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  • 本文主要讲了典型滤波器传递函数,下面一起来学习一下
  • n阶滤波器传递函数的一般表达式为  若将传递函数分解为因子式,则上式变为 式中,sao,sa1,…,sas咖为传递函数的极点;sbo,sb1执,…,sbm为传递函数的零点。 在设计滤波器的电路时,直接实现3阶以上...
  • 一、二阶压控电压源低通滤波器(赛伦-凯电路/二阶正相低通滤波器) 该电路是一个经典二阶低通滤波器,特点: 1)、输入电压经过两级RC低通电路 ...这个是典型的同相放大器,因此其为: 放大...

    一、二阶压控电压源低通滤波器(赛伦-凯电路/二阶正相低通滤波器)

    该电路是一个经典二阶低通滤波器,特点:

    1)、输入电压经过两级RC低通电路

    2)、输入电压进入集成运放的同相输入端,即同相放大

    3)、第一级RC电路的电容不接地,改接到输出端。原因:引入反馈,使输出电压在高频段迅速下降,但在截止频率范围内不要降太多。

     

    1、电流分析法:

    这个是典型的同相放大器,因此其为:

    放大倍数(零频增益)                                (1)

    令电阻R都一致,C都一致。再对节点Um和同相放大器的正相输入端点U+,进行电流分析。有:

    流入节点Um的电流                         (2)

    前两个不做解释,第三个是电容电流的向量形式。为什么

    流入节点U+的电流                      (3)

     

    将以上三个式子联立得传递函数为:

                   (4)

      为等效品质因数。

    2、复导纳分析

    用复导纳法,Y1=1/R1,Y2=1/R2,Y3=sC1 Y4=sC2,令s=jw则转化为下图:

    同样从节点Um和U+分析。复导纳是什么?

    节点Um:

                       (5)

                           (6)

    节点U+

                                   (7)

                   

    将Y2移项:

                                                        (8)

     

    将8带入6,再化简移向得到复频域形式:

               (9)

    上下再同除以:Y1,Y2,Y3,Y4

    得:

               (10)

    有:

                 (11)

    上下再同乘以s方,除以R1R2,再有:
             (12)

    与低通滤波器传递函数一般形式

                                 (13)

    比:

    截止角频率:

    阻尼系数:

                                  (14)

     

    二、二阶反相型低通有源滤波器

    1、介绍

    二阶反相型低通有源滤波器是反相比例积分器的输入端再加一节RC低通电路构成的。

     

    同上,采用电流分析

    对于N点电流:

    对于N点电压:

    联立得到:

    参考文献:

    [1]强推二阶滤波电路 

    [2]强推二阶低通滤波传递函数介绍

    [3]模拟电子技术一些有源滤波器件计算及传递函数

    [4]二阶滤波器的标准传递函数,零、极点分布

    [5]二阶设计

    [6]​​​​​​​高明甫,杨 勇,孔令斌.二阶压控电压源低通滤波器设计 (中国地质大学(武汉)物理系)[J].电子元器件,2010,2(3):12-22.

     

     

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  • IIR的设计目标是得到所需的滤波器传递函数。其设计过程一般从期望的幅频响应H(ejω)的指标开始。滤波器幅频响应的指标包括通带和阻带需求,如图1所示。更确切地说,幅频响应是用通带转折频率(passband critical ...
  • 传递函数推导

    千次阅读 2018-03-14 11:04:53
    这个传递函数怎么推导?推导过程如下:

    这个传递函数怎么推导?

    推导过程如下:


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  • 数字IIR滤波器一般是基于传递函数为H(s)的典型Bessel、Butterworth、一类Cheby-shev、二类Chebyshev以及Cauer(椭圆函数)模拟滤波器模型。过去在这五类滤波器中模拟Bessel滤波器具有最为平坦的群延时特性。不过,...
  • 金鸡一唱天下白:第二讲 线形系统的数学模型​zhuanlan.zhihu.com自动化人 - 知乎​www.zhihu.com第3讲 控制系统的复域数学模型(传递函数) 一、 传递函数的定义 微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型,在...

