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  • 1936年 Hotelling将线性相关性推广到两组变量的讨论中,提出了典型相关分析方法 .基本思想是仿 照主成分分析法中把多变量与多变量之间的相关化为两个变量之间相关的做法 ,首先在每组变量内部找 出具有最大相关性的一...

    一.典型相关分析背景介绍
    1936年 Hotelling将线性相关性推广到两组变量的讨论中,提出了典型相关分析方法 .基本思想是仿 照主成分分析法中把多变量与多变量之间的相关化为两个变量之间相关的做法 ,首先在每组变量内部找 出具有最大相关性的一个线性变量组合, 然后再在每组变量内找出第二对线性组合 ,使其本身具有最大 的相关性,并分别与第一对线性组合不相关.如此下去, 直到两组变量内各变量之间的相关性被提取完毕 为止.有了这些最大相关的线性组合 ,则讨论两组变量之间的相关 ,就转化为研究这些线性组合的最大相关 ,从而减少了研究变量的个数。
    典型变量是依照两组指标的相关性最大化原则提取的综合指标。

    典型相关分析的计算过程主要分为四步:
    第一步, 计算相关系数阵 R;
    第二步, 求典型相关系数及典型变量 ;
    第三步, 典型相关系数 λi的显著性检验 ;
    第四步 ,典型结构与典型冗余分析.

    二.典型相关分析原理
    第一典型相关系数推导图
    第二、第三对典型相关系数推导
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  • 一、典型相关分析VS皮尔逊相关系数/斯皮尔曼相关系数 典型相关分析(Canonical Correlation analysis) 研究两组变量(每组变量中都可能有多个指标) 之间相关关系的一种多元统计方法。它能够揭示出两组变量之间的...

    一、典型相关分析VS皮尔逊相关系数/斯皮尔曼相关系数

    典型相关分析(Canonical Correlation analysis) 研究两组变量(每组变量中都可能有多个指标) 之间相关关系的一种多元统计方法。它能够揭示出两组变量之间的内在联系。

    皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数针对的是两个变量的相关性,典型相关分析针对的是两组变量进行相关分析,相当于对每组变量进行线性组合,求这两个组合后的变量之间的相关性,结果也用p检验方法,显著性最大的那组作为最后的线性组合的系数。

    数据对比:

    下图求皮尔逊相关系数,求各变量之间的相关系数,即(身高,体重)得到一个相关系数,(身高,肺活量)得到一个相关系数,依次类推,得到互不相同的所有变量之间的相关系数。

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  • 数学建模6 典型相关分析

    千次阅读 2020-02-03 00:03:38
    1、典型相关分析和皮尔逊相关系数/斯皮尔曼相关系数对比 皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数针对的是两个变量的相关性,典型相关分析针对的是两组变量进行相关分析,每组变量还可以由多个变量构成。 例如:下图求...

    1、典型相关分析和皮尔逊相关系数/斯皮尔曼相关系数对比

    皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数针对的是两个变量的相关性,典型相关分析针对的是两组变量进行相关分析,每组变量还可以由多个变量构成。
    例如:下图求皮尔逊相关系数,求各变量之间的相关系数,即(身高,体重)得到一个相关系数,(身高,肺活量)得到一个相关系数,依次类推,得到互不相同的所有变量之间的相关系数。
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    下图求典型相关性,求两组变量的相关性,即([第一组变量],[第二组变量])=([低学历,高学历,网络],[艺术家,发行,主管])之间相关性,是将第一组变量的三个变量做线性组合,和第二组变量的线性组合进行相关性分析。分析过程有spss软件进行,主要是对结果的解释。
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    2、典型相关分析

    典型相关分析由Hotelling提出,其基本思想和主成分分析非常相似。 首先在每组变量中找出变量的线性组合,使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数; 然后选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合,使其配对,并选取相关系数最大的一对; 如此继续下去,直到两组变量之间的相关性被提取完毕为此。 被选出的线性组合配对称为典型变量,它们的相关系数称为典型相关系数。典型相关系数度量了这两组变量之间联系的强度。
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    例题
    题目:分析第一组变量(体重,腰围,脉搏)和第二组变量(引体向上次数,起坐次数,跳跃次数)之间的关系。
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    操作:将数据导入spss中(版本24以上),分析-相关-典型相关-将(体重,腰围,脉搏)放集合1-剩下的3个放集合2-确定

