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  • 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧。更多解题技巧,同学们可以私信学姐领一份《逆向学习法》,包含高中九大科目高分技巧与答题模板,例如...

    数列是高中数学的重要内容,在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧。

    更多解题技巧,同学们可以私信学姐领一份《逆向学习法》,包含高中九大科目高分技巧与答题模板,例如“十分钟搞定数学选择题”“玩转物理电磁场”等等,已经帮助很多同学考上了理想的大学,感兴趣的同学们抓紧领取吧!

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    学姐今天给大家简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。

    第一类:公式法

    利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

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    第二类:乘公比错项相减(等差×等比)

    这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an×bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列。

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    解析:数列{cn}是由数列{an}与{bn}对应项的积构成的,此类型的才适应错位相减,(课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的),但要注意应按以上三种情况进行分类讨论,最后再综合成三种情况。

    第三类:裂项相消法

    这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。

    裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的通项分解(裂项)如:

    f56d2765d7083c612a09c877296d0679.png

    1aafddeec8d7ac7578106639ef5d06f9.png

    解析:要先观察通项类型,在裂项求和时候,尤其要注意:究竟是像例2一样剩下首尾两项,还是像例3一样剩下四项。

    第四类:倒序相加法

    这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1+an)。

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    解析:此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。

    此例题不仅利用了倒序相加法,还利用了裂项相消法。在数列问题中,要学会灵活应用不同的方法加以求解。

    第五类:分组求和法

    有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。

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    626c35a028ff71a44832c53d9426d951.png

    第六类:拆项求和法

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  • 要求不能使用乘除法、for、while、if、else、switch、case等关键字及条件判断语句(A?B:C)。 样例输入 3 5 样例输出 6 15 使用等差数列公式n(1+n)/2怎么按照条件来实现算法呢? #include &...

    题目描述

    求1+2+3+…+n,

    要求不能使用乘除法、for、while、if、else、switch、case等关键字及条件判断语句(A?B:C)。

    样例输入
    3
    5
    样例输出
    6
    15

    使用等差数列公式n(1+n)/2怎么按照条件来实现算法呢?

    #include <stdio.h>
    #include <stdint.h>
    
    int sum(int n)
    {
        return (uintptr_t)( ( &((uint8_t (*) [n])0)[1+n][0]) ) >> 1;
    }
    
    int main()
    {
        printf("%d\n",sum(5));//sum(5)=15
        return 0;
    }
    

    具体解释如下,有点儿类似kernel里面使用container_of的感觉,但是这个(uint8_t (*) [n])0更加的精妙和讨巧,实在是高。

    (uintptr_t)((&((uint8_t (*) [n])0)[1+n][0]))  

    分别来拆解

    1.(uint8_t () [n])0),我们知道(uint8_t ())0)这个是将0转化为uint8_t 数据类型,并且sizeof(uint8_t) = 1,那么(uint8_t () [n])0)表示就是申明为一个数组指针并且每行数据相比前一行数据长度要多n*sizeof(uint8_t),内存起始地址为0,每列数据地址长度增加一个sizeof(uint8_t).实际就是行地址间隔从原来的sizeof(uint8_t)变成n*sizeof(uint8_t)
    代码验证如下

    for(i = 0; i < 5; i++) {  
        for(j = 0;j < 5 ;j++) {  
            printf("%4lu",(uintptr_t)(&((uint8_t (*)[5])0)[i][j]));  
        }  
        printf("\n");  
    }  
    

    打印结果如下:

     0   1   2   3   4  
     5   6   7   8   9  
    10  11  12  13  14  
    15  16  17  18  19  
    20  21  22  23  24 
    

    如果是uint16_t的话,由于sizeof(uint16_t)=2,所以上面每列地址数值相差2,每行相差10,如下:

     0   2   4   6   8  
    10  12  14  16  18  
    20  22  24  26  28  
    30  32  34  36  38  
    40  42  44  46  48  
    

    对于(uintptr_t)((&((uint8_t (*) [n])0)[i]),(i=0~5,n=5):

     0  
     5  
    10  
    15  
    20  
    

    对于(uintptr_t)((&((uint8_t (*))0)[i]),(i=0~5,n=5),最常用的:

