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  • (1)在二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式:(2) 两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦类似的,对于两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2...

    夹角余弦(Cosine)

    也可以叫余弦相似度。 几何中夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异,机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。

    (1)在二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式:

    (2) 两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦

    类似的,对于两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n),可以使用类似于夹角余弦的概念来衡量它们间的相似程度。

    即:

    余弦取值范围为[-1,1]。求得两个向量的夹角,并得出夹角对应的余弦值,此余弦值就可以用来表征这两个向量的相似性。夹角越小,趋近于0度,余弦值越接近于1,它们的方向更加吻合,则越相似。当两个向量的方向完全相反夹角余弦取最小值-1。当余弦值为0时,两向量正交,夹角为90度。因此可以看出,余弦相似度与向量的幅值无关,只与向量的方向相关。

    import numpy as np

    x=np.random.random(10)

    y=np.random.random(10)

    #方法一:根据公式求解

    d1=np.dot(x,y)/(np.linalg.norm(x)*np.linalg.norm(y))

    #方法二:根据scipy库求解

    from scipy.spatial.distance import pdist

    X=np.vstack([x,y])

    d2=1-pdist(X,'cosine')

    两个向量完全相等时,余弦值为1,如下的代码计算出来的d=1。

    d=1-pdist([x,x],'cosine')

    皮尔逊相关系数(Pearson correlation)

    (1) 皮尔逊相关系数的定义

    前面提到的余弦相似度只与向量方向有关,但它会受到向量的平移影响,在夹角余弦公式中如果将 x 平移到 x+1, 余弦值就会改变。怎样才能实现平移不变性?这就要用到皮尔逊相关系数(Pearson correlation),有时候也直接叫相关系数。

    如果将夹角余弦公式写成:

    皮尔逊相关系数具有平移不变性和尺度不变性,计算出了两个向量(维度)的相关性。

    在python中的实现:'

    import numpy as np

    x=np.random.random(10)

    y=np.random.random(10)

    #方法一:根据公式求解

    x_=x-np.mean(x)

    y_=y-np.mean(y)

    d1=np.dot(x_,y_)/(np.linalg.norm(x_)*np.linalg.norm(y_))

    #方法二:根据numpy库求解

    X=np.vstack([x,y])

    d2=np.corrcoef(X)[0][1]

    相关系数是衡量随机变量X与Y相关程度的一种方法,相关系数的取值范围是[-1,1]。相关系数的绝对值越大,则表明X与Y相关度越高。当X与Y线性相关时,相关系数取值为1(正线性相关)或-1(负线性相关)。

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  • 相关系数与相关指数区别

    千次阅读 2020-06-26 16:27:30
    文章目录一、有关叫法二、相关系数2.1 概念2.1.1 简单相关系数2.1.2 复相关系数2.1.3 偏相关系数2.1.4 典型相关系数2.1.5 相关指数2.2 计算公式2.2.1 简单相关系数2.2.2 复相关系数2.2.3 偏相关系数2.2.4 典型相关...

    一、有关叫法

    相关系数包括:简单相关系数、复相关系数、偏相关系数、典型相关系数 ;
    相关指数又叫做决定系数、判定系数、拟合优度。

    二、相关系数

    2.1 概念

    由于研究对象的不同,相关系数的定义也有所不同:

    2.1.1 简单相关系数

    简单相关系数:又叫相关系数或线性相关系数,一般用字母r表示,描述自变量和因变量的线性相关程度

    • 当r大于0时,表明两个变量正相关,r小于0时,表明两个变量负相关;
    • r的绝对值越接近于1时,表明两个变量的线性相关性越强;
    • r的绝对值越接近于0时,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系;
    • 通常|r|大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性。

    2.1.2 复相关系数

    复相关系数:又叫多重相关系数,一般用字母R来表示。复相关系数是反映一个因变量与一组自变量(两个或两个以上)之间相关程度的指标。它不能直接测算,只能采取一定的方法进行间接测算。(具体可参考:https://wiki.mbalib.com/wiki/%E5%A4%8D%E7%9B%B8%E5%85%B3%E7%B3%BB%E6%95%B0)

    2.1.3 偏相关系数

    偏相关系数:又叫部分相关系数,反映校正其它变量后某一变量与另一变量的相关关系,校正的意思可以理解为假定其它变量都取值为均数。 偏相关系数的假设检验等同于偏回归系数的t检验。 复相关系数的假设检验等同于回归方程的方差分析。

    2.1.4 典型相关系数

    典型相关系数:是先对原来各组变量进行主成分分析,得到新的线性关系的综合指标,再通过综合指标之间的线性相关系数来研究原各组变量间相关关系。

    2.1.5 相关指数

    描述回归模型的回归效果

    • R2R^{2}越大,确定的回归模型的拟合效果越好,R2R^{2}越小,模型的拟合效果越差;
    • R2R^{2}越接近于1,表示拟合效果越好;
    • 在实际中,我们应该尽量选择R2R^{2}大的回归模型