    查看结果(转为中文后):只需了解典型相关系数(Canonical Correlations)、集合1标准化典型变量对应的线性组合系数表(Set 1 Standardized Canonical Correlation Coefficients)、集合2标准化典型相关变量对应的线性组合系数(Set 2 Standardized Canonical Correlation Coefficients)三张表格表达的意思即可。
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    分别来看三张表的表达意思

    1、典型相关系数表
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    表格的最后一列,这一列代表着检验统计量所对应的p值,我们要通过它确定典型相关系数的个数。与前面提到的皮尔逊相关系数的p值一下,一般p值<0.05即为相关,(这是在置信水平为95%情况下);上图中只有第一行的0.064接近0.05,剩下两个p太大,不显著,因此,可以在置信水平为90%情况下(p值<0.1),可认为两组变量的线性组合相关,且因为相关系数为0.796成正相关。因为线性组合只有第一行的显著性水平达到了,因此集合1、集合2的线性组合只取第一列数据。
    2、集合1标准化典型变量对应的线性组合系数表
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    由典型相关性表分析得出,只有第一个线性组合让两组变量呈现的相关性是显著的,因此,集合1典型相关系数取第一个线性组合的系数,也即第一列的系数。由此可得到第一组变量对应的线性组合:
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    3、集合2标准化典型相关变量对应的线性组合系数
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    同集合1,可得到第二组变量(集合2)的线性组合:
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    分析:其实我们典型分析结果就是得到两组变量各自的线性组合,以及,组合后整体U1和V1之间的相关性。从此题来看,第一组变量[体重,腰围,脉搏]和第二组变量[引体向上次数,起坐次数,跳跃次数]之间是正相关,相关系数为0.796,显著性为0.064,在90%的置信水平内认为此正相关具有统计学意义。且第一个变量体重是正相关,腰围是负相关,可以理解为:U1和V1是正相关,U1增加,V1也增加;假设U1的增加是其他两项不变,体重Z1的增加,则V1增加,假设第二组变量的起坐次数Z2和跳跃次数Z3都不变,则引体向上增加;也即,体重增加,对应引体向上增加。(可以这样理解,前提是其他的变量不变)

    3、典型相关分析计算过程

    1.数据分布有假设:两组数据符合联合正态分布
    2.对两组变量的相关性进行检验
    3.确定典型相关变量的个数(p值)
    4.标准化后的典型相关变量
    5.典型荷载分析
    6.贡献

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  • 典型相关分析笔记

    2020-07-07 17:22:09
    典型相关分析笔记

    典型相关分析 什么时候用?

    典型相关分析 的基本原理是:为了从总体上把握两组指标之间的相关关系,分别在两组变量中提取有代表性的两个综合变量,利用这两个综合变量之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性

    典型相关分析 非常适合在题目要求分析两组数据(每组数据间有多个指标)之间的关系时使用

    典型相关分析的顺序

    数据分布的假设(预处理)
    对变量相关性检验(假设检验)
    标准化典型相关变量(做出典型相关模型)
    典型载荷分析(进一步对数据分析)

    典型相关分析的例题演示

    我们要探究观众和业内人士对于一些电视节目的观点有什么样的关系呢?

    【资料:观众评分来自 低学历(Ied)、高学历(hed) 和 网络调查(net) 三种,形成第一组变量;而业内人士分评分来自包括演员和导演在内的 艺术家(arti)、发行(com) 与 业内人士(man) 三种,形成第二组变量】

