典型相关分析系列博文：

典型相关分析（Canonical correlation analysis）（一）：基本思想 、复相关系数、偏相关系数

典型相关分析（Canonical correlation analysis）（二）：原始变量与典型变量之间的相关性 、典型相关系数的检验

典型相关分析（Canonical correlation analysis）（三）： 职业满意度典型相关分析案例

典型相关分析（Canonical correlation analysis）（四）： 中国城市竞争力与基础设施的相关分析

习题

某调查公司从一个大型零售公司随机调查了 784 人，测量了 5 个职业特性指标和 7 个职业满意变量，有关的变量见表 19。讨论两组指标之间是否相联系。

        一些计算结果的数据见下面的表格。

计算的MATLAB程序如下

clc,clear
load da.txt %原始的相关系数矩阵保存在纯文本文件da.txt中
%r为相关系数矩阵
r=da;
n1=5;n2=7;num=min(n1,n2);
s1=r(1:n1,1:n1);
s12=r(1:n1,n1+1:end); 
s21=s12';
s2=r(n1+1:end,n1+1:end);
m1=inv(s1)*s12*inv(s2)*s21;
m2=inv(s2)*s21*inv(s1)*s12;
[x1,y1]=eig(m1);
%以下是特征向量归一化，满足a's1a=1
gu1=x1'*s1*x1;
gu1=sqrt(diag(gu1)); %求典型相关系数
gu1=gu1'.*sign(sum(x1)); %每个特征向量的最大分量为正
gu1=repmat(gu1,length(gu1),1);
a=x1./gu1;
y1=diag(y1); %取出特征值
[y1,ind1]=sort(y1,'descend'); %特征值按照从大到小排列
a=a(:,ind1(1:num)) %取出X组的系数阵
y1=sqrt(y1(1:num)) %计算典型相关系数
flag=1;
xlswrite('bk1.xls',a,'Sheet1','A1') %把计算结果写到Excel文件中去
flag=n1+2;
str=char(['A',int2str(flag)]);
xlswrite('bk1.xls',y1','Sheet1',str)
[x2,y2]=eig(m2);
%以下是特征向量归一化，满足b's2b=1
gu2=x2'*s2*x2;
gu2=sqrt(diag(gu2));
gu2=gu2'.*sign(sum(x2));
gu2=repmat(gu2,length(gu2),1);
b=x2./gu2;
y2=diag(y2);
[y2,ind2]=sort(y2,'descend');
b=b(:,ind2(1:num))
y2=sqrt(y2(1:num)) %计算典型相关系数
flag=flag+2;
str=char(['A',int2str(flag)]);
xlswrite('bk1.xls',b,'Sheet1',str)
flag=flag+n2+1;
str=char(['A',int2str(flag)]);
xlswrite('bk1.xls',y2','Sheet1',str)
x_u_r=s1*a; %x,u的相关系数
x_u_r=x_u_r(:,1:num) 
flag=flag+2;
str=char(['A',int2str(flag)]);
xlswrite('bk1.xls',x_u_r,'Sheet1',str)
y_v_r=s2*b; %y,v的相关系数
y_v_r=y_v_r(:,1:num)
flag=flag+n1+1;
str=char(['A',int2str(flag)]);
xlswrite('bk1.xls',y_v_r,'Sheet1',str)
x_v_r=s12*b; %x,v的相关系数
x_v_r=x_v_r(:,1:num)
flag=flag+n2+1;
str=char(['A',int2str(flag)]);
xlswrite('bk1.xls',x_v_r,'Sheet1',str)
y_u_r=s21*a; %y,u的相关系数
y_u_r=y_u_r(:,1:num)
flag=flag+n1+1;
str=char(['A',int2str(flag)]);
xlswrite('bk1.xls',y_u_r,'Sheet1',str)
mu=sum(x_u_r.^2)/n1 %x组原始变量被u_i解释的方差比例
mv=sum(x_v_r.^2)/n1 %x组原始变量被v_i解释的方差比例
nu=sum(y_u_r.^2)/n2 %y组原始变量被u_i解释的方差比例
nv=sum(y_v_r.^2)/n2 %y组原始变量被v_i解释的方差比例

习题

1．表 33 是 1999 年中国省、自治区的城市规模结构特征的一些数据，试通过聚类 分析将这些省、自治区进行分类。

2. 表 34 是我国 1984—2000 年宏观投资的一些数据，试利用主成分分析对投资效 益进行分析和排序。

4．为了了解家庭的特征与其消费模式之间的关系。调查了70个家庭的下面两组变 量：

已知相关系数矩阵见表36，试对两组变量之间的相关性进行典型相关分析。

5．近年来我国淡水湖水质富营养化的污染日趋严重，如何对湖泊水质的富营养化 进行综合评价与治理是摆在我们面前的一项重要任务。表 37 和表 38 分别为我国 5 个湖 泊的实测数据和湖泊水质评价标准。

