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    自动控制原理(4)——传递函数、典型环节的传递函数

    微分方程模型

    • 优点:是时间域的数学模型,比较直观,它用时间域的方式,描述系统输入和输出变量之间的关系

      ​ 在给定初始条件和输入信号后,借助计算机可以迅速而准确地求出输出响应

    • 缺点:不便于分析结构或参数变化对系统性能的影响

    微分方程的方法研究控制系统对于参数变化或结构形式的改变的分析具有局限性

    一、传递函数

    • 复数域的数学模型

    • 在研究系统结构或参数变化对性能的影响方面非常方便

    • 定义:线性定常系统的传递函数是零初始条件下系统输出量的拉氏变换与系统输入量的拉氏变换之比

    • 传递函数针对线性定常系统定义,对非线性的、或时变的系统是不适用的

    • 零初始条件

      • 系统的输入在时间t>0时才作用于系统,在零时刻之前,系统的输入及其各阶导数均为零
      • 输入在施加于系统之前,系统为稳态,也就是说,在零时刻之前,系统输出及其各阶导数均为零
    • 性质

      • 传递函数反映系统自身固有特性,与输入和初始条件无关

      • 传递函数与微分方程:将微分方程运算符d/dt用复数s置换可以得到传递函数,反之亦然

      • 不同的物理系统可能有相同的传递函数(如相似系统),而同一系统可以有不同的传递函数

      • 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系,如果是多输入多输出系统,可以用传递函数矩 阵表示

      • 传递函数与单位脉冲响应之间是拉氏变换与拉氏反变换的关系

      • 一般情况下,传递函数分子的阶数m与分母的阶数n满足n≥m(称为物理现实性条件)

    • 局限性

      • 只适于线性定常系统的表达
      • 不反映初始状态的信息
      • 不反映系统内部的信息

    二、典型环节的传递函数

    构成线性定常控制系统的七个环节:比例环节,微分环节,一阶微分环节,二阶微分环节,积分环节,惯性环节,振荡环节

    1、比例环节c(t)=Kr(t) G(s)=K

    • K为比例系数
    • 比例环节又称无惯性环节或放大环节
    • 比例环节既无零点,又无极点
    • 性质:比例环节输出与输入成正比,不失真也不滞后
    • 实例:理想的杠杆、放大器、测速发电机、电位器等

    2、惯性环节
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    • T为时间常数
    • K为放大系数(比例系数)
    • 惯性环节无零点
    • 性质:当系统输入时单位阶跃信号时系统输出按单调指数规律上升

    3、积分环节
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    • T为积分时间常数
    • 积分环节无零点
    • 当输入是单位阶跃信号时,积分环节的输出以固定斜率1/T单调上升

    4、振荡环节
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    • ωn为无阻尼自然振荡频率

    • ζ为阻尼比

    5、微分环节

    • 理想微分环节
      在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    • 微分环节的输出与输入的一阶导数成正比,因此微分环节能预示输入信号的变化趋势,常用来改善控制系统的动态性能

    6、一阶微分环节

    • 理想一阶微分环节(比例微分环节)
      在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    • τ为时间常数
    • 比例微分环节可以抑制震荡,提高控制系统的稳定性,改善系统的动态性能

    7、二阶微分环节

    • 理想二阶微分环节
      在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    • τ为时间常数
    • ζ为阻尼比
    • 二阶微分环节没有极点,有2个零点
    • 实际中也不存在真正的二阶微分环节

    8、延滞环节
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    • τ叫做延滞时间,又称死区时间
    • 具有延滞环节的系统叫做延滞系统
    • 性质:延滞环节将输入延迟τ时间后才输出。系统中存在延滞环节时,对系统的稳定性不利
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  • 构成线性定常控制系统七个环节:比例环节,微分环节,一阶微分环节,二阶微分环节,积分环节,惯性环节,振荡环节 1.比例环节 K为比例系数 比例环节又称无惯性环节或放大环节 比例环节既无零点,又无极点 性质:...