    2.2 计算公式

    2.2.1 简单相关系数

    r(X,Y)=Cov(X,Y)Var[X]Var[Y]=E[(XEX)(YEY)]E[XEX]2E[YEY]2=i=1n(xix)(yiy)i=1n(xix)2i=1n(yiy)2=i=1nxiyinxy(i=1nxi2nx2)(i=1nyi2ny2) \begin{aligned} r(X, Y)&=\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}[X] \operatorname{Var}[Y]}}=\frac{\mathrm{E}[(X-\mathrm{EX})(Y-\mathrm{EY})]}{\sqrt{\mathrm{E}[X-\mathrm{EX}]^{2}} \sqrt{\mathrm{E}[Y-\mathrm{EY}]^{2}}}\\ &=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right)\left(y_{i}-\overline{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\overline{y}\right)^{2}}}\\ &=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \overline{x} \overline{y}}{\sqrt{\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n \overline{x}^{2}\right)\left(\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}-n \overline{y}^{2}\right)}} \end{aligned}

    2.2.2 复相关系数

    R=(yy)(y^y)(yy)2(y^y)20R1 R=\frac{\sum(y-\overline{y})(\hat{y}-\overline{y})}{\sqrt{\sum(y-\overline{y})^{2} \sum(\hat{y}-\overline{y})^{2}}} \quad 0 \leq R \leq 1

    2.2.3 偏相关系数

    2.2.4 典型相关系数

    2.2.5 相关指数

    R2=SSRSST=(1SSESST)=1i=1n(yiy^i)2i=1n(yiy)2 \begin{aligned} R^{2}&=\frac{S S R}{S S T}=\left(1-\frac{S S E}{S S T}\right)\\ &=1-\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{y}_{i}\right)^{2}}{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\overline{y}\right)^{2}} \end{aligned}
    回归平方和:SSR(Sum of Squares forregression) = ESS (explained sum of squares)

    残差平方和:SSE(Sum of Squares for Error) = RSS(residual sum of squares)

    总离差平方和:SST(Sum of Squares fortotal) = TSS(total sum of squares)

    相关参考:https://blog.csdn.net/snowdroptulip/article/details/79022532

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  • (可以看出与自相关的公式差不多,其实互相关分析就是两个时间序列在不同时刻暴力套上自相关系数公式…大概可以这么理解) 在r中用ccf函数可以计算 这里以r中自带的airmiles数据集和LakeHuron(1937-1960年)进行...

    互相关分析

    互相关与自相关不同,互相关是指两个时间序列任意两个不同时刻的相关程度。
    假设有时间序列 xt 和 yt ,则 xt 在时刻 t 和 yt 在时刻 t+n 的相关即为n阶互相关。

    公式:
    在这里插入图片描述

    重温一下自相关系数的公式:
    在这里插入图片描述

    (可以看出与自相关的公式差不多,其实互相关分析就是两个时间序列在不同时刻暴力套上自相关系数的公式…大概可以这么理解)

    在r中用ccf函数可以计算

    这里以r中自带的airmiles数据集和LakeHuron(1937-1960年)进行演示。

    ccf(airmiles,ts(LakeHuron,start = 1937,end = 1960))
    

    (ts函数可以选择数据集中的一部分)
    在这里插入图片描述
    可以看出在没有延迟(lag=0)的时候,互相关系数为-0.8达到了最小,此时呈负相关。当延迟为10时,呈若正相关,因此可以通过互相关性的分析。

    典型相关分析

    典型相关分析是指两组变量间的相关关系(这里的相关不像之前的几种相关,变量两两组合求相关系数),而是反应两个整体(两组变量)之间的相关性。其难点是如何构建综合指标使两组数据的相关性最大

    这里跳过理论,r语言中stats包中的cancor函数可直接计算典型相关系数。

    现使用iris数据集,分别将第一、二列,第三、四列转化为数值矩阵

    x<-as.matrix(iris[,1:2])
    y<-as.matrix(iris[,3:4])
    

    再使用cancor函数求解 x 与 y 的典型相关系数

    > cancor(x,y)
    $cor
    [1] 0.9409690 0.1239369
    
    $xcoef
                        [,1]       [,2]
    Sepal.Length -0.08757435 0.04749411
    Sepal.Width   0.07004363 0.17582970
    
    $ycoef
                        [,1]       [,2]
    Petal.Length -0.06956302 -0.1571867
    Petal.Width   0.05683849  0.3940121
    
