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  • 典型相关分析与回归分析
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    2019-04-15 08:17:57

    一、相关分析和回归分析:

    相关分析是根据统计数据,通过计算分析变量之间关系的方向和紧密程度,而不能说明变量之间相互关系的具体形式,无法从一个变量的变化来推测另一个变量的变化情况。回归分析能够确切说明变量之间相互关系的具体形式,可以通过一个相关的数学表达式,从一个变量的变化来推测另一个变量的变化情况,使估计和预测成为可能。相关分析是回归分析的基础和前提,回归分析是相关分析的深入和继续。

    相关分析相当于先检验一下众多的自变量和因变量之间是否存在相关性,当然通过相关分析求得相关系数没有回归分析的准确。
    如果相关分析时各自变量跟因变量之间没有相关性就没有必要再做回归分析;
    如果有一定的相关性了,然后再通过回归分析进一步验证他们之间的准确关系。
    同时相关分析还有一个目的,可以查看一下自变量之间的共线性程度如何,如果自变量间的相关性非常大,可能表示存在共线性
    参考自: 在做回归分析之前为什么要做相关性检验。明明作了相关性检验之后不管结果如何都要全做回归分析的啊。_百度知道

    二、回归分析与拟合问题

    曲线拟合问题的特点是,根据得到的若干有关变量的一组数据,寻找因变量与(一个或几个)自变量之间的一个函数,使这个函数对那组数据拟合得最好。通常,函数的形式可以由经验、先验知识或对数据的直观观察决定,要作的工作是由数据用最小二乘法计算函数中的待定系数。从计算的角度看,问题似乎已经完全解决了,还有进一步研究的必要吗?
    从数理统计的观点看,这里涉及的都是随机变量,我们根据一个样本计算出的那些系数,只是它们的一个(点)估计,应该对它们作区间估计或假设检验,如果置信区间太大,甚至包含了零点,那么系数的估计值是没有多大意义的。另外也可以用方差分析方法对模型的误差进行分析,对拟合的优劣给出评价。简单地说,回归分析就是对拟合问题作的统计分析。


    Reference

    1. 《Matlab数学建模算法全收录》
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  • 典型相关分析 CCA

    千次阅读 2020-12-23 01:21:10
    最近有小伙伴在问我一个数据分析的问题, 做毕设, 实证分析. 不知道改如何处理数据.看了下设计的量表大致是这样的, 都是 5级的里克特量表, 大致分为两波, X, Y. 小伙伴认为就只有两个变量, 这是从商业理论上来认识的,...

    最近有小伙伴在问我一个数据分析的问题, 做毕设, 实证分析. 不知道改如何处理数据.

    看了下设计的量表大致是这样的, 都是 5级的里克特量表, 大致分为两波, X, Y. 小伙伴认为就只有两个变量, 这是从商业理论上来认识的, 但从数据的角度, 却不是的.

    X: 一共有22个问题, 也就是22个字段; 里面又是有认为分组的, 三两个字段, 又被认定为一个别名.

    Y: 一共有13个问题, 也就是13个字段; 里面有是人为分组, 三两字段啥的, 分为 4组, 分别有别名.

    然后不知道该如何分析?

    问题

    探寻 X 与 Y 的相关关系(线性相关)

    其实探讨的时候, 挺不易的, 就很难知道她到底想要分析什么, 需求是什么, 还以为要做什么回归分析, 什么相关分析, 什么统计描述或其他的, 总之, 沟通过程非常漫长. 最后我放弃了, 还是单纯从这个数据级来分析.

    本质上, 其实宏观来看, 就是 X 和 Y 的相关性如何嘛, 以及如何影响的. 那这不是求一波, 相关系数嘛. 但这里, X, Y 是多个字段, 是多对多 的关系, 就求不来了. 因此需要引进新的方法.

    CCA

    于是引入了典型相关分析 (Canonical Correlation Analysis), 用于探索多变量之间的关联关系.

    于是这个问题, 就可以初步这样来做.

    更正一波,写的有点不对, 不是分别降低到一维度. 而是分别降维后, x 和 y 能进行 配对. 这里 y 有13个嘛, x 有22个, 假设根本不对 y 进行降维, 那最多也只能匹配到 13对. 约束条件就是相关系数最大呀. 这块的数学公式就暂时不写了, 跟 PCA , 因子分析的逻辑是类似的.

    发现了一个神器, 在线SPSS, 叫做 SPSSAU, 付费的, 但功能强大, UI 很有感觉, 重点是完全实现 傻瓜式操作. 虽然我已经不再做这块了, 但还是很怀念 SPSS, 比较是我数据分析之路的启蒙软件. 至少是真正用来做数据分析, 做市场研究的.

