、信号的相关性(correlation)可以从噪声背景中检测出已知的信号,我们也可以利用这个方法检测信号波中是否含有某个频率的信号波:把一个待检测信号波乘以另一个信号波,得到一个新的信号波,再把这个新的信号波所有点进行相加,从相加结果就可以判断出这两个信号的相似程度。如下图:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_1298213514wILB.jpg

    上面a b两个图是待检测信号波,图a很明显可以看出是个3个周期的正弦信号波,图b的信号波则看不出是否含有正弦或余弦信号,图cd都是个3个周期的正弦信号波,图ef分别是图ab跟图cd相乘后的结果,图e所有点的平均值是0.5,说明信号a含有振幅为1的正弦信号c,但图f所有点的平均值是0,则说明信号b不含有信号d。这个就是通过信号相关性来检测是否含有某个信号的方法。

    第二种方法:相应地,我也可以通过把输入信号和每一种频率的正余弦信号进行相乘(关联操作),从而得到原始信号与每种频率的关联程度(即总和大小),这个结果便是我们所要的傅立叶变换结果,下面两个等式便是我们所要的计算方法:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_12982135144LLa.jpg

    第二个式子中加了个负号,是为了保持复数形式的一致,前面我们知道在计算http://hi.csdn.net/attachment/201102/21/8394323_1298272202VxKp.jpg时又加了个负号,所以这只是个形式的问题,并没有实际意义,你也可以把负号去掉,并在计算http://hi.csdn.net/attachment/201102/21/8394323_1298272202VxKp.jpg时也不加负号。

    这里有一点必须明白一个正交概念:两个函数相乘,如果结果中的每个点的总和为0,则可认为这两个函数为正交函数。要确保关联性算法是正确的,则必须使得跟原始信号相乘的信号的函数形式是正交的,我们知道所有的正弦或余弦函数是正交的,这一点通过简单的高数知识就可以证明它,所以可以通过关联方法把原始信号分离出正余弦信号。当然,其它的正交函数也是存在的,如:方波、三角波等形式的脉冲信号,所以原始信号也可被分解成这些信号,但这只是说可以这样做,却是没有用的。

    下面是实域傅立叶变换的BASIC语言代码:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_1298213514xzg1.jpg

    到此为止,我们对傅立叶变换便有了感性认识。但要记住,这只是在实域上的离散傅立叶变换,其中虽然也用到了复数形式,但那只是个替代形式,并无实际意义,现实中一般使用的是复数形式的离散傅立叶变换,且快速傅立叶变换是根据复数离散傅立叶变换来设计算法的,在后面我们先来复习一下有关复数的内容,然后再在理解实域离散傅立叶变换的基础上来理解复数形式的离散傅立叶变换。

    复数

    复数扩展了我们一般所能理解的数的概念,复数包含了实数和虚数两部分,利用复数的形式可以把由两个变量表示的表达式变成由一个变量(复变量)来表达,使得处理起来更加自然和方便。

    我们知道傅立叶变换的结果是由两部分组成的,使用复数形式可以缩短变换表达式,使得我们可以单独处理一个变量(这个在后面的描述中我们就可以更加确切地知道),而且快速傅立叶变换正是基于复数形式的,所以几乎所有描述的傅立叶变换形式都是复数的形式。但是复数的概念超过了我们日常生活中所能理解的概念,要理解复数是较难的,所以我们在理解复数傅立叶变换之前,先来专门复习一下有关复数的知识,这对后面的理解非常重要。

    复数的提出

    在此,先让我们看一个物理实验:把一个球从某点向上抛出,然后根据初速度和时间来计算球所在高度,这个方法可以根据下面的式子计算得出:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_1298213513lll8.jpg

    其中h表示高度,g表示重力加速度(9.8m/s2)v表示初速度,t表示时间。现在反过来,假如知道了高度,要求计算到这个高度所需要的时间,这时我们又可以通过下式来计算:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_1298213513oAs8.jpg

    1. 根据公式h=-(gt2/2)+Vtgt后面的2表示t的平方),我们可以讨论最终情况,也就是说小球运动到最高点时,v=gt,所以,可以得到t=sqt(2h/g),且在您给的公式中,根号下为1-(2h)/g,化成分数形式为(g-2h)/ggh不能直接做加减运算。

