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  • 典型相关分析案例
    2022-01-22 11:36:26

    目录

    题目概要

    城市竞争力与基础设施的典型性相关分析

    摘要

    一、变量说明

    二、典型相关系数及其检验

    2.1计算典型相关系数并对其进行检验

    三、建立典型相关模型

    四、典型结构分析


    题目概要

            利用典型性相关分析法分析城市竞争力与基础设施与基础设施的相关性。

            相关数据如下:

    城市竞争力表现要素得分城市基础设施构成要素得分
    劳动生产率 y1/%市场占有率 y2/%居民人均收入 y3/%长期经济增长率 y4/%对外设施指数 x1对内设施指数 x2每百人电话数 x3技术设施指数 x4文化设施指数 x5卫生设施指数 x6
    45623.052.5843916.271.030.42502.151.231.64
    52256.671.31857921.51.340.131310.33-0.27-0.64
    46551.871.131044511.921.070.4481.310.490.09
    28146.761.38781315-0.430.19200.873.571.8
    38670.430.12898026.71-0.530.2532-0.09-0.33-0.84
    26316.961.37660911.07-0.110.07270.68-0.120.87
    45330.530.56607012.40.350.06310.28-0.3-0.16
    45853.890.28789613.93-0.50.2738-0.78-0.121.61
    35964.640.7464978.970.310.25430.49-0.09-0.06
    55832.61-0.12131499.22-0.280.8437-0.79-0.49-0.98
    33334.620.63622211.630.01-0.14240.37-0.4-0.49
    24633.270.59557316.390.02-0.47280.030.150.26
    39258.78-0.69903422.43-0.470.0345-0.76-0.46-0.75
    38201.47-0.34708318.53-0.45-0.234-0.45-0.34-0.52
    16524.320.44532312.220.72-0.83130.05-0.090.56
    31855.63-0.02601911.880.37-0.5421-0.11-0.24-0.02
    22528.8-0.16906915.70.010.3840-0.17-0.4-0.71
    21831.94-0.15549713.56-0.81-0.4922-0.38-0.21-0.59
    19966.36-0.15534412.43-0.24-0.9118-0.05-0.270.61
    19225.71-0.16423310.16-0.53-0.7727-0.45-0.181.08

    城市竞争力与基础设施的典型性相关分析

    摘要

            本文主要研究的是中国城市竞争力与城市基础设施之间的相关性,进而探索影响城市竞争力因素的问题。

            此模型中主要运用典型相关分析方法来研究城市竞争力评价问题,,对城市竞争力与城市基础设施的相关性进行实证分析,并据此提出相应的政策建议。

            本文建立了城市竞争力与基础设施之间的典型相关模型,经过分析,我们发现市场占有率是决定城市竞争力水平的首要指标,每百人电话数、设施指数和技术设施指数是影响城市竞争力的主要基础设施变量。

    关键词:典型相关分析法         城市竞争力        基础设施

    • 一、变量说明

            由题目所给的信息,城市竞争力主要取决于产业经济效益、对外开放程度、基础设施、市民素质、政府管理及环境质量等因素,我们选取劳动生产率、市场占有率、居民人均收入、长期经济增长率四个因素作为城市竞争力的表现要素。城市基础设施主要表现为物质形态的城市基础结构系统,我们选取对外设施指数、对内设施指数、每百人电话数、技术设施指数、文化设施指数、卫生设施指数六个指标作为城市基础设施的构成要素。典型相关变量的定义表格如表1所列。