    简单, 托拉拽, 一键输出报告, 包含 假设检验. 探寻数据的应用意义, 而不用太多关注底层的数学公式. 虽然数学公式会更加帮助理解数据集, 这是后话. 我觉得这才是数据分析的意义:

    描述性统计分析

    关联性统计分析

    探索性建模分析

    这种基于统计理论的分析框架 + 商业理论, 已早已熟练于心. 虽然现在的不用这类 傻瓜工具了, 现在自己搞编程, 但我感觉企业中的数据分析, 至少我接触的反而更加低级.

    写 sql 查询数据 或 手动下载数据

    筛选字段, 合并表格

    计算业务指标, 几遍的加减乘除, 什么同比环比

    大量的分组聚合, 生成报表, 看板

    真的是, 从技术层面, 毫无难度. 我很多时间都是干这些活, 相比数据分析,我认为的, 我感觉还真不如几年前用 SPSS 的时光. 起码是真的再利用数据的价值来进行市场研究, 市场分析.

    然后会最终得到这样类似的结果 , 和一些假设检验, 因子载荷等的术语, 都蛮简单的. (我没跑, 数据暂不能公开, 找了一张网上的示意图)

    这样 CCP 就完成了, 多自变量 和 多因变量的关联分析了.

    Next - 回归

    继续要探寻, X 和部分 y 的关系. 我的思路, 都既然做相关分析了, 那很自然再拓展到回归分析呀.

    合并 y 为 1 列

    回归分析的 y 是一个字段, 因此, 可以将 量表中的 小 y 组进行, 合并为一列. 这里, 可以加权 或者 直接平均, 自己能解释清楚就行.

    主成分 + 多元回归

    有一个 y, 有很多的 x1, x2, x2... 相关分析, 就是要判断, 这些 x1, x2..与 y 是都是分别有线性相关性的(相关系数高); 而 x1, 与 x2, x3.. 之间呢, 彼此相关系数 要低

    第二步就是要降维. 为啥必须要降维度呢, 就是怕 X 矩阵, 存在共线, 然后就不能 求 逆了呀.

    PCA降维

    至于如何降维, 我感觉我自己都说烂了. 也搞好几年了, 就是让特征重新进行线性组合 (改变数据了哦) 为几个较少得到特征, 然后尽可能保留原来更多的信息 (协方差的范数尽可能大)

    求解模型参数

    方法1 是一步求解, 就用上面的共线图中的矩阵运算即可.

    方法2 是用梯度下降法来做, 我用的多, 但这个小伙伴, 没有学过编程, 就还是给推荐, 撒花是点点点算了.

    小结

    多自变量 和 多因变量 分析可以考虑 典型相关分析 CCA 这种 "降维配对" 的技术

    回归分析必须 3步: 先做相关性分析; 再做降维处理; 再训练模型参数;

    PCA 我感觉非常厉害的. 还有一在线版spssau 的工具体验感很好, 市场研究方面的数据处理, 很适合.

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  • 偏最小二乘回归是PCA、CCA和传统最小二乘模型的结合。 一、PCA主成分分析: 1.我们希望对数据进行有损压缩,即将属于R^n的x投影为属于R^l的c,有编码函数f(x)=c,使得损失的信息尽量少。同时有对应的解码函数g(c)...

    偏最小二乘回归是PCA、CCA和传统最小二乘模型的结合。

    一、PCA主成分分析:

    1.我们希望对数据进行有损压缩,即将属于R^n的x投影为属于R^l的c,有编码函数f(x)=c,使得损失的信息尽量少。同时有对应的解码函数g(c)约等于x。

    2.PCA由我们确定的解码函数而定,为了简化解码器,我们让g(c)=Dc,其中设D为一个属于R^(n*l)的矩阵,D可以有多个解,但我们假设D中的列向量都有单位范数,并限制D的列向量彼此正交(由于垂直的基更容易表示向量)。

    3.假设我们现在已经找到了这个D,如何在给定x的情况下找到最优的编码c呢?方法是:选取使x-g(c)的二范数最小的c。x-g(c)的二范数可以进行如下变换。

    (1)使得x-g(c)的二范数--等价于--使得二范数的平方最小(二范数非负)

    (2)x-g(c)二范数的平方=(x-g(c))^T*(x-g(c)),根据矩阵运算的分配律和向量的xTy=yTx,矩阵的(AB)T=BTAT。上式最终变换为xTx-2xTg(c)+g(c)Tg(c)。第一项与c无关,去掉。