    2. g是重力加速度,单位是m/s2h的单位是m,他们两个相减的话在物理上没有意义,而且使用您给的那个公式反向回去的话推出的是h=-(gt2/2)+gtgt后面的2表示t的平方)。

    3. 直接推到可以得出t=v/g±sqt((v2-2hg)/g2)vg后面的2都表示平方),那么也就是说当v2<2hg时会产生复数,但是如果从实际的v2是不可能小于2hg的,所以我感觉复数不能从实际出发去推到,只能从抽象的角度说明一下。

    经过计算我们可以知道,当高度是3米时,有两个时间点到达该高度:球向上运动时的时间是0.38秒,球向下运动时的时间是1.62秒。但是如果高度等于10时,结果又是什么呢?根据上面的式子可以发现存在对负数进行开平方运算,我们知道这肯定是不现实的。

    第一次使用这个不一般的式子的人是意大利数学家Girolamo Cardano1501-1576),两个世纪后,德国伟大数学家Carl Friedrich Gause1777-1855)提出了复数的概念,为后来的应用铺平了道路,他对复数进行这样表示:复数由实数(real)和虚数(imaginary)两部分组成,虚数中的根号负1i来表示(在这里我们用j来表示,因为i在电力学中表示电流的意思)。

    我们可以把横坐标表示成实数,纵坐标表示成虚数,则坐标中的每个点的向量就可以用复数来表示,如下图:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_1298213513D3wn.jpg

    上图中的ABC三个向量可以表示成如下的式子:

    A = 2 + 6j

    B = -4 – 1.5j

    C = 3 – 7j

    这样子来表达方便之处在于运用一个符号就能把两个原来难以联系起来的数组合起来了,不方便的是我们要分辨哪个是实数和哪个是虚数,我们一般是用Re( )Im( )来表示实数和虚数两部分,如:

    Re A = 2      Im A = 6

    Re B = -4     Im B = -1.5

    Re C = 3      Im C = -7 

    复数之间也可以进行加减乘除运算:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_12982135129xuU.jpg

    这里有个特殊的地方是j2等于-1,上面第四个式子的计算方法是把分子和分母同时乘以c-dj,这样就可消去分母中的j了。

    复数也符合代数运算中的交换律、结合律、分配律:

    A B = B A

     (A + B) + C = A + (B + C)

    A(B + C) = AB + AC

    复数的极坐标表示形式

    前面提到的是运用直角坐标来表示复数,其实更为普遍应用的是极坐标的表示方法,如下图:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_1298213512YD5U.jpg

    上图中的M即是数量积(magnitude),表示从原点到坐标点的距离,θ是相位角(phase angle),表示从X轴正方向到某个向量的夹角,下面四个式子是计算方法:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_1298213511YE8y.jpg

    我们还可以通过下面的式子进行极坐标到直角坐标的转换:

    a + jb = M (cosθ + j sinθ)

    上面这个等式中左边是直角坐标表达式,右边是极坐标表达式。

    还有一个更为重要的等式——欧拉等式(欧拉,瑞士的著名数学家,Leonhard Euler1707-1783):

    ejx = cos x + j sin x

    这个等式可以从下面的级数变换中得到证明:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_12982135117dZz.jpg

    上面中右边的两个式子分别是cos(x)sin(x)的泰勒(Taylor)级数。

    这样子我们又可以把复数的表达式表示成指数的形式了:

    a + jb = M ejθ (复数的两个表达式)

    指数形式是数字信号处理中数学方法的支柱,也许是因为用指数形式进行复数的乘除运算极为简单的缘故吧:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_1298213511Sn1S.jpg

    复数是数学分析中的一个工具

    为什么要使用复数呢?其实它只是个工具而已,就如钉子和锤子的关系,复数就像那锤子,作为一种使用的工具。我们把要解决的问题表达成复数的形式(因为有些问题用复数的形式进行运算更加方便),然后对复数进行运算,最后再转换回来得到我们所需要的结果。

