在自动控制理论中，典型二阶系统一般是由一个惯性环节和积分环节串联构成：
其闭环传递函数为：
将上式改为标准形式为:
因为实际应用中欠阻尼二阶系统应用最为广泛，这里只分析欠阻尼的情况(0<ξ<1)。
欠阻尼系统具有一对共轭复根为:
其单位阶跃响应的象函数为：
经过拉普拉斯反变换可以得到系统单位阶跃响应：
下图给出了不同阻尼比时，二阶系统的单位阶跃响应曲线：
根据时域表达式可以得到典型二阶系统单位阶跃响应暂态性能的一些指标：如
调整时间与阻尼比的关系如下图，由图可见，当阻尼比为0.68时，调整时间ts最小，设计二阶系统时，一般取阻尼比为0.707，为最佳阻尼比。
以上时典型二阶系统的时域特性，在自动控制理论中都有详细分析，但有时会遇到非典型的二阶系统，它与典型二阶系统关系如何呢？以一种锁相环系统为例：
上述框图可以简化为：
同样，上图传递函数写成标准形式为：
可见，与标准形式相比，该二阶系统多了一个零点，而极点相同，按照上述分析方法，可以得到其单位阶跃响应的象函数为：
可见，与典型二阶系统相比仅第三项的符号有差别，对其进行拉普拉斯反变换得到时域响应表达式：
与典型二阶系统相比仅第二项符号和相位发生变化，根据时域表达式可以得到典型二阶系统单位阶跃响应暂态性能的一些指标，如下式所示，可以看出一些参数与典型二阶系统有些区别，但相差不大。
为了更明显看出两者之间的差别，令ω=158，在matlab中画出ξ从0.1变为1的阶跃响应曲线，红色为典型二阶系统的响应曲线，蓝色为上文提到的非典型二阶系统的响应曲线，可以看出两者暂态响应相差很小，因此这种情况下典型二阶系统的特性如也可直接应用在文中提到的非典型二阶系统，可以简化设计过程。
其实也可以用根轨迹进行分析，一般远离虚轴且附近无极点的零点，对系统的影响几乎可以忽略。
显然零点与极点位置相差很远，所以该零点对系统的暂态响应影响不大。
参考文献：
自动控制理论.夏德钤.第四版

3。2
一阶系统的数学模型
一阶系统的单位阶跃响应
举例说明改善系统性能的简单方法
3。3二阶系统的瞬态响应
典型二阶系统的数学模型
典型二阶系统的瞬态响应
二阶系统性能指标及其系统参数的关系
改善二阶系统响应特性的措施
带有零点的二阶系统分析
二阶系统应用广，很多高阶，复杂的系统都可以简化为二阶系统来分析
2。典型二阶系统的瞬态响应
线性系统一般不太涉及延迟时间。
（二）对于非震荡瞬态过程：
通常：需要控制系统有较快的响应时间，即希望系统的阻尼系数在0~1之间，而不希望处于过阻尼状态ζ≥1，因为过阻尼状态对应的调解时间过长，但对于一些特殊系统不想出现超调现象（如：液位控制）和大惯性系统（如：加热装置 ），才希望利用过阻尼状态达到稳定输出的目的。
3.4高阶系统分析
典型三阶系统的瞬态响应
高阶系统分析
极点对性能的影响：
极点对应的项衰减的快慢取决于极点离虚轴的距离距离轴进的极点对应的项衰减的慢，距离轴远的极点，对应的项衰减的快。
距离轴近的极点对应的系数大，二距离轴远的极点对应的系数小
距离轴近的极点对瞬态响应影响大
零点对系统性能的影响：
零点不影响响应的形式，零点只影响各项的系数
零点若靠近某个极点，则该极点对应项的系数就小。

	

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►随机事件和概率重点及典型题型
　　一、本章的重点内容：
　　四个关系：包含，相等，互斥，对立;
　　五个运算：并，交，差;
　　四个运算律：交换律，结合律，分配律，对偶律(德摩根律);
　　概率的基本性质：非负性，规范性，有限可加性，逆概率公式;
　　五大公式：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式;
　　条件概率;
　　利用独立性进行概率计算;
　　n重伯努利概型的计算。
　　近几年单独考查本章的考题相对较少，从考试的角度来说不是重点，但第一章是基础，大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核，都会用到第一章的知识。
　　二、常见典型题型：
　　1.随机事件的关系运算;
　　2.求随机事件的概率;
