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  • Canonical Correlation Analysis 典型相关分析介绍定义典型相关分析(Canonical Correlation Analysis)12利用综合变量对之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性的多元统计分析方法。输入:两个随机变量组\(X =...

    Canonical Correlation Analysis 典型相关分析

    介绍

    定义

    典型相关分析(Canonical Correlation Analysis)12利用综合变量对之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性的多元统计分析方法。

    输入:两个随机变量组\(X = (x_1, \dots, x_n)\)和\(Y = (y_1, \dots, y_m)\)

    输出:两个向量\(a\)和\(b\),第一对典型变量\(U = a'X\)和\(V = b'Y\)

    目标:\(a'X\)和\(b'Y\)的相关系数\(\rho = \operatorname{corr}(a' X, b' Y)\)最大

    起源

    1936年由哈罗德·霍特林在《生物统计》期刊上发表的一篇论文《两组变式之间的关系》3首次引入。

    优点

    既考虑\(Y\)中的每个特征与\(X\)的所有特征的关联,也考虑了\(Y\)中的每个特征之间的关联。

    缺点

    CCA是寻找\(X\)和\(Y\)投影后\(U\)和\(V\)的关系,显然不能通过该关系来还原出\(X\)和\(Y\),也就是找不到\(X\)到\(Y\)的直接映射。这也是使用CCA预测时大多配上KNN的原因。

    应用领域

    多元统计分析方法

    相关

    Kernel Canonical Correlation Analysis (KCCA)

    当\(X\)和\(Y\)的关系是非线性的时候,我们可以尝试核函数(Kernel)方法

    Generalized Canonical Correlation

    不止两个集合\(X\)和\(Y\),而是多个集合的关系。

    主成分分析

    奇异值分解

    Multilinear subspace learning

    RV coefficient

    Principal angles

    Regularized canonical correlation analysis

    Partial least squares regression

    解法

    设 \(\Sigma_{XX} = \operatorname{cov}(X, X)\) 和 \(\Sigma_{YY} = \operatorname{cov}(Y, Y)\)。

    需要最大化的参数为

    \(\rho = \frac{a' \Sigma_{XY} b}{\sqrt{a' \Sigma_{XX} a} \sqrt{b' \Sigma_{YY} b}}\).

    第一步是定义一个基变更以及

    \(c = \Sigma_{XX} ^{1/2} a\),

    \(d = \Sigma_{YY} ^{1/2} b\).

    因此我们有

    \(\rho = \frac{c' \Sigma_{XX} ^{-1/2} \Sigma_{XY} \Sigma_{YY} ^{-1/2} d}{\sqrt{c' c} \sqrt{d' d}}\).

    根据柯西-施瓦茨不等式,我们有

    \(\left(c' \Sigma_{XX} ^{-1/2} \Sigma_{XY} \Sigma_{YY} ^{-1/2} \right) d \leq \left(c' \Sigma_{XX} ^{-1/2} \Sigma_{XY} \Sigma_{YY} ^{-1/2} \Sigma_{YY} ^{-1/2} \Sigma_{YX} \Sigma_{XX} ^{-1/2} c \right)^{1/2} \left(d' d \right)^{1/2}\),

    \(\rho \leq \frac{\left(c' \Sigma_{XX} ^{-1/2} \Sigma_{XY} \Sigma_{YY} ^{-1} \Sigma_{YX} \Sigma_{XX} ^{-1/2} c \right)^{1/2}}{\left(c' c \right)^{1/2}}\).