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    第3讲 控制系统的复域数学模型(传递函数)

    一、 传递函数的定义

    微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型,在给定外作用和初使条件下,解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化是分析较麻烦。

    用拉氏变化法求结微分方程时,可以得到控制系统在复数域的数学模型-传递函数

    定义:线性定常系统的传递函数,定义为零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

    所谓零初始条件是指:

    1)输入量

    在t>0时才作用在系统上,即在
    时系统输入及各项导数均为零;

    2)输入量

    在加于系统之前,系统为稳态,即在
    时系统输出及其所有导数项为零。

    设线性定常系统可以由下述n阶线性常系数微分方程描述:

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    如果系数部分或全部是时间的函数则称为线性时变系统

    设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零,即零初始条件,则对上式中各项分别求拉氏变换,并令c(s)=L[c(t)],R(s)=L[r(t)],可得系统的代数方程为:

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    传递函数是由系统的微分方程经线性变换得到的其本质与微分方程等价。和微分方程一样能表征系统的固有特性。称为系统的复频域模型。

    传递函数的分母多项式:就是微分方程左端的微分算符多项式,称为系统的特征方程

    传递函数是以s为自变量的函数,这里称s为复频率,s的虚部ω称为频率。所以

    是一个复变函数。

    二、传递函数的性质

    1.作为一种数学模型,传递函数只适用于线性定常系统,这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出的,而拉氏变换是一种线性积分运算。

    2.传递函数是以系统本身的参数描述的线性定常系统输入量与输出量的关系式,它表达了系统内在的固有特性,只与系统的结构、参数有关,而与输入量或输入函数的形式无关。

    3.传递函数可以是无量纲的,也可以是有量纲的,视系统的输入、输出量而定,它包含着联系输入量与输出量所必须的单位,它不能表明系统的物理特性和物理结构。许多物理性质不同的系统,有着相同的传递函数,正如一些不同的物理现象可以用相同的微分方程描述一样。

    4.传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间的关系,对多输入多输出(MIMO)系统,可用传递函数阵表示。

    5.传递函数是复变量s的有理真分式函数,m≤n,且具有复变量函数的所有性质。其分母多项式称为系统的特征多项式,记为D(s)

    称为特征方程,方程的根称为特征根。

    传递函数分母多项式的阶次总是大于或等于分子多项式的阶次,即n≥m。这是由于实际系统的惯性所造成的。

    6.G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系,但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。

    性质 如果G(s)已知,那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。

    性质 如果系统的G(s)未知,可以给系统加上已知的输入,研究其输出,从而得出传递函数,一旦建立G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述,与其它物理描述不同。

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    三、传递函数的微观结构

    1.传递函数的零极点表达式:

    式中

    为分母多项式的根,称为传递函数的极点;
    为分子多项式的根,称为传递函数的零点;

    传递函数的零极点可以是实数也可以是复数。把传递函数的零点和极点分别表示在复平面上所形成的图形,就称为传递函数的零极点分布图

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    传递函数的极点和零点对输出的影响

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    零点距极点的距离越远,该极点所产生的模态所占比重越大

    零点距极点的距离越近,该极点所产生的模态所占比重越小

    如果零极点重合-该极点所产生的模态为零,因为分子分母相互抵消。

    零点、极点和放大倍数,对系统的三大性能的影响:

    (1)极点是微分方程的特征根,因此,决定了所描述系统固有的运动属性。决定了方程解的结构中基本组成成分。无论是方程的特解还是方程的通解,这些成分都是相同的。这些由特征根决定的运动模式称为运动的基本模态。

    (2)极点的位置决定模态的敛散性,即决定稳定性、快速性。

    (3)零点决定各运动模态的比重。其本身并不形成自由运动的模态,但它们却影响各模态在响应中所占的比重。

    (4)传递系数决定了系统稳态的传递特性。

    2.传递函数的时间常数表达式

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    式中,分子和分母中的一次因子对应于实数零点和极点;二次因式对应于共轭的复数零点和极点;τi和Tj称为时间常数;K为系统的传递系数或称静态增益;ξ或ζ为阻尼比。