    有两种方法使用复数,一种是用复数进行简单的替换,如前面所说的向量表达式方法和前一节中所讨论的实域DFT,另一种是更高级的方法:数学等价(mathematical equivalence),复数形式的傅立叶变换用的便是数学等价的方法,但在这里我们先不讨论这种方法,这里我们先来看一下用复数进行替换中的问题。

    用复数进行替换的基本思想是:把所要分析的物理问题转换成复数的形式,其中只是简单地添加一个复数的符号j,当返回到原来的物理问题时,则只是把符号j去掉就可以了。

    有一点要明白的是并不是所有问题都可以用复数来表示,必须看用复数进行分析是否适用,有个例子可以看出用复数来替换原来问题的表达方式明显是谬误的:假设一箱的苹果是5美元,一箱的桔子是10美元,于是我们把它表示成 5 + 10j,有一个星期你买了6箱苹果和2箱桔子,我们又把它表示成6 + 2j,最后计算总共花的钱是(5 + 10j)(6 + 2j) = 10 + 70j,结果是买苹果花了10美元的,买桔子花了70美元,这样的结果明显是错了,所以复数的形式不适合运用于对这种问题的解决。

    用复数来表示正余弦函数表达式

    对于象M cos (ωt + φ)A cos(ωt ) + B sin(ωt )表达式,用复数来表示,可以变得非常简洁,对于直角坐标形式可以按如下形式进行转换:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_1298213511RH49.jpg

    上式中余弦幅值A经变换生成a,正弦幅值B的相反数经变换生成bA <=> aB<=> -b,但要注意的是,这不是个等式,只是个替换形式而已。

    对于极坐标形式可以按如下形式进行转换:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_1298213510p4ct.jpg

    上式中,M <=> M,θ<=>φ。

    这里虚数部分采用负数的形式主要是为了跟复数傅立叶变换表达式保持一致,对于这种替换的方法来表示正余弦,符号的变换没有什么好处,但替换时总会被改变掉符号以跟更高级的等价变换保持形式上的一致。

    在离散信号处理中,运用复数形式来表示正余弦波是个常用的技术,这是因为利用复数进行各种运算得到的结果跟原来的正余弦运算结果是一致的,但是,我们要小心使用复数操作,如加、减、乘、除,有些操作是不能用的,如两个正弦信号相加,采用复数形式进行相加,得到的结果跟替换前的直接相加的结果是一样的,但是如果两个正弦信号相乘,则采用复数形式来相乘结果是不一样的。幸运的是,我们已严格定义了正余弦复数形式的运算操作条件:

    1. 参加运算的所有正余弦的频率必须是一样的;

    2. 运算操作必须是线性的,如两个正弦信号可以进行相加减,但不能进行乘除,象信号的放大、衰减、高低通滤波等系统都是线性的,像平方、缩短、取限等则不是线性的。要记住的是卷积和傅立叶分析也只有线性操作才可以进行。

    下图是一个相量变换(我们把正弦或余弦波变成复数的形式称为相量变换,Phasor transform)的例子,一个连续信号波经过一个线性处理系统生成另一个信号波,从计算过程我们可以看出采用复数的形式使得计算变化十分的简洁:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/20/8394323_1298213510caW4.jpg

    在描述的实数形式傅立叶变换也是一种替换形式的复数变换,但要注意的是那还不是复数傅立叶变换,只是一种代替方式而已。复数傅立叶变换是一种更高级的变换,而不是这种简单的替换形式。

    复数形式离散傅立叶变换

    复数形式的离散傅立叶变换非常巧妙地运用了复数的方法,使得傅立叶变换变换更加自然和简洁,它并不是只是简单地运用替换的方法来运用复数,而是完全从复数的角度来分析问题,这一点跟实数DFT是完全不一样的。

    把正余弦函数表示成复数的形式

    通过欧拉等式可以把正余弦函数表示成复数的形式:

    cos( x ) = 1/2 e j(-x) + 1/2 ejx

    sin( x ) = j (1/2 e j(-x) - 1/2 ejx)