    如果向量 \(d\) 和 \(\Sigma_{YY} ^{-1/2} \Sigma_{YX} \Sigma_{XX} ^{-1/2} c\) 共线,那么上式相等。此外,如果 \(c\) 是矩阵 \(\Sigma_{XX} ^{-1/2} \Sigma_{XY} \Sigma_{YY} ^{-1} \Sigma_{YX} \Sigma_{XX} ^{-1/2}\) (见Rayleigh quotient) 最大特征值对应的特征向量,那么就可以得到相关的最大值。随后的典型变量对可以通过减少特征值的量级来得到。正交性保证了相关矩阵的对称性。

    因此解法是:

    \(c\) 是 \(\Sigma_{XX} ^{-1/2} \Sigma_{XY} \Sigma_{YY} ^{-1} \Sigma_{YX} \Sigma_{XX} ^{-1/2}\) 的一个特征向量。

    \(d\) 是 \(\Sigma_{YY} ^{-1/2} \Sigma_{YX} \Sigma_{XX} ^{-1/2} c\) 的比例项。

    相反地,也有:

    \(d\) 是 \(\Sigma_{YY} ^{-1/2} \Sigma_{YX} \Sigma_{XX} ^{-1} \Sigma_{XY} \Sigma_{YY} ^{-1/2}\) 的一个特征向量。

    \(c\) 是 \(\Sigma_{XX} ^{-1/2} \Sigma_{XY} \Sigma_{YY} ^{-1/2} d\) 的比例项。

    把坐标反过来,我们有

    \(a\) 是 \(\Sigma_{XX} ^{-1} \Sigma_{XY} \Sigma_{YY} ^{-1} \Sigma_{YX}\) 的一个特征向量。

    \(b\) 是 \(\Sigma_{YY} ^{-1} \Sigma_{YX} \Sigma_{XX} ^{-1} \Sigma_{XY}\) 的一个特征向量。

    \(a\) 是 \(\Sigma_{XX} ^{-1} \Sigma_{XY} b\) 的比例项。

    \(b\) 是 \(\Sigma_{YY} ^{-1} \Sigma_{YX} a\) 的比例项。

    那么相关变量定义为:

    \(U = c' \Sigma_{XX} ^{-1/2} X = a' X\)\(V = d' \Sigma_{YY} ^{-1/2} Y = b' Y\)

    实现

    Python

    Scikit-Learn

    sklearn.cross_decomposition.CCA

    cca_example.py

    1

    2

    3

    4

    5

    6from sklearn.cross_decomposition import CCA

    X = [[0., 0., 1.], [1.,0.,0.], [2.,2.,2.], [3.,5.,4.]]

    Y = [[0.1, -0.2], [0.9, 1.1], [6.2, 5.9], [11.9, 12.3]]

    cca = CCA(n_components=1)

    cca.fit(X, Y)

    X_c, Y_c = cca.transform(X, Y)

    output

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10>>> X_c

    array([[-1.3373174 ],

    [-1.10847164],

    [ 0.40763151],

    [ 2.03815753]])

    >>> Y_c

    array([[-0.85511537],

    [-0.70878547],

    [ 0.26065014],

    [ 1.3032507 ]])

    Matlab

    R

    SAS

    应用

    典型相关分析的用途很广。在实际分析问题中,当我们面临两组多变量数据,并希望研究两组变量之间的关系时,就要用到典型相关分析。 例如,为了研究扩张性财政政策实施以后对宏观经济发展的影响,就需要考察有关财政政策的一系列指标如财政支出总额的增长率、财政赤字增长率、国债发行额的增长率、税率降低率等与经济发展的一系列指标如国内生产总值增长率、就业增长率、物价上涨率等两组变量之间的相关程度。

    又如,为了研究宏观经济走势与股票市场走势之间的关系,就需要考察各种宏观经济指标如经济增长率、失业率、物价指数、进出口增长率等与各种反映股票市场状况的指标如股票价格指数、股票市场融资金额等两组变量之间的相关关系。再如,工厂要考察所使用的原料的质量对所生产的产品的质量的影响,就需要对所生产产品的各种质量指标与所使用的原料的各种质量指标之间的相关关系进行测度。

    又如,在分析评估某种经济投入与产出系统时,研究投入和产出情况之间的联系时,投入情况面可以从人力、物力等多个方面反映,产出情况也可以从产值、利税等方面反映。

    再如在分析影响居民消费因素时,我们可以将劳动者报酬、家庭经营收入、转移性收入等变量构成反映居民收入的变量组,而将食品支出、医疗保健支出、交通和通讯支出等变量构成反映居民支出情况的变量组,然后通过研究两变量组之间关系来分析影响居民消费因素情况。

    参考

    Knapp T R. Canonical correlation analysis: A general parametric significance-testing system[J]. Psychological Bulletin, 1978, 85(2): 410.↩︎

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  • 典型相关分析

    2020-09-06 15:49:06
    数学建模——典型相关分析典型相关分析引例定义思路原理及方法 典型相关分析 研究两组可能包含多个指标的变量之间相关关系的一种多元统计方法。它能够揭示出两组变量内部的关系。 引例 我们要探究观众和业内人士对于...

