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  • 典型环节传递函数

    2018-03-10 20:29:16
    详细描述自动控制原理中的传递函数,可以帮助你迅速理解闭环、开环传递函数的概念及原理
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    自动控制原理(4)——传递函数、典型环节的传递函数

    微分方程模型

    • 优点:是时间域的数学模型,比较直观,它用时间域的方式,描述系统输入和输出变量之间的关系

      ​ 在给定初始条件和输入信号后,借助计算机可以迅速而准确地求出输出响应

    • 缺点:不便于分析结构或参数变化对系统性能的影响

    微分方程的方法研究控制系统对于参数变化或结构形式的改变的分析具有局限性

    一、传递函数

    • 复数域的数学模型

    • 在研究系统结构或参数变化对性能的影响方面非常方便

    • 定义:线性定常系统的传递函数是零初始条件下系统输出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比

    • 传递函数针对线性定常系统定义,对非线性的、或时变的系统是不适用的

    • 零初始条件

      • 系统的输入在时间t>0时才作用于系统,在零时刻之前,系统的输入及其各阶导数均为零
      • 输入在施加于系统之前,系统为稳态,也就是说,在零时刻之前,系统输出及其各阶导数均为零
    • 性质

      • 传递函数反映系统自身固有特性,与输入和初始条件无关

      • 传递函数与微分方程:将微分方程运算符d/dt用复数s置换可以得到传递函数,反之亦然

      • 不同的物理系统可能有相同的传递函数(如相似系统),而同一系统可以有不同的传递函数

      • 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系,如果是多输入多输出系统,可以用传递函数矩 阵表示

      • 传递函数与单位脉冲响应之间是拉氏变换与拉氏反变换的关系

      • 一般情况下,传递函数分子的阶数m与分母的阶数n满足n≥m(称为物理现实性条件)

    • 局限性

      • 只适于线性定常系统的表达
      • 不反映初始状态的信息
      • 不反映系统内部的信息

    二、典型环节的传递函数

    构成线性定常控制系统的七个环节:比例环节,微分环节,一阶微分环节,二阶微分环节,积分环节,惯性环节,振荡环节

    1、比例环节c(t)=Kr(t) G(s)=K

    • K为比例系数
    • 比例环节又称无惯性环节或放大环节
    • 比例环节既无零点,又无极点
    • 性质:比例环节输出与输入成正比,不失真也不滞后
    • 实例:理想的杠杆、放大器、测速发电机、电位器等

    2、惯性环节
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    • T为时间常数
    • K为放大系数(比例系数)
    • 惯性环节无零点
    • 性质:当系统输入时单位阶跃信号时系统输出按单调指数规律上升

    3、积分环节
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    • T为积分时间常数
    • 积分环节无零点
    • 当输入是单位阶跃信号时,积分环节的输出以固定斜率1/T单调上升

    4、振荡环节
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    • ωn为无阻尼自然振荡频率

    • ζ为阻尼比

    5、微分环节

    • 理想微分环节
      在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    • 微分环节的输出与输入的一阶导数成正比,因此微分环节能预示输入信号的变化趋势,常用来改善控制系统的动态性能

    6、一阶微分环节

    • 理想一阶微分环节(比例微分环节)
      在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    • τ为时间常数
    • 比例微分环节可以抑制震荡,提高控制系统的稳定性,改善系统的动态性能

    7、二阶微分环节

    • 理想二阶微分环节
      在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    • τ为时间常数
    • ζ为阻尼比
    • 二阶微分环节没有极点,有2个零点
    • 实际中也不存在真正的二阶微分环节

    8、延滞环节
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    • τ叫做延滞时间,又称死区时间
    • 具有延滞环节的系统叫做延滞系统
    • 性质:延滞环节将输入延迟τ时间后才输出。系统中存在延滞环节时,对系统的稳定性不利
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  • 构成线性定常控制系统的七个环节:比例环节,微分环节,一阶微分环节,二阶微分环节,积分环节,惯性环节,振荡环节 1.比例环节 K为比例系数 比例环节又称无惯性环节或放大环节 比例环节既无零点,又无极点 性质:...

    构成线性定常控制系统的七个环节:比例环节微分环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节振荡环节

    1.比例环节

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    • K为比例系数
    • 比例环节又称无惯性环节放大环节
    • 比例环节既无零点,又无极点
    • 性质:比例环节输出与输入成正比,不失真也不滞后
    • 实例:理想的杠杆、放大器、测速发电机、电位器等

    2.惯性环节

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述T为时间常数

    • K为放大系数(比例系数)
    • 惯性环节无零点
    • 性质:当系统输入时单位阶跃信号时系统输出按单调指数规律上升

    3.积分环节

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    • T为积分时间常数
    • 积分环节无零点
    • 当输入是单位阶跃信号时,积分环节的输出以固定斜率 1 T \frac{1}{T} T1单调上升

    4.微分环节

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    • 微分环节的输出与输入的一阶导数成正比,因此微分环节能预示输入信号的变化趋势,常用来改善控制系统的动态性能

    5.振荡环节

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    • ωn无阻尼自然振荡频率
    • ζ阻尼比

    6.一阶微分环节

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    • τ \tau τ时间常数
    • 比例微分环节可以抑制震荡,提高控制系统的稳定性,改善系统的动态性能

    7.二阶微分环节

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    • τ \tau τ时间常数
    • ζ为阻尼比
    • 二阶微分环节没有极点,有2个零点
    • 实际中也不存在真正的二阶微分环节
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  • 微分方程建立后,就可对其求解,得出输出量的运动规律,从而对系统进行分析与研究。但微分方程求解繁琐,且从其本身很难分析系统的...1、传递函数的基本定义:线性定常系统的传递函数,定义为零初始条件下,系统输出...