（1）试利用以上数据，分析总磷、耗氧量、透明度和总氮这 4 种指标对湖泊水质 富营养化所起作用。

（2）对上述 5 个湖泊的水质进行综合评估，确定水质等级。

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一、为什么要用典型相关分析

典型相关分析研究的是两组变量之间的关系，如{x1, x2, x3}和{y1, y2, y3}两组变量之间的关系。
具体来说，变量间的相关关系可以分为以下几种：

• 两个变量间的线性相关关系，可用简单相关系数
• 一个变量与多个变量之间的线性相关关系，可用复相关系数。
• 多个变量与多个变量间的相关关系，使用典型相关关系

二、典型相关分析的基本原理

典型相关分析在研究两组变量间的线性相关关系时，将每一组变量作为一个整体进行分析。它采用类似于主成分分析（PCA）的方法，在每一组变量中都选择若干个有代表性的综合指标，这些综合指标是原始变量的线性组合，代表了原始变量的大部分信息，且两组综合指标的相关程度最大。

简单地说，对于{x1, x2, x3}和{y1, y2, y3}两组变量，我们先求出能体现x和y最大相关性的一对变量u1,v1：u1是{x1, x2, x3}的线性组合，v1是{y1, y2, y3}的线性组合。

然后再类似的求第二、第三对典型相关变量，然后我们就得到两组典型相关变量{u1,u2,u3}和{v1,v2,v3}。三对典型相关变量是彼此不相关的，它们反应了变量组x和y之间的相关关系。

当两组变量的数量不一致时，那么可提取到的典型变量个数就等于较少数据组的变量个数，如对于{x1, x2, x3}和{y1, y2}，可提取的典型变量为2个。

三、实例分析

1.数据

某个研究人员收集了600名大学新生的三个心理变量，四个学术变量（标准化考试成绩） 。他希望研究者3个心理变量与4个学术变量间的相关关系。
也就是说，我们要分析

• 变量组x{外向倾向，自我概念，动机水平}
• 变量组y{阅读成绩，写作成绩，数学成绩，理科成绩}

之间的相关关系。数据如下图所示：

2.分析

在SPSS25中，选择：分析→相关→典型相关性，在选项中勾选成对相关性
（备注：SPSS23前的版本没有这个选项，需要使用自定义宏）

3.结果

此图反映了各变量间的相关系数，从中可以看出不同变量间的相关程度。
如果组内变量间的相关系数高，说明两者包含的信息有重叠部分；如果组间变量相关系数高，则说明两者有一定相关性（- -！）。

此图给出了典型相关系数及其检验，结果表明前两个典型相关系数是显著的，因此我们选择前两个典型相关变量进行解释。
具体来说，第一对典型相关变量的相关系数是0.446，p< .001；第二对典型相关变量的相关系数是0.153，p= .025

上图分别是两组变量的标准化相关系数和未标准化的相关系数。
根据此图，可以写出各典型变量的表达式，如对于第一对典型变量u1和v1：
其标准化的表达式为（Z外向倾向表示将该变量标准化后的值）：

u1 = -0.838*Z外向倾向+0.167*Z自我概念-0.428*Z动机水平
v1 = -0.445*Z阅读成绩-0.536*Z写作成绩-0.183*Z数学成绩+0.037*Z理科成绩

非标准化的表达式为

u1 = -1.250*外向倾向+0.237*自我概念-1.249*动机水平
v1 = -0.044*阅读成绩-0.055*写作成绩-0.019*数学成绩+0.004*理科成绩

PS：再讲解一下两者的一些不同之处：

• 标准化的系数由于经过标准化，因此系数相互之间是可比的，用处是用于比较不同自变量对应变量的影响程度。比如在set1的标准化系数中，外向倾向的系数是-0.838，自我概念的系数是0.167，因此我们可以认为外向倾向对成绩的影响比自我概念影响更大。

• 而未标准化的系数因为每个变量没有标准化，量纲不一样，因此不能直接用系数大小比较自变量贡献程度，它的用处是可以用于计算CCA得分,（直接用系数乘以原始数据）

上图是冗余分析的结果，它说明各典型变量对各变量组方差解释的比例。

以上是个人对典型相关分析学习的总结笔记，如有错误，欢迎讨论和指正。