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  • hdu - 1878 欧拉回路 无向图欧拉回路的判定 欧拉图知识点
    2018-05-02 19:27:22

    题意:中文题

    无向图欧拉回路的判定,可用并查集判是否连通图,度为偶数

            通过图(无向图或有向图)中所有边一次且仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路,通过图中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图(Euler Graph),具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。
            1 定义
            欧拉通路(Euler tour)——通过图中每条边一次且仅一次,并且过每一顶点的通路。
            欧拉回路 (Eulercircuit)——通过图中每条边一次且仅一次,并且过每一顶点的回路。
            2 无向图是否具有欧拉通路或回路的判定
            G有欧拉通路的充分必要条件为:G 连通,G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。
            G有欧拉回路(G为欧拉图):G连通,G中均为偶度顶点。
            3 有向图是否具有欧拉通路或回路的判定
            D有欧拉通路:D连通,除两个顶点外,其余顶点的入度均等于出度,这两个特殊的顶点中,一个顶点的入度比出度大1,另一个顶点的入度比出度小1。
            D有欧拉回路(D为欧拉图):D连通,D中所有顶点的入度等于出度。

            (注意:这里说有向图连通,说的是有向图是弱连通图。即把有向图中的边变成无向边,只要该图连通,那么原有向图即是弱连通图。实际中可用并查集判断是否弱连通)

    资料源自:https://blog.csdn.net/u013480600/article/details/44805491

    链接:hdu 1878

    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    #include <cstdio>
    #include <cmath>
    #include <cstring>
    #include <string>
    #include <set>
    #include <map>
    #include <stack>
    #include <queue>
    
    using namespace std;
    
    const int maxn = 10005;
    const int maxm = 1000050;
    const int inf = 0x7f7f7f7f;
    
    int n, m;
    int fa[maxn];
    int degree[maxn];
    
    int findset(int x) {
        if(fa[x] == -1) {
            return x;
        }
        return fa[x] = findset(fa[x]);
    }
    
    int main()
    {
        while(scanf("%d", &n) && n) {
            scanf("%d", &m);
            memset(degree, 0, sizeof(degree));
            memset(fa, -1, sizeof(fa));
            for(int i = 1; i <= m; i++) {
                int a, b;
                scanf("%d %d", &a, &b);
                degree[a]++;
                degree[b]++;
                a = findset(a);
                b = findset(b);
                if(a != b) {
                    fa[a] = b;
                }
            }
            int cnt = 0;
            for(int i = 1; i <= n; i++) {
                if(findset(i) == i) cnt++;
            }
            if(cnt > 1) {
                puts("0");
                continue;
            }
            cnt = 0;
            for(int i = 1; i <= n; i++) {
                if(degree[i] % 2) cnt++;
            }
            if(cnt != 0) puts("0");
            else puts("1");
        }
        return 0;
    }


    更多相关内容
  • 欧拉通路,欧拉回路,欧拉图 无向:1)设G是连通无向,则称经过G的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路; 2)如果欧拉通路是回路... 3)具有欧拉回路的无向G称为欧拉图欧拉图)。有向:1)设D是有...

    转自https://blog.csdn.net/flx413/article/details/53471609

    欧拉通路,欧拉回路,欧拉图

    无向图:
    1)设G是连通无向图,则称经过G的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路;
    2)如果欧拉通路是回路(起点和终点是同一个顶点) ,则称此回路为欧拉回路(Euler circuit);
    3)具有欧拉回路的无向图G称为欧拉图(欧拉图)。
    有向图:
    1)设D是有向图,D的基图连通,则称经过D的每条边一次并且仅一次的有向路径为有向欧拉通路;
    2)如果有向欧拉通路是有向回路,则称此有向向回路为有向欧拉回路(定向欧拉电路);
    3)具有有向欧拉回路的有向图D称为有向欧拉图(定向欧拉图)。

    2.定理及推论

    欧拉通路和欧拉回路的判定是很简单的,请看下面的定理及推论。
    定理5.1无向图G存在欧拉通路的充要条件是:G为连通图,并且G仅有两个奇度结点(度数为奇数的顶点)或者无奇度结点。
    推论5.1:

    1)当G是仅有两个奇度结点的连通图时,G的欧拉通路必以此两个结点为端点
    .2)当G是无奇度结点的连通图时,G必有欧拉回路
    .3)G为欧拉图(存在欧拉回路)的充分必要条件是G为无奇度点的连通图。

