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  • 一、典型相关分析VS皮尔逊相关系数/斯皮尔曼相关系数 典型相关分析(Canonical Correlation analysis) 研究两组变量(每组变量中都可能有多个指标) 之间相关关系的一种多元统计方法。它能够揭示出两组变量之间的...

    一、典型相关分析VS皮尔逊相关系数/斯皮尔曼相关系数

    典型相关分析(Canonical Correlation analysis) 研究两组变量(每组变量中都可能有多个指标) 之间相关关系的一种多元统计方法。它能够揭示出两组变量之间的内在联系。

    皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数针对的是两个变量的相关性,典型相关分析针对的是两组变量进行相关分析,相当于对每组变量进行线性组合,求这两个组合后的变量之间的相关性,结果也用p检验方法,显著性最大的那组作为最后的线性组合的系数。

    数据对比:

    下图求皮尔逊相关系数,求各变量之间的相关系数,即(身高,体重)得到一个相关系数,(身高,肺活量)得到一个相关系数,依次类推,得到互不相同的所有变量之间的相关系数。

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  • 典型相关分析原理(CCA)

    万次阅读 多人点赞 2020-01-21 12:29:17
    CCA典型相关分析 (canonical correlation analysis)利用综合变量对之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性的多元统计分析方法。它的基本原理是:为了从总体上把握两组指标之间的相关关系,分别在两组变量中...

     CCA典型相关分析
    (canonical correlation analysis)利用综合变量对之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性的多元统计分析方法。它的基本原理是:为了从总体上把握两组指标之间的相关关系,分别在两组变量中提取有代表性的两个综合变量U1和V1(分别为两个变量组中各变量的线性组合),利用这两个综合变量之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性。

    Canonical Correlation Analysis典范相关分析/Canonical Correspondence Analysis典范对应分析

    简单相关系数描述两组变量的相关关系的缺点:只是孤立考虑单个X与单个Y间的相关,没有考虑X、Y变量组内部各变量间的相关。两组间有许多简单相关系数,使问题显得复杂,难以从整体描述。典型相关是简单相关、多重相关的推广。典型相关是研究两组变量之间相关性的一种统计分析方法。也是一种降维技术


    1936年,Hotelling提出典型相关分析。考虑两组变量的线性组合, 并研究它们之间的相关系数p(u,v).在所有的线性组合中, 找一对相关系数最大的线性组合, 用这个组合的单相关系数来表示两组变量的相关性, 叫做两组变量的典型相关系数, 而这两个线性组合叫做一对典型变量。在两组多变量的情形下, 需要用若干对典型变量才能完全反映出它们之间的相关性。下一步, 再在两组变量的与u1,v1不相关的线性组合中, 找一对相关系数最大的线性组合, 它就是第二对典型变量, 而且p(u2,v2)就是第二个典型相关系数。这样下去, 可以得到若干对典型变量, 从而提取出两组变量间的全部信息。
    典型相关分析的实质就是在两组随机变量中选取若干个有代表性的综合指标(变量的线性组合), 用这些指标的相关关系来表示原来的两组变量的相关关系。这在两组变量的相关性分析中, 可以起到合理的简化变量的作用; 当典型相关系数足够大时, 可以像回归分析那样, 由- 组变量的数值预测另一组变量的线性组合的数值。

    典型关联分析(Canonical Correlation Analysis)

    1. 问题

    在线性回归中,我们使用直线来拟合样本点,寻找n维特征向量X和输出结果(或者叫做label)Y之间的线性关系。其中clip_image002clip_image004。然而当Y也是多维时,或者说Y也有多个特征时,我们希望分析出X和Y的关系。

    当然我们仍然可以使用回归的方法来分析,做法如下:

    假设clip_image002[1]clip_image006,那么可以建立等式Y=AX如下

    clip_image008

    其中clip_image010,形式和线性回归一样,需要训练m次得到m个clip_image012

    这样做的一个缺点是,Y中的每个特征都与X的所有特征关联,Y中的特征之间没有什么联系。

    我们想换一种思路来看这个问题,如果将X和Y都看成整体,考察这两个整体之间的关系。我们将整体表示成X和Y各自特征间的线性组合,也就是考察clip_image014clip_image016之间的关系。

