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  • 也就是说, AB=BAAB=BAAB=BA 是 两个可对角化矩阵 A 与 B 具有相同特征向量的充分且必要条件。 先证 必要性: 假设可对角化矩阵 A 与 B 具有相同的特征向量,那么 A 与 B 拥有相同的对角化矩阵 S (由特征向量构成)...

    当且仅当 AB=BA 时,可对角化矩阵 A 与 B 具有相同的特征向量

    也就是说, AB=BAAB=BA 是 两个可对角化矩阵 A 与 B 具有相同特征向量的充分且必要条件。
    先证 必要性
    假设可对角化矩阵 A 与 B 具有相同的特征向量,那么 A 与 B 拥有相同的对角化矩阵 S (由特征向量构成)使得满足:A=SΛ1S1A = S\Lambda_1S^{-1} 以及 B=SΛ2S1B=S\Lambda_2S^{-1}。其中的 Λ\Lambda 代表由特征值构成的对角阵。那么有:
    AB=SΛ1S1SΛ2S1=SΛ1Λ2S1BA=SΛ2S1SΛ1S1=SΛ2Λ1S1 \begin{aligned} AB &= S\Lambda_1S^{-1}S\Lambda_2S^{-1} = S\Lambda_1\Lambda_2S^{-1} \\ BA &= S\Lambda_2S^{-1}S\Lambda_1S^{-1} = S\Lambda_2\Lambda_1S^{-1} \end{aligned}
    由于 Λ1Λ2=Λ2Λ1\Lambda_1\Lambda_2=\Lambda_2\Lambda_1 (对角阵作乘法时总是可以交换的),则有 AB=BAAB=BA,必要性得证。

    再证 充分性
    假设 AB=BAAB=BAAA 拥有一个特征值 λ\lambda 和特征向量 xx,即 Ax=λxAx=\lambda x,那么:
    ABx=BAx=Bλx=λBx ABx = BAx = B\lambda x = \lambda Bx
    因此 xxBxBx 均是矩阵 A 对于特征值 λ\lambda 的特征向量(除非 BxBx=0)。为了证明的简便性,我们假设矩阵 A 的特征值都是互不相同的,这时 A 的特征向量空间都是一维的(一条直线),那么 BxBx 必定是 xx 与某个常数的乘积的结果(Bx=pxBx = px)。也就是说,xx 不仅是 A(对于特征值 λ\lambda) 的特征向量,也是 B (对于特征值 pp)的特征向量,充分性得证。

    对于拥有多重特征值的矩阵 A,要证明充分性则相对麻烦点,这里就暂时不讨论了。

    参考源

    • 《Linear Algebra and Its Applicaition》
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  • 矩阵 AB 与 BA 具有相同的非零特征值。可以从两个方面证明该定理,第一种,借助相似矩阵之间拥有相同特征值的结论进行(要求 A,BA,BA,B 是可逆的);第二种,则从公式 ABx=λxABx=\lambda xABx=λx 着手。 先讲第一...

    矩阵 AB 与 BA 具有相同的非零特征值

    可以从两个方面证明该定理,第一种,借助相似矩阵拥有相同特征值的结论进行(要求 A,BA,B 是可逆的);第二种,则从公式 ABx=λxABx=\lambda x 着手。

    先讲第一种。假设 A,BA,B 是可逆的。我们知道矩阵 AA 相似于矩阵 P1APP^{-1}AP,其中 PP 为任意的可逆矩阵。所以也存在任意一个可逆矩阵 MM 使得 ABAB 相似于 M1ABMM^{-1}ABM,当我们令 M=AM=A 时有 M1ABM=BAM^{-1}ABM=BA,即 ABAB 相似于 BABA,进而得证 ABABBABA 具有相同的特征值,而且此时的特征值均不为零。

    第二种,记 A,BA, B 分别为 m×nm \times nn×mn \times m 的矩阵,这里不要求 A,BA, B 均是方阵(即不要求 m=nm = n), 从而 A,BA, B 也不需要是可逆的 。给定 ABAB 的特征值和特征向量 λ,x\lambda,x,使得 ABx=λxABx=\lambda x,式子两端左乘一个 BB,得:
    BABx=λBx(1) BABx = \lambda Bx \tag{1}
    λ0\lambda \neq 0 时,根据式(1)(1),可知 λ\lambda 也是 BABA 的特征值,这时 BABA 的特征向量是 BxBx,即 ABABBABA 具有相同的非零特征值 λ\lambda.