    由该表达式可以看出:系统可以分解为一些比较典型的环节。

    3.传递系数

    前面介绍了两种传递系数K和Kg:其中:

    为分子与分母多项式中最高次项系数之比。

    为分子与分母多项式中常数项之比。

    两者有如下关系:

    四、典型环节及其传递函数

    控制系统由许多元件组合而成,这些元件的物理结构和作用原理是多种多样的,但抛开具体结构和物理特点,从传递函数的数学模型来看,可以划分成几种典型环节,常用的典型环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、延迟环节等。

    任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。典型环节通常分为以下六种:

    1. 比例环节

    环节输出量与输入量成正比,不失真也无时间滞后的环节称为比例环节,也称无惯性环节。输入量与输出量之间的表达式为

    比例环节的传递函数为

    式中K为常数,称为比例环节的放大系数或增益。

    2. 惯性环节(非周期环节)

    惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程

    其传递函数为

    02f862f0-4613-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    当输入为单位阶跃函数时,其单位阶跃响应为

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    单位阶跃响应曲线

    特点: 含一个储能元件,对突变的输入其输出不能立即复现,输出无振荡。

    实例:惯性环节实例很多,如图所示的R-L网络,输入为电压u,输出为电感电流i,其传递函数

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    R-L网络

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    3.微分环节

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    实际微分环节的阶跃响应是按指数规律下降,若K值很大而Td值很小时,实际微分环节就愈接近于理想微分环节。

    4.积分环节

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    特点: 输出量与输入量的积分成正比例,当输入消失,输出具有记忆功能。

    实例: 电动机角速度与角度间的传递函数,模拟计算机中的积分器等。

    它随时间直线增长,当输入突然消失,积分停止,输出维持不变,故积分环节具有记忆功能,如图所示。

    0af862f0-4613-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    0ff862f0-4613-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    上图为运算放大器构成的积分环节,输入ui(t),输出u0(t),其传递函数为

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    5.二阶振荡环节

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    6.延迟环节

    需要指出,在实际生产中,有很多场合是存在迟延的,比如皮带或管道输送过程、管道反应和管道混合过程,多个设备串联以及测量装置系统等。迟延过大往往会使控制效果恶化,甚至使系统失去稳定。

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    五、实例分析

    1.RC两级滤波网络

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    设有一RC两级滤波网络如图。其输入信号为ei,输出信号为 eo,试求两级串联后传递函数。

    (1)不计负载效应

    第一级滤波器的输入信号是ei,输出信号是eab,其传递函数为

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    第二级滤波器的输入信号是eab输出信号为eo,其传递函数为

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    根据传递函数的相乘性,有

    16f862f0-4613-eb11-8da9-e4434bdf6706.png

    (2)考虑负载效应

    第一级的传递函数为

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    第二级的传递函数没有变,因此总的传递函数为

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    比较(1)、(2)两式可知,考虑负载效应时,传递函数

    的分母中多了一项
    。它表示了两个简单 RC 电路的相互影响。因此,在求串联环节的等效传递函数时应考虑环节间的负载效应,否则容易得出错误的结果。所以提出两点注意:

    1)多个环节相串联在求其总传递函数时要考虑负载效应;

    2)后一级的输入阻抗为无限大(或很大)时,可以不考虑它对前级的影响。

    2.测速发电机-测量角速度并将它转换成电压量的装置

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    3.他励直流电动机

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    在工程应用中,由于电枢电路电感La较小,通常忽略不计,因而可简化为

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    可视为负载扰动转矩。根据线性系统的叠加原理,分别求

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    小 结

    l 传递函数的定义

    l 传递函数的特点

    l 传递函数的极点和零点对输出的影响

    l 典型环节的传递函数

    金鸡一唱天下白:第四讲 控制系统的方框图​zhuanlan.zhihu.com
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    参考

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  • 比例积分微分(PID)控制作用 PID控制器是比例、积分、微分三种控制作用的叠加,又称为比例-微分-积分校正,其传递函数可表示为 实际工业中PID控制器的传递函数为 三、校正装置及其特性 1.超前校正装置 另外从校正装置...