    0  
    1  
    2  
    3  
    4  
    

    所以推理出了(uint8_t (*) [n])0,将行地址间隔增大了n*sizeof(uint8_t)。

    2.&((uint8_t (*) [n])0)[1+n][0]) 相对0地址,偏移(1+n)*n地址长度,(1+n)*1是个数,如果[1+n][1],则(1+n)*2个数。

    3.(uintptr_t)( ( &((uint8_t () [n])0)[1+n][0]) ) 将偏移地址转化为可以输出的实际数值,即n(1+n),然而n(n+1)/2,就是1+2+3+…+n之和,问题得解。

    4.所以能够知道[1+n][0]就是n=5,就是第6行第1列的数据为30,除以2就是sum(5)=15的数值了。

    5.(uintptr_t)( ( &((uint8_t (*) [n])0)[1+n][0]) ) >> 1就是(1+n)*n/2就是1+2+3+….+n之和。

    绝对是妙不可言啊!!!上面是&((type () [n])0)的妙用,同时明白更加常用的&((type ())0)

    6.下面也是一个函数指针的递归调用,完美的解决了题目所需的要求:

    typedef unsigned int(*fun)(unsigned int);
    unsigned int Solution(unsigned int n)
    {
        return 0;
    }
    
    unsigned int Sum_Solution(unsigned int n)
    {
        static fun f[2] = { Solution, Sum_Solution };
        return n + f[!!n](n - 1);
    }

    世上无难事只怕有心人,更怕脑容量不够,不肯思索!!!

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  • leetcode.64 骚操作求和

    2020-06-02 08:40:08
    面试题64. 求1+2+…+n 求1+2+...+n,要求不能使用乘除法、for、while、if、else、switch、case等...不能用求和公式,不能balabala, 。。。。。能想到的都不让用 那咋整 for用递归实现,这很好理解 ...

    面试题64. 求1+2+…+n

    求 1+2+...+n ,要求不能使用乘除法、for、while、if、else、switch、case等关键字及条件判断语句(A?B:C)。

     

    示例 1:

    输入: n = 3
    输出: 6
    

    示例 2:

    输入: n = 9
    输出: 45
    

     

    限制:

    • 1 <= n <= 10000

    这道题更多的像是个脑筋急转弯

    不能用求和公式,不能balabala,

    。。。。。能想到的都不让用

    那咋整

     

    1. for用递归实现,这很好理解

    2. if用逻辑运算符的计算特性来解决。即and的短路特性。

      A and function() 如果A是True,function()会运行,如果A为false,直接终止,后面的就不看了

    #include <iostream>
    
    using namespace std;
    
    int sumNums(int n) {
        n && (n += sumNums(n - 1));
        return n;
    
    }
    
    int main(){
    	int n = 10;
    	cout << sumNums(n) << endl;
    }

    啦啦啦

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  • 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧。更多解题技巧,同学们可以私信学姐领一份《逆向学习法》,包含高中九大科目高分技巧与答题模板,例如...

    数列是高中数学的重要内容,在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧。

    更多解题技巧,同学们可以私信学姐领一份《逆向学习法》,包含高中九大科目高分技巧与答题模板,例如“十分钟搞定数学选择题”“玩转物理电磁场”等等,已经帮助很多同学考上了理想的大学,感兴趣的同学们抓紧领取吧!

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    学姐今天给大家简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。

    第一类:公式法

    利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

    ca003ac1-1622-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    第二类:乘公比错项相减(等差×等比)

    这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an×bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列。

    cd003ac1-1622-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    解析:数列{cn}是由数列{an}与{bn}对应项的积构成的,此类型的才适应错位相减,(课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的),但要注意应按以上三种情况进行分类讨论,最后再综合成三种情况。

    第三类:裂项相消法

    这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。

    裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的通项分解(裂项)如:

    d0003ac1-1622-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    d5003ac1-1622-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    解析:要先观察通项类型,在裂项求和时候,尤其要注意:究竟是像例2一样剩下首尾两项,还是像例3一样剩下四项。

    第四类:倒序相加法

    这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1+an)。

    db003ac1-1622-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    解析:此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。

    此例题不仅利用了倒序相加法,还利用了裂项相消法。在数列问题中,要学会灵活应用不同的方法加以求解。

    第五类:分组求和法

    有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。

    dd003ac1-1622-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    e0003ac1-1622-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    第六类:拆项求和法

    e4003ac1-1622-eb11-8da9-e4434bdf6706.png
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  • 求和1+2+......+n

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