    表1   典型相关变量的定义表格

    典型相关变量

    各要素指标

    城市竞争力表现要素变量 V

    劳动生产率y1

    市场占有率y2

    居民人均收入y3

    长期经济增长率y4

    城市基础设施构成要素变量 U

    对外设施指数x1

    对内设施指数x2

    每百人电话数x3

    技术设施指数x4

    文化设施指数x5

    卫生设施指数x6

    • 二、典型相关系数及其检验

            我们通过Spss软件对城市竞争力表现要素变量U和城市基础设施构成要素变量V进行典型相关分析。典型相关系数及其检验如表2所列。

    表2   典型相关系数检验表

    序号

    相关系数

    特征值

    威尔克统计

    F

    分子自由度

    分母自由度

    P

    1

    .960

    11.787

    .004

    5.886

    24.000

    36.096

    .000

    2

    .950

    9.244

    .050

    4.042

    15.000

    30.768

    .001

    3

    .647

    .720

    .507

    1.212

    8.000

    24.000

    .334

    4

    .357

    .146

    .872

    .633

    3.000

    13.000

    .606

            从表2看,前两个典型相关系数均较高,表明相应典型变量之间相关性较强。但要确定典型变量相关性的显著程度,尚需进行相关系数的统计量检验,具体做法是:比较P值与显著性水平0.05大小,据比较结果判定典型变量相关性的显著程度。检验之后,我们发现前两个典型相关系数均通过了我们的相关系数的 统计量检验,表明相应典型变量之间相关系数显著,能够用城市基础设施变量组来解释城市竞争力变量组。由于后两个典型相关系数未通过显著性检验,以下模型基于前两个典型相关系数建立。

    • 三、建立典型相关模型

            鉴于原始数据的计量单位不同,不宜直接进行比较,本文采用标准化的典型系数,给出典型相关模型,通过Spss软件分析可得标准化典型相关变量对应的线性组合系数,系数如表3所列。

    表3   标准化典型相关变量对应的线性组合系数

    变量

    1

    2

    变量

    1

    2

    劳动生产率y1

    .140

    .132

    对外设施指数x1

    .154

    .213

    市场占有率y2

    .718

    -.736

    对内设施指数x2

    .342

    .264

    居民人均收入y3

    .427

    .772

    每百人电话数x3

    .491

    .395

    技术设施指数x4

    .337

    -.869

    长期经济增长率y4

    .029

    .006

    文化设施指数x5

    .115

    .243

    卫生设施指数x6

    .142

    -.386

            由表3可得典型相关模型如表4所列。

    表4   典型相关模型

    1

    u1 = 0.154 x1+0.342 x2+0.491 x3+0.337 x4+0.115 x5+0.142 x6

    v1 = 0.140 y1+0.718 y2+0.427 y3+0.029 y4

    2

    u2 = 0.213 x1+0.264 x2+0.395 x3 - 0.869 x4+0.243 x5 - 0.386 x6

    v2 = 0.132 y1-0.736 y2+0.772 y3+0.006 y4

            从表4中第一组典型相关方程可知,基础设施方面的主要因素是x2,x3,x4(典型系数分别为0.342,0.491,0.337),说明基础设施中影响城市竞争力的主要因素是对内设施指数(x2)、每百人电话数(x3)和技术设施指数(x4);城市竞争力的第一典型变量v1与y2呈高度相关,说明在城市竞争力中,市场占有率(y2 )占主要地位。根据第二组典型相关方程,x4(技术设施指数)是基础设施方面的主要因素,而居民人均收入( y3)是反映城市竞争力的一个重要指标。由于第一组典型变量占有的信息量比重较大,所以总体上基础设施方面按重要程度依次是x3,x2,x4,反映城市竞争力的主要指标是y2,y3。

    • 四、典型结构分析

            典型结构分析是分别计算原始变量与典型变量之间的相关系数得到的,如表5所列。

    表5   结构分析(相关系数)

