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  • 既然一阶都做了,二阶其实更通用,我们电机控制的电流环实际上就是一个二阶系统(典型一型环节即为二阶系统),那么这篇文章主要就针对二阶系统进行分析和实现证明。 1 二阶系统的传递函数 二阶系统的传递函数框图...

    前面的文章讲完了一阶惯性环节的性能,主要对其相幅特性进行了分析,我们得到了几个关键的结论。既然一阶都做了,二阶其实更通用,我们电机控制的电流环实际上就是一个二阶系统(典型一型环节即为二阶系统),那么这篇文章主要就针对二阶系统进行分析和实现证明。

    1 二阶系统的传递函数

    二阶系统的传递函数框图如下,这里我设计的是一个积分环节和一个一阶惯性环节,这么设计的原因是因为电机内电流环实际就是一个类似的传递函数。其实这里与前面一篇文章的一阶惯性环节的区别就是加了一个积分环节,在自动控制原理这门课里面讲到过系统阶层的定义标准,在此不再赘述。那么这个系统到底效果如何呢,对开环传函的相幅特性进行分析。

    上图所示的二阶系统的开环传函的相幅特性如下图所示,与一阶惯性环节存在一下三个区别:

    1、幅频特性初始斜率为-20dB,这是因为存在积分环节的原因,如图中1点所示。

    2、相频特性初始值为-90°,这同样是存在积分环节导致,积分环节会使得系统天生之后90°,相频曲线的最大值变为-180°。

    3、截止频率不再为转折频率,如图中2点出所示,此时截止频率为1。(这个好像不算区别哈,只是这里过0轴更明显了)

    这个系统的性能如何呢,大部分的系统要从两个角度分析:

    1:截止频率(三阶系统讨论中频带宽):当前系统截止频率为1,对高频信号跟随效果较差,因为我随便弄的嘛。截止频率低意味着系统的响应速度较慢,但是对高频噪声过滤效果郝。

    2:相位裕度(相位裕度为负值系统不稳定):截止频率处的相位+180°等于相位裕度。截止频率处的相位为-100°左右,那么相位裕度则有80°,还是相当不错的。

    那么在更改一下转折频率和更改开环增益来看看相幅特性的效果。

    更改开环增益后的相幅特性结果:K =1 、10、100。可以看到开环增益增加后,幅频特性曲线上移,相频特性曲线不变,截止频率相应增大,系统响应速度加快。截止频率增大,相位裕度减小,系统稳定性下降。

    更改转折频率后相幅特性结果:s前的系数分别为0.1、0.01、0.001。可以看到开s前系数减小后,转折频率增大,幅频特性的拐点滞后,相频特性右移。截止频率不变,快速性不变,相位裕度增大,系统稳定性增强。

    2 二阶系统的阶跃响应效果

    上面已经分析完了开环传函的相幅曲线,那么现在看看闭上环之后的输入输出响应效果。

    电流环的输入一般是一个阶跃信号,那么我们就看看这个系统的阶跃响应效果如何。图中红色曲线为给定信号,蓝色为输出信号。从仿真结果可以看出,此时系统需要5s时间才能够实现跟随,系统是稳定的,但是系统的响应速度较慢。

    上述系统需要增大开环增益,那么试试 K= 100。此时系统的在2秒就实现了跟随,但是有明显的超调,并且存在震荡问题。证

    明此时系统的响应速度是足够的,但是相位裕度不够,减小x看看效果。试试x = 0.01时候的效果。可以看到系统在0.1s就实现了输入的跟随,并且超调较小且没有任何振荡。

    小结:

    从本文的分析可以学到以下东西:

    1、二阶系统的幅频特性以及开环增益和s前系数对相幅特性的影响

    2、截止频率决定了系统响应速度,而相位裕度决定了系统的稳定性。

    3、开环增益决定系统的截止频率,s前系数x决定了截止频率处相位裕度的大小。

    整理不易,希望大家帮忙点个赞呀~谢谢啦~^_^

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    通用型有源滤波器是一大类基于运放和电阻、电容构成的二阶有源滤波器,由于它们同时可以实现低通、高通、带通、带阻等多种滤波形式,所以被称为通用型有源滤波器。

    从数学原理上来说,通用型有源滤波器可以用如下的系统框图来表示。

    图 1 典型的二阶系统的信号流图

    上面是一个典型的二阶系统的信号流图,利用Mason 公式可以很容易的得到系统各个通路的传递函数:

    上面三个式子分别对应高通、带通和低通滤波器,如果将uvw三路信号加权叠加则可以组成任意的二阶系统。

    二阶系统传递函数的分母多项式的标准形式为:

    经比较可知,大环路增益b决定二阶系统的固有频率,小环路的增益a决定系统的阻尼系数,也就是决定系统的品质因数Q

    状态变量滤波器

    状态变量滤波器也被称为KHN 滤波器,属于通用型有源滤波器的一种实现形式,由Kerwin、Huelsman’Newcomb与1967年提出的。电路的基本形式如下。

    图 2 反向输入型KHN 滤波器

    转换为信号流图后如下图所示。

    其中:

    列写系统各个通路的传递函数如下:

    将(3)带入(4)后经整理可得:

    如果对电阻电容的值做一些限制,公式会变得更简单。设:

    可以看出品质因数Q只依赖于R1与R2的比值。而固有频率只与RC的乘积有关。

    正向输入型的KHN滤波器如下图所示:

    图 3 正向输入型的KHN滤波器

    对应的信号流图如下:


    从信号流图上看,仅仅是x(s) 到 u(s) 之间的增益从 -A1 变为 A1,其他的地方完全相同。但是由于R3从运放的负输入端移动到了正输入端,所以A1A3的值发生了很大的变化。

    列写系统各个通路的传递函数如下:

    由于A2、A4和A5都没有变化,所以系统的固有频率没有变:

    如果还是做一些限制:

    则可以简化为:

    正向输入型和反向输入型最大的区别在于通频带的增益。下面给出低通滤波器时的幅频特性曲线。两边的曲线一对比他们的区别就一目了然了。

    Tow-Thomas  型二阶滤波器

    另一种类似的电路形式称之为 Tow-Thomas 型滤波器。它的基本电路形式如下,其中R3=R6构成一个反向器。

    图 5 Tow-Thomas 型滤波器

    信号流图与正向输入型KHN滤波器完全相同。需要说明的是u(s)是电流信号,表示的是流过C1的电流的大小。

    但是A1A5的表达式却变得简单的多。

    列写系统各个通路的传递函数也与正向输入型KHN滤波器完全相同,这里重复如下:

    由于u(s)是电流信号,无法直接引出使用,因此也就没有列出来。将(16)带入(17)后可得:

    品质因数和固有频率计算如下:

    则可以化简为:

    原始信号减去带通信号就称为带阻信号了,因此再增加一个运放就可以实现带阻型滤波器。


    图 6 Tow-Thomas 带阻型滤波器

    这个电路的要点是R1=R2,这样才能保证原始信号与带通信号的幅度相同。也就是说要求A1=A3

    简单的说,这种办法生成的带阻滤波器其实就是在虚轴上对应位置添加了零点。

    图 7 Tow-Thomas 带阻型滤波器的零、极点分布

    带阻信号如果再与低通信号相加,就能够组成低通带阻型或高通带阻型。下面是电路原理图。

    图 8Tow-Thomas (高通/低通)带阻型滤波器

    单刀双掷开关打到3的位置时对应低通带阻滤波器,打到2的位置时对应高通带阻滤波器。原理可以这样分析。首先,传递函数可以写为如下形式:

    单刀双掷开关打到3的位置时α的值为正,打到2的位置时α的值为负。α 值的变化对应的是系统零点的移动。α大于相当于零点互相远离。

    图 9 Tow-Thomas (高通/低通)带阻型滤波器的零、极点分布

     (高通/低通)带阻型滤波器的典型频响如下面两幅图所示。

    图 10 低通带阻型滤波器的幅频响应

    图 11 高通带阻型滤波器的幅频响应



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    列写系统各个通路的传递函数如下:

     

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    列写系统各个通路的传递函数如下:

    由于A2、A4和A5都没有变化,所以系统的固有频率没有变:

    如果还是做一些限制:

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    但是A1到A5的表达式却变得简单的多。

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    简单的说,这种办法生成的带阻滤波器其实就是在虚轴上对应位置添加了零点。


    图 7 Tow-Thomas 带阻型滤波器的零、极点分布

    带阻信号如果再与低通信号相加,就能够组成低通带阻型或高通带阻型。下面是电路原理图。

     


    图 8Tow-Thomas (高通/低通)带阻型滤波器

     

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