    这样的应用其实很多,举个简单的例子。我们想考察一个人解题能力X(解题速度clip_image018,解题正确率clip_image020)与他/她的阅读能力Y(阅读速度clip_image022,理解程度clip_image024)之间的关系,那么形式化为:

    clip_image026 和 clip_image028

    然后使用Pearson相关系数

    clip_image030

    来度量u和v的关系,我们期望寻求一组最优的解a和b,使得Corr(u, v)最大,这样得到的a和b就是使得u和v就有最大关联的权重。

    到这里,基本上介绍了典型相关分析的目的。

    2. CCA表示与求解

    给定两组向量clip_image032clip_image034(替换之前的x为clip_image032[1],y为clip_image034[1]),clip_image032[2]维度为clip_image036clip_image034[2]维度为clip_image038,默认clip_image040。形式化表示如下:

    clip_image042

    clip_image044是x的协方差矩阵;左上角是clip_image032[3]自己的协方差矩阵;右上角是clip_image046;左下角是clip_image048,也是clip_image050的转置;右下角是clip_image034[3]的协方差矩阵。

    与之前一样,我们从clip_image032[4]clip_image034[4]的整体入手,定义

    clip_image052 clip_image054

    我们可以算出u和v的方差和协方差:

    clip_image056 clip_image058 clip_image060

    上面的结果其实很好算,推导一下第一个吧:

    clip_image062

    最后,我们需要算Corr(u,v)了

    clip_image064

    我们期望Corr(u,v)越大越好,关于Pearson相关系数,《数据挖掘导论》给出了一个很好的图来说明:

    clip_image066

    横轴是u,纵轴是v,这里我们期望通过调整a和b使得u和v的关系越像最后一个图越好。其实第一个图和最后一个图有联系的,我们可以调整a和b的符号,使得从第一个图变为最后一个。

    接下来我们求解a和b。

    回想在LDA中,也得到了类似Corr(u,v)的公式,我们在求解时固定了分母,来求分子(避免a和b同时扩大n倍仍然符号解条件的情况出现)。这里我们同样这么做。

    这个优化问题的条件是:

    Maximize clip_image068

    Subject to: clip_image070

    求解方法是构造Lagrangian等式,这里我简单推导如下:

    clip_image072

    求导,得

    clip_image074

    clip_image076

    令导数为0后,得到方程组:

    clip_image078

    clip_image080

    第一个等式左乘clip_image082,第二个左乘clip_image084,再根据clip_image086,得到

    clip_image088

    也就是说求出的clip_image090即是Corr(u,v),只需找最大clip_image090[1]即可。

    让我们把上面的方程组进一步简化,并写成矩阵形式,得到

    clip_image092

    clip_image094

    写成矩阵形式

    clip_image096

    clip_image098

    那么上式可以写作:

    clip_image100

    显然,又回到了求特征值的老路上了,只要求得clip_image102的最大特征值clip_image104,那么Corr(u,v)和a和b都可以求出。

    在上面的推导过程中,我们假设了clip_image106clip_image108均可逆。一般情况下都是可逆的,只有存在特征间线性相关时会出现不可逆的情况,在本文最后会提到不可逆的处理办法。

    再次审视一下,如果直接去计算clip_image102[1]的特征值,复杂度有点高。我们将第二个式子代入第一个,得

    clip_image110

    这样先对clip_image112求特征值clip_image114和特征向量clip_image116,然后根据第二个式子求得b。

    待会举个例子说明求解过程。

    假设按照上述过程,得到了clip_image090[2]最大时的clip_image118clip_image120。那么clip_image118[1]clip_image120[1]称为典型变量(canonical variates),clip_image090[3]即是u和v的相关系数。

    最后,我们得到u和v的等式为:

    clip_image122 clip_image124

    我们也可以接着去寻找第二组典型变量对,其最优化条件是

    Maximize clip_image126

    Subject to: clip_image128

    clip_image130

    其实第二组约束条件就是clip_image132

    计算步骤同第一组计算方法,只不过是clip_image090[4]clip_image112[1]的第二大特征值。

    得到的clip_image134clip_image136其实也满足

    clip_image138 即 clip_image140

    总结一下,i和j分别表示clip_image142clip_image144得到结果

    clip_image146

    clip_image148

    3. CCA计算例子

    我们回到之前的评价一个人解题和其阅读能力的关系的例子。假设我们通过对样本计算协方差矩阵得到如下结果:

    clip_image150

    clip_image152

    然后求clip_image112[2],得

    clip_image154

    这里的A和前面的clip_image156中的A不是一回事(这里符号有点乱,不好意思)。

    然后对A求特征值和特征向量,得到

    clip_image158

    然后求b,之前我们说的方法是根据clip_image160求b,这里,我们也可以采用类似求a的方法来求b。

    回想之前的等式

    clip_image092[1]

    clip_image094[1]