    定理5.2有向图D存在欧拉通路的充要条件是:
    D为有向图,D的基图连通,并且所有顶点的出度与入度都相等;或者除两个顶点外,其余顶点的出度与入度都相等,而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1,另一个顶点的出度
    与入度之差为-1。
    推论5.2:
    1)当D除出,入度之差为1,-1的两个顶点之外,其余顶点的出度与入度都相等时,d的有向欧拉通路必以出,入度之差为1的顶点作为始点,以出,入度之差为-1的顶点作为终点
    .2)当D的所有顶点的出,入度都相等时,D中存在有向欧拉回路
    .3)有向图D为有向欧拉图的充分必要条件是d的基图为连通图,并且所有顶点的出,入度都相等。

    3.欧拉回路的应用

    欧拉回路最著名的有三个应用,大家可以网上百度一下,这里不详述。

    • 哥尼斯堡七桥问题
    • 一笔画问题。
    • 旋转鼓轮的设计

    4.欧拉回路的判定

    判断欧拉路是否存在的方法

    有向图:图连通,有一个顶点出度大入度1,有一个顶点入度大出度1,其余都是出度=入度。

    无向图:图连通,只有两个顶点是奇数度,其余都是偶数度的。

    判断欧拉回路是否存在的方法

    有向图:图连通,所有的顶点出度=入度。

    无向图:图连通,所有顶点都是偶数度。

    5.具体的题目实现

     6.还有其他一些关于这方面的博客写的挺好的

    关于欧拉回路和欧拉路径

    欧拉回路

    展开全文
  • 图论中有这么一类问题,涉及到欧拉图欧拉路径(一笔画问题)、欧拉回路。本文给出其(不严谨的)定义,一些结论,最后给出了Hierholzer 算法以及对应的例题和答案。

    图论中有这么一类问题,涉及到欧拉图、欧拉路径(一笔画问题)、欧拉回路。本文给出其(不严谨的)定义,一些结论,最后给出了Hierholzer 算法以及对应的例题和答案。


    (不严谨的)定义

    对于一个连通的图G,有

    • 欧拉路径:一条路径,它能够不重复地遍历完所有的边。这个性质很像不重复地一笔画完所有边,所以有些涉及到欧拉路径的问题叫做一笔画问题
    • 欧拉回路:一条路径,它能够不重复地遍历完所有的边,并且回到起点。可以看出欧拉回路也是欧拉路径
    • 半欧拉图:一个图,图中存在欧拉路径
    • 欧拉图:一个图,图中存在欧拉回路。可以看出欧拉图也是半欧拉图

    图与欧拉路径、欧拉回路的结论

    连通的无向图为(半)欧拉图的条件

    1. 若所有顶点的度为偶数,则能够找到从任意顶点出发的欧拉回路。反之也成立,即若能够找到从任意顶点出发的欧拉回路,则所有顶点的度为偶数。
    2. 若有且仅有2个顶点的度数为奇数,则只能够找到欧拉路径(路径从这两点中的任一顶点出发,到另一顶点结束)。反之也成立。

    连通的有向图为(半)欧拉图的条件

    1. 若所有顶点的入度等于出度,则能够找到从任意顶点出发的欧拉回路。反之也成立。
    2. 若有且仅有两个顶点入度不等于出度,其中一个顶点入度比出度大1,记为 V 1 V_1 V1,另一个顶点入度比出度小1,记为 V 2 V_2 V2,则只能够找到欧拉路径(路径从顶点 V 2 V_2 V2出发,到顶点 V 1 V_1 V1结束)。反之也成立。

    连通的混合图为(半)欧拉图的条件:(混合图是指既有有向边又有无向边的图。)