　　3.综合利用五大公式解题，尤其是常用全概率公式与贝叶斯公式。
　　►随机变量及其分布重点及典型题型
　　一、本章的重点内容：
　　随机变量及其分布函数的概念和性质(充要条件);
　　分布律和概率密度的性质(充要条件);
　　八大常见的分布：0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用;
　　会计算与随机变量相联系的任一事件的概率;
　　随机变量简单函数的概率分布。
　　近几年单独考核本章内容不太多，主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数的分布。
　　二、常见典型题型：
　　1.求一维随机变量的分布律、分布密度或分布函数;
　　2.一个函数为某一随机变量的分布函数或分布律或分布密度的判定;
　　3.反求或判定分布中的参数;
　　4.求一维随机变量在某一区间的概率;
　　5.求一维随机变量函的分布。
　　►二维随机变量及分布重点及典型题型
　　一、本章的重点内容：
　　二维随机变量及其分布的概念和性质，
　　边缘分布，边缘密度，条件分布和条件密度，
　　随机变量的独立性及不相关性，
　　一些常见分布：二维均匀分布，二维正态分布，
　　几个随机变量的简单函数的分布。
　　本章是概率论重点部分之一!应着重对待。
　　二、常见典型题型：
　　1.求二维随机变量的联合分布律或分布函数或边缘概率分布或条件分布和条件密度;
　　2.已知部分边缘分布，求联合分布律;
　　3.求二维连续型随机变量的分布或分布密度或边缘密度函数或条件分布和条件密度;
　　4.两个或多个随机变量的独立性或相关性的判定或证明;
　　5.与二维随机变量独立性相关的命题;
　　6.求两个随机变量的相关系数;
　　7.求两个随机变量的函数的概率分布或概率密度或在某一区域的概率。
-----------------------
　►随机变量数字特征重点及典型题型
　　一、本章的重点内容：
　　随机变量的数字特征定义(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数);
　　常见分布的数字特征;
　　利用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征;
　　根据一维和二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望。
　　二、常见典型题型：
　　1.求一维随机变量函数的数字特征;
　　2.求二维随机变量或函数的数字特征;
　　3.求两个随机变量的协方差或相关系数;
　　4.数字特征在经济中的应用题。
　　►大数定律和中心极限定理重点及典型题型
　　一、本章的重点内容：
　　三个大数定律：切比雪夫定律、伯努利大数定律、辛钦大数定律;
　　两个中心极限定理：棣莫弗——拉普拉斯定理、列维——林德伯格定理。
　　本章的内容不是重点，也不经常考，只要把这些定律、定理的条件与结论记住就可以了。
　　二、常见典型题型：
　　1.估计概率的值;
　　2.与中心极限定理相关的命题。
　　►数理统计基本概念重点及典型题型
　　一、本章的重点内容：
　　数理统计的基本概念主要是总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩，
　　常见统计量：包括标准正态分布、卡方分布、t分布和F分布，要掌握这些分布对应随机变量的典型模式及它们参数的确定，这些分布的分位数和相应的数值表，
　　正态总体的抽样分布，包括样本均值、样本方差、样本矩、两个样本的均值差、两个样本方差比的抽样分布。
　　本章是数理统计的基础，也是重点之一。
　　二、常见典型题型：
　　1.样本容量的计算;
　　2.分位数的求解或判定;
　　4.总体或统计量的分布函数的求解或判定或证明;
　　5.求总体或统计量的数字特征。
　　►参数估计与假设检验重点及典型题型
　　一、本章的重点内容：
　　参数的点估计、估计量与估计值的概念;
　　一阶或二阶矩估计和最大似然估计法;
　　未知参数的置信区间;
　　单个正态总体均值和方差的置信区间;
　　两个总体的均值差和方差比的置信区间.