    我们将上面的式子代入下面的,得

    clip_image162

    然后直接对clip_image164求特征向量即可,注意clip_image164[1]clip_image112[3]的特征值相同,这个可以自己证明下。

    不管使用哪种方法,

    clip_image166

    clip_image168

    这里我们得到a和b的两组向量,到这还没完,我们需要让它们满足之前的约束条件

    clip_image170

    这里的clip_image172应该是我们之前得到的VecA中的列向量的m倍,我们只需要求得m,然后将VecA中的列向量乘以m即可。

    clip_image174

    这里的clip_image176是VecA的列向量。

    clip_image178

    因此最后的a和b为:

    clip_image180

    第一组典型变量为

    clip_image182

    相关系数

    clip_image184

    第二组典型变量为

    clip_image186

    相关系数

    clip_image188

    这里的clip_image190(解题速度),clip_image192(解题正确率),clip_image194(阅读速度),clip_image196(阅读理解程度)。他们前面的系数意思不是特征对单个u或v的贡献比重,而是从u和v整体关系看,当两者关系最密切时,特征计算时的权重。

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  • 典型相关分析的基本思想 Canonical Correlation Analysis   CCA典型相关分析 (canonical correlation analysis)利用综合变量对之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性的多元统计分析方法。它的基本原理...

    典型相关分析的基本思想 Canonical Correlation Analysis

     

    CCA典型相关分析
    (canonical correlation analysis)利用综合变量对之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性的多元统计分析方法。它的基本原理是:为了从总体上把握两组指标之间的相关关系,分别在两组变量中提取有代表性的两个综合变量U1和V1(分别为两个变量组中各变量的线性组合),利用这两个综合变量之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性。

     

    Canonical Correlation Analysis典范相关分析/Canonical Correspondence Analysis典范对应分析

     

    简单相关系数描述两组变量的相关关系的缺点:只是孤立考虑单个X与单个Y间的相关,没有考虑X、Y变量组内部各变量间的相关。两组间有许多简单相关系数,使问题显得复杂,难以从整体描述。典型相关是简单相关、多重相关的推广。典型相关是研究两组变量之间相关性的一种统计分析方法。也是一种降维技术。
    1936年,Hotelling提出典型相关分析。考虑两组变量的线性组合, 并研究它们之间的相关系数p(u,v).在所有的线性组合中, 找一对相关系数最大的线性组合, 用这个组合的单相关系数来表示两组变量的相关性, 叫做两组变量的典型相关系数, 而这两个线性组合叫做一对典型变量。在两组多变量的情形下, 需要用若干对典型变量才能完全反映出它们之间的相关性。下一步, 再在两组变量的与u1,v1不相关的线性组合中, 找一对相关系数最大的线性组合, 它就是第二对典型变量, 而且p(u2,v2)就是第二个典型相关系数。这样下去, 可以得到若干对典型变量, 从而提取出两组变量间的全部信息。
    典型相关分析的实质就是在两组随机变量中选取若干个有代表性的综合指标(变量的线性组合), 用这些指标的相关关系来表示原来的两组变量的相关关系。这在两组变量的相关性分析中, 可以起到合理的简化变量的作用; 当典型相关系数足够大时, 可以像回归分析那样, 由- 组变量的数值预测另一组变量的线性组合的数值。

     

     

    典型关联分析(Canonical Correlation Analysis)

    [pdf版本] 典型相关分析.pdf

    1. 问题

    在线性回归中,我们使用直线来拟合样本点,寻找n维特征向量X和输出结果(或者叫做label)Y之间的线性关系。其中clip_image002clip_image004。然而当Y也是多维时,或者说Y也有多个特征时,我们希望分析出X和Y的关系。

    当然我们仍然可以使用回归的方法来分析,做法如下:

    假设clip_image002[1]clip_image006,那么可以建立等式Y=AX如下

    clip_image008

    其中clip_image010,形式和线性回归一样,需要训练m次得到m个clip_image012

    这样做的一个缺点是,Y中的每个特征都与X的所有特征关联,Y中的特征之间没有什么联系。

    我们想换一种思路来看这个问题,如果将X和Y都看成整体,考察这两个整体之间的关系。我们将整体表示成X和Y各自特征间的线性组合,也就是考察clip_image014clip_image016之间的关系。

    这样的应用其实很多,举个简单的例子。我们想考察一个人解题能力X(解题速度clip_image018,解题正确率clip_image020)与他/她的阅读能力Y(阅读速度clip_image022,理解程度clip_image024)之间的关系,那么形式化为:

    clip_image026 和 clip_image028

    然后使用Pearson相关系数

    clip_image030

    来度量u和v的关系,我们期望寻求一组最优的解a和b,使得Corr(u, v)最大,这样得到的a和b就是使得u和v就有最大关联的权重。

    到这里,基本上介绍了典型相关分析的目的。

    2. CCA表示与求解

    给定两组向量clip_image032clip_image034(替换之前的x为clip_image032[1],y为clip_image034[1]),clip_image032[2]维度为clip_image036clip_image034[2]维度为clip_image038,默认clip_image040。形式化表示如下:

    clip_image042

    clip_image044是x的协方差矩阵;左上角是clip_image032[3]自己的协方差矩阵;右上角是clip_image046;左下角是clip_image048,也是clip_image050的转置;右下角是clip_image034[3]的协方差矩阵。

    与之前一样,我们从clip_image032[4]clip_image034[4]的整体入手,定义

    clip_image052 clip_image054

    我们可以算出u和v的方差和协方差:

    clip_image056 clip_image058 clip_image060

    上面的结果其实很好算,推导一下第一个吧:

    clip_image062

    最后,我们需要算Corr(u,v)了

    clip_image064

    我们期望Corr(u,v)越大越好,关于Pearson相关系数,《数据挖掘导论》给出了一个很好的图来说明:

    clip_image066

    横轴是u,纵轴是v,这里我们期望通过调整a和b使得u和v的关系越像最后一个图越好。其实第一个图和最后一个图有联系的,我们可以调整a和b的符号,使得从第一个图变为最后一个。

    接下来我们求解a和b。

    回想在LDA中,也得到了类似Corr(u,v)的公式,我们在求解时固定了分母,来求分子(避免a和b同时扩大n倍仍然符号解条件的情况出现)。这里我们同样这么做。

    这个优化问题的条件是:

    Maximize clip_image068

    Subject to: clip_image070

    求解方法是构造Lagrangian等式,这里我简单推导如下:

    clip_image072

    求导,得

    clip_image074

    clip_image076

    令导数为0后,得到方程组:

    clip_image078

    clip_image080

    第一个等式左乘clip_image082,第二个左乘clip_image084,再根据clip_image086,得到

    clip_image088

    也就是说求出的clip_image090即是Corr(u,v),只需找最大clip_image090[1]即可。

    让我们把上面的方程组进一步简化,并写成矩阵形式,得到

    clip_image092

    clip_image094

    写成矩阵形式

    clip_image096

    clip_image098

    那么上式可以写作:

    clip_image100

    显然,又回到了求特征值的老路上了,只要求得clip_image102的最大特征值clip_image104,那么Corr(u,v)和a和b都可以求出。

    在上面的推导过程中,我们假设了clip_image106clip_image108均可逆。一般情况下都是可逆的,只有存在特征间线性相关时会出现不可逆的情况,在本文最后会提到不可逆的处理办法。

    再次审视一下,如果直接去计算clip_image102[1]的特征值,复杂度有点高。我们将第二个式子代入第一个,得

    clip_image110

    这样先对clip_image112求特征值clip_image114和特征向量clip_image116,然后根据第二个式子求得b。

    待会举个例子说明求解过程。

    假设按照上述过程,得到了clip_image090[2]最大时的clip_image118clip_image120。那么clip_image118[1]clip_image120[1]称为典型变量(canonical variates),clip_image090[3]即是u和v的相关系数。