    1. 找到一个给每条无向的边定向的策略,使得每个顶点的入度等于出度,这样就能转换成有向图的情况。(这个有待考究

    Hierholzer 算法

    问题简述:给定一个(半)欧拉图,求欧拉路径。

    Hierholzer 算法思想:当给定的图一定有欧拉路径(回路)时,从一个合理的起始点出发(后面会说什么是合理的),深度优先遍历整个图,遍历过的顶点都不得再遍历,直到遇到的第一个没有可遍历的邻居的顶点,这个顶点一点是某条欧拉路径的终点,把这个顶点“删掉”(实际上不用删,通过标记边已访问就可以不再访问它)后,下一次遇到的没有可遍历的邻居的顶点,一定是这条欧拉路径倒数第二个顶点,再把这个顶点“删掉”再遍历,以此类推,直到把所有没有可遍历的邻居的顶点找到,我们就找到了这条欧拉路径上的所有顶点。:
    问题1:可能有人会奇怪,Hierholzer 算法为什么一定能得到欧拉路径?为什么每遇到没有可遍历的邻居的顶点就是欧拉路径上的一个终点?下面以有向图作为说明,无向图同理。这个其实涉及到一个顶点的出度和入度问题。
    若从某个顶点开始遍历,遍历过的边不能在遍历,直到无边可遍历为止,当遇到另一个出度等于入度顶点 V V V时,是不可能停留在 V V V的,因为 V V V出度等于入度,你进多少次,一定有对应的出边让你去多少次。
    因此第一个遇到的没有可遍历的邻居的顶点只有两种,一种是它的入度比出度大一,另一种是它的入度与出度相等,但是它是起点(也就是说既是起点又是终点,饶了一圈)。根据前面所说的一些结论(图与欧拉路径、欧拉回路的结论),这两种点都是某条欧拉路径上的终点,所以当我们遇到的没有可遍历的邻居的顶点,尽管放心大胆的把该顶点记录下来,因为它一定是欧拉路径的终点。
    问题2:可能还有人会奇怪,为什么遇到的第二个没有可遍历的邻居的顶点是欧拉路径倒数第二个点?我们可以想象一下,我把第一个没有可遍历的邻居的顶点以及对应的边“删掉”后(实际也可以不删,只需标记已经访问过就行),它相邻顶点的出度和入度就会发生变化,在草稿纸画一下你就会发现,它周围的顶点要么变成出度等于入度的顶点,要么变成入度比出度大1的顶点,他们都符合成为欧拉路径的终点的条件,并且由于我们是递归地深度优先遍历,递归返回上一层后,一定是在这些相邻顶点之中,所以这时候遇到的第二个没有可遍历的邻居的顶点,一定是欧拉路径倒数第二个点。

    Hierholzer 算法过程

    • 选择一个合理的点作为起始点,遍历所有相邻边。(一会说什么是合理的点
    • 深度优先搜索,访问相邻顶点。将经过的边都不能再访问。
    • 如果当前顶点没有相邻边,则将顶点入数组末尾。
    • 最后将数组倒序输出,就是从起点出发的欧拉回路。

    Hierholzer 算法作用:个人觉得,Hierholzer 算法就是证明了,当给定的图一定有欧拉路径(回路)时,按照Hierholzer 算法无脑深度优先搜索,就一定会得到欧拉路径(回路)的逆序。至于得到的是欧拉路径还是欧拉环路,取决于你的图是欧拉图还是半欧拉图,若图为欧拉图,得到的是欧拉环路,若图是半欧拉图,得到的则是欧拉路径Hierholzer 算法为什么一定能得到欧拉路径?它的原理是什么?请看这里
    注意: 若图不是欧拉图也不是半欧拉图,采用Hierholzer 算法得到的结果必定错误。所以在贸然采用Hierholzer 算法前,我们需要先按照前面说的图与欧拉路径、欧拉回路的结论判断图到底是不是(半)欧拉图,若是,才能用该算法去找欧拉路径(回路)

    什么是合理的起始点:上面说到选择合理的点作为起始点,那么什么点是合理的?这里需要回顾一下前面说的图与欧拉路径、欧拉回路的关系,以无向图为例(有向图同理):

    • 当图为欧拉图时,能够找到从任意点出发的欧拉回路,此时从任一点出发,都能找到欧拉回路,因此任何一点都是合理的
    • 当图为半欧拉图时,有且仅有2个顶点的度数为奇数,只能够找到欧拉路径(路径从这两点中的任一点出发,到另一点结束),此时只有从这两点之一出发,才能找到欧拉路径,因此只有这两点是合理的

    例题:为了掌握Hierholzer 算法,这里给出一道例题【leetcode】332. 重新安排行程
    例题答案(C++)