    从这个等式可以看出,如果把正余弦函数表示成复数后,它们变成了由正负频率组成的正余弦波,相反地,一个由正负频率组成的正余弦波,可以通过复数的形式来表示。

    我们知道,在实数傅立叶变换中,它的频谱是0 ~π(0 ~ N/2),但无法表示-π~ 0的频谱,可以预见,如果把正余弦表示成复数形式,则能够把负频率包含进来。

    把变换前后的变量都看成复数的形式

    复数形式傅立叶变换把原始信号x[n]当成是一个用复数来表示的信号,其中实数部分表示原始信号值,虚数部分为0,变换结果X[k]也是个复数的形式,但这里的虚数部分是有值的。

    在这里要用复数的观点来看原始信号,是理解复数形式傅立叶变换的关键(如果有学过复变函数则可能更好理解,即把X[n]看成是一个复数变量,然后象对待实数那样对这个复数变量进行相同的变换)。

    对复数进行相关性算法(正向傅立叶变换)

    从实数傅立叶变换中可以知道,我们可以通过原始信号乘以一个正交函数形式的信号,然后进行求总和,最后就能得到这个原始信号所包含的正交函数信号的分量。

    现在我们的原始信号变成了复数,我们要得到的当然是复数的信号分量,我们是不是可以把它乘以一个复数形式的正交函数呢?答案是肯定的,正余弦函数都是正交函数,变成如下形式的复数后,仍旧还是正交函数(这个从正交函数的定义可以很容易得到证明):

    cos x + j sin x, cos x j sin x,……

    这里我们采用上面的第二个式子进行相关性求和,为什么用第二个式子呢?,我们在后面会知道,正弦函数在虚数中变换后得到的是负的正弦函数,这里我们再加上一个负号,使得最后的得到的是正的正弦波,根据这个于是我们很容易就可以得到了复数形式的DFT正向变换等式:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/22/8394323_12983812909Ndf.jpg

    这个式子很容易可以得到欧拉变换式子:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/22/8394323_1298381290l3Fp.jpg

    其实我们是为了表达上的方便才用到欧拉变换式,在解决问题时我们还是较多地用到正余弦表达式。

    对于上面的等式,我们要清楚如下几个方面(也是区别于实数DFT的地方):

    1. X[k]x[n]都是复数,但x[n]的虚数部分都是由0组成的,实数部分表示原始信号;

    2. k的取值范围是0 ~ N-1 (也可以表达成0 ~ 2π),其中0 ~ N/2(或0 ~ π)是正频部分,

    N/2 ~ N-1(π~ 2π)是负频部分,由于正余弦函数的对称性,所以我们把-π~ 0表示成π~ 2π,这是出于计算上方便的考虑。

    3. 其中的j是一个不可分离的组成部分,就象一个等式中的变量一样,不能随便去掉,去掉之后意义就完全不一样了,但我们知道在实数DFT中,j只是个符号而已,把j去掉,整个等式的意义不变;

    4. 下图是个连续信号的频谱,但离散频谱也是与此类似的,所以不影响我们对问题的分析:

    http://hi.csdn.net/attachment/201102/22/8394323_1298381289adoZ.jpg

    上面的频谱图把负频率放到了左边,是为了迎合我们的思维习惯,但在实际实现中我们一般是把它移到正的频谱后面的。

    从上图可以看出,时域中的正余弦波(用来组成原始信号的正余弦波)在复数DFT的频谱中被分成了正、负频率的两个组成部分,基于此等式中前面的比例系数是1/N(或1/2π),而不是2/N,这是因为现在把频谱延伸到了2π,但把正负两个频率相加即又得到了2/N,又还原到了实数DFT的形式,这个在后面的描述中可以更清楚地看到。

    由于复数DFT生成的是一个完整的频谱,原始信号中的每一个点都是由正、负两个频率组合而成的,所以频谱中每一个点的带宽是一样的,都是1/N,相对实数DFT,两端带宽比其它点的带宽少了一半;复数DFT的频谱特征具有周期性:-N/2 ~ 0N/2 ~ N-1是一样的,实域频谱呈偶对称性(表示余弦波频谱),虚域频谱呈奇对称性(表示正弦波频谱)。

    逆向傅立叶变换

    假设我们已经得到了复数形式的频谱X[k],现在要把它还原到复数形式的原始信号x[n],当然应该是把X[k]乘以一个复数,然后再进行求和,最后得到原始信号x[n],这个跟X[k]相乘的复数首先让我们想到的应该是上面进行相关性计算的复数:

    cos(2πkn/N) j si(2πkn/N)