    最后,我们得到u和v的等式为:

    clip_image122 clip_image124

    我们也可以接着去寻找第二组典型变量对,其最优化条件是

    Maximize clip_image126

    Subject to: clip_image128

    clip_image130

    其实第二组约束条件就是clip_image132

    计算步骤同第一组计算方法,只不过是clip_image090[4]clip_image112[1]的第二大特征值。

    得到的clip_image134clip_image136其实也满足

    clip_image138 即 clip_image140

    总结一下,i和j分别表示clip_image142clip_image144得到结果

    clip_image146

    clip_image148

    3. CCA计算例子

    我们回到之前的评价一个人解题和其阅读能力的关系的例子。假设我们通过对样本计算协方差矩阵得到如下结果:

    clip_image150

    clip_image152

    然后求clip_image112[2],得

    clip_image154

    这里的A和前面的clip_image156中的A不是一回事(这里符号有点乱,不好意思)。

    然后对A求特征值和特征向量,得到

    clip_image158

    然后求b,之前我们说的方法是根据clip_image160求b,这里,我们也可以采用类似求a的方法来求b。

    回想之前的等式

    clip_image092[1]

    clip_image094[1]

    我们将上面的式子代入下面的,得

    clip_image162

    然后直接对clip_image164求特征向量即可,注意clip_image164[1]clip_image112[3]的特征值相同,这个可以自己证明下。

    不管使用哪种方法,

    clip_image166

    clip_image168

    这里我们得到a和b的两组向量,到这还没完,我们需要让它们满足之前的约束条件

    clip_image170

    这里的clip_image172应该是我们之前得到的VecA中的列向量的m倍,我们只需要求得m,然后将VecA中的列向量乘以m即可。

    clip_image174

    这里的clip_image176是VecA的列向量。

    clip_image178

    因此最后的a和b为:

    clip_image180

    第一组典型变量为

    clip_image182

    相关系数

    clip_image184

    第二组典型变量为

    clip_image186

    相关系数

    clip_image188

    这里的clip_image190(解题速度),clip_image192(解题正确率),clip_image194(阅读速度),clip_image196(阅读理解程度)。他们前面的系数意思不是特征对单个u或v的贡献比重,而是从u和v整体关系看,当两者关系最密切时,特征计算时的权重。

    https://blog.csdn.net/u012990623/article/details/39274513

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  • 典型相关分析

    千次阅读 2018-07-08 21:51:27
    转载地址:https://blog.csdn.net/mbx8x9u/article/details/78824216前言典型关联分析(Canonical Correlation Analysis,简称CCA)是最常用的挖掘数据关联关系的算法之一。比如我们拿到两组数据,第一组是人身高和...

    转载地址:https://blog.csdn.net/mbx8x9u/article/details/78824216

    前言

    典型关联分析(Canonical Correlation Analysis,简称CCA)是最常用的挖掘数据关联关系的算法之一。比如我们拿到两组数据,第一组是人身高和体重的数据,第二组是对应的跑步能力和跳远能力的数据。那么我们能不能说这两组数据是相关的呢?CCA可以帮助我们分析这个问题。

    CCA概述

    在数理统计里面,都知道相关系数这个概念。假设有两组一维的数据集X和Y,则相关系数ρ的定义为:

    640?wx_fmt=png&wxfrom=5&wx_lazy=1

    其中cov(X,Y)是X和Y的协方差,而D(X),D(Y)分别是X和Y的方差。相关系数ρ的取值为[-1,1], ρ的绝对值越接近于1,则X和Y的线性相关性越高。越接近于0,则X和Y的线性相关性越低。


    虽然相关系数可以很好的帮我们分析一维数据的相关性,但是对于高维数据就不能直接使用了。如上所述,如果X是包括人身高和体重两个维度的数据,而Y是包括跑步能力和跳远能力两个维度的数据,就不能直接使用相关系数的方法。那我们能不能变通一下呢?CCA给了我们变通的方法。


    CCA使用的方法是将多维的X和Y都用线性变换为1维的X'和Y',然后再使用相关系数来看X'和Y'的相关性。将数据从多维变到1位,也可以理解为CCA是在进行降维,将高维数据降到1维,然后再用相关系数进行相关性的分析。


    CCA算法思想

    上面提到CCA是将高维的两组数据分别降维到1维,然后用相关系数分析相关性。但是有一个问题是,降维的标准是如何选择的呢?回想下主成分分析PCA,降维的原则是投影方差最大;再回想下线性判别分析LDA,降维的原则是同类的投影方差小,异类间的投影方差大。对于我们的CCA,它选择的投影标准是降维到1维后,两组数据的相关系数最大。