    u1

    u2

    v1

    v2

    u1

    u2

    v1

    v2

    x1

    0.714

    -0.094

    0.686

    0.327

    y1

    0.604

    0.472

    0.629

    0.497

    x2

    0.637

    0.344

    0.612

    0.327

    y2

    0.814

    -0.503

    0.848

    -0.529

    x3

    0.719

    0.543

    0.690

    0.515

    x4

    0.723

    -0.632

    0.694

    -0.600

    y3

    0.671

    0.667

    0.699

    0.702

    x5

    0.410

    -0.469

    0.394

    -0.445

    y4

    0.163

    0.369

    0.169

    0.389

    x6

    0.197

    -0.725

    0.189

    -0.689

            由表5可知,x1,x2,x3,x4 与“基础设施组”的第一典型变量u1均呈高度相关,说明对外设施、对内设施、每百人电话数和技术设施在反映城市基础设施方面占有主导地位,其中由以技术设施居于首位。x4与基础设施组的第二典型变量和竞争力组的第一典型变量都呈高度相关。“竞争力组”的第一典型变量v1与y2的相关系数比较高,体现了y2在反映城市竞争力中占有主导地位。y3与v1,v2均呈较高相关,但v2凝聚的信息量有限,因而y3在“竞争力”中的贡献低于y2。由于第一对典型变量之间的高度相关,导致“基础设施组”中的 则与“影响组”的第一典型变量也呈高度相关。这种一致性从数量上体现了“基础设施组”对“竞争力组”的本质影响作用,与指标的实际经济联系非常吻合,说明典型相关分析结果具有较高可信度。

    本文主要参考《数学建模算法与应用》一书。

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    习题


    某调查公司从一个大型零售公司随机调查了 784 人,测量了 5 个职业特性指标和 7 个职业满意变量,有关的变量见表 19。讨论两组指标之间是否相联系。

            一些计算结果的数据见下面的表格。

     

    计算的MATLAB程序如下

    clc,clear
    load da.txt %原始的相关系数矩阵保存在纯文本文件da.txt中
    %r为相关系数矩阵
    r=da;
    n1=5;n2=7;num=min(n1,n2);
    s1=r(1:n1,1:n1);
    s12=r(1:n1,n1+1:end); 
    s21=s12';
    s2=r(n1+1:end,n1+1:end);
    m1=inv(s1)*s12*inv(s2)*s21;
    m2=inv(s2)*s21*inv(s1)*s12;
    [x1,y1]=eig(m1);
    %以下是特征向量归一化,满足a's1a=1
    gu1=x1'*s1*x1;
    gu1=sqrt(diag(gu1)); %求典型相关系数
    gu1=gu1'.*sign(sum(x1)); %每个特征向量的最大分量为正
    gu1=repmat(gu1,length(gu1),1);
    a=x1./gu1;
    y1=diag(y1); %取出特征值
    [y1,ind1]=sort(y1,'descend'); %特征值按照从大到小排列
    a=a(:,ind1(1:num)) %取出X组的系数阵
    y1=sqrt(y1(1:num)) %计算典型相关系数
    flag=1;
    xlswrite('bk1.xls',a,'Sheet1','A1') %把计算结果写到Excel文件中去
    flag=n1+2;
    str=char(['A',int2str(flag)]);
    xlswrite('bk1.xls',y1','Sheet1',str)
    [x2,y2]=eig(m2);
    %以下是特征向量归一化,满足b's2b=1
    gu2=x2'*s2*x2;
    gu2=sqrt(diag(gu2));
    gu2=gu2'.*sign(sum(x2));
    gu2=repmat(gu2,length(gu2),1);
    b=x2./gu2;
    y2=diag(y2);
    [y2,ind2]=sort(y2,'descend');
    b=b(:,ind2(1:num))
    y2=sqrt(y2(1:num)) %计算典型相关系数
    flag=flag+2;
    str=char(['A',int2str(flag)]);
    xlswrite('bk1.xls',b,'Sheet1',str)
    flag=flag+n2+1;
    str=char(['A',int2str(flag)]);
    xlswrite('bk1.xls',y2','Sheet1',str)
    x_u_r=s1*a; %x,u的相关系数
    x_u_r=x_u_r(:,1:num) 
    flag=flag+2;
    str=char(['A',int2str(flag)]);
    xlswrite('bk1.xls',x_u_r,'Sheet1',str)
    y_v_r=s2*b; %y,v的相关系数
    y_v_r=y_v_r(:,1:num)
    flag=flag+n1+1;
    str=char(['A',int2str(flag)]);
    xlswrite('bk1.xls',y_v_r,'Sheet1',str)
    x_v_r=s12*b; %x,v的相关系数
    x_v_r=x_v_r(:,1:num)
    flag=flag+n2+1;
    str=char(['A',int2str(flag)]);
    xlswrite('bk1.xls',x_v_r,'Sheet1',str)
    y_u_r=s21*a; %y,u的相关系数
    y_u_r=y_u_r(:,1:num)
    flag=flag+n1+1;
    str=char(['A',int2str(flag)]);
    xlswrite('bk1.xls',y_u_r,'Sheet1',str)
    mu=sum(x_u_r.^2)/n1 %x组原始变量被u_i解释的方差比例
    mv=sum(x_v_r.^2)/n1 %x组原始变量被v_i解释的方差比例
    nu=sum(y_u_r.^2)/n2 %y组原始变量被u_i解释的方差比例
    nv=sum(y_v_r.^2)/n2 %y组原始变量被v_i解释的方差比例
    