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    金鸡一唱天下白:第十一讲 系统的开环频率特性​zhuanlan.zhihu.com
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    为了改善系统的动态性能和稳态性能,我们常在在系统中加入一些参数可调整的装置(称作装置),以便调整系统结构,进一步提高系统的性能,使系统能够满足性能指标要求,这就是系统校正。

    按校正装置在系统中的位置不同,系统校正分为串联校正,反馈校正和复合校正。

    根据校正装置的特性又可分为超前校正,滞后校正,滞后-超前校正。

    系统校正的实质都是表现为修改描述系统运动规律的数学模型。设计校正装置的过程是一个多次试探的过程并带有许多经验。

    线性系统的基本控制规律比例(P)、积分(I)、比例-微分(PD)、比例-积分(PI)和比例-积分-微分(PID)控制规律。超前校正,滞后校正,滞后-超前校正,用校正装置的不同特性改善系统的动态特性和稳态特性。

    一、 概 述

    系统的性能指标,按其类型可以分为:

    (1) 时域性能指标,包括稳态性能指标和动态性能指标;

    (2) 频域性能指标,包括开环频域指标和闭环频域指标;

    1. 时域性能指标

    评价控制系统优劣的性能指标,一般是根据系统在典型输入下输出响应的某些特征点规定的。常用的时域指标有:

    (1) 稳态指标 静态位置误差系数Kp 静态速度误差系数Kv 静态加速度误差系数Ka 稳态误差ess

    (2) 动态指标

    上升时间tr 峰值时间tp 调整时间ts 最大超调量(或最大百分比超调量) Mp 振荡次数N

    2. 频域性能指标

    (1) 开环频域指标 开环截止频率ωc (rad/s) ;相角裕量γ(°) ;幅值裕量Kg

    (2) 闭环频域指标

    一般应对闭环频率特性提出要求,例如给出闭环频率特性曲线,并给出闭环频域指标如下:谐振频率ωr ;谐振峰值 Mr

    闭环截止频率ωb与闭环带宽0~ωb

    一般规定A(ω)由A(0)下降到-3dB时的频率,亦即A(ω)由A(0)下降到0.707 A(0)时的频率叫作系统的闭环截止频率。频率由0~ ωb的范围称为系统的闭环带宽。

    各类性能指标是从不同的角度表示系统的性能,它们之间存在必然的内在联系。对于二阶系统,时域指标和频域指标之间能用准确的数学式子表示出来。它们可统一采用阻尼比ζ和无阻尼自然振荡频率ωn来描述,如所示。

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    2.系统的校正

    进行系统校正就要选择合适的、合理的性能指标,切忌贪大求全、不切实际。要搞清楚重点指标要求、照顾到各项指标要求。

    校正装置的形式及它们和系统其它部分的联接方式,称为系统的校正方式。校正方式可以分为串联校正、反馈(并联)校正、前置校正和干扰补偿等。串联校正和并联校正是最常见的两种校正方式。

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    各种校正装置在系统中的连接方式 来自网上(侵删)

    1. 串联校正

    校正装置

    串联在系统的前向通道中,如图1所示。

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    图1 串联校正

    2.反馈校正(并联校正)

    校正装置

    反并联在系统的反馈通道中,如图2所示。

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    图2 反馈校正

    3. 前置校正

    前置校正又称为前馈校正,是在系统反馈回路之外采用的一种校正方式,如图3所示。

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    4. 干扰补偿

    干扰补偿装置Gc(s)直接或间接测量干扰信号n(t),并经变换后接入系统,形成一条附加的、对干扰的影响进行补偿的通道,如图4所示。

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    根据校正装置的特性,校正装置可分为超前校正装置、滞后校正装置和滞后-超前校正装置。