    典型相关分析

    研究两组可能包含多个指标的变量之间相关关系的一种多元统计方法。它能够揭示出两组变量内部的关系。

    引例

    我们要探究观众和业内人士对于一些电视节目的观点有什么关系呢?
    观众的评分来自低学历(led)高学历(hed)和网络(net)调查三种,它们形成第一组变量;业内人士的评分来自包括演员和导演在内的艺术家(arti)、发行(com)与业内各部门主管(man)三种,形成第二组变量。
    在这里插入图片描述
    如果直接对这些变量的相关性进行两两分析,很难得到关于这两组变量之间关系的一个很清楚的印象。
    于是我们吧多个变量和多个变量之间的关系转化成为两个具有代表性的变量之间的关系。
    那么问题来了,选择哪个指标作为哪个最有代表性的变量呢???
    首先我们解释一下什么叫做有代表性。
    就是能较为全面,综合的衡量其所在组的内在规律。
    这里的话,一组最简单的综合形式就是该变量组线性组合。

    定义

    首先在每组的变量中找出变量的线性集合,使得两组线性组合之间具有最大的相关系数。
    然后选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合,使其配对,并选取相关系数最大的一对
    如此下去,直到两组变量之间的相关性被提取完毕。
    被选取的线性组合配对称为典型变量,他们的相关系数称为典型相关系数。典型相关系数度量了两组变量之间联系的强度

    思路

    假设两组变量分别为:在这里插入图片描述
    分别在两组变量中选取有若干代表性的综合变量:U(i),V(i),使得每一个综合变量是原变量的线性组合,即:
    在这里插入图片描述
    注意:综合变量的组数是不确定的,如果第一组就能代表原数据的大部分信息,那么一组就足够了。假设第一组反应的信息不够,那么我们就需要找第二组了。并且为了让第二组信息更有效,需要保证两组的信息不相关,即:
    在这里插入图片描述
    第一组需要满足的条件:
    在var(U1) = var(V1) = 1的条件下,找到a(1)和b(1)两组系数,使得p(U1,V1)最大。(因为相关系数和量纲无关:在这里插入图片描述

    这里为了确保典型变量的唯一性,我们只考虑方差为1的X(1)和X(2)的线性函数a(i)’X(1)和b(i)X(2),求使得他们相关系数达到最大的这一组。若存在常相量a(1)和b(1),在D(a(1)'X(1)) = D(b(1)'X(2)) = 1的条件下,使得p(a(1)'X(1),b(1)'X(2))达到最大,则称a(1)'X(1),b(1)'X(2)是一对典型相关变量,求出第一对后,可以类似的求出第二和第三对等典型相关变量

    原理及方法

    假设两组随机变量中的指标个数p<=q,令:
    在这里插入图片描述
    根据典型相关分析的基本思想,要进行两组随机变量间的相关分析,首先要计算出各组变量的线性组合——典型变量,并使其系数达到最大,因此,我们设两组变量的线性组合为:
    在这里插入图片描述
    我们可以得到(其实这里我还没有看懂):
    在这里插入图片描述
    在前面说明的我们对方差的约束条件下(方差为1),我们可以得出:
    在这里插入图片描述
    问题就转化为使得上式取得最大值的系数向量a和b。
    根据条件极值的求解法我们引出拉格朗日乘数,将问题再次转化为求解
    在这里插入图片描述
    的极大值。
    然后我们分别求导,得出:
    在这里插入图片描述
    求解方程式可以得到:
    在这里插入图片描述
    其中A为pp阶矩阵,B为qq阶矩阵。
    典型变量和典型相关系数的计算可以归结为矩阵A和矩阵B特征根和特征向量的求解。如果矩阵A和B的秩为r,则有r对典型变量,第k对典型变量的系数向量分别是矩阵A和B的第k特征根对应的特征向量。