    习题

    1.表 33 是 1999 年中国省、自治区的城市规模结构特征的一些数据,试通过聚类 分析将这些省、自治区进行分类。

    2. 表 34 是我国 1984—2000 年宏观投资的一些数据,试利用主成分分析对投资效 益进行分析和排序。

    4.为了了解家庭的特征与其消费模式之间的关系。调查了70个家庭的下面两组变 量:

    已知相关系数矩阵见表36,试对两组变量之间的相关性进行典型相关分析。

    5.近年来我国淡水湖水质富营养化的污染日趋严重,如何对湖泊水质的富营养化 进行综合评价与治理是摆在我们面前的一项重要任务。表 37 和表 38 分别为我国 5 个湖 泊的实测数据和湖泊水质评价标准。

    (1)试利用以上数据,分析总磷、耗氧量、透明度和总氮这 4 种指标对湖泊水质 富营养化所起作用。

    (2)对上述 5 个湖泊的水质进行综合评估,确定水质等级。


    典型相关分析系列博文:

     

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    展开全文
  • 一、为什么要用典型相关分析 典型相关分析研究的是两组变量之间的关系,如{x1, x2, x3}和{y1, y2, y3}两组变量之间的关系。 具体来说,变量间的相关关系可以分为以下几种: 两个变量间的线性相关关系,可用简单相关...

    一、为什么要用典型相关分析

    典型相关分析研究的是两组变量之间的关系,如{x1, x2, x3}和{y1, y2, y3}两组变量之间的关系。
    具体来说,变量间的相关关系可以分为以下几种:

    • 两个变量间的线性相关关系,可用简单相关系数
    • 一个变量与多个变量之间的线性相关关系,可用复相关系数。
    • 多个变量与多个变量间的相关关系,使用典型相关关系

    二、典型相关分析的基本原理

    典型相关分析在研究两组变量间的线性相关关系时,将每一组变量作为一个整体进行分析。它采用类似于主成分分析(PCA)的方法,在每一组变量中都选择若干个有代表性的综合指标,这些综合指标是原始变量的线性组合,代表了原始变量的大部分信息,且两组综合指标的相关程度最大。

    简单地说,对于{x1, x2, x3}和{y1, y2, y3}两组变量,我们先求出能体现x和y最大相关性的一对变量u1,v1:u1是{x1, x2, x3}的线性组合,v1是{y1, y2, y3}的线性组合。

    然后再类似的求第二、第三对典型相关变量,然后我们就得到两组典型相关变量{u1,u2,u3}和{v1,v2,v3}。三对典型相关变量是彼此不相关的,它们反应了变量组x和y之间的相关关系。

    当两组变量的数量不一致时,那么可提取到的典型变量个数就等于较少数据组的变量个数,如对于{x1, x2, x3}和{y1, y2},可提取的典型变量为2个。

    三、实例分析

    1.数据

    某个研究人员收集了600名大学新生的三个心理变量,四个学术变量(标准化考试成绩) 。他希望研究者3个心理变量与4个学术变量间的相关关系。
    也就是说,我们要分析