    (1) 超前校正装置

    校正装置输出信号在相位上超前于输入信号,即校正装置具有正的相角特性,这种校正装置称为超前校正装置,对系统的校正称为超前校正。

    (2) 滞后校正装置

    校正装置输出信号在相位上落后于输入信号,即校正装置具有负的相角特性,这种校正装置称为滞后校正装置,对系统的校正称为滞后校正。

    (3) 滞后-超前校正装置

    若校正装置在某一频率范围内具有负的相角特性,而在另一频率范围内却具有正的相角特性,这种校正装置称滞后-超前校正装置,对系统的校正称为滞后-超前校正。

    二、线性系统的基本控制规律

    校正装置中最常用的是PID控制规律。PID控制是比例积分微分控制的简称。在科学技术特别是电子计算机迅速发展的今天,涌现出许多新的控制方法,但PID由于它自身的优点仍然是得到最广泛应用的基本控制规律。 PID控制具有以下优点:

    (1) 原理简单,使用方便;

    (2) 适应性强, 按PID控制规律进行工作的控制器早已商品化,即使目前最新式的过程控制计算机,其基本控制功能也仍然是PID控制;

    (3) 鲁棒性强,即其控制品质对被控制对象特性的变化不大敏感。

    在控制系统的设计与校正中,PID控制规律的优越性是明显的,它的基本原理却比较简单。基本PID控制规律可描述为

    8c23ccf4d117909d5eda057d9a7321ea.png

    这里 KPKIKD 为常数。设计者的问题是如何恰当地组合这些元件或环节,确定连接方式以及它们的参数,以便使系统全面满足所要求的性能指标。

    1.比例(P)控制作用

    比例控制器的传递函数为

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    式中, KP 称为比例系数或增益(视情况可设置为正或负)。系统的特征方程

    2.比例微分(PD)控制作用

    比例微分控制的传递函数为

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    式中, KD称为微分增益。采用比例微分(PD)校正二阶系统的结构框图如图6所示。

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    控制器的输出信号

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    微分控制反映误差的变化率,只有当误差随时间变化时,微分作用才会对系统起作用,而对无变化或缓慢变化的对象不起作用,因此微分控制在任何情况下不能单独地与被控对象串联使用,而只能构成PD或PID控制。另外,微分控制有放大噪声信号的缺点。

    3.积分(I)控制作用

    积分控制的传递函数

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    PI控制器的传递函数为

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    4.比例积分微分(PID)控制作用

    PID控制器是比例、积分、微分三种控制作用的叠加,又称为比例-微分-积分校正,其传递函数可表示为

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    实际工业中PID控制器的传递函数为

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    三、校正装置及其特性

    1.超前校正装置

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    另外从校正装置的表达式来看,采用无源相位超前校正装置时,系统的开环增益要下降a倍,为了补偿超前网络带来的幅值衰减,通常在采用无源RC超前校正装置的同时串入一个放大倍数Kc=1/a的放大器。超前校正网络加放大器后,校正装置的传递函数

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    相频曲线具有正相角,即网络的稳态输出在相位上超前于输入,故称为超前校正网络。超前网络产生的超前相角为

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    2.滞后校正装置

    校正装置的相频曲线具有负相角,这表明,网络在正弦信号作用下的稳态输出在相位上滞后于输入,故称为滞后网络。

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    从对数频率特性看,滞后校正装置是一个低通滤波器,且β值愈大,抑制高频噪声的能力愈强,滞后校正装置主要是利用其高频衰减特性。对于高精度,而快速性要求不高的系统常采用滞后校正,如恒温控制等。

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    3.滞后-超前校正装置

    其传递函数为

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    且设分母多项式分解为两个一次式,时间常数取为T1 、T2 ,则上式可写成

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    式中,

    ;并假设,
    那么,式中前一部分为滞后校正,后一部分为超前校正。

    频率特性

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    网络的对数频率特性曲线如图所示。可以看出,曲线低频段具有负相角,起滞后校正作用,高频段具有正相角,起超前校正作用。故称滞后—超前校正装置。

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