    但其中的负号其实是为了使得进行逆向傅立叶变换时把正弦函数变为正的符号,因为虚数j的运算特殊性,使得原来应该是正的正弦函数变为了负的正弦函数(我们从后面的推导会看到这一点),所以这里的负号只是为了纠正符号的作用,在进行逆向DFT时,我们可以把负号去掉,于是我们便得到了这样的逆向DFT变换等式:

    x[n] = X[k] (cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N))

    我们现在来分析这个式子,会发现这个式其实跟实数傅立叶变换是可以得到一样结果的。我们先把X[k]变换一下:

    X[k] = Re X[k] + j Im X[k]

    这样我们就可以对x[n]再次进行变换,如:

    x[n] = (Re X[k] + j Im X[k]) (cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N))

    = ( Re X[k] cos(2πkn/N) + j Im X[k] cos(2πkn/N) +j Re X[k] sin(2πkn/N) -  Im X[k] sin(2πkn/N) )

    = ( Re X[k] cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N) +    ---------------------(1)

    Im X[k] - sin(2πkn/N) + j cos(2πkn/N))  ---------------(2)

    这时我们就把原来的等式分成了两个部分,第一个部分是跟实域中的频谱相乘,第二个部分是跟虚域中的频谱相乘,根据频谱图我们可以知道,Re X[k]是个偶对称的变量,Im X[k]是个奇对称的变量,即:

    Re X[k] = Re X[- k]

    Im X[k] = - Im X[-k]

    k的范围是0 ~ N-10~N/2表示正频率,N/2~N-1表示负频率,为了表达方便我们把N/2~N-1-k来表示,这样在从0N-1的求和过程中对于(1)(2)式分别有N/2对的k-k的和,对于(1)式有:

    Re X[k] (cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N)) + Re X[- k] (cos( - 2πkn/N) + j sin( -2πkn/N))

    根据偶对称性和三角函数的性质,把上式化简得到:

    Re X[k] (cos(2πkn/N) + j sin(2πkn/N)) + Re X[ k] (cos( 2πkn/N) - j sin( 2πkn/N))

    这个式子最后的结果是:

    2 Re X[ k] cos(2πkn/N)

    再考虑到求Re X[ k]等式中有个比例系数1/N,把1/N乘以2,这样的结果不就是跟实数DFT中的式子一样了吗?

    对于(2)式,用同样的方法,我们也可以得到这样的结果:

    -2 Im X[k] sin(2πkn/N)

    注意上式前面多了个负符号,这是由于虚数变换的特殊性造成的,当然我们肯定不能把负符号的正弦函数跟余弦来相加,还好,我们前面是用cos(2πkn/N)-j sin(2πkn/N)进行相关性计算,得到的Im X[k]中有个负的符号,这样最后的结果中正弦函数就没有负的符号了,这就是为什么在进行相关性计算时虚数部分要用到负符号的原因(我觉得这也许是复数形式DFT美中不足的地方,让人有一种拼凑的感觉)。

    从上面的分析中可以看出,实数傅立叶变换跟复数傅立叶变换,在进行逆变换时得到的结果是一样的,只不过是殊途同归吧。

    【转载】https://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6200945

    展开全文
  • 重点梳理01幼儿思维的发展选择/辨析▎...不可逆性「答案」:A「解析」:依靠具体事物的表象以及对具体形象的联想而进行的思维是具体形象思维的典型特点,题干中小红依靠事物形象时可以做思维判断,但涉及到抽象的...
  • 随着思维培养被广大父母日渐看中,关于“编程思维培养最佳年龄”的话题被热议。那么孩子几岁开始接受编程思维培养比较合适呢?今天小贝老师就给大家做一下专业解读。 瑞士著名心理学家皮亚杰曾经提出:儿童和青少年...
  • 什么是计算机思维