    SPSS实现操作

    首先将数据导入SPSS
    在这里插入图片描述
    选择典型相关分析
    在这里插入图片描述
    将不同的组别分开
    在这里插入图片描述
    随后就弹出分析结果。

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  • 典型相关分析: 研究两组变量(每组变量中都可能有多个指标)之间相关关系的一种多元统计方法。它能够揭示出两组变量之间的内在联系 ...典型相关分析定义 典型相关分析由Hotelling提出,其基本思想和主

    典型相关分析:
    研究两组变量(每组变量中都可能有多个指标)之间相关关系的一种多元统计方法。它能够揭示出两组变量之间的内在联系

    一个列子

    在这里插入图片描述
      因为直接对这些变量的相关进行两两分析,很难得到关于这两组变量(观众和业内人士)之间关系的一个清楚的印象,因此我们可以把多个变量个多个变量之间的相关化为两个具有代表性的变量之间的相关。
    那么谁做代表呢?
    代表:能较为综合、全面的衡量所在组的内在规律。
    一组变量最简单的综合形式就是该组变量的线性组合

    典型相关分析定义

    典型相关分析由Hotelling提出,其基本思想和主成分分析非常相似。
    首先在每组变量中找出变量的线性组合,使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数;
    然后选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合,使其配对,并选取相关系数最大的一对;
    如此继续下去,知道两组变量之间的相关性被提取完毕为止。
     被选出的线性组合配对称为典型变量,它们的相关系数称为典型相关系数。典型相关系数度量了这两组变量联系的强度。

    思路

    X(1)=(X1(1),X2(1),,Xp(1)),X(2)=(X1(2),X2(2),,Xq(2))假设两组变量分别为X^{(1)}=(X_1^{(1)},X_2^{(1)},\cdots ,X_p^{(1)}),X^{(2)}=(X_1^{(2)},X_2^{(2)},\cdots,X_q^{(2)})
    分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量U_i,V_i,
    使得每一个综合变量是原变量的线性组合,即
    Ui=ai(1)Xi(1)+a2(1)X2(1)++ap(1)Xp(1)U_i=a_i^{(1)}X_i^{(1)}+a_2^{(1)}X_2^{(1)}+\cdots+a_p^{(1)}X_p^{(1)}
    Vi=ai(2)Xi(2)+a2(2)X2(2)++ap(2)Xp(2V_i=a_i^{(2)}X_i^{(2)}+a_2^{(2)}X_2^{(2)}+\cdots+a_p^{(2)}X_p^{(2}
    注意:综合变量的组数是不确定的,如果第一组就能代表原样本数据大部分的信息,那么一组就足够了。假设第一组反应的信息不够全面,我们就需要找第二组了。并且为了让第二组的信息更有效,需要保证两组的信息不相关。
    cov(U1,U2)=cov(V1,V2)=0不相关: cov{(U_1,U_2)}=cov{(V_1,V_2)}=0
    第一组要满足的条件:
    var(U1)=var(V1)=1var(U_1)=var(V_1)=1满足的条件下,找到a(1)b(1)a^{(1)}和b^{(1)}两组系数,使得ρ(U1,V1)\rho{(U_1,V_1)}最大
    (为什么要固定这个条件:因为相关系数与量纲无关:ρ(U1,V1)=ρ(aU1,bU1)\rho{(U_1,V_1)}=\rho{(aU_1,bU_1)}

    更加详细的证明过程可以查看厦门大学多元统计分析第九章典型相关分析.ppt

    可以用SPSS来进行典型相关分析
    注意要用spss.24的才可以

    注意的问题

    从相关矩阵出发计算典型相关

    为了消除量纲和数量级别的影响,必须对数据先做标准化处理,然后再做典型相关分析。显然,经标准化变换之后的协方差就是相关系数矩阵,因此也即通常应从相关矩阵除法进行典型相关分析