    $xcenter
    Sepal.Length  Sepal.Width 
        5.843333     3.057333 
    
    $ycenter
    Petal.Length  Petal.Width 
        3.758000     1.199333 
    

    代码运行结果可看出,典型相关系数有两个, 0.9409690 和 0.1239369。
    第一组变量的典型相关系数较强,第二组较弱,说明第一组适合做分析。

    小结

    互相关分析与典型相关分析都是分析两个不同的数据集之间的相关性。互相关分析的对象为时间序列中两个不同时刻的相关程度,典型相关分析的对象为两个数据集之间的相关性

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  • 目录两个变量间的相关系数(皮尔逊与斯皮尔曼)使用条件计算与检验案例与计算偏相关系数使用条件计算方法例题SpearmanSpearmanSpearman等级相关系数使用条件及公式检验例题KendallKendallKendall秩相关系数概念及...

    两个变量间的相关系数(皮尔逊与斯皮尔曼)

    使用条件

    在这里插入图片描述

    计算与检验

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    案例与计算

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    偏相关系数

    使用条件

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    计算方法

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    例题

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    • cat()cat():用来连接数组
    cat(2, A, B)# 相当于[A, B];
    cat(1, A, B)# 相当于[A; B].
    

    SpearmanSpearman等级相关系数

    使用条件及公式

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    • 注意:两个变量的排列顺序要相同,都从大到小,或都从小到大

    检验

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    • 趋同关系,即显著的等级相关性

    例题

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    KendallKendall秩相关系数

    概念及使用条件

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    计算公式及检验条件

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    程序计算

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    • 后面两种相关系数的要求较宽松,精确性较低,如果条件较好,数据量较大,正态性相当满足,应当使用PearsonPearson相关系数

    单因素方差分析

    使用背景

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    • 自变量收集有困难时,不收集太多,只收集几个点,即分类数据

    处理问题

    • 研究某个因素对某个对象是否有影响
    • 哪些因素是主要的,哪些是次要的
    • 每个因素位于何种水平时,对象最优

    例题

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    • 研究温度对着色度的影响

    数学原理

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    通径分析

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    相关概念

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    • 简单相关系数就是通径,包含了间接通径与直接通径

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    例题与程序

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    • 取对数,是将非线性问题(幂函数模型)转为线性问题,指数反映的是因变量对自变量的弹性
    • 概率都小于0.05,三个变量都对因变量有影响,没有可以删除的数据

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    典型相关分析(多个相关的自变量与多个相关的因变量之间的关系)

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    • 补充:要求总体数据符合正态分布

    构造新的变量

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    • 新构造的u与v是无关的

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    • 如果u与v的数目不同,不用管

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    计算步骤

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    • 这些系数就是正交阵的标准化的特征向量

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    • 卡方检验

    例子

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    • zscore 标准化
        这种方法基于原始数据的均值(mean)和标准差(standard deviation)进行数据的标准化。
        zscore标准化方法适用于属性A的最大值和最小值未知的情况,或有超出取值范围的离群数据的情况。
        新数据=(原数据-均值)/标准差
      用法为:
    Y=zscore(X)
    # x为标准化之前的数据,y为标准化后的数据
    
    • 特点:
      (1)样本平均值为0,方差为1;
      (2)区间不确定,处理后各指标的最大值、最小值不相同;
      (3)对于指标值恒定的情况不适用;
      (4)对于要求标准化后数据 大于0 的评价方法(如几何加权平均法)不适用。

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    • 解释:u1=0.3498x11.0378x2,v1=0.8119y1+0.4204y2+0.0289y3,r1=0.7352u_1=0.3498x_1-1.0378x_2,v_1=0.8119y_1+0.4204y_2+0.0289y_3,r_1=0.7352

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    • 原先的显著性概率为0.05,但是一组也没有满足,所以适当提高显著性概率为0.01,第一组通过,第二组未通过(灵活应对数据

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    • 因为v1u1v_1和u_1的相关性高,所以x2y1y2(y3)x_2主要影响y_1和y_2(y_3的系数太小)分析数据时要讨论主要数据

    主成分分析

    起源原因

    • 寻找重要因素
    • 综合评价要求评价指标线性无关
    • 建立回归模型的需要(回归模型要求自变量线性无关,样本点较大)

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    思想原理

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    • xx^*代表标准化后的数据
    • 信息量不可以受损,即新变量的方差之和要等于原来变量的方差之和(iλi=p\sum_i\lambda_i=p

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    • 由于之前的ZZ互不相关,因此,除了主对角线,其余的协方差均为0

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    计算步骤

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    • 建立相应主成分方程: 相应的特征向量单位化,正交化,变为正交阵,然后转置

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    案例分析

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    • 最大的特征值对应的特征向量在最后一列

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    • 最重要的变量:在第一主成分里找数值最大的(橙色部分)

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典型相关系数公式