    假设数据集是X和Y,X为n1×m的样本矩阵,Y为n2×m的样本矩阵.其中m为样本个数,而n1,n2分别为X和Y的特征维度。对于X矩阵,将其投影到1维,对应的投影向量为a, 对于Y矩阵,将其投影到1维,对应的投影向量为b, 这样X ,Y投影后得到的一维向量分别为X',Y'。我们有

    0?wx_fmt=png

    CCA的优化目标是最大化ρ(X′,Y′),得到对应的投影向量a,b,即

    0?wx_fmt=png

    在投影前,一般会把原始数据进行标准化,得到均值为0而方差为1的数据X和Y。这样我们有:

    0?wx_fmt=png

    由于X,Y的均值均为0,则

    0?wx_fmt=png

    令SXY=cov(X,Y),则优化目标可以转化为:

    0?wx_fmt=png

    由于分子分母增大相同的倍数,优化目标结果不变,我们可以采用和SVM类似的优化方法,固定分母,优化分子,具体的转化为

    0?wx_fmt=png

    进而CCA算法的目标最终转化为一个凸优化过程,只要求出了这个优化目标的最大值,就是前面提到的多维X和Y的相关性度量,而对应的a,b则为降维时的投影向量。


    这个函数优化一般有两种方法,第一种是奇异值分解SVD,第二种是特征分解,两者得到的结果一样


    SVD求解CCA

    对于上面的优化目标,可以做一次矩阵标准化后在使用SVD来求解。


    首先令

    0?wx_fmt=png

    进而

    0?wx_fmt=png

    优化目标变成下式:

    0?wx_fmt=png


    0?wx_fmt=png

    可以看出,SVD的求解方式非常简洁方便。但如果不熟悉SVD的话,也可以用传统的拉格朗日函数加上特征分解来完成这个函数的优化。


    特征值分解求CCA

    特征分解方式比较传统,利用拉格朗日函数,优化目标转化为最大化下式:

    0?wx_fmt=png

    分别对a,b求导并令结果为0得:

    0?wx_fmt=png

    进而

    0?wx_fmt=png


    现在拉格朗日系数就是我们要优化的目标。继续将上面的两个式子做整理得:

    0?wx_fmt=png

    将上面第二个式子带入第一个式子得到

    0?wx_fmt=png

    要求最大的相关系数λ,只需要对上面的矩阵做特征分解,找出最大的特征值取平方根即可,此时最大特征值对应的特征向量即为X的线性系数a。同样的办法,可以找到最大特征值对应的特征向量即为Y的线性系数b。


    可以看出特征分解的方法要比SVD复杂,但是两者求得的结果其实是等价的,只要利用SVD和特征分解之间的关系就很容易发现两者最后的结果相同。


    CCA算法流程

    对CCA算法流程做一个归纳,以SVD方法为例:


    输入:各为m个的样本X和Y,X和Y的维度都大于1

    输出X,Y的相关系数ρ,X和Y的线性系数向量a和b


    流程

    1)计算X的方差SXX, Y的方差SYY,X和Y的协方差SXY

    2)  计算矩阵

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    3)对矩阵M进行奇异值分解,得到最大的奇异值ρ,和最大奇异值对应的左右奇异向量

    4)  计算X和Y的线性系数向量a和b,

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    总结

    CCA算法广泛的应用于数据相关度的分析,同时还是偏最小二乘法的基础。但是由于它依赖于数据的线性表示,当我们的数据无法线性表示时,CCA就无法使用,此时我们可以利用核函数的思想,将数据映射到高维后,再利用CCA的思想降维到1维,求对应的相关系数和线性关系,这个算法一般称为KCCA。此外,在算法里只找了相关度最大的奇异值或者特征值,作为数据的相关系数,实际上我们也可以像PCA一样找出第二大奇异值,第三大奇异值,。。。得到第二相关系数和第三相关系数。然后对数据做进一步的相关性分析。但是一般的应用来说,找出第一相关系数就可以了。


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    参考:

    1. 周志华《机器学习》

    2. Neural Networks and Deep Learning by By Michael Nielsen

    3. 博客园

      http://www.cnblogs.com/pinard/p/6288716.html

    4. 李航《统计学习方法》

    5. Deep Learning, book by Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, and Aaron Courville

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空空如也

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