    (3).将g(c)=Dc代入,上式=-2(x’)Dc+c’D’Dc=-2(x’)Dc+c’c (因为设D有正交性和单位范数)。

    (4)上式的对c求最小化,令上式的对c的偏导为0,推出c=D’x。由此我们知道了当D被确定后如何给定x求c。

    4.现在挑选最优的D。考虑降到1维的情况,则选取的矩阵D为R^n的向量d,选取令sum(xi-dd’xi)的二范数的平方))最小(并满足d’d=1)的d,该最优化问题的矩阵形式为X-Xdd’的二范数的平方最小化,则

    X-Xdd’的二范数=Tr[(X-Xdd’)’(X-Xdd’)],

    5.以上最优化问题变化为(简化过程使用Tr迹运算的定理,(1)Tr(A)=Tr(A^T)  (2)Tr(ABC)=Tr(CAB)=Tr(BCA)  (3)Tr(实数)=实数)求使得Tr(d’X’Xd)最大并满足d’d=1的向量d。

    6.优化问题的最终形式使用特征分解来求解。最优的d是X‘X最大特征值对应的特征向量。以上为l=1时,选取特征值最大的向量,进行推广,则选取前l个最大的特征值对应的特征向量。以列为样本、行为属性的情况下,若零均值化,协方差矩阵即为(1/(m-1))* X‘X。对其求前l个最大特征值对应的特征向量,并进行单位化,将他们一行行排起来,用数据矩阵左乘它就能得到降维后的数据矩阵(即C=D’X)。

    7.使用:以行为样本为例,将原数据矩阵每个值减去该列的均值(零均值化),再计算数据集的协方差阵(1/m)* XX’,求出特征值和特征向量,将特征向量单位化,选取前k个最大的特征值对应的特征向量(k为需要的维度量,或按照k的选取选择1-前k个特征值总和占特征值总和的比例<=阈值(比如0.01)),按列排列,原零均值矩阵右乘该矩阵。

    8.矩阵的对角化:将一个变换左乘一组向量的逆,右乘一组向量,就能将这个变换表示成以那组向量为基视角下的变换矩阵。如果这组向量选的是特征向量(当然前提是特征向量能张成空间),那么就将那个变换变成对角矩阵了。所以矩阵能对角化的条件是有n个线性无关的特征向量,这样才有足够多的方向能用了选择作为对角化的视角。对于实特征阵,特征向量PCP‘=对角阵。

    9.协方差阵的对角化,即P*(1/(m-1))* XX’*P’=(1/(m-1))*PX*(PX)’,即为根据特征向量进行变换后的矩阵的协方差阵,其中各方差由大到小排列(因为特征向量如此排列)在对角线上,协方差都为零(满足各特征独立/正交)。故成功将原数据转化。

    10.其他降维方法总结:

    (1)PCA。需要注意的是,新的主成分并不是由实际系统产生的,因此在进行PCA变换后会丧失数据的解释性。

    (2)缺失值比例大于一个阈值的列去除。

    (3)低方差滤波:方差小于一个阈值的列去除。

    (4)高相关滤波:对归一化后的各列两两计算相关系数,大于一定阈值的删除其中一列。

    (5)随机森林判别法:在随机森林中常被选作最佳分类标准的属性评分更高。

     

     

    二、CCA典型相关分析:

    1.典型相关性分析研究假如有一堆样本点,每个点的x是多维的,y也是多维的,如何研究x与y间的相关关系。CCA是这样做的,将x用a1权重向量变换为一维,y用b1权重向量变换,选取a1、b1的标准是使得变换后的一维特征x和y的相关系数最大化。

    2.根据以上的思想,该问题可以转化为优化问题

    使得a1’*变换前x的方差矩阵*a1=1,b1’*变换前y的方差矩阵*b1=1,

    使得a1’*变换前协方差矩阵*b1最大

    设lambda和v为拉格朗日乘数,使用拉格朗日乘数法推导该问题,结合上面的多维求导公式,得结论

    (Lamda=v=变换后的相关系数(2)方1^-1*协方*方2^-1 *协方*a1=lambda^2*a1)

    解式二的特征值问题,特征向量为a1。

    3.CCA主要在多视图学习的特征融合方面有着广泛的应用,比如两张图片,一张正脸,一张侧脸,我们需要做一个人脸识别系统,就需要对其进行双视图学习,我想如果我们把这两张图结合在一起识别率一定会提高的,我们就需要用到CCA。

     

    三、PLSR偏最小二乘回归

    步骤:

    1.先对多维的x和y进行标准化,设权重向量w1和v1,将原来的x和y变换为一维特征t1和u1,权重选取的目标是使得变换后两个特征自身方差极大化且互相之间相关系数极大化。该问题可转化为问题:使得w1’X‘Yv1最大并使得w1、v1二范数平方=1。求解该问题,非常类似上面的CCA求解,最后解特征向量求得t1、u1。

    2.建立回归模型X0=t1alfa1+X1,X1为残差矩阵(Y也建立相同模型,自变量为t1)。Alfa1是参数向量。根据最小二乘估计解得alfa1=t1‘X0/t1二范数的平方,beta1将X0换Y0.