    // 思路:
    // Hierholzer算法。个人觉得Hierholzer算法就是证明了一点:当存在欧拉路径时,从合理的起始点无脑dfs遍历,得到的路径一定是欧拉路径。
    // 因为题目规定了一定有欧拉路径,并且起点一定是JFK(所以这个起始点一定是合理的),所以根据Hierholzer算法,可以无脑dfs。
    
    class Solution {
    public:
        // 这里用map,内部自动按照string升序排列了,所以先找到的一定是自然排序最小的路径
        typedef unordered_map<string, map<string, int>> adjacent;
        vector<string> min_path;
        bool dfs(adjacent &adj, string airport){
            // 无脑dfs遍历邻居,同时遍历过的边标记已遍历
            for(auto &[next, number] : adj[airport]){
                if(0 >= number)
                    continue;
                --number;
                dfs(adj, next);
            }
            // 终点是没有相邻边的点
            // 当删除终点后,终点前的点也没有相邻边了,变成新的终点
            // 运行到这里,当前airport一定没有可遍历的相邻边了,则它是此时的终点
            min_path.push_back(airport);
            return true;
        }
        vector<string> findItinerary(vector<vector<string>>& tickets) {
    
            // 初始化邻接表,因为存在多张相同机票的情况,所以邻接表中还记录了从from到to的机票数
            adjacent adj;
            for(auto & t : tickets){
                if(adj.find(t[0]) == adj.end())
                    adj[t[0]] = map<string, int>();
                if(adj[t[0]].find(t[1]) == adj[t[0]].end())
                    adj[t[0]][t[1]] = 0;
                adj[t[0]][t[1]]++;
            }
            // Hierholzer算法
            dfs(adj, "JFK");
    
            // Hierholzer算法得到结果为终点到起点的路径,需要反转才是题目所要求的结果
            std::reverse(min_path.begin(), min_path.end());
            return min_path;
        }
    };
    

    相关/参考链接

    『图论』入门以及 Hierholzer 算法
    欧拉回路/路径【总结】
    无向图求欧拉路径,回路 模板(Hierholzer 算法)

    展开全文
  • 欧拉图欧拉回路与欧拉通路)

    千次阅读 2020-08-27 21:35:42
    含有欧拉回路的称为欧拉图,含欧拉通路的称为半欧拉图。 最简单的欧拉图: 最简单的半欧拉图: 如何用算法得到一张有向欧拉通路呢(无向算法类似)?我们来看下面这张图: 假设1是起点,则有效的欧拉通路...

    在一个图中(有向图或无向图),如果能够从一个结点出发一次性通过所有边且每条边只能通过一次,在通过所有边后能够回到出发点,则该回路称为该图的欧拉回路;不能回到出发点,则该通路称为欧拉通路。含有欧拉回路的图称为欧拉图,含欧拉通路的称为半欧拉图。

    最简单的欧拉图:在这里插入图片描述


    最简单的半欧拉图:

    在这里插入图片描述


    如何用算法得到一张有向图的欧拉通路呢(无向图算法类似)?我们来看下面这张图:


    在这里插入图片描述
    假设1是起点,则有效的欧拉通路是1–>3–>4–>5–>3–>1–>2;看似我们只需要用最普通的DFS算法(DFS图的搜索算法点击这里)就可以实现,但实际上走出一条有效的欧拉通路还是有一定限制的——当我们处于起点位置:结点1时,我们只能选择走结点3而不能选择走结点2,因为结点2是一条死路,不能遍历图的所有边,所以由此可以得出,我们在设计算法寻找欧拉通路时,要注意走到死路的情况。
    认真分析欧拉通路的走法我们可以发现,如果一张图是半欧拉图,则这张图最多有一条死路(一条死路是不能到达另一条死路的),而且这条死路一定是最后走的那条路,所以我们可以这样设计算法(找欧拉回路可以也可以用这一算法):

    Hierholzer算法——1.从起点出发,进行深度优先搜索,同时维护一个栈。

    2.每次沿着某条边从某个顶点移动到另外一个顶点的时候,都需要删除这条边。

    3.如果所在结点已经没有可移动的路径,则将所在节点加入到栈中。

    4.当所有结点入栈后,将栈弹入结果数组中(倒置),则可以得到这条欧拉通路)

