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  • 通过对图的遍历,由遍历过程中使用到的边和顶点(顶点一定是都用上了,但是边只用了一部分,产生的效果就是,顶点都只和一个或者两个顶点邻接而已),这个子图称为原图的生成树。 按照遍历的方式的不同,称为深度...

    相关概念:
    通过对图的遍历,由遍历过程中使用到的边和顶点(顶点一定是都用上了,但是边只用了一部分,产生的效果就是,顶点都只和一个或者两个顶点邻接而已),这个子图称为原图的生成树。
    按照遍历的方式的不同,称为深度优先生成树、广度优先生成树。
    最小生成树:对于边是有权的话,生成树的所有边的权值之和就是生成树的权。其权值之和最小的生成树称为该图的最小生成树(Minimum Spanning Tree,MST)。
    生成树的实际意义就是得到一条路径,可以将所有的点都连接起来,而最小生成树的实际意义就是让这条路径的开销最小。

    构建最小生成树的算法:
    构造最小生成树的算法有很多,比较经典的有两个:Kruskal(克鲁斯卡尔)算法、Prim算法。
    Kruskal(克鲁斯卡尔)算法:
    图 G(V E)最小生成树 T = (U Te),U 始终等于 V,但是 E 是所有边,而 Te 是最小生成树的边的集合,一开始为 0 。是将图 G 的所有边按权值大小排列,每次选择权值最小的边,如果这条边和 Te 中已有的边构成了回路,则将它舍弃,重新选择新的,最小的权值的边。重复这个过程,直到 T 包含有 n-1 个边为止(n 为顶点的数目)。

    Prim算法:
    换一个角度来看待最小生成树的问题,设 V(T)为最小生成树 T 的顶点集合,E(T)是最小生成树的边的集合,两个集合一开始都为空。如果一条边的两个顶点都属于 V(T)里,则选择这条边进入最小生成树必然构成回路。所以,每次只要选择最小的边,且这条边的一个顶点属于 V(T),另一个顶点不属于 V(T),则可以。(和Kruskal相比,也是不断地取边作比较,但是比较的不是是否构成回路,而是这条边的顶点是否一端是,一端不是 V(T))。

    Kruskal:
    在这里插入图片描述
    Prim:在这里插入图片描述

    Kruskal算法,效率取决于如何有效判断添加一条边后是否构成回路,Kruskal算法对 e 条边最多扫描一次,时间复杂度为 O(elog2 (e)),适用于求稀疏图的最小生成树。Prim时间复杂度为 O(n^2)。,适用于稠密图的最小生成树。
    Kruskal算法思路简单,但是编程困难,而Prim算法算法思路困难,但是编程简单。后者是对前者的改进。同时,Prim算法可以回避谈判是否有回路的问题。Kruskal 以选边为主,Prim 以选顶点为主。

    AOV网和拓扑排序:
    概念:
    AOV网:在实际管理之中,工作可能需要前一个工作完成才能开始,或者是并行地完成。我们使用一个有向图来表示,图的顶点表示其中的工作,有向边表示先后关系。通常,我们将实现这种功能的这种有向图称为,顶点活动图(Activity On Vertex Network),即AOV网。
    拓扑序列:AOV网是允许出现回路的,但是如果对于不存在回路的AOV网,所有的工作(顶点)可以按照允许的前后的执行顺序排成一个线性序列,某工作的所有的前驱工作都要在该工作之前,该序列称为,有向图的一个拓扑序列。
    拓扑排序:构造一个有向图的拓扑序列的过程,即是拓扑排序。AOV网可以有回路,能够形成拓扑序列的 AOV 网,不能有回路。

    如何进行拓扑排序:
    (1)在 AOV 网中选择一个没有前驱的顶点(即入度为 0 的顶点),输出该顶点;
    (2)在 AOV 网中删除该顶点和它相关的所有出边,即所有以它起点的弧, 调整被删除的点的入度。
    (3)重复这个过程。

    AOE网和关键路径:
    (1)AOE网:与AOV网对应的是AOE网(Activity On Edge Network)。本质上,它就是一个边上加了权,并且将边和顶点的实际意义做了更改的变异型AOV图。 它是一个边带有权值的有向图,用有向边来表示活动,边上的权值表示活动所需的时间(这是在实际工程中的嘛),用顶点表示事件(AOV是用顶点来表示事件、但是边没有含义)。每个事件都是不同活动切换的转换点。通常,用AOE网来估计一个工程完成的时间和进度。AOE网的特征在于,有向图、没有回路、有权值。
    (2)关键路径:由于在AOE网中,有些活动是可以同时进行的,所以完成整个项目的最短时间,是从源头到汇点(终点)的最长路径长度。所谓路径长度,就是路径上各边的权值之和。我们把源点到汇点的所有路径中最长的路径,称为关键路径(就是一定要花费的时间,这也反而就是最短时间了)。