    万次阅读 多人点赞 2018-04-23 16:53:53
    计算机思维是一套概念模型我们运用一个思维模型时,要经历这样三个阶段:建模,解模,解释。与之相对应的则是抽象思维、演绎思维、发散思维。通过抽象,形式化,将我们所需要研究的问题进行归纳,用一种范式表达出来...
  • 人类高级思维发展是从幼儿期开始,既是人类智能发展的起点,也是人类整体技能全面发展的起点。1布鲁纳认为,在人类智慧生长期间,经历了三种表征系统的阶段,分别是动作性表征、映象性表征、符号性表征。其中映象性...
  • 思维导图可以辅助我们思考问题,特别是对于逻辑性不是特别强的人来说,通过绘制思维导图,可以对问题进行全面的分析,对相关问题进行发散思维,从而使得对问题的研究更加的透彻。接下来分享六个日常工作生活中常用到...
  • 思维导图(一):高效的思维工具

    千次阅读 2019-06-15 12:37:36
    人类的思维可以分为线性思维和非线性思维两种。一般来讲,线性思维是一种直线的、单向的、单维的、缺乏变化的思维方式,如逻辑思维;非线性思维则是相互连接的,非平面、立体化、无中心、无边缘的网状结构,类似于人...
  • 神经网络算法

    千次阅读 2015-10-23 14:38:18
    神经网络算法  锁定 本词条由“科普中国”百科科学词条编写与应用工作项目 审核。 逻辑性的思维是指根据逻辑规则进行推理的过程;...这种思维方式的根本之点在于以下两点:1.信息是通过神经元上的兴奋
  • 本文是对多年高职教学实践的总结,较为详细地描述了在讲授职业技能课单片机原理的过程中是如何在学生头脑中构建知识体系的,突出了图像记忆方法的运用及其取得的效果,并强调了教师本身在这一过程中所应起的作用。
  • 培养阅读能力 提升思维品质——例谈“思维导图”在小学英语读写课中的应用桐乡市...在阅读教学过程中,将“思维导图”运用于词汇认知,句型学习和语义理解,培养学生的阅读能力,提高思维品质,充分发挥学生主体的积...
  • 逻辑思维

    2017-09-11 18:59:00
    逻辑思维(Logical thinking),人们在认识事物的过程中借助于概念、判断、推理等思维形式能动地反映客观现实的理性认识过程,又称抽象思维。它是作为对认识者的思维及其结构以及起作用的规律的分析而产生和发展起来...
  • 为什么进行结构化思维? 在职场上工作,如果你仔细观察的话,相应的同事基本上会分为两类: 1.表达清晰,观点明确。 2.说话啰嗦,毫无逻辑性。 基本上如果所料不错的话,第一类的人的升迁机会远远高于第二类人...
  • 我国科技产业一改以往的形象,其发展速度不断加快,全面带领我国进入大数据时代,所谓大数据即是大型数据的整合,不仅象征着我国当下先进科技对于信息资产的优化整理,同时大数据也代表着创新思维的一种外在表现形式...
  • 思维导图是使用一个中央关键词或想法引起形象化的构造和分类的想法;它用一个中央关键词或想法以辐射线形连接所有的代表字词、想法、任务或其它关联项目的图解方式。 有相关的书籍吗? 1、英国东尼·博赞的《The ...
  • 思维教育对幼儿的好处,幼儿思维处于直观行动思维向具体形象思维的发展过程中,抽象逻辑思维已经开始萌芽,具备了进行思维训练的基础,那么,身为父母知道思维的教育对孩子有什么好处吗?思维的教育的方法有哪些呢?...
  • 广告文案思维有五种

    2021-01-24 11:19:49
    文案大神常用还不会告诉你的5种思维武器! “你的文案太平了”、“没有眼前一亮的...救猫咪思维、好奇心缺口思维、蜜柚式思维、紫牛思维、苍耳思维,这5种文案大神常用的思维模式或许能帮助你换一个角度看问题。 1 救
  • 思维思维

    2019-05-14 21:49:00
    ylbtech-思维思维 思维最初是人脑借助于语言对客观事物的概括和间接的反应过程。思维以感知为基础又超越感知的界限。通常意义上的思维,涉及所有的认知或智力活动。它探索与发现事物的内部本质联系和规律性...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 9,629
精华内容 3,851
关键字:

形象思维的运用