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  • 2020-05-21 14:03:59

    矩阵 AB 与 BA 具有相同的非零特征值

    可以从两个方面证明该定理,第一种,借助相似矩阵拥有相同特征值的结论进行(要求 A , B A,B A,B 是可逆的);第二种,则从公式 A B x = λ x ABx=\lambda x ABx=λx 着手。

    先讲第一种。假设 A , B A,B A,B 是可逆的。我们知道矩阵 A A A 相似于矩阵 P − 1 A P P^{-1}AP P1AP,其中 P P P 为任意的可逆矩阵。所以也存在任意一个可逆矩阵 M M M 使得 A B AB AB 相似于 M − 1 A B M M^{-1}ABM M1ABM,当我们令 M = A M=A M=A 时有 M − 1 A B M = B A M^{-1}ABM=BA M1ABM=BA,即 A B AB AB 相似于 B A BA BA,进而得证 A B AB AB B A BA BA 具有相同的特征值,而且此时的特征值均不为零。

    第二种,记 A , B A, B A,B 分别为 m × n m \times n m×n n × m n \times m n×m 的矩阵,这里不要求 A , B A, B A,B 均是方阵(即不要求 m = n m = n m=n), 从而 A , B A, B A,B 也不需要是可逆的 。给定 A B AB AB 的特征值和特征向量 λ , x \lambda,x λ,x,使得 A B x = λ x ABx=\lambda x ABx=λx,式子两端左乘一个 B B B,得:
    B A B x = λ B x (1) BABx = \lambda Bx \tag{1} BABx=λBx(1)
    λ ≠ 0 \lambda \neq 0 λ=0 时,根据式 ( 1 ) (1) (1),可知 λ \lambda λ 也是 B A BA BA 的特征值,这时 B A BA BA 的特征向量是 B x Bx Bx,即 A B AB AB B A BA BA 具有相同的非零特征值 λ \lambda λ.

    综上,得证矩阵 A B AB AB B A BA BA 具有相同的非零特征值。

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    相似的两个条件

    • 特征值相同
    • 均可对角化

    特征值相同而且均可对角化 的话,不就都可以对角化为一个对角矩阵(对角元为特征值) A~B C~B 则A~C

    在这里插入图片描述

    合同的条件

    两个矩阵A和B,存在满秩矩阵P,P的转置乘A乘P等于B,二者合同。

    特殊考虑情况

    对称矩阵的不同的特征值对应的特征向量必定正交

    存在正交矩阵Q-1AQ=B,使A和B相似
    Q-1等价于Q的转置
    所以A和B合同。

    合同、等价和相似的区别

    1.矩阵相似的例子中,P-1AP=B;针对方阵而言;秩相等为必要条件;本质是二者有相等的不变因子;可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵;矩阵相似必等价,但等价不一定相似。

    1. 矩阵合同的例子中,CTAC=B;针对方阵而言;秩相等为必要条件;本质是秩相等且正惯性指数相等,即标准型相同;可通过二次型的非退化的线性替换来理解;矩阵合同必等价,但等价不一定合同。

    正交矩阵

    1、方阵A正交的充要条件是A的行(列)向量组是单位正交向量组;

    2、方阵A正交的充要条件是A的n个行(列)向量是n维向量空间的一组标准正交基;

    3、A是正交矩阵的充要条件是:A的行向量组两两正交且都是单位向量;

    4、A的列向量组也是正交单位向量组;

    5、正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

    特征向量正交化

    因为特征向量的正交化是局限在同一特征值的特征向量,特征向量是对应齐次线性方程组的解,所以特征向量的非零线性组合仍是特征向量。正交化所得向量与原向量等价,所以仍是特征向量,由此可知单位化后也是特征向量。

    当同一个特征值a是两个基础解系的线性组合时,说明对于这个线性组合的任意向量都是收缩a倍

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  • 也就是说, AB=BAAB=BAAB=BA 是 两个可对角化矩阵 A 与 B 具有相同特征向量的充分且必要条件。 先证 必要性: 假设可对角化矩阵 A 与 B 具有相同的特征向量,那么 A 与 B 拥有相同的对角化矩阵 S (由特征向量构成)...