    • 变量组x{外向倾向,自我概念,动机水平}
    • 变量组y{阅读成绩,写作成绩,数学成绩,理科成绩}

    之间的相关关系。数据如下图所示:
    在这里插入图片描述

    2.分析

    在SPSS25中,选择:分析→相关→典型相关性,在选项中勾选成对相关性
    (备注:SPSS23前的版本没有这个选项,需要使用自定义宏)
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    3.结果

    在这里插入图片描述
    此图反映了各变量间的相关系数,从中可以看出不同变量间的相关程度。
    如果组内变量间的相关系数高,说明两者包含的信息有重叠部分;如果组间变量相关系数高,则说明两者有一定相关性(- -!)。

    在这里插入图片描述
    此图给出了典型相关系数及其检验,结果表明前两个典型相关系数是显著的,因此我们选择前两个典型相关变量进行解释。
    具体来说,第一对典型相关变量的相关系数是0.446,p< .001;第二对典型相关变量的相关系数是0.153,p= .025

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    上图分别是两组变量的标准化相关系数和未标准化的相关系数。
    根据此图,可以写出各典型变量的表达式,如对于第一对典型变量u1和v1:
    其标准化的表达式为(Z外向倾向表示将该变量标准化后的值):

    u1 = -0.838*Z外向倾向+0.167*Z自我概念-0.428*Z动机水平
    v1 = -0.445*Z阅读成绩-0.536*Z写作成绩-0.183*Z数学成绩+0.037*Z理科成绩
    

    非标准化的表达式为

    u1 = -1.250*外向倾向+0.237*自我概念-1.249*动机水平
    v1 = -0.044*阅读成绩-0.055*写作成绩-0.019*数学成绩+0.004*理科成绩
    

    PS:再讲解一下两者的一些不同之处:

    • 标准化的系数由于经过标准化,因此系数相互之间是可比的,用处是用于比较不同自变量对应变量的影响程度。比如在set1的标准化系数中,外向倾向的系数是-0.838,自我概念的系数是0.167,因此我们可以认为外向倾向对成绩的影响比自我概念影响更大。

    • 而未标准化的系数因为每个变量没有标准化,量纲不一样,因此不能直接用系数大小比较自变量贡献程度,它的用处是可以用于计算CCA得分,(直接用系数乘以原始数据)

    在这里插入图片描述
    上图是冗余分析的结果,它说明各典型变量对各变量组方差解释的比例。

    以上是个人对典型相关分析学习的总结笔记,如有错误,欢迎讨论和指正。

    展开全文
  • 典型相关分析 CCA

    千次阅读 2020-12-23 01:21:10
    最近有小伙伴在问我一个数据分析的问题, 做毕设, 实证分析. 不知道改如何处理数据.看了下设计的量表大致是这样的, 都是 5级的里克特量表, 大致分为两波, X, Y. 小伙伴认为就只有两个变量, 这是从商业理论上来认识的,...

    最近有小伙伴在问我一个数据分析的问题, 做毕设, 实证分析. 不知道改如何处理数据.

    看了下设计的量表大致是这样的, 都是 5级的里克特量表, 大致分为两波, X, Y. 小伙伴认为就只有两个变量, 这是从商业理论上来认识的, 但从数据的角度, 却不是的.

    X: 一共有22个问题, 也就是22个字段; 里面又是有认为分组的, 三两个字段, 又被认定为一个别名.

    Y: 一共有13个问题, 也就是13个字段; 里面有是人为分组, 三两字段啥的, 分为 4组, 分别有别名.

    然后不知道该如何分析?

    问题

    探寻 X 与 Y 的相关关系(线性相关)

    其实探讨的时候, 挺不易的, 就很难知道她到底想要分析什么, 需求是什么, 还以为要做什么回归分析, 什么相关分析, 什么统计描述或其他的, 总之, 沟通过程非常漫长. 最后我放弃了, 还是单纯从这个数据级来分析.