    综上,得证矩阵 ABABBABA 具有相同的非零特征值。

    参考源

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  • 特征相同的两个矩阵是否相似

    万次阅读 2019-09-02 11:26:03
    特征相同而且均可对角化 的话,不就都可以对角化为一个对角矩阵(对角元为特征值) A~B C~B 则A~C 合同的条件 两个矩阵A和B,存在满秩矩阵P,P的转置乘A乘P等于B,二者合同。 特殊考虑情况 对称矩阵的不同的...

    相似的两个条件

    • 特征值相同
    • 均可对角化

    特征值相同而且均可对角化 的话,不就都可以对角化为一个对角矩阵(对角元为特征值) A~B C~B 则A~C

    在这里插入图片描述

    合同的条件

    两个矩阵A和B,存在满秩矩阵P,P的转置乘A乘P等于B,二者合同。

    特殊考虑情况

    对称矩阵的不同的特征值对应的特征向量必定正交

    存在正交矩阵Q-1AQ=B,使A和B相似
    Q-1等价于Q的转置
    所以A和B合同。

    合同、等价和相似的区别

    1.矩阵相似的例子中,P-1AP=B;针对方阵而言;秩相等为必要条件;本质是二者有相等的不变因子;可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵;矩阵相似必等价,但等价不一定相似。

    1. 矩阵合同的例子中,CTAC=B;针对方阵而言;秩相等为必要条件;本质是秩相等且正惯性指数相等,即标准型相同;可通过二次型的非退化的线性替换来理解;矩阵合同必等价,但等价不一定合同。

    正交矩阵

    1、方阵A正交的充要条件是A的行(列)向量组是单位正交向量组;

    2、方阵A正交的充要条件是A的n个行(列)向量是n维向量空间的一组标准正交基;

    3、A是正交矩阵的充要条件是:A的行向量组两两正交且都是单位向量;

    4、A的列向量组也是正交单位向量组;

    5、正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

    特征向量正交化

    因为特征向量的正交化是局限在同一特征值的特征向量,特征向量是对应齐次线性方程组的解,所以特征向量的非零线性组合仍是特征向量。正交化所得向量与原向量等价,所以仍是特征向量,由此可知单位化后也是特征向量。

    当同一个特征值a是两个基础解系的线性组合时,说明对于这个线性组合的任意向量都是收缩a倍

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  • 大型数据集的问题在于许多特征是“相关的”,在这种情况下,很难比较可变重要性图的值的解释。例如,考虑一个非常简单的线性模型(“真实”模型,用于生成数据) 在这里,我们使用一个随机森林的特征之间的关系...

    原文链接:http://tecdat.cn/?p=13546

    原文出处:拓端数据部落公众号


    变量重要性图是查看模型中哪些变量有趣的好工具。由于我们通常在随机森林中使用它,因此它看起来非常适合非常大的数据集。大型数据集的问题在于许多特征是“相关的”,在这种情况下,很难比较可变重要性图的值的解释。例如,考虑一个非常简单的线性模型

    在这里,我们使用一个随机森林的特征之间的关系模型,但实际上,我们考虑另一个特点-不用于产生数据- ,即相关  。我们考虑这三个特征的随机森林  

    为了获得更可靠的结果,我生成了100个大小为1,000的数据集。

    library(mnormt)
    
    
    RF=randomForest(Y~.,data=db)
    
    plot(C,VI[1,],type="l",col="red")
    lines(C,VI[2,],col="blue")
    lines(C,VI[3,],col="purple")

    顶部的紫色线是的可变重要性值  ,该值相当稳定(作为一阶近似值,几乎恒定)。红线是的变量重要性函数,   蓝线是的变量重要性函数  。例如,具有两个高度相关变量的重要性函数为

    看起来  比其他两个 要  重要得多,但事实并非如此。只是模型无法在 和  之间选择  :有时会   被选择,有时会被选择。我想我发现图形混乱,因为我可能会想到的  重要性 的   恒定。考虑到其他变量的存在,我们已经掌握了每个变量的重要性。

    实际上,我想到的是当我们考虑逐步过程时以及从集合中删除每个变量时得到的结果,

    apply(IMP,1,mean)}

    在这里,如果我们使用与以前相同的代码,

    我们得到以下图

    plot(C,VI[2,],type="l",col="red")
    lines(C,VI2[3,],col="blue")
    lines(C,VI2[4,],col="purple")

    删除时会显示紫线   :这是最差的模型。我们保持 和时  ,我们得到了蓝线。而且这条线是恒定的:并不取决于   (这在上一张图中,有   确实会对重要性产生影响)。红线是移除后得到的  。关联为0时,它与紫色线相同,因此模型很差。关联度接近1时,与具有相同  ,并且与蓝线相同。

    然而,当我们拥有很多相关特征时,讨论特征的重要性并不是那么直观。

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