    当且仅当 AB=BA 时,可对角化矩阵 A 与 B 具有相同的特征向量

    也就是说, A B = B A AB=BA AB=BA 是 两个可对角化矩阵 A 与 B 具有相同特征向量的充分且必要条件。
    先证 必要性
    假设可对角化矩阵 A 与 B 具有相同的特征向量,那么 A 与 B 拥有相同的对角化矩阵 S (由特征向量构成)使得满足: A = S Λ 1 S − 1 A = S\Lambda_1S^{-1} A=SΛ1S1 以及 B = S Λ 2 S − 1 B=S\Lambda_2S^{-1} B=SΛ2S1。其中的 Λ \Lambda Λ 代表由特征值构成的对角阵。那么有:
    A B = S Λ 1 S − 1 S Λ 2 S − 1 = S Λ 1 Λ 2 S − 1 B A = S Λ 2 S − 1 S Λ 1 S − 1 = S Λ 2 Λ 1 S − 1 \begin{aligned} AB &= S\Lambda_1S^{-1}S\Lambda_2S^{-1} = S\Lambda_1\Lambda_2S^{-1} \\ BA &= S\Lambda_2S^{-1}S\Lambda_1S^{-1} = S\Lambda_2\Lambda_1S^{-1} \end{aligned} ABBA=SΛ1S1SΛ2S1=SΛ1Λ2S1=SΛ2S1SΛ1S1=SΛ2Λ1S1
    由于 Λ 1 Λ 2 = Λ 2 Λ 1 \Lambda_1\Lambda_2=\Lambda_2\Lambda_1 Λ1Λ2=Λ2Λ1 (对角阵作乘法时总是可以交换的),则有 A B = B A AB=BA AB=BA,必要性得证。

    再证 充分性
    假设 A B = B A AB=BA AB=BA A A A 拥有一个特征值 λ \lambda λ 和特征向量 x x x,即 A x = λ x Ax=\lambda x Ax=λx,那么:
    A B x = B A x = B λ x = λ B x ABx = BAx = B\lambda x = \lambda Bx ABx=BAx=Bλx=λBx
    因此 x x x B x Bx Bx 均是矩阵 A 对于特征值 λ \lambda λ 的特征向量(除非 B x Bx Bx=0)。为了证明的简便性,我们假设矩阵 A 的特征值都是互不相同的,这时 A 的特征向量空间都是一维的(一条直线),那么 B x Bx Bx 必定是 x x x 与某个常数的乘积的结果( B x = p x Bx = px Bx=px)。也就是说, x x x 不仅是 A(对于特征值 λ \lambda λ) 的特征向量,也是 B (对于特征值 p p p)的特征向量,充分性得证。

    对于拥有多重特征值的矩阵 A,要证明充分性则相对麻烦点,这里就暂时不讨论了。

    参考源

    • 《Linear Algebra and Its Applicaition》
    展开全文
  • 下面证明 特征相同。 假设 x x 是 A T A A^{T}A 的输入特征值 λ \lambda 的特征向量。 A T A x = λ x A^{T}Ax=\lambda x . 两边同乘以 A A ,得到 A A T A x = λ A x AA^{T}Ax = \lambda Ax , 则有 A A T ...

    假设A是一个 m×n 的矩阵,记A的转置为 AT
    首先证明 r(AAT)=r(ATA)=r(A)=r(AT) .

    假设线程方程组为 Ax=0 ATAx=0
    如果 Ax=0 ,则 AT(Ax)=0 ,所以 Ax=0 的解为 ATAx=0 的解。

    对于 ATAx=0 ,两边同时乘以 xT ,得到 xTATAx=xT0=0 .
    则有 (Ax)T(Ax)=0 ,. 即, ||Ax||=0 。所以得到 Ax=0 .所以, AT(Ax)=0 的解都为 Ax=0 的解。

    所以 Ax=0 ATAx=0 有相同的解空间,所以 r(A)=r(ATA) 。同理, r(AT)=r(AAT) 。所以 r(AAT)=r(ATA)=r(A)=r(AT) .

    下面证明 特征值相同。
    假设 x ATA的输入特征值 λ 的特征向量。 ATAx=λx .
    两边同乘以 A ,得到AATAx=λAx, 则有 AAT(Ax)=λ(Ax)
    所以 ATA AAT 有相同的非零特征值。
    同理可得, AB BA 有相同的非零特征值。

    展开全文
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