    图解:
    在这里插入图片描述

    Java代码:
    这是一道leetcode的题解,用了上文介绍的Hierholzer算法,看题目点击这里

    import java.util.*;
    //Hierholzer算法
    class Solution {
        //数组list直接代替栈堆,可简化计算,但是使用栈更有利于理解算法
        List<String> list=new ArrayList<>();
        //map用于存储图的信息
        HashMap<String,Queue<String>>map=new HashMap<>();
        public List<String> findItinerary(List<List<String>> tickets) {
            for(List<String> x:tickets) {
                String Pos = x.get(0);
                String next = x.get(1);
                if (!map.containsKey(Pos))
                    map.put(Pos, new PriorityQueue<>(new Comparator<String>() {
                        @Override
                        public int compare(String o1, String o2) {
                            return o1.compareTo(o2);
                        }
                    }));
                map.get(Pos).offer(next);
            }
            //开始DFS递归搜索
            DFS("JFK");
            //反转数组,得到欧拉通路的正确顺序
            Collections.reverse(list);
            return list;
        }
        //DFS递归
        private void DFS(String curr){
            //直到所在结点没有出边时,才跳出while循环,加入数组
            while(map.containsKey(curr)&&map.get(curr).size()>0){
                String temp=map.get(curr).poll();
                DFS(temp);
            }
            list.add(curr);
        }
    
    }
    
    展开全文
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  • 欧拉图(一笔画问题)

    千次阅读 2020-05-22 11:09:12
    具有欧拉通路而无欧拉回路的称为半欧拉图欧拉通路(Euler tour)——通过中每条边一次且仅一次,并且过每一顶点的通路。 欧拉回路 (Euler circuit)——通过中每条边一次且仅一次,并且过每一顶点的回路。 无
  • 自己用C写的无向欧拉回路的一个例子。主要用于数据结构的学习
  • 欧拉路(有向/无向欧拉回路/)

    千次阅读 2020-05-09 11:46:03
    知其然 第一次接触欧拉回路是在离散数学这本书上,...这个问题可抽象为一个如b所示的数学意义上的,其中4个结点分别表示与4块陆土Il 对应,如结点C对应河岸C,结点A对应岛A等,而结点之间的边表示7座桥。 ...
  • //以x为起点开始找是否存在欧拉(回) void clearmap()//初始化 { ff = true; memset(b, 0, MAX*sizeof(int)); memset(euler, -1, MAX*sizeof(int)); memset(c, 0, MAX*sizeof(int)); for (int i = 0; i ;...
  • 有向欧拉通路(半欧拉图): 1.连通(并查集) 2.一个节点入度-出度=1,另一个节点出度-入度=1,其余节点入度==出度 本题注意:还有欧拉回路的特殊情况 #include <iostream> #include <cstdio> #...
  • 有向 无向 欧拉路 欧拉图

    千次阅读 2018-11-03 19:56:05
    如果G中的一个路径包括每个边恰好一次,则该路径称为欧拉路径(Euler path)。...欧拉路连通,所有节点的出度等于入度;或者除两个节点以外的其余节点的入度和出度都相等,且这两个节点一个满足出度-入度==1,...
  • 8.2 欧拉定理(图论)

    2022-03-02 13:13:41
    详细介绍欧拉图论定理并给出证明过程!
  • 欧拉路欧拉图

    千次阅读 2012-05-21 20:42:42
    一:如何判断G具有一条欧拉路? 对于无向而言,当且仅当G是连通,且有零个或者两个奇度顶点。经典题一笔画问题。 二:怎样判断G是欧拉图? 对于无向,当且仅当G是连通的,并且每个顶点都是偶度顶。...
  • Fleury算法 -求无向欧拉图欧拉回路

    千次阅读 2018-09-21 22:11:09
    背景介绍 1) 欧拉图:存在经过中每条边恰好一次并且仅一次行遍所有点的...3) 欧拉回路求解:判断一个欧拉图,下一步就会问这条回路具体是什么,Fleury算法就是用来找出无向欧拉图可能的的欧拉回路 4) Fle...
  • 欧拉路的基础知识

    2020-10-24 21:44:58
    欧拉路是简单的问题,也被成为“一笔画问题” 定义 欧拉路:从的一个点出发遍历整张,每条边通过且只通过一次 欧拉回路:起点等于终点的欧拉路 偶点:度为偶数的点 奇点:度为奇数的点 欧拉路问题主要考查两...
  • 具有欧拉回路的称为欧拉图具有欧拉通路而无欧拉回路的称为半欧拉图。若在G中存在这样一条路径,使得它恰通过G中每条边一次,则称该路径为欧拉路径,若该路径是一个圈,则称为欧拉回路。无向:无向G是...

空空如也

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具有欧拉路的图是欧拉图