    一、数据分布的假设
    为研究观众与业内人士这两类人群对电视节目的观点的相关性,令观众与业内人士的评分为两组样本数据,采用典型相关分析法,分别在第一组变量与第二组变量中,找到一组线性组合,使得其相关系数最大
    X = [ X ( 1 ) X ( 2 ) ] \mathbf{X}=\left[\begin{array}{l} \mathbf{X}^{(1)} \\ \mathbf{X}^{(2)} \end{array}\right] X=[X(1)X(2)] 服从正态分布 N 3 + 3 ( μ , Σ ) N_{3+3}(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}) N3+3(μ,Σ),从整体中抽取样本容量为 30 30 30 的样本,得到下列数据矩阵:
    X ( 1 ) = [ X 1 , 1 ( 1 ) X 1 , 2 ( 1 ) X 1 , 3 ( 1 ) X 2 , 1 ( 1 ) X 2 , 2 ( 1 ) X 2 , 3 ( 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ X 30 , 1 ( 1 ) X 30 , 2 ( 1 ) X 30 , 3 ( 1 ) ] \mathbf{X}^{(1)}=\left[\begin{array}{cccc} X_{1,1}^{(1)} & X_{1,2}^{(1)} & X_{1,3}^{(1)} \\ X_{2,1}^{(1)} & X_{2,2}^{(1)} & X_{2,3}^{(1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ X_{30,1}^{(1)} & X_{30,2}^{(1)} & X_{30,3}^{(1)} \end{array}\right] X(1)=X1,1(1)X2,1(1)X30,1(1)X1,2(1)X2,2(1)X30,2(1)X1,3(1)X2,3(1)X30,3(1) X ( 2 ) = [ X 1 , 1 ( 2 ) X 1 , 2 ( 2 ) X 1 , 3 ( 2 ) X 2 , 1 ( 2 ) X 2 , 2 ( 2 ) X 2 , 3 ( 2 ) ⋮ ⋮ ⋮ X 30 , 1 ( 2 ) X 30 , 2 ( 2 ) X 30 , 3 ( 2 ) ] \mathbf{X}^{(2)}=\left[\begin{array}{cccc} X_{1,1}^{(2)} & X_{1,2}^{(2)} & X_{1,3}^{(2)} \\ X_{2,1}^{(2)} & X_{2,2}^{(2)} & X_{2,3}^{(2)} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ X_{30,1}^{(2)} & X_{30,2}^{(2)} & X_{30,3}^{(2)} \end{array}\right] X(2)=X1,1(2)X2,1(2)X30,1(2)X1,2(2)X2,2(2)X30,2(2)X1,3(2)X2,3(2)X30,3(2)

    然后对样本数据进行标准化处理,得到的样本的相关系数矩阵 R ^ \hat{R} R^
    R ^ = [ R ^ 11 R ^ 12 R ^ 21 R ^ 22 ] \hat{R}=\left[\begin{array}{cc} \hat{R}_{11} & \hat{R}_{12} \\ \hat{R}_{21} & \hat{R}_{22} \end{array}\right] R^=[R^11R^21R^12R^22]由此可得矩阵 A A A B B B 的样本估计:
    A ^ ∗ = R ^ 11 − 1 R ^ 12 R ^ 22 − 1 R ^ 21 \hat\mathbf{A}^{*}=\hat{\mathbf{R}}_{11}^{-1} \hat{\mathbf{R}}_{12} \hat{\mathbf{R}}_{22}^{-1} \hat{\mathbf{R}}_{21} A^=R^111R^12R^221R^21 B ^ ∗ = R ^ 22 − 1 R ^ 21 R ^ 11 − 1 R ^ 12 \hat\mathbf{B}^{*}=\hat{\mathbf{R}}_{22}^{-1} \hat{\mathbf{R}}_{21} \hat{\mathbf{R}}_{11}^{-1} \hat{\mathbf{R}}_{12} B^=R^221R^21R^111R^12

    求解 A ^ ∗ \hat\mathbf{A}^{*} A^ B ^ ∗ \hat\mathbf{B}^{*} B^ 的特征根及相应的特征向量,即可得到典型变量及典型相关系数,最终根据典型相关系数得到我们的典型相关分析表达式

    二、确定典型相关变量的个数并进行假设检验

    下图是我们要分析的两组变量指标
    在这里插入图片描述
    根据样本数据检验总体典型相关系数 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 λ_1、λ_2、λ3 λ1λ2λ3,对变量进行相关性检验(假设检验):

    原假设 H 0 H_0 H0 λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0 λ_1=λ_2=λ3=0 λ1=λ2=λ3=0
    备择假设 H 1 H_1 H1 :至少有一个不为 0 0 0

    将数据导入 SPSS 软件中,对观众与业内人士对节目的评分的两组样本数据进行典型性分析,得到如下结果:
    在这里插入图片描述

    从上表可知,三组典型相关变量之间的 P P P 值都很小,接近于 0 0 0(小于 0.05 0.05 0.05 ),在 99% 的置信水平下,拒绝原假设 H 0 H_0 H0,即认为典型相关系数显著,说明观众与业内人士之间存在着显著的正向相关关系。并由表可见,第一、第二对典型变量之间的典型相关系数 λ 1 、 λ 2 λ_1、λ_2 λ1λ2 都大于 0.9 0.9 0.9,由此可见这两对典型变量的解释能力较强,并且相应典型变量之间密切相关

    对典型变量进行 冗宇分析 得到 已解释的方差比例表格,如下所示:
    在这里插入图片描述
    由表可知,对于集合 1 与 集合 2,前两组典型相关变量的自身解释量分别高达 0.893 0.893 0.893 0.969 0.969 0.969,因此,只需要选取的两对典型相关变量,就可以完整的阐述整体原数据的关系