    微分方程建立后,就可对其求解,得出输出量的运动规律,从而对系统进行分析与研究。但微分方程求解繁琐,且从其本身很难分析系统的动态特性,但若对微分方程进行拉氏变换,即得到代数方程,使求解简化,又便于分析研究系统的动态特性,更直观地表示出系统中各变量间的相互关系。

    传递函数就是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。

    1、传递函数的基本定义:

    线性定常系统的传递函数,定义为零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

    零初始条件:

    t<0时,输入量及其各阶导数均为0;

    输入量施加于系统之前,系统处于稳定的工作状态,即t< 0 时,输出量及其各阶导数也均为0;

    传递函数的一般形式:

    设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述:

    bb1977d11a5d3d2bb107156fe9665f66.gif005db33a46f413b65f0de96797e7f3af.gif

    式中,ndf2690832f6c8ffa16da13d001f77f59.gifm,当初始条件全为零时,对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式:

    bb1977d11a5d3d2bb107156fe9665f66.gife79d25ae8f596901ee6196b7b9a4be81.gif

    此式表示了输入到输出之间信息的传递关系,称G(s)为系统的传递函数。

    传递函数的主要特点有:

    a: 传递函数是复变量s的有理真分式函数,m≤n,且所具有复变量函数的所有性质。

    b: G(s)取决于系统或元件的结构和参数,与输入量的形式(幅度与大小)无关。

    C: G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系,但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。

    d: 传递函数的量纲是根据输入量和输出量来决定,可有可无。

    e: 如果G(s)已知,那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。

    f: 如果系统的G(s)未知,可以给系统加上已知的输入,研究其输出,从而得出传递函数,一旦建立G(s)可以给出该

    系统动态特性的完整描述,与其它物理描述不同。

    传递函数的几点说明

    ※ 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输入量与输出量之间的关系式;传递函数的概念通常只适用于线性定常系统;

    ※ 传递函数是s的复变函数。传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等,完全取决于系统结构参数;

    ※ 传递函数是在零初始条件下定义的,即在零时刻之前,系统对所给定的平衡工作点处于相对静止状态。因此,传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律;

    ※ 传递函数只能表示系统输入与输出的关系,无法描述系统内部中间变量的变化情况。

    ※ 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系,只适合于单输入单输出系统的描述。

    2、传递函数的零点和极点

    bb1977d11a5d3d2bb107156fe9665f66.gifc5a6bd9ada4c128c7ed945053432159a.gif

    pi称为G(s)的极点,zi称为G(s)的零点。

    3、典型环节的传递函数

    环节:

    具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。

    任何复杂系统可看做由一些基本的环节组成,控制系统中常用的典型环节有:

    比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延迟环节等。

    1、比例环节(放大环节):

    输出量不失真、无惯性地跟随输入量,两者成比例关系。

    其运动方程为:xo(t)=Kxi(t)   拉氏变换为:Xo(s)=KXi(s)

    xo(t)、xi(t)—分别为环节的输出和输入量;

    K—比例环节的增益或放大环节的放大系数,等于输出量与输入量之比。

    比例环节的传递函数为bb1977d11a5d3d2bb107156fe9665f66.gif

    cca746bc8fcee234f06900de71b25f59.gif

    例:求图示一齿轮传动副的传递函数,  分别为输入轴及输出轴转速,Z1和Z2为齿轮齿数,(当齿轮副无传动间隙,且传动系统刚性无穷大时,为理想状态).

    bb1977d11a5d3d2bb107156fe9665f66.gif因为:bf24b2325aa8fa13f0950097089b186d.gif

    其拉换变换:d5934757e9fede4dba8caee687d4d816.gif

    cac0cbba4aea829554c27a166841a304.gifbb1977d11a5d3d2bb107156fe9665f66.gif

    bbb85bd8efeff0eef2f94108f968d27e.png

    2、惯性环节(非周期环节)

    41a8978563f5fbf9ac1f9cb3ae1abe0f.png

    5f97b4124d67215c95f2781906b94abe.png

    此环节与比例环节相比,不能立即复现输出,而需要一定的时间。说此环节具有“惯性”,这是因为其中含有储能元件K与阻能元件C的原因。惯性大小由T来决定。

    3、微分环节

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    这是因为当输入量为阶跃函数时,输出在理论上将是一个幅值为无穷大而时间宽度为0的脉冲。这实际上是不可能的。因此微分环节必须与其它环节同时存在。

    例:图示为一电网络系统:

    5d2a0a217a8704fae1dab5a8618ec474.png

    4、积分环节

    00c050e9a1197cd403fb0b0f4b9bcac0.png

    例:图示为一电网络系统,其中i为输入,u为输出,则

    dc05e0bf97f054435c850cf0d4b7fee7.gif

    5、振荡环节

    是二阶环节,含有两个独立的储能元件,且所存储的能量能够相互转换,从而导致输出带有振荡的性质,其运动方程为:

    e57a3cba18a4f0c61a1866581b01fc61.png

    ddbe2b0e3f31c37430ae6749f3bbb857.png

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    6、延迟环节(也称传输滞后环节):

    015d0cbb141460603848d6a98ed85a32.png

    其输出滞后输入时间τ,但不失真地反映输入,延迟环节一般与其它环节共存,不单独存在。

    延迟环节与惯性环节的区别:

    ※ 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出,仅由于惯性,输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值;

    ※ 延迟环节从输入开始之初,在0 ~ τ时间内,没有输出,但t=τ之后,输出完全等于输入。

    例:图示带钢轧制过程

    8f0725e42c6a020302a85b509b7ab198.png

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