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  • 矩阵 AB 与 BA 具有相同的非零特征值。可以从两个方面证明该定理,第一种,借助相似矩阵之间拥有相同特征值的结论进行(要求 A,BA,BA,B 是可逆的);第二种,则从公式 ABx=λxABx=\lambda xABx=λx 着手。 先讲第一...

    矩阵 AB 与 BA 具有相同的非零特征值

    可以从两个方面证明该定理,第一种,借助相似矩阵拥有相同特征值的结论进行(要求 A,BA,B 是可逆的);第二种,则从公式 ABx=λxABx=\lambda x 着手。

    先讲第一种。假设 A,BA,B 是可逆的。我们知道矩阵 AA 相似于矩阵 P1APP^{-1}AP,其中 PP 为任意的可逆矩阵。所以也存在任意一个可逆矩阵 MM 使得 ABAB 相似于 M1ABMM^{-1}ABM,当我们令 M=AM=A 时有 M1ABM=BAM^{-1}ABM=BA,即 ABAB 相似于 BABA,进而得证 ABABBABA 具有相同的特征值,而且此时的特征值均不为零。

    第二种,记 A,BA, B 分别为 m×nm \times nn×mn \times m 的矩阵,这里不要求 A,BA, B 均是方阵(即不要求 m=nm = n), 从而 A,BA, B 也不需要是可逆的 。给定 ABAB 的特征值和特征向量 λ,x\lambda,x,使得 ABx=λxABx=\lambda x,式子两端左乘一个 BB,得:
    BABx=λBx(1) BABx = \lambda Bx \tag{1}
    λ0\lambda \neq 0 时,根据式(1)(1),可知 λ\lambda 也是 BABA 的特征值,这时 BABA 的特征向量是 BxBx,即 ABABBABA 具有相同的非零特征值 λ\lambda.

    综上,得证矩阵 ABABBABA 具有相同的非零特征值。

    参考源

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  • python-如何快速创建具有相同元素的列表
    a = [1] * 10
    print(a)
    
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  • 两个类具有相同的 XML 类型名称,请使用 @XmlType.name 和 @XmlType.namespace 为类分配不同的名称解决 #在启动tomcat项目后,调用webservice接口时代码报了两个类具有相同的 XML 类型名称 解决方法,修改方法返回值...

    两个类具有相同的 XML 类型名称,请使用 @XmlType.name 和 @XmlType.namespace 为类分配不同的名称解决

    #在启动tomcat项目后,调用webservice接口时代码报了两个类具有相同的 XML 类型名称
    解决方法,修改方法返回值的名字:

    @XmlAccessorType(XmlAccessType.FIELD)
    @XmlType(name = "SearchAlarmResponse")
    public class earchAlarmResponse
    {*****}
    
    @XmlAccessorType(XmlAccessType.FIELD)
    @XmlType(name = "*SearchAlarmResult*")
    public class earchAlarmResponse
    {*****}
    
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  • List合并具有相同属性的对象

    千次阅读 2016-06-16 20:00:46
    业务背景:一个list集合了若干个student对象,并且student对象具有name和money属性,此时我们需要合并具有相同name属性的student的money. Student类的代码: public class Student { private String name; private ...

    业务背景:一个list集合了若干个student对象,并且student对象具有name和money属性,此时我们需要合并具有相同name属性的student的money.

    Student类的代码:

    public class Student {
    	private String name;
    	private int money;
    	public String getName() {
    		return name;
    	}
    	public void setName(String name) {
    		this.name = name;
    	}
    	public int getMoney() {
    		return money;
    	}
    	public void setMoney(int money) {
    		this.money = money;
    	}
    	@Override
    	public int hashCode() {
    		final int prime = 31;
    		int result = 1;
    		result = prime * result + money;
    		result = prime * result + ((name == null) ? 0 : name.hashCode());
    		return result;
    	}
    	@Override
    	public boolean equals(Object obj) {
    		if (this == obj)
    			return true;
    		if (obj == null)
    			return false;
    		if (getClass() != obj.getClass())
    			return false;
    		Student other = (Student) obj;
    		//将money属性注释,则对象的equals()方法会忽略money属性的比较
    //		if (money != other.money)
    //			return false;
    		if (name == null) {
    			if (other.name != null)
    				return false;
    		} else if (!name.equals(other.name))
    			return false;
    		return true;
    	}
    	@Override
    	public String toString() {
    		return "Student [name=" + name + ", money=" + money + "]";
    	}
    	
    }

    创建我们的list:

    <span style="white-space:pre">		</span>Student s1 = new Student();
    		s1.setName("peter");
    		s1.setMoney(10);
    		Student s2 = new Student();
    		s2.setName("peter");
    		s2.setMoney(20);
    		Student s3 = new Student();
    		s3.setName("jack");
    		s3.setMoney(5);
    		Student s4 = new Student();
    		s4.setName("jack");
    		s4.setMoney(15);
    		List<Student> list = new ArrayList<Student>();
    		list.add(s1);
    		list.add(s2);
    		list.add(s3);
    		list.add(s4);

    第一种合并方式:

    <span style="white-space:pre">		</span>for ( int i = 0 ; i < list.size() - 1 ; i ++ ) {
    			for (int j = list.size() - 1 ; j > i; j --) {
    				Student stu = list.get(i);
    				Student otherStu = list.get(j);
    				if(stu.equals(otherStu)) {
    					int money = stu.getMoney();
    					int otherMoney = otherStu.getMoney();
    					int totalMoney = money + otherMoney;
    					stu.setMoney(totalMoney);
    					list.remove(j);  
    				}
    			}
    		}
    
    <span style="white-space:pre">		</span>for (Student student : list) {
    			System.out.println(student.toString());
    		}

    结果如下:

    Student [name=jack, money=20]
    Student [name=peter, money=30]

    第二种合并方式:

    <span style="white-space:pre">		</span>Map<String, Student> map = new HashMap<String, Student>();  
    		for (Student student : list) {
    			String key = student.getName();
    			if(map.containsKey(key)) {
    				Student stu = map.get(key);
    				int preMoney = stu.getMoney();
    				int total = preMoney + student.getMoney();
    				student.setMoney(total);
    			} 
    			map.put(key, student);
    		}
    		
    		list.clear();
    		list.addAll(map.values());
    		
    		for (Student student : list) {
    			System.out.println(student.toString());
    		}

    结果与上面一致.


    总结:个人认为第二种方式更加清晰,更加容易理解,建议采用第二种方式.


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