    关键路径的确定:
    (1)从源点开始向后,每个顶点取大值:直接前驱结点的开始时间+到达边(指向顶点的边)的权值,有多个值的取较大者。源点的时间为0,且通过这一步,可计算出汇点的时间。
    (2)从汇点开始向前,取小值:直接后继结点的时间 - 发出边(从顶点发出的边)的权值,有多个值的取较小者;
    (3)比较每个结点的两个值,相等的说明没有时间余量,所以是关键路径上的结点,可确定关键路径(不是关键路径上的点,也可以确定到底有多少余量,可以确定可以缓几天)。

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  • 定义:在一个联通网所有生成树中,各边代价之和最小那棵生成树称为该连通图的的最小生成树。 在构造最小生成算法中,大多利用了最小生成一个简称MST性质:假设N=(V,E)是一个联通网,U是顶点V一个...

    最小生成树

    定义:在一个联通网的所有生成树中,各边的代价之和最小的那棵生成树称为该连通图的的最小生成树。
    在构造最小生成树 的算法中,大多利用了最小生成树的一个简称MST的性质:假设N=(V,E)是一个联通网,U是顶点V的一个非空子集。若(u,v)是一条具有最小权值的边,其中u属于U,v属于V-U,则必存在一棵包含(u,v)的最小生成树

    普里姆算法(Prim)

    构造过程:
    加点法
    假设N=(V,E)时连通图,TE是N上最小生成树中边的集合。

    1、U={uo}(uo∈V),TE={}.

    2、在所有u∈U,v∈V-U的边(u,v)∈E中找一条权值最小的边(uo,vo)并入集合TE,同时vo并入U。

    3、重复2,直至U=V为止。

    此时TE中必有n-1条边,则T=(V,TE )为N的最小生成树
    算法

    待补充
    

    注意:每次选择最小边时,可能存在多条同样权值的边可选,此时任意选其一即可

    克鲁斯卡尔算法 Kruskal

    构造过程:
    假设联通网N=(V,E),将N中的权值按照从小到大的顺序排序。
    1、初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=(V,{}),图中每个顶点自成一个连通分量。
    2、在E中选择权值较小的边,若该边所依附的顶点落在T中不同的连通分量上(即不形成回路),则将此边加入到T中,否则舍去此边而选择下一条权值最小的边。
    3、重复2,知道T中的所有顶点都在同一连通分量上。

    可以看出克鲁斯卡尔算法是逐步增加生成树的边,与普里姆算法相比,可称为“加边法”。
    算法

    \\有待补充
    

    最短路径问题

    在带权有向网中,习惯上称路径上的第一个顶点为源点,最后一个顶点为终点

    从某个源点到其余各顶点的最短路径

    ---------迪杰斯特拉算法

    基本思想
    通过迪杰斯特拉算法计算图G中的最短路径时,需要指定起点s。
    此外,需要引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度),而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。
    初始时,S中只有起点s;U中是除s之外的顶点,并且U中顶点的路径是“起点s到该顶点的路径”。然后,从U中找到路径最短的顶点,并将其加入到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。然后,再从U中找到路径最短的顶点,并将其加入到S中;接着,更新U中的顶点和顶点对应的路径。……重复该操作,直到遍历完所有顶点。
    操作步骤
    初始时, S只包含起点s;
    1、U包含除s之外的其他顶点,且U中顶点的距离为“起点s到该顶点的距离”【例如:U中顶点v的距离为(s, v)的长度,然后s和v不相邻,则v的距离为∞】。
    2、从U中选出“距离最短的顶点k”,并将顶点k加入到S中;同时,从U中移除顶点k。
    3、更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离,是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点,从而可以利用k来更新其他顶点的距离;例如,(s, v)的距离可能大于(s, k)+(k, v)的距离。
    4、重复步骤2和3,直到遍历完所有顶点。

    迪杰斯特拉算法的实现

    算法:

    有待补充:
    

    2.每一对顶点之间的最短路径

    弗洛伊德算法

    利用邻接矩阵的方式
    ………………

    拓扑排序

    1、 AOV—网
    用顶点表示活动,用弧表示活动间的优先关系的有向图称为顶点表示活动的网 简称 AOV—网。

    2、拓扑排序的过程:
    (1) 在有向图中选一个无前驱的顶点且输出它。
    (2) 从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧。
    (3)重复(1)(2),直至不存在无前驱的顶点
    若此时输出的顶点数小于有向图中的顶点数,则说明有向图中存在环,否则输出的顶点序列即为一个拓扑序列
    3、拓扑序列的实现
    ………………
    ………………

    
    