    典型载荷分析

    进行典型载荷分析有主意更好解释分析已提出的p对典型变量。所谓的典型分析是指元u你是变量与典型变量直接按的相关性分析
    在这里插入图片描述

    典型冗余分析

    在这里插入图片描述

    关键步骤

    1. 数据的分布有假设,两组数据服从联合正态分布
      在这里插入图片描述
    2. 首先对两组变量的相关性进行检验(构造似然比统计量)
      在这里插入图片描述
    3. 确定典型相关变量的个数(直接看典型相关系数对应约p值即可)
      在这里插入图片描述
    4. 利用标准化后的典型相关变量分析问题
    5. 进行典型载荷分析
    6. 计算前r个典型变量对样本总方差的贡献

    SPSS操作步骤

    1. 导入数据在这里插入图片描述
    2. 检验数据类型
      在这里插入图片描述
    3. 点击菜单功能在这里插入图片描述
    4. 将数据移动到对应的集合在这里插入图片描述
    5. 导出数据分析数据
      在这里插入图片描述
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  • 典型相关分析 PPT

    2009-09-15 16:50:13
    介绍了典型相关分析定义 计算 和假设检验
  • 典型相关分析(Canonical Correlation analysis) 研究两组变量(每组变量中都可能有多个指标) 之间相关关系的一种多元统计方法。它能够揭示 出两组变量之间的内在联系。 定义 典型相关分析由Hotelling提出,其基本...

    引入:

    典型相关分析(Canonical Correlation analysis) 研究两组变量(每组变量中都可能有多个指标) 之间相关关系的一种多元统计方法。它能够揭示 出两组变量之间的内在联系。
    定义
    典型相关分析由Hotelling提出,其基本思想和主成分分析非常相似。 首先在每组变量中找出变量的线性组合,使得两组的 线性组合之间具有最大的相关系数; 然后选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组 合,使其配对,并选取相关系数最大的一对; 如此继续下去,直到两组变量之间的相关性被提取完 毕为此。 被选出的线性组合配对称为典型变量,它们的相关系 数称为典型相关系数。典型相关系数度量了这两组变量之 间联系的强度。

    思路:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    步骤(利用SPSS分析数据)

    (1)数据的分布有假设:两组数据服从联合正态分布。
    (2)首先要对两组变量的相关性进行检验(构造似然比统计量)。p值小于0.5(0.1)表示在95%(90%)的置信水平下拒绝原假设,即认为两组变量有关。
    (3)确定典型相关变量的个数(直接看典型相关系数对应的P值即可)
    (4)利用标准化后的典型相关变量分析问题
    (5)进行典型载荷分析
    (6)计算前r个典型变量对样本总方差的贡献
    实例
    体重,腰围,脉搏为生理指标,引体向上,起做次数,跳跃次数为训练指标,对生理指标和训练指标进行典型相关分析
    在这里插入图片描述
    导入数据到spss,注意变量类型统一成标度
    点击典型相关性分析

    在这里插入图片描述
    指标归类移到相应集合位置
    在这里插入图片描述
    结果
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    通过这步写出标准化后的典型变量 (根据上一步确定个数来写,有几个显著的典型相关性系数就要写几对出来)
    形式
    在这里插入图片描述
    典型载荷:分析某组变量与其中的指标的相关性
    交叉载荷:分析一组变量与另一组中的指标的想关性

    在这里插入图片描述
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    建模应用

    2012年国赛A题葡萄酒的评价 问题三

    展开全文
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  • 事实表和维度表的定义

    万次阅读 2018-08-26 23:29:46
    一个典型的例子是,把逻辑业务比作一个立方体,产品维、时间维、地点维分别作为不同的坐标轴,而坐标轴的交点就是一个具体的事实。也就是说事实表是多个维度表的一个交点。而维度表是分析事实的一个窗口。   首先...

空空如也

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