    本质上, 其实宏观来看, 就是 X 和 Y 的相关性如何嘛, 以及如何影响的. 那这不是求一波, 相关系数嘛. 但这里, X, Y 是多个字段, 是多对多 的关系, 就求不来了. 因此需要引进新的方法.

    CCA

    于是引入了典型相关分析 (Canonical Correlation Analysis), 用于探索多变量之间的关联关系.

    于是这个问题, 就可以初步这样来做.

    更正一波,写的有点不对, 不是分别降低到一维度. 而是分别降维后, x 和 y 能进行 配对. 这里 y 有13个嘛, x 有22个, 假设根本不对 y 进行降维, 那最多也只能匹配到 13对. 约束条件就是相关系数最大呀. 这块的数学公式就暂时不写了, 跟 PCA , 因子分析的逻辑是类似的.

    发现了一个神器, 在线SPSS, 叫做 SPSSAU, 付费的, 但功能强大, UI 很有感觉, 重点是完全实现 傻瓜式操作. 虽然我已经不再做这块了, 但还是很怀念 SPSS, 比较是我数据分析之路的启蒙软件. 至少是真正用来做数据分析, 做市场研究的.

    简单, 托拉拽, 一键输出报告, 包含 假设检验. 探寻数据的应用意义, 而不用太多关注底层的数学公式. 虽然数学公式会更加帮助理解数据集, 这是后话. 我觉得这才是数据分析的意义:

    描述性统计分析

    关联性统计分析

    探索性建模分析

    这种基于统计理论的分析框架 + 商业理论, 已早已熟练于心. 虽然现在的不用这类 傻瓜工具了, 现在自己搞编程, 但我感觉企业中的数据分析, 至少我接触的反而更加低级.

    写 sql 查询数据 或 手动下载数据

    筛选字段, 合并表格

    计算业务指标, 几遍的加减乘除, 什么同比环比

    大量的分组聚合, 生成报表, 看板

    真的是, 从技术层面, 毫无难度. 我很多时间都是干这些活, 相比数据分析,我认为的, 我感觉还真不如几年前用 SPSS 的时光. 起码是真的再利用数据的价值来进行市场研究, 市场分析.

    然后会最终得到这样类似的结果 , 和一些假设检验, 因子载荷等的术语, 都蛮简单的. (我没跑, 数据暂不能公开, 找了一张网上的示意图)

    这样 CCP 就完成了, 多自变量 和 多因变量的关联分析了.

    Next - 回归

    继续要探寻, X 和部分 y 的关系. 我的思路, 都既然做相关分析了, 那很自然再拓展到回归分析呀.

    合并 y 为 1 列

    回归分析的 y 是一个字段, 因此, 可以将 量表中的 小 y 组进行, 合并为一列. 这里, 可以加权 或者 直接平均, 自己能解释清楚就行.

    主成分 + 多元回归

    有一个 y, 有很多的 x1, x2, x2... 相关分析, 就是要判断, 这些 x1, x2..与 y 是都是分别有线性相关性的(相关系数高); 而 x1, 与 x2, x3.. 之间呢, 彼此相关系数 要低

    第二步就是要降维. 为啥必须要降维度呢, 就是怕 X 矩阵, 存在共线, 然后就不能 求 逆了呀.

    PCA降维

    至于如何降维, 我感觉我自己都说烂了. 也搞好几年了, 就是让特征重新进行线性组合 (改变数据了哦) 为几个较少得到特征, 然后尽可能保留原来更多的信息 (协方差的范数尽可能大)

    求解模型参数

    方法1 是一步求解, 就用上面的共线图中的矩阵运算即可.

    方法2 是用梯度下降法来做, 我用的多, 但这个小伙伴, 没有学过编程, 就还是给推荐, 撒花是点点点算了.

    小结

    多自变量 和 多因变量 分析可以考虑 典型相关分析 CCA 这种 "降维配对" 的技术

    回归分析必须 3步: 先做相关性分析; 再做降维处理; 再训练模型参数;

    PCA 我感觉非常厉害的. 还有一在线版spssau 的工具体验感很好, 市场研究方面的数据处理, 很适合.

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