    构成线性定常控制系统的七个环节:比例环节微分环节一阶微分环节二阶微分环节积分环节惯性环节振荡环节

    1.比例环节

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    • K为比例系数
    • 比例环节又称无惯性环节放大环节
    • 比例环节既无零点,又无极点
    • 性质:比例环节输出与输入成正比,不失真也不滞后
    • 实例:理想的杠杆、放大器、测速发电机、电位器等

    2.惯性环节

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述T为时间常数

    • K为放大系数(比例系数)
    • 惯性环节无零点
    • 性质:当系统输入时单位阶跃信号时系统输出按单调指数规律上升

    3.积分环节

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    • T为积分时间常数
    • 积分环节无零点
    • 当输入是单位阶跃信号时,积分环节的输出以固定斜率1T\frac{1}{T}单调上升

    4.微分环节

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    • 微分环节的输出与输入的一阶导数成正比,因此微分环节能预示输入信号的变化趋势,常用来改善控制系统的动态性能

    5.振荡环节

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    • ωn无阻尼自然振荡频率
    • ζ阻尼比

    6.一阶微分环节

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    • τ\tau时间常数
    • 比例微分环节可以抑制震荡,提高控制系统的稳定性,改善系统的动态性能

    7.二阶微分环节

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    • τ\tau时间常数
    • ζ为阻尼比
    • 二阶微分环节没有极点,有2个零点
    • 实际中也不存在真正的二阶微分环节
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    一、典型连接的等效传递函数

    1.单元个方框图

     

    图2-32

                                             (2-48)

     2.信号综合 (图)

     

     

     

     

    图2-32

                                        (2-49)

    3.几个环节串联连接的传递函数

     

     

    图2-33

    证明:

        

    消去中间变量得几个环节串联的传递函数

                           (2-50) 

    若有几个环节串联,则等效函数:

                            (2-51)

    4. 几个环节并联的传递函数

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    图2-34

    证明:

                     (2-52)

                       (2-53)

    若有几个环节并联:      (2-54)

    5. 反馈连接的等效传递函数 

     

     

     

     

     

     

     

    图2-35

     

    特点:将输出量返回系统输入形式闭环。有两个通道(正向通道 反馈通道)。

    传递函数的推导:

        

      

                         (2-55)

    二、相加点、分支点的变换运算

    1、相加点从单元输入端移到输出端 

     

     

     

     

     

     

    图2-36

    变换前:

    变换后: 

    2、相加点从单元输出端移到输入端

     

     

     

     

     

     

    图2-37

    变换前:

    变换后:

    3、分支点从单元输入端移到输出端

     

     

     

     

     

     

     

    图2-38

     

    4、分支点从单元输出端移到输入端

     

     

     

     

     

     

    图2-39

     

    5、分支点及相加点可以互换

     

     

     

     

     

     

     

     

    图2-40

     

     

     

     

     

     

     

    图2-41

     

    三、系统开环传递函数

    1、系统开环传递函数:

    是闭环系统反馈信号的拉氏变换与偏差信号拉氏变换之比。

    2、开环传递函数的求法:

    1)单回路系统

     

     

     

     

     

     

     

    图2-42

                        (2-56)

     ―反馈通道传函

    ――正向通道传递函数。

    结论:系统的开环传递函数是正向通道传递函数和反馈通道传递函数的乘积。

    2)多回路系统

    ①无交错

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    图2-43

    求开环传递函数过程:

    无交错单回路

    关键:红框中的环节是并联关系。

         (2-57)

     eq \o\ac(○,2)2 有交错

       变换过程: 

    有交错

     举习题集中习题让学生叙述该题求W过程

    四、 系统闭环传递函数

      定义:在初始条件为零的情况下,系统输出量的拉氏变换输入拉氏变化之比。

            (2-58)

    例如图 求闭环传递函数:

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    图2-44

     

    结构图变换步骤:

    1) 分支点eq \o\ac(○,1)1前移           2)求局部反馈w

    3)求构成的局部反馈      4)化简成单回路

     

     

     

     

     

     

    图2-45

     (2-59)

    五、 系统对给定作用和扰动作用的传递函数

     

     

     

     

     

     

    图2—46

    系统给定量和扰动量同时作用于系统,线形系统满足叠加原理,算出各自作用输出,然后算出总输出。

    1、只有给定作用(N(S)=0)

                                     (2-60)

       系统输出:                   (2-61)

    2、只有扰动作用 [X

                       (2-62)

                        (2-63)

    系统总输出:

      (2-64)

    小结:掌握等效的概念及等效变换的基本原则,能够求出复杂结构图的传递函数

    转载于:https://www.cnblogs.com/lianjiehere/p/4710710.html

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典型环节的传递函数