    三、利用标准化后的典型相关变量分析问题

    观众与业内人士对节目的评分的典型相关变量对应的线性组合分别如下所示:

    观众评分标准化典型相关系数表:

    业内人士评分标准化典型相关系数表:

    从而得到典型相关数向量:
    a ( 1 ) ∗ = ( 0.149 , 0.977 , − 0.052 ) ′ \mathbf{a}^{(1)^{*}}=(0.149,0.977,-0.052)^{\prime} a(1)=(0.149,0.977,0.052)
    a ( 2 ) ∗ = ( − 0.786 , 0.383 , − 0.312 ) ′ \mathbf{a}^{(2) *}=(-0.786,0.383,-0.312)^{\prime} a(2)=(0.786,0.383,0.312)
    b ( 1 ) ∗ = ( 0.858 , 0.019 , 0.145 ) ′ \mathbf{b}^{(1)^{*}}=(0.858,0.019,0.145)^{\prime} b(1)=(0.858,0.019,0.145)
    b ( 2 ) ∗ = ( 0.911 , − 1.046 , − 0.337 ) ′ \mathbf{b}^{(2) *}=(0.911,-1.046,-0.337)^{\prime} b(2)=(0.911,1.046,0.337)

    最终得到相关检验模型,为了便于比较,我们选用对典型系数标准化后的典型相关模型:
    操作: 这个表格我是用 Word 做的,相比 Latex 制作要简单点】
    在这里插入图片描述
    注:其中 Z i ( 1 ) Z_{i}^{(1)} Zi(1) Z j ( 2 ) Z_{j}^{(2)} Zj(2)分别为原始变量 X i ( 1 ) X_{i}^{(1)} Xi(1) Y i ( 2 ) Y_{i}^{(2)} Yi(2)是标准化后的结果

    以上结果说明,典型变量 U 1 ∗ U_1^* U1 相对于第一个特征值, Z 2 Z_2 Z2(高学历) 的重要程度最大,即 U 1 ∗ U_1^* U1 主要代表着 高学历(hed) 变量并呈正相关。同理可得, U 2 ∗ U_2^* U2 主要代表着 低学历(led) 变量并呈负相关 、 V 1 ∗ V_1^* V1 主要代表着 艺术家(art) 变量并呈正相关 、 V 2 ∗ V_2^* V2 主要代表着 发行(com) 变量并呈负相关

    四、进行典型载荷分析

    观众与业内人士两组数据的典型相关变量的典型载荷分别如下所示:

    观众评分典型载荷:
    在这里插入图片描述
    由上表可见普通观众的第一变量与低学历人群的相关系数为 0.333 0.333 0.333,与高学历人群的相关系数为 0.933 0.933 0.933,与网络用户的相关系数为 0.383 0.383 0.383,另一方面也说明了第一变量与三个群体均呈正相关。第二变量与低学历人群的相关系数为 − 0.925 -0.925 0.925,与网络用户的相关系数为 − 0.753 -0.753 0.753,其中与低学历人群的相关性最高为 − 0.925 -0.925 0.925,另一方面也说明了第二变量与低学历人群和网络用户成负相关。此外,第一变量主要反映的是高学历人群,第二变量主要反映网络用户和低学历人群

    业内人士评分典型载荷:
    在这里插入图片描述
    由上表可知业内人士的第一变量与艺术家人群的相关系数为 0.997 0.997 0.997,与发行商人群的相关系数为 0.571 0.571 0.571,与主管的相关系数为 0.922 0.922 0.922,另一方面也说明了第一变量与三个群体均呈正相关。第二变量与高学历人群的相关系数为 − 0.811 -0.811 0.811,与发行商的相关系数为 − 0.274 -0.274 0.274,另一方面也说明了第二变量与发行商和主管成负相关。此外,第一变量主要反映的是艺术家,第二变量主要反映发行商

    典型相关分析的补充

    不同于相关性分析,典型相关分析本身就是一个模型,类似于 皮尔逊相关系数模型 和 斯皮尔曼相关系数模型

    典型相关分析的评估

    典型相关分析 的优点:
    (1) 能良好的反应出两组变量的指标之间多对多联系
    (2) 可推广性很强
    典型相关分析 的缺点:
    在解决时间序列问题时存在不足,不能及时、准确地反映样本数据的时间特征及变化趋势

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