    3.估计出权重后计算残差的范数,未小于阈值则将残差矩阵看作X和Y重复以上步骤。

    4.最后的预测模型将所有式子一起代入,可求出通过多维X算出多维Y的式子。

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    如何在

    SPSS

    中实现典型相关分析?

    SPSS 11.0

    15.1

    典型相关分析

    15.1.1

    方法简介

    在相关分析一章中,我们主要研究的是两个变量间的相关,顶多调整其他因素的作用而已;如果要研究一个变量和一组变量间的相关,

    则可以使用多元线性回归,方程的复相关系数就是我们要的东西,同时偏相关系数还可以描述固定其他因素时某个自变量和应变量间的

    关系。但如果要研究两组变量的相关关系时,这些统计方法就无能为力了。比如要研究居民生活环境与健康状况的关系,生活环境和健

    康状况都有一大堆变量,如何来做

    ?

    难道说做出两两相关系数

    ?

    显然并不现实,我们需要寻找到更加综合,更具有代表性的指标,典型相

    (CanonicalCorrelation)

    分析就可以解决这个问题。

    典型相关分析方法由

    Hotelling

    提出,他的基本思想和主成分分析非常相似,也是降维。即根据变量间的相关关系,寻找一个或少数几

    个综合变量

    (

    实际观察变量的线性组合

    )

    对来替代原变量,从而将二组变量的关系集中到少数几对综合变量的关系上,提取时要求第一对

    综合变量间的相关性最大,第二对次之,依此类推。这些综合变量被称为典型变量,或典则变量,第

    1

    对典型变量间的相关系数则被称

    为第

    1

    典型相关系数。一般来说,只需要提取

    1

    2

    对典型变量即可较为充分的概括样本信息。

    可以证明,当两个变量组均只有一个变量时,典型相关系数即为简单相关系数;当一组变量只有一个变量时,典型相关系数即为复相关

    系数。故可以认为典型相关系数是简单相关系数、复相关系数的推广,或者说简单相关系数、复相关系数是典型相关系数的特例。

    15.1.2

    引例及语法说明

    SPSS

    中可以有两种方法来拟合典型相关分析,第一种是采用

    Manova

    过程来拟合,第二种是采用专门提供的宏程序来拟合,第二种方

    法在使用上非常简单,而输出的结果又非常详细,因此这里只对它进行介绍。该程序名为

    Canonical correlation.sps

    ,就放在

    SPSS

    安装路径之中,调用方式如下:

    INCLUDE 'SPSS

    所在路径

    \Canonical correlation.sps'.

    CANCORR SETl=

    第一组变量的列表

    /SET2=

    第二组变量的列表

    .

    在程序中首先应当使用

    include

    命令读入典型相关分析的宏程序,

    然后使用

    cancorr

    名称调用,

    注意最后的“.”表示整个语句结束,

    不能遗漏。

    这里的分析实例来自曹素华教授所著《实用医学多因素统计分析方法》第

    176

    页:为了研究兄长的头型与弟弟的头型间的关系,研

    究者随机抽查了

    25

    个家庭的两兄弟的头长和头宽,资料见文件

    canoncor.sav

    ,希望求得两组变量的典型变量及典型相关系数。显然,代

    表兄长头形的变量为第一组变量,代表弟弟头形的变量为第二组变量,这里希望求得的是两组变量间的相关性,在语法窗口中键入的程

    序如下:

    INCLUDE 'D:\SpssWin\Canonical correlation.sps'.

    请使用时改为各自相应的安装目录

    CANCORR SETl=longlwidthl

    列出第一组变量

    /SET2=long2width2.

    列出第二组变量

    选择菜单

    Run->All

    ,运行上述程序,结果窗口中就会给出典型相关分析的结果。

    15.1.3

    结果解释

    NOTE:ALL OUTPUT INCLUDING ERROR MESSAGES HAVE BEEN TEMPORARILY

    SUPPRESSED.IF YOU EXPERIENCE UNUSUAL BEHAVIOR THEN RERUN THIS

    展开全文
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