    关键路径

    1、AOE—网
    与AOV-网相对应的是AOE-网,即以边表示活动的网。AOE-网是一个带权的有向无环图,其中顶点表示事件,弧表示活动,权表示活动持续的时间。
    在AOE-网中一条路径各弧上的权值之和称为该路径的带权路径长度
    要估算整项工程完成的最短时间,就是要找到一条从源点到汇点的带权路径长度最长的路径,称为关键路径
    如何确定关键路径,首先定义4个描述量
    一、事件Vi的最早发生时间ve(i)
    二、事件vi的最迟发生时间vl(i)
    三、活动ai=<vj,vk>的最早开始时间e(i)
    四、活动ai=<vj,vk>的最晚开始时间l(i)

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  • 一:求最小生成树应用场景:例如要在n个...普里姆算法:该算法核心就是依次增大连通图的过程:首先任意选择一个节点,作为一个连通图 然后找到与该连通图相邻一个节点(权值最小),连接 重复上述步骤,知道包含

    一:求最小生成树

    应用场景:例如要在n个城市之间铺设光缆,主要目标是要使这 n 个城市的任意两个之间都可以通信,但铺设光缆的费用很高,且各个城市之间铺设光缆的费用不同,因此另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。这就需要找到带权的最小生成树。

    • 普里姆算法:

      该算法的核心就是依次增大连通图的过程:

      1. 首先任意选择一个节点,作为一个连通图
      2. 然后找到与该连通图相邻的一个节点(权值最小),连接
      3. 重复上述步骤,知道包含所有结点和 n - 1条边
        这里写图片描述
    • 克鲁斯卡尔算法:

      该算法的核心就是依次挑选最小权值的边的过程:

      1. 将图中的所有边都去掉。
      2. 将边按权值从小到大的顺序添加到图中,保证添加的过程中不会形成环
      3. 重复上一步直到连接所有顶点,此时就生成了最小生成树。
        这里写图片描述

    二:拓扑排序

    常用于判断某个有向图是否有环。通常再求图的关键路径前先用拓扑排序来确保图无环。

    拓扑步骤:
    1. 在有向图中选一个没有前驱的顶点并且输出。
    2. 从图中删除该顶点和所有以它为尾的弧。
    3. 重复上述两步,知道全部顶点均已输出,或者当前图中不存在无前驱的顶点为止。
    注意:有向无环图的拓扑有序序列不一定唯一。

    三:图的关键路径

    主要用来评估工程的完成时间,主要用来解决一下问题:

    1. 完成整个工程至少需要多少时间?
    2. 那些活动是影响工程进度的关键?

      这里写图片描述

      如图所示:假想是一个有7项活动的AOE网,其中有7个事件(V1,V2,V3…V7)。
      每个事件表示在它之前的活动已经完成,在它之后的活动可以开始。
      如V0表示整个工程开始,V7表示整个共结束,V5表示a4和a8已经完成,a9可以开始。

    下一节将详细来给大家讲解影响工程的关键边、关键路径、事件和活动的最早最迟执行时间等的求法。

    展开全文
  • 普里姆算法: 记V为图的顶点集,U为循环过程中已加入最小生成树顶点集的点集。 普里姆最小生成树算法的循环是每次寻找一条连接U和V...记V为图的顶点集,U为循环过程中已加入最短路径的点集。 dijkstra算法每次寻找一
    普里姆算法:
    记V为图的顶点集,U为循环过程中已加入最小生成树顶点集的点集。
    普里姆最小生成树算法的循环是每次寻找一条连接U和V-U的边,并将这条边中属于V-U的顶点加入到顶点集U中。

    dijkstra最短路径算法:
    从起始点V0出发,每次找到一个最短路径(这条路径的终点是还没有找到的结点)
    记V为图的顶点集,U为循环过程中已加入最短路径的点集。
    dijkstra算法每次寻找一个连接U和V-U的边,并将这条边中属于V-U的顶点加入到顶点集U中。

    从上面的描述中可以看出,这两个算法的内部循环是一样的。这两个算法的最终算法复杂度都是O(N^2)。
    因此寻找一个连接U和V-U的边,并将这条边中属于V-U的顶点加入到顶点集U中,这个操作需要在O(N)时间复杂度内完成。
    如果我们直接在U和V-U中寻找满足条件的两个顶点(对每个属于U的顶点寻找它连接到V-U的最短距离,然后在所有这些最短距离中找出最短的一个),那么时间复杂度是O(N^2)。
    两个作者的算法关键就在这一点,它们可以通过O(N)时间复杂度找出满足条件的那条边。

    解决O(N)算法关键在于,对于每个属于V-U的点,它们到U的最短距离可以用一个变量维持,这样所有V-U中的点,可以用一个N维数组保存,每次找到一个将要加入U的结点,我们用它来更新这个N维数组(时间复杂度为O(N)),其它已在U中的点没有必要对这个N维数组就进行更新了。这样在下一轮寻找中找出连接U到V-U的最小边便可以只用O(N)时间复杂度了。
    这就是使用公共变量维持U到V-U的最短距离的好处。
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空空如也

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关键路径的生成过程