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  • 2018-11-02 21:05:37

    【n个节点的二叉树有多少种形态(Catalan数)】

    分析过程:
    (1)先考虑只有一个节点的情形,设此时的形态有f(1)种,那么很明显f(1)=1

    (2)如果有两个节点呢?我们很自然想到,应该在f(1)的基础上考虑递推关系。那么,如果固定一个节点后,左右子树的分布情况为1=1+0=0+1,故有f(2) = f(1) + f(1)

    (3)如果有三个节点,(我们需要考虑固定两个节点的情况么?当然不,因为当节点数量大于等于2时,无论你如何固定,其形态必然有多种)我们考虑固定一个节点,即根节点。好的,按照这个思路,还剩2个节点,那么左右子树的分布情况为2=2+0=1+1=0+2。
    所以有3个节点时,递归形式为f(3)=f(2) + f(1)*f(1) + f(2)。(注意这里的乘法,因为左右子树一起组成整棵树,根据排列组合里面的乘法原理即可得出)

    (4)那么有n个节点呢?我们固定一个节点,那么左右子树的分布情况为n-1=n-1 + 0 = n-2 + 1 = … = 1 + n-2 = 0 + n-1。此时递归表达式为f(n) = f(n-1) + f(n-2)f(1) + f(n-3)f(2) + … + f(1)f(n-2) + f(n-1)

    接下来我们定义没有节点的情况,此时也只有一种情况,即f(0)=1
    那么则有:
    f(0)=1,f(1)=1
    f(2)=f(1)f(0)+f(0)f(1)
    f(3)=f(2)f(0)+f(1)f(1)+f(0)f(2)
    .
    .
    .
    .
    f(n)=f(n-1)f(0)+f(n-2)f(1)+……….+f(1)f(n-2)+f(0)f(n-1)
    该数列称为卡特兰数(Catalan数),该递推关系的解为:
    这里写图片描述
    即含n个节点的二叉树有f(n)种形态。

    【其他使用Catalan数解决的问题】
    (1)矩阵链乘: P=a1×a2×a3×……×an,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?
    (2)一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,…n,有多少个不同的出栈序列?
    (3)有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
    (4)将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
    (5)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来,使得所得到的n条线段不相交的方法数。
    (6)一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路?

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    求证:具有 n 个结点的完全二叉树的深度为⌈log2(n+1)⌉或⌊log2n⌋+1
    证明:设完全二叉树的深度为h,则依据“深度为h的二叉树至多有2h-1个结点(h≥1)”的性质,
    可得:2h-1-1<n ≤ 2h-1
    其等价于 2h-1<n+1 ≤ 2h,也即 2h-1≤ n<2h

    ● 对式子 2h-1<n+1 ≤ 2h 求对数,可得 h-1<log2(n+1) ≤ h
    在这里插入图片描述
    显然,此时完全二叉树的深度h=⌈log2(n+1)⌉

    ● 对式子 2h-1≤ n<2h 求对数,可得 h-1 ≤log2n<h
    在这里插入图片描述
    显然,此时完全二叉树的深度h=⌊log2n⌋+1

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            我们知道具有n个结点的不同的二叉树的数量是\frac{\binom{n}{2n}}{n+1}个(这是一个卡塔兰数),那么如何确定这些二叉树是什么样子的呢?下面是博主的思路:

            我们还知道一个入栈序列的不同出栈序列的数量也是\frac{\binom{n}{2n}}{n+1}个,于是博主就想:这不是巧了么,既然他们的数量是一样的,而且均不相同,那么是不是可以构建一个映射,使得不同的出栈序列和不同的二叉树进行一一对应呢。

            于是,在博主的做了深入的观察和思考后,发现对于其中一个出栈序列,其实和某个二叉树的中序遍历结果是相对应的,而经过进一步探索,发现入栈序列是所有二叉树的前序遍历结果。

            众所周知,一个二叉树的前序和中序遍历结果是可以唯一确定一棵二叉树的。

            然而在写代码的过程中博主又遇到了一个难题:就是如何输出一个入栈序列的全部出栈序列呢?为了解决这个问题,博主上某搜索网站参考了各位大神的代码,发现他们基本都是用回溯法解决的。于是在一番研究之下。我成功地写出了输出一个入栈序列的全部出栈序列的函数。

            这样一来,所有问题都解决了。然后经过了20分钟的编码。博主成功地写出了求解具有n个结点的不同的二叉树的所有前序增强序列的C++代码:

            另外如果大家有什么疑问或者见解可以在评论下方讨论,如果发现确实有什么错误的话,还请指正。

    如下所示:

    #include <iostream>
    
    using namespace std;
    
    static const int M = 100;
    //依次代表的意思是结点数、栈、出栈序列、栈指针、出栈序列大小、输入顺序、二叉树中序序列,二叉树中序序列索引
    static int n,stk[M],seq[M],stk_top=-1,seq_size=0,input[M],in[M],idx;
    
    //根据二叉树的前序和中序遍历获取增强前序序列
    static void getEnhencedPreorder(int root, int begin, int end) {
    	if (begin > end) {
    		cout << "#" << " ";
    		return;
    	}
    	int i = begin;
    	while (input[root] != in[i]) {
    		i++;
    	}
    	cout << input[root] << " ";
    	getEnhencedPreorder(root + 1, begin, i - 1);
    	getEnhencedPreorder(root + (i - begin) + 1, i + 1, end);
    }
    
    //获取所有出栈序列
    static void getSequence(int i) {
    	if (i == n) {
    		//收集结果
    		idx = 0;
    		for (int i = 0; i < seq_size; i++) {
    			in[idx++]=seq[i];
    		}
    		for (int i = stk_top; i >= 0; i--) {
    			in[idx++] = stk[i];
    		}
    		//根据前序和中序遍历获取其增强前序遍历序列
    		getEnhencedPreorder(0,0,n-1);
    		cout << endl;
    	} else {
    		//对于一个入栈的元素,可以入栈,也可以不入栈
    		//但是每种情况都要检验
    
    		//一、首先是元素入栈了
    		stk[++stk_top]= input[i];
    		getSequence(i + 1);
    		stk_top--;
    
    		//二、然后元素没有入栈,并且栈顶元素出栈了
    		if (stk_top!=-1) {
    			int top= stk[stk_top--];
    			seq[seq_size++]=top;
    			getSequence(i);
    			seq_size--;
    			stk[++stk_top] = top;
    		}
    	}
    }
    
    //相当于main函数
    void stack_pop_sequence_re2_main() {
    	cin >> n;
    	for (int i = 0; i < n;i++) {
    		input[i] = i + 1;
    	}
    	getSequence(0);
    }

    下面是一个示例(当n取3时):

    其入栈序列为1 2 3,输出结果为所有组成的二叉树的前序增强序列('#'号标识空)。

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    刚好就是catalan数,直接用catalan数的公式:h(n)=C_{2n}^{n} /(n+1)=(2n)!/n!*(n+1)!

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空空如也

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具有n个节点的二叉树