　　本章重点是矩估计法和最大似然估计法，是常考题型，有时题目会要求验证所得估计量的无偏性。
　　二、常见典型题型：
　　1.统计量的无偏性、一致性或有效性;
　　2.参数的矩估计量或矩估计值或估计量的数字特征;
　　3.参数的最大似然估量或估计量或估计量的数字特征;
　　4.求单个正态总体均值的置信区间。
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§2.1 二阶常微分方程
2.1 Second Order Equations
微分方程 
MIT公开课《微分方程和线性代数》 2.1 二阶微分方程​v.youku.com
二阶常微分方程的应用特别广泛，因为它包含了加速度项，即速度的导数——二阶导数 
 。在图像上，二阶导数体现函数曲线的弯曲程度，因为它是斜率的变化率。二阶微分方程的典型方程式为
。
我们最初的讨论限制在A，B，C三个参数均为常数的情况下，并且在这一讲只求解二阶常微分方程的“零解”，即等式右侧为0的齐次方程的解。当参数均为常数时，解函数的形式均为指数函数。零解有两个，通常写成 
 的形式，其中的两个参数
c1和c2需要两个初值条件才能确定。在一阶常微分方程中我们通常有初值条件 
 ，而二阶微分方程中有加速度项，因此通常需要速度项
作为初值条件。
例：在物理和工程中最常见的运动方程——简谐振动的方程，其形式为
 ，其中因为没有阻尼项，所以没有一阶导数项。这个方程描述的就是弹簧的简谐振动或者钟摆的运动。
如果假定m和k都是1，则方程变为二阶导数y''等于负的原函数
，立刻就会想到是正弦或者余弦函数。如果
m和k为实值，则二阶导数和原函数之间还差着参数k/m，因此该二阶微分方程的零解之一为 
 ，根号是因为求导两次才会出现
k/m。而其零解完全表达式为两零解之和:
通常将 
 改写为
，其中
n代表自然频率，则方程变为 
 ，而方程的解变为 
 。
可以看出零解中的参数需要带入初值条件加以确认，例如代入t=0，则零解的第二项消失，第一项只剩下参数，因此有 
 ，同理可得 
 。因此有 
 。
绘制一下余弦函数的函数曲线来增加一下对它的认识：
 ，  
 的周期是 
 ， 
 是角速度，单位是弧度每秒。
f是频率，单位是赫兹，满足 
 。因此有 
 。
零解还有另一种虚指数的表达方式 
 。方程对应的是纯简谐振动，因此表达式中的指数也是纯虚数。
§2.1b 受迫简谐振动
Forced Harmonic Motion
微分方程 
优酷视频​v.youku.com
本讲仍然介绍常系数二阶微分方程，但是与上一讲自由状态的简谐振动不同，这次等式右侧不再是0，将引入外力作用构造这一简谐振动的运动状态或者说推进这种运动。
输入余弦函数 
微分方程 
 。此时，解函数中必然包含两种频率信息：
外力频率 ω
自然频率 
这两者的匹配状态决定着运动的状态，在实际应用中甚至决定桥梁是否会因为两频率相等 
 导致共振状态而发生倒塌。
方程中只有二次导数和函数本身，因此容易想见特解的形式为 
 ，这个解函数也称之为受迫响应。将特解代入方程，可得：
方程的通解为特解和上一讲所求的零解进行线性组合。
改写特解的形式可得 
。从中可以看到共振或者外力的频率接近自然频率时，对函数的影响非常巨大。我们将因子 
 称为频率响应。
输入Delta函数
，外力作用只发生在最初的一瞬间，即在0时刻给系统——例如单摆或者弹簧一个外力冲击，这一瞬间给了系统一定的速度，但是还没有发生位移，该方程的解函数
g(t)称为脉冲响应。
求解脉冲响应的方法是将之视为一个齐次方程 
 ，但是方程的初值因为脉冲发生了改变，位移不变 
 ，但是速度发生变化 
 。按照上一讲求“零解”的方法，将初值条件代